Matlab PDE Toolbox UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA. Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Matlab PDE Toolbox UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA. Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali"

Transcript

1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Matematica Metodi Numerici per Equazioni alle Derivate Parziali Matlab PDE Toolbox Risoluzione di equazioni alle derivate parziali utilizzando Matlab Luca Cerone A.A

2

3 Introduzione Questa tesina ha lo scopo di presentare l'uso di Matlab per la risoluzione numerica di equazioni alle derivate parziali lineari(da qui in avanti EDP). In particolare presenterò il PDE Toolbox, un insieme di funzioni e di utilities dedicate a questo tipo di problema. Nelle prossime pagine spiegherò quali tipi di EDP è possibile risolvere e delineerò una strategia generale per farlo. Dopodiché presenterò in dettaglio sia come sfruttare l'interfaccia graca del toolbox (G.U.I., graphic user interface), sia come eseguire le principali operazioni da linea di comando (C.L., command line), mettendo in risalto i vantaggi e i difetti dei due approcci. Nell'ultima parte applicherò quanto spiegato a due problemi specici e commenterò i risultati così ottenuti. Quanto detto in questa tesina si riferisce alla versione 7.0 di Matlab e alla versione 1.01 del PDE Toolbox. Rispetto alle versioni precedenti ci sono infatti stati dei cambiamenti che potrebbero creare dei problemi di retrocompatibilità. 1 EDP in Matlab: il solver pdepe Prima di introdurre il PDE Toolbox descrivo brevemente una funzione dedicata alle EDP che fa parte del Matlab di base, utile per la risoluzione di sistemi di EDP, in una variabile spaziale e tempo, di tipo ellittico e parabolico. La funzione (che in gergo viene detta solver) in grado di risolvere questi problemi si chiama pdepe: permette di approssimare numericamente la soluzione di sistemi di EDP del tipo c(x, t, u, u x ) u t = x m x (xm f(x, t, u, u x )) + s(x, t, u, u x ) (1.1) trasformandoli in sistemi di equazioni dierenziali ordinarie che risolve poi con il solver ode15 (per informazioni su ode15 si rimanda all'help in linea di Matlab). 1

4 L'equazione (1.1) si suppone valida per t 0 t t f e a x b, con a, b, t 0, t f R. Il termine f(x, t, u, u x ) è un termine di usso, mentre invece s(x, t, u, u x ) è una sorgente. c è una matrice diagonale che rappresenta il modo di interagire delle equazioni del sistema. Gli elementi sulla diagonale possono essere identicamente nulli oppure positivi, ma ce ne deve essere almeno uno positivo: il caso di una singola equazione ellittica non è infatti contemplato dal solver pdepe. Sono permesse discontinuità (di prima specie) delle funzioni c ed s, a patto però che la griglia contenga i punti di discontinuità. m deve essere uguale a 0 se il problema non presenta simmetrie, a 1 se presenta simmetria cilindrica, oppure a 2 se presenta simmetria radiale. Si suppone inoltre che la soluzione u dell'edp soddis la condizione iniziale u(x, t 0 ) = u 0 (x) (1.2) e che negli estremi, soddis le seguenti condizioni al bordo per ogni valore di t: p(a, t, u) + q(a, t)f(a, t, u, u x ) = 0 (1.3) p(b, t, u) + q(b, t)f(a, t, u, u x ) = 0 (1.4) q(x, t) è una matrice diagonale con elementi che sono o identicamente nulli, o sempre diversi da zero. Una volta riscritta la propria EDP nella forma prevista, la si può risolvere numericamente usando il seguente comando: sol=pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan) Il signicato dei parametri da passare alla funzione pdepe è il seguente: - m è il termine che compare in (1.1) e che rappresenta il tipo di simmetria del problema; - pdefun è una funzione denita dall'utente e che, ricevuti in input x, t, u, u x, genera c, f e s. È cioè una funzione del tipo 2

5 [c,f,s]=pdefun(x,t,u,dudx) con x e t scalari ed u e dudx vettori che approssimano la soluzione e la derivata parziale, c deve essere un vettore che contiene gli elementi della diagonale della matrice c, f ed s devono essere vettori; - icfun deve essere una funzione che calcola le condizioni iniziali, deve avere la forma u=icfun(x); - bcfun è una funzione che calcola i termini p e q in (1.3) e in (1.4). Ha la forma [pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,ul,xr,ur,t) ul è la soluzione che approssima u in xl= a, ur è la soluzione che approssima u in xr=b. pl e ql sono vettori colonna che corrispondono a p e agli elementi della diagonale di q in a. Analogamente pr e qr corrispondono ai valori di p e della diagonale di q in b; - xmesh è il vettore che contiene i nodi della griglia di [a, b] (il solver richiede che xmesh contenga almeno 3 valori); - tspan è il vettore che contiene i valori degli istanti temporali in cui si vuole conoscere la soluzione. La variabile sol così ottenuta sarà una matrice tridimensionale, dove il generico elemento sol(i, j, k) approssima la k ma componente della soluzione u, all'istante tspan(i) e nel nodo xmesh(j). A titolo di esempio, supponiamo di voler risolvere la seguente EDP parabolica scalare: u t 2 u x 2 = x u(x, 0) = sin(x) u(0, t) = u(2π, t) = 0 3 (1.5)

6 con x (0, 2π) e per t = 0,..., 1. La prima cosa da fare è riscrivere l'equazione nella forma (1.1) e individuare il valore dei coecienti. Nel nostro caso possiamo riscrivere l'edp come 1 u t = 2 u x 2 + x da cui deduciamo che m = 0, c = 1, f = u x e s = x. Analogamente guardando alla forma (1.2) e (1.3), (1.4) delle condizioni iniziali e al bordo rispettivamente, possiamo dedurre che u 0 (x) = sin(x), p(a, t, u) = u = p(b, t, u) = u e inoltre q(a, t, u) = 0 = q(b, t, u). A questo punto si possono scrivere le funzioni da passare come argomenti al solver per la risoluzione numerica dell'equazione. Qui di seguito è riportato il listato del codice da implementare in Matlab per calcolare la soluzione, visualizzarne il prolo al variare del tempo e generare un lmato che mostra l'andamento della soluzione nel tempo. function sol=senzapdetool %generazione dei nodi su x e t. m = 0; x = linspace(0,2*pi,30); t = linspace(0,1,10); sol = u = sol(:,:,1); surf(x,t,u) %profilo della soluzione al variare del tempo figure plot(x,u(end,:)) %grafico della soluzione per t=1 % %le prossime istruzioni servono a generare un filmato che %mostra l'andamento della soluzione nel tempo umax=max(max(sol)); umin=min(min(sol)); [n,m]=size(sol); 4

7 newplot Mpdepe=moviein(n); for i=1:n plot(x,u(i,:)) axis([0 2*pi umin umax]); caxis([umin umax]); Mpdepe(:,i)=getframe; end % % funzione che definisce i valori di c,f ed s function [c,f,s] = pdefun(x,t,u,dudx) c = 1; f = DuDx; s = x; % %funzione che definisce la condizione iniziale function u0 = initcon(x) u0 = sin(x); % %funzione che definisce le condizioni al bordo function [pl,ql,pr,qr] = boundcon(xl,ul,xr,ur,t) pl = ul; ql = 0; pr = ur; qr = 0; Dovrebbe essere chiaro a questo punto che la risoluzione di una EDP utilizzando il solver di base risulta un po' dicoltosa e inoltre, pur essendo adatta in molte situazioni, non permette di risolvere EDP denite su un dominio bidimensionale, né tantomeno di risolvere EDP ellittiche o iperboliche. Come vedremo nelle prossime sezioni, il PDE Toolbox permette innanzitutto di risolvere problemi più complessi e, nella stragrande maggioranza dei casi, in maniera estremamente semplice tramite GUI. 2 Il PDE Toolbox Il PDE Toolbox estende le capacità del solver di base pdepe, permettendo di risolvere EDP e sistemi di EDP ellittiche, paraboliche e iperboliche, denite 5

8 su un dominio limitato Ω R 2 (con condizioni di Dirichlét, condizioni di Neumann e condizioni miste), problemi agli autovalori e anche una classe di equazioni non lineari. In queste pagine mi occuperò principalmente dei tre tipi di EDP lineari seguenti: equazioni ellittiche (c u) + au = f (2.1) equazioni paraboliche equazioni iperboliche d u t (c u) + au = f (2.2) d 2 u (c u) + au = f (2.3) t2 Le equazioni (2.1), (2.2) e (2.3), possono essere viste anche come una notazione compatta per sistemi di EDP rispettivamente ellttici, parabolici o iperbolici. Il Matlab è in gradi di risolvere sistemi che si presentino in forma (2.1), (2.2) e (2.3), anche se non sono, matematicamente parlando, eettivamente del tipo indicato. Da qui in avanti, mi riferirò esclusivamente al caso di EDP scalari e non di sistemi. Nell'equazione (2.1) c, a, f e u sono funzioni a valori complessi denite su Ω. In (2.2) e (2.3) c, a, f, d, sono funzioni a valori complessi che possono eventualmente dipendere anche da t, mentre u è una funzione a valori complessi. Dopo queste informazioni preliminari non rimane che vedere come usare eettivamente il PDE Toolbox per la risoluzione di un problema. 3 L'interfaccia graca: un primo semplice problema Il modo più semplice per risolvere una EDP usando il Toolbox è senza dubbio usare l'interfaccia graca. Dopo aver caricato la GUI tramite il comando pdetool, ci si troverà davanti a una schermata che si presenta come mostrato in gura

9 Figura 3.1: Come si presenta la GUI del PDE Toolbox Per illustrare le funzioni disponibili è conveniente supporre di voler risolvere un problema, ad esempio la seguente equazione ellittica con condizioni al bordo di Dirichlet: u = 1 in Ω (3.1) u = 0 su δω dove Ω R 2 è la sfera di centro l'origine e raggio 1. La prima cosa da fare è disegnare il dominio Ω. Per fare ciò è suciente premere l'icona rappresentante l'ellisse con la croce al centro (vedi gura 3.2), dopodiché si posiziona il cursore sull'origine e, tenendo il tasto destro del mouse, lo si trascina no ad aver ottenuto una circonferenza del raggio desiderato. Il cerchio così ottenuto apparirà con l'interno colorato in grigio, e sarà contrassegnato dall'etichetta C1. Per essere sicuri di aver disegnato proprio il dominio desiderato, si può cliccare due volte sul cerchio e inserire i 7

10 Figura 3.2: Barra degli strumenti del PDE Toolbox dati giusti (coordinate del cerchio e lunghezza del raggio) tramite l'interfaccia che compare. Dopo aver disegnato il dominio si devono specicare le condizioni al bordo. Cliccando sull'icona δω, nell'area di lavoro verrà mostrato il bordo di C1 come composto da 4 archi. Tale rappresentazione del bordo è molto comoda qualora si vogliano imporre condizioni al bordo miste, permettendo di specicare per ogni arco il tipo di condizione desiderata: cliccando due volte su un arco si apre, infatti, un menù che permette di scegliere le condizioni relative a quell'arco. Ciò mette in luce da un lato la semplicità di utilizzo per risolvere problemi con condizioni miste, dall'altro il limite di dover imporre condizioni al bordo solamente su archi pressati. Per ovviare a questo inconveniente si dovrà agire da linea di comando, come spiegherò più avanti. In ogni caso, nel problema che stiamo risolvendo, le condizioni sono dello stesso tipo su tutti gli archi ed è conveniente inserirle tutte in una volta nel modo che segue: aprire il menù di scelta Boundary dunque selezionare Specify Boundary Conditions, e dunque il tipo di condizione che si vuole imporre: nel nostro caso Dirichlet di parametri h = 1 ed r = 0. Dopo aver specicato il dominio e le condizioni al bordo è necessario indicare che tipo di EDP si sta risolvendo e con che parametri. Si clicca dunque sull'icona PDE e si sceglie elliptic con coecienti c = 1, a = 0, f = 1. A questo punto è suciente creare la griglia cliccando sull'icona col triangolo, eventualmente ranarla cliccando sull'icona con più triangolini uno dentro l'altro, e risolvere l'edp cliccando sull'icona con l'uguale. Di default apparirà una rappresentazione bidimensionale della soluzione. Se si vuole il graco 3d basta premere il bottone con la supercie, selezionare la 8

11 Figura 3.3: Come appare il Boundary Mode casella Height (3d plot) e quindi fare clic su plot. Abbiamo sin qui delineato le linee guida da seguire nell'arontare una EDP con Matlab, usando perlopiù impostazioni di default. Il Matlab, però, permette di scegliere molti parametri che possono portare a una più eciente risoluzione dei problemi, sia in termini di tempo, che della precisione ottenuta, come mostrerò nella prossima sezione. 4 GUI impostazioni generiche Ho n qui mostrato come risolvere una semplice EDP, adesso approfondirò le caratteristiche della GUI per risolvere problemi un po' più complessi e avere un maggior controllo dei parametri in gioco. Innanzitutto vediamo le opzioni che sono comuni per i tre tipi di EDP (2.1), (2.2), (2.3). 9

12 Iniziamo dalla creazione del dominio, nel caso precedente Ω era un oggetto estremamente semplice, ma si possono denire domini più complessi ottenuti dall'unione e intersezione di poligoni ed ellissi. Per un dominio che non si possa decomporre in questa maniera sarà necessario denire delle funzioni che lo descrivono e agire da linea di comandi come mostrerò in seguito. Innanzitutto si procede col disegnare le gure di base che compongono il dominio, ad esempio un'ellisse, un triangolo e un rettangolo. Per disegnare un'ellisse generica si clicca su una delle due icone che rappresenta un'ellisse (con o senza croce a seconda che la si voglia tracciare a partire dal centro o delineando i semiassi) e si trascina il cursore nell'area dedicata alla graca. Si può notare la dierenza col caso precedente in cui si voleva disegnare un cerchio: usando il tasto destro del mouse si garantisce che i semiassi siano uguali, il tasto destro garantisce anche che i lati di un rettangolo siano uguali e permette quindi disegnare dei quadrati. Clicchiamo poi sull'icona col rettangolo per tracciare il rettangolo e sull'icona con il poligono per disegnare i tre lati del triangolo (questo pulsante permette inoltre di creare poligoni generici). I tre oggetti sono contrassegnati dalle etichette E1,R1,P1 rispettivamente, e di default il Matlab considera l'unione di questi oggetti come dominio Ω. Suppongo però, che Ω sia dato dall'unione dell'ellisse e del rettangolo alla quale viene tolto il triangolo. Per specicare questo dominio è semplice: in alto, subito sotto la barra degli strumenti, c'è infatti una barra che contiene la cosiddetta SET FORMULA, che indica quale tipo di operazione insiemistica si deve fare con gli oggetti disegnati. Subito dopo il disegno la formula sarà E1 + R1 + P 1 che rappresenta l'unione dei tre oggetti. E' suciente modicare la formula in (E1 + R1) P 1 per ottenere il dominio desiderato (vedi gura 4.1). In generale, le parentesi servono a gestire la precedenza delle operazioni 10

13 Figura 4.1: Composizione di un dominio 11

14 da svolgere sugli insiemi, il + indica l'unione di insiemi, l' l'intersezione e il che l'insieme va tolto da ciò che lo precede. In questo modo si possono creare insiemi anche abbastanza complessi con uno sforzo relativamente modesto. Per quanto riguarda la creazione di un dominio l'unica cosa che resta da dire è che gli elementi che compongono il dominio possono essere ruotati. Per farlo bisogna prima selezionare l'elemento che si desidera ruotare, dopodiché nel menù Draw si sceglie Rotate. A questo punto bisogna scegliere l'angolo di rotazione in gradi (ricordando che un numero positivo indica una rotazione antioraria e un numero negativo una rotazione oraria) e le coordinate del punto che fa da centro della rotazione (di default è il centro di massa dell'oggetto). Analizziamo ora i menù restanti. Sul menù File c'è poco da dire, permette di iniziare una nuova sessione di lavoro, caricarne una, salvarla, salvarla con un nuovo nome, e stamparla. Il menù Edit si attiva solamente quando si stanno disegnando gli oggetti che compongono il dominio, o si stanno modicando le impostazioni del bordo. Ecco il signicato delle opzioni nell'ordine: Undo quando si sta disegnando un poligono, permette di cancellare l'ultimo segmento disegnato; Cut rimuove gli oggetti disegnati ma li conserva in memoria per poterli incollare nella posizione desiderata con Paste; Copy copia gli oggetti in memoria per poterli incollare nella posizione desiderata con Paste, e lascia l'originale dove si trova; Paste incolla gli oggetti in memoria nella posizione desiderata; Clear cancella tutti gli oggetti selezionati; Select All seleziona tutti gli oggetti disegnati. Il menù Options permette di scegliere delle impostazioni utili: Grid visualizza una griglia nell'area di disegno; Grid Spacing permette di scegliere quanto deve essere tta la griglia; 12

15 Snap se questa opzione è selezionata, quando si prova a disegnare un oggetto questo è costretto ad aderire alla griglia (ad esempio i centri delle circonferenze verrano poste sul nodo più vicino, e lo stesso per i vertici di rettangoli e poligoni); Axis Limits permette di selezionare la lunghezza dell'intervallo della x e della y; Axis Equal impone la stessa scala sugli assi x e y; Turn o Toolbar Help disabilita il messaggio di aiuto che compare soermandosi col mouse sulle icone; Zoom permette di ingrandire porzioni dell'area di disegno; Application è l'opzione più interessante: andando con il cursore su Application si apre un menù a tendina che permette di scegliere la modalità desiderata. Quella predenita è Generic Equation, generica EDP, ma ve ne sono molte altre per i generici sistemi di EDP e per le principali applicazioni delle EDP ai problemi della sica e della meccanica. In sostanza, i parametri da inserire negli altri menù non saranno più quelli delle formule (2.1), (2.2), (2.3), ma saranno legati alla forma standard dell'equazione per lo specico problema considerato. Ad esempio per l'equazione stazionaria del calore (Heath Equation), la forma standard dell'edp con condizioni al bordo di Dirichlet è: (k T ) = Q + h (T ext T ) in Ω T = T bound su δω (4.1) dove T è la temperatura, k è il coeciente di conduzione, Q rappresenta la sorgente di calore, h è il coeciente di conduzione per convezione, T ext è la temperatura esterna, T bound è la funzione della temperatura T sul bordo. L'equazione in questione è un'equazione ellittica, ma in questo caso anziché i coecienti visti in precedenza, si dovranno inserire i valori di k, Q, h, T ext, e T bound. La trattazione dettagliata di tutte le modalità per le applicazioni esula dallo scopo di questa tesina, ma informazioni approfondite possono 13

16 essere trovate nell'help in linea di Matlab; Refresh aggiorna e ridisegna tutti gli oggetti graci. I menù che restano sono quelli che maggiormente ci interessano dal punto di vista matematico. Tuttavia le schermate potrebbero variare a seconda del tipo di problema che si aronta, pertanto per spiegarli converrà fare riferimento a problemi specici. 5 GUI impostazioni avanzate per EDP ellittiche Torniamo a considerare l'equazione (3.1) di pagina 7. Abbiamo già visto come risolverla usando le impostazioni di base, vediamo ora qualche opzione più avanzata. Dopo aver disegnato il cerchio unitario, aver settato le condizioni al bordo, scelto il tipo di equazione e inserito i coecienti, apriamo il menù Mesh. Abbiamo già visto gli eetti di Initialize Mesh e Rene Mesh (rispettivamente la crezione della griglia e il suo ranamento), saltiamo per il momento l'opzione Jiggle Mesh e clicchiamo su Parameters. Nella schermata che si apre è possibile impostare alcuni parametri: Maximum Edge Size permette di impostare la lunghezza massima dei lati dei triangoli che compongono la griglia; Mesh Growth Rate deve essere un numero compreso tra 1 e 2, indica la velocità di crescita della griglia, e dà un'indicazione della dierenza di dimensione tra i più piccoli triangoli che compongono la griglia e i più grandi; Jiggle Mode selezionando questa opzione si abilita la funzione di jiggling (da jiggle, scuotere), ossia dopo aver generato la griglia si cerca di far sì che i triangoli siano per quanto più possibile equilateri, in maniera da evitare problemi di malcondizionamento. A ogni triangolo della griglia viene associato un valore di qualità che dipende proprio dalla forma del triangolo. Tra le modalità di Jiggling si può scegliere, ON per eettuare questa operazione una sola volta, Optimize minimum per ripetere l'operazione no a quando 14

17 il più basso valore di qualità dei triangoli non smette di crescere, oppure no a quando non si è raggiunto il numero massimo di iterazioni che si può speci- care più in basso, Optimize mean si comporta come Optimize minimum, ma prendendo come riferimento la qualità media dei triangoli; rene methods permette di scegliere se avere una griglia per quanto più possibile uniforme (opzione regular), oppure se suddividere ad ogni ranamento solamente i lati più lunghi dei triangoli (opzione longest). Sempre dal menù Draw è possibile visualizzare gracamente la qualità dei triangoli con Display Triangle Quality (sono accettabili valori superiori a 0.6), ed eventualmente eseguire manualmente l'operazione di Jiggling cliccando su Jiggling. É inoltre possibile mostrare i numeri dei vertici dei triangoli, e il numero associato ad ogni triangolo, scegliendo Show Node Labels e Show Triangle Labels rispettivamente. Tuttavia, specie quando si lavora con una griglia composta di un numero elevato di triangoli, sconsiglio di abilitare queste opzioni perché richiedono l'uso di una notevole quantità di memoria che potrebbe rallentare in maniera drastica le operazioni da compiere. Andiamo ora ad analizzare il menù Solve. Cliccando su Solve, si lancia il solver che risolve numericamente l'equazione. I parametri utilizzati dal solver possono esere specicati cliccando su Parameters. Nel caso di equazioni ellittiche, si aprirà una nestra che prevede l'abilitazione di due opzioni: Adaptive mesh renement e Use Non Linear Solver. Di default non sono selezionate, tuttavia risultano utili in molte occasioni. Adaptive mesh mode, permette di calcolare la soluzione numerica andando a ranare la griglia solo in quei triangoli dove non si è raggiunta l'accuratezza desiderata. Se lo si seleziona si potrà decidere il numero massimo di triangoli che può essere aggiunto ad ogni ranamento della griglia (Maximum Numbers of Triangles), il numero massimo di ranamenti della griglia da eseguire (Maximum Number of renements), i criteri in base ai quali scegliere: 15

18 Worst Triangles si basa sul peggiore valore di qualità dei triangoli per selezionare i triangoli da ranare, e su una funzione nativa del PDE Tool (pdejmps,che vedremo quando parlerò di C.L.) che fornisce una stima dell'errore sui vari triangoli; il valore indicato in Worst Triangle Fraction deve essere compreso tra 0 e 1, tantò più sarà alto tanti meno triangoli necessiteranno un ranamento, tanto più sarà vicino a 0 tanti più triangoli saranno ranati; Relative Tolerance esegue il ranamento su quei triangoli per i quali l'errore relativo stimato è maggiore della tolleranza indicata nella casella Relative Tolerance; User dened function per indicare un'eventuale funzione creata dall'utente per la selezione dei triangoli; Renement Method, si può scegliere regular o longest con lo stesso signi- cato visto per i parametri del menù Mesh. Per quanto riguarda Use Non Linear Solver è necessario selezionarlo quando ci si trova di fronte a un'equazione non lineare, i parametri da denire solo la tolleranza per l'errore, una eventuale soluzione inziale da cui far cominciare partire l'algoritmo (il solver non lineare si basa sull'algoritmo di Newton che ha convergenza solo locale), il modo di approssimare lo Jacobiano della funzione (xed, usando un metodo di punto sso, lumped approssimandolo con una matrice diagonale, full calcolo completo dello Jacobiano. Le opzioni Adaptive mode e Use Non Linear Solver possono essere attivate sia indipendentemente l'una dall'altra che contemporaneamente. Dopo aver settato tutte queste impostazioni, cliccando sull'icona con l'uguale si procede alla risoluzione numerica. Restano solamente da impostare le proprietà di visualizzazione. Per fare ciò si apra il menù Plot e si clicchi su Parameters. Ecco brevemente il signi- cato dei parametri: Color permette di scegliere in base a quale valore assegnare il colore a quanto 16

19 disegnato nel graco (di default è la soluzione approssimata u); plot style serve per decidere se il colore dovrà sfumare gradatamente (interpolated shad.), o se riferirsi al valor medio della funzione su ciascun triangolo (at shad.; contour se selezionato mostra le curve di livello nel graco; arrows disegna delle frecce per indicare l'andamento del campo vettoriale, le si può scegliere di lunghezza ssa (normalized) oppure proporzionale al modulo del campo vettoriale (proportional); deformed mesh dà una rappresentazione deformata del dominio, la deformazione dipende dal modulo del gradiente; questa opzione deve essere attivata da sola ed è pensata principalmente per problemi di meccanica; Height 3d di default disegna la supercie (x, y, u(x, y)), tuttavia è possibile scegliere la grandezza che si desidera rappresentare sull'asse delle z utilizzando il menù a tendina (ad esempio u ; plot in x-y grid disegna il graco anziché sulla griglia triangolare di partenza, su una griglia rettangolare; contour plot levels indica quante curve di livello disegnare; show mesh rappresenta la griglia nel graco; colormap indica quali colori usare per la rappresentazione graca. Dopo aver congurato tutti i parametri desiderati è suciente cliccare su Plot per visualizzare i risultati nella maniera voluta. Come si sarà notato nel menù di scelta non era possibile selezionare l'opzione Animation, questo perché in una equazione ellittica la soluzione non dipende da una variabile temporale. Tale dipendenza è invece in generale presente in equazioni paraboliche e iperboliche, e per esse sarà possibile ottenere un'animazione che mostra come varia la soluzione in funzione del tempo. 17

20 6 GUI impostazioni avanzate per EDP paraboliche iperboliche In questo paragrafo mostrerò qualche impostazione specica per le equazioni paraboliche e iperboliche. Tratterò insieme i due casi in quanto sono molto simili da spiegare. Sia per il caso parabolico che per quello iperbolico, le uniche cose che dieriscono da quanto visto no ad adesso sono i menù Solve e Plot. Supponiamo di avere un'equazione parabolica. Aprendo il menù Solve e dunque Parameters, apparirà una schermata in cui sarà possibile impostare le seguenti opzioni: Time, deve essere un vettore che rappresenta gli istanti temporali per i quali si vuole calcolare la soluzione; u(t0), funzione che rappresenta la soluzione all'istante iniziale t 0, può essere una funzione di x e y, ad esempio sin(x + y); Relative Tolerance e Absolute Tolerance sono rispettivamente l'errore relativo e quello assoluto che si vuole commettere. Per un'equazione iperbolica il menù Solve si presenterà in maniera pressoché identica, salvo per il fatto che si dovrà inserire anche il valore di u (t 0 ). Sia per le equazioni paraboliche che per quelle iperboliche il menù Plot apparirà identico e, rispetto al caso ellittico ci sono due sole dierenze: si può scegliere l'istante temporale per cui si vuole disegnare il graco, e si può creare una animazione (sia 2D che 3D) dell'evolvere nel tempo della soluzione. Per scegliere il valore del tempo t per il quale si vuole disegnare la soluzione, sarà suciente aprire il menù a tendina time for plot che si trova in basso a destra e selezionare il tempo desiderato. Naturalmente si potranno scegliere tutte le opzioni a disposizione, come visto per il caso ellittico. Per generare un'animazione bidimensionale della soluzione si deve invece 18

21 selezionare Animation. Si può accedere a un menù di opzioni cliccando sul pulsante Options vicino alla casella Animation. Si potranno così impostare il numero di fotogrammi al secondo (Fps) da visualizzare e per quante volte ripetere il lmato (Number of repeats). Nel caso fosse già stato creato un lmato, sarà possibile selezionare Replay, in maniera da visualizzare quello già esistente senza crearne uno nuovo (questa opzione è molto comoda in quanto, soprattutto con griglie tte e intervalli temporali molto lunghi, la generazione di un lmato può richiedere molto tempo e risorse). Per generare una animazione tridimensionale basta selezionare Height 3d e procedere come nel caso bidimensionale. Per vedere come applicare in pratica quanto detto n qui, aronterò ora il seguente problema: 2 u t 2 u + u = 1 u = 0 su δω u(x, y, 0) = sin(x + y) u (x, y, 0) = x y (6.1) dove Ω è il dominio mostrato in gura 6.1, dato dall'unione delle due circonferenze C1 e C2 di raggio 1 e centri rispettivamente ( 0.5, 0) e (0.5, 0). Cercherò la soluzione per gli istanti t n = n, n = 0,..., 5. Dopo aver disegnato il dominio Ω, andiamo a specicare le condizioni al bordo. Clicchiamo sull'icona δω, quindi apriamo il menù Boundary e Specify Boundary Condition. Nel nostro caso sono condizioni di Dirchlét, e basterà impostare i seguenti valori h=1, r=0. Per avere una rappresentazione dei bordi più pulita clicchiamo anche, sempre dal menù Boundary su Remove all subdomain borders. Andiamo ora a specicare il tipo di EDP che si vuole risolvere. menù PDE, apriamo PDE specication, selezioniamo Hyperbolic e inseriamo i seguenti valori per i coecienti: c=1, a=1, f=1, d=1. Dal 19

22 Figura 6.1: Griglia sul dominio Ω del problema (6.1) Prima di generare la griglia e ranarla, apriamo il menù Solve e in Parameters imponiamo le condizioni iniziali: u(t0)=sin(x+y), u'(t0)=x-y. Specichiamo inoltre l'intervallo temporale, nel nostro caso basta inserire la stringa [0 : 1 : 5], nella casella Time. Per la griglia lasciamo le impostazioni predenite, generiamo la griglia cliccando sul triangolo e la raniamo cliccando sull'icona con più triangolini. Per evitare problemi di malcondizionamento dal menù Mesh eettuiamo il jiggling per due volte. Possiamo quindi cliccare sull'uguale per far calcolare la soluzione approssimata. Per impostazione predenita apparirà disegnata una rappresentazione bidimensionale della soluzione all'istante temporale t 5. Vogliamo invece visualizzare un graco tridimensionale per ciascuno degli istanti t n. Apriamo il menù Plot e quindi Parameters. Selezioniamo Height 3d e l'istante temporale per cui vogliamo visualizzare il graco (vedi gura 6.2). 20

PDE Toolbox in Matlab

PDE Toolbox in Matlab PDE Toolbox in Matlab Lucia Gastaldi Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ Lezione 12 Indice 1 Uso di PDE Toolbox con interfaccia grafica Problema e definizioni 2 Esercizi 3 Comandi

Dettagli

Access - Lezione 02. Basi di dati. Parte seconda. (Per andare direttamente su un argomento, fare clic con il mouse sul titolo nell indice sottostante)

Access - Lezione 02. Basi di dati. Parte seconda. (Per andare direttamente su un argomento, fare clic con il mouse sul titolo nell indice sottostante) Access - Lezione 02 Basi di dati Parte seconda (Per andare direttamente su un argomento, fare clic con il mouse sul titolo nell indice sottostante) 1.0 Operazioni di base 1.1 Impostare e pianificare un

Dettagli

L'INTERFACCIA DI AUTOCAD

L'INTERFACCIA DI AUTOCAD L'INTERFACCIA DI AUTOCAD L'interfaccia di autocad: la schermata di ingresso questa è la prima schermata che si presenta all'utente all'apertura di Autocad. Come si può vedere le barre strumenti non sono

Dettagli

n L ambiente di lavoro

n L ambiente di lavoro n L ambiente di lavoro n Usare Cabri n Comprendere Cabri n L ambiente di lavoro 1 Che cosa è Cabri Il programma Cabri* è stato sviluppato da Jean-Marie Laborde e Franck Bellemain presso l Institut d Informatique

Dettagli

Breve guida a WORD per Windows

Breve guida a WORD per Windows 1. COSA È Il Word della Microsoft è pacchetto applicativo commerciale che rientra nella categoria dei word processor (elaboratori di testi). Il Word consente il trattamento avanzato di testi e grafica,

Dettagli

GEOGEBRA I OGGETTI GEOMETRICI

GEOGEBRA I OGGETTI GEOMETRICI GEOGEBRA I OGGETTI GEOMETRICI PROPRIETA : Finestra Proprietà (tasto destro mouse sull oggetto) Fondamentali: permette di assegnare o cambiare NOME, VALORE, di mostrare nascondere l oggetto, di mostrare

Dettagli

MANUALE OPERATIVO EXCEL 2003

MANUALE OPERATIVO EXCEL 2003 1. Novità di Excel 2003 MANUALE OPERATIVO EXCEL 2003 CAPITOLO 1 Microsoft Office Excel 2003 ha introdotto alcune novità ed ha apportato miglioramenti ad alcune funzioni già esistenti nelle precedenti versioni

Dettagli

excel La cartella di lavoro Il foglio di lavoro

excel La cartella di lavoro Il foglio di lavoro excel Fogli Elettronici Un foglio elettronico (o spreadsheet) e` un software applicativo nato dall esigenza di organizzare insiemi di dati tramite tabelle, schemi, grafici, etc. effettuare calcoli di natura

Dettagli

Indice III. Indice. Unità 1 Il personal computer, 1. Unità 2 AutoCAD, 9

Indice III. Indice. Unità 1 Il personal computer, 1. Unità 2 AutoCAD, 9 Indice III Indice Unità 1 Il personal computer, 1 1.1 Struttura del personal computer, 2 1.2 Il software, 5 1.3 I dispositivi informatici di stampa, 6 1.4 Il disegno al computer, 7 1.5 La fotografia digitale,

Dettagli

Grafici tridimensionali

Grafici tridimensionali MatLab Lezione 3 Grafici tridimensionali Creazione di un Grafico 3D (1/4) Si supponga di voler tracciare il grafico della funzione nell intervallo x = [0,5]; y=[0,5] z = e -(x+y)/2 sin(3x) sin(3y) Si può

Dettagli

MICROSOFT ACCESS. Fabrizio Barani 1

MICROSOFT ACCESS. Fabrizio Barani 1 MICROSOFT ACCESS Premessa ACCESS è un programma di gestione di banche dati, consente la creazione e modifica dei contenitori di informazioni di un database (tabelle), l inserimento di dati anche mediante

Dettagli

Calc è il programma per la gestione di fogli di calcolo della suite OpenOffice.org.

Calc è il programma per la gestione di fogli di calcolo della suite OpenOffice.org. Calc è il programma per la gestione di fogli di calcolo della suite OpenOffice.org. Nuovo documento Anteprima di stampa Annulla Galleria Apri Controllo ortografico Ripristina Sorgente dati Salva Controllo

Dettagli

www.geogebra.org/cms/

www.geogebra.org/cms/ I primi elementi 1. GEOGEBRA Geogebra eá un software di matematica dinamica prodotto da un gruppo diretto da Markus Hohenwarter in cui geometria e algebra condividono lo stesso ambiente di lavoro. La versione

Dettagli

Cap. 3 - L'analisi dei dati

Cap. 3 - L'analisi dei dati Capitolo 3 L analisi dei dati 3.1. Relazioni tra grandezze fisiche Uno degli aspetti più importanti della fisica sperimentale è la ricerca di una relazione matematica in grado di interpretare il tipo di

Dettagli

Prima lezione di Access 2000

Prima lezione di Access 2000 Corso di Access Lezione 1 Lezione 2 Lezione 3 Lezione 4 Lezione 5 Lezione 6 Lezione 7 Lezione 8 Lezione 9 Lezione 10 Lezione 11 Prima lezione di Access 2000 Creare una Tabella La tabella è l'elemento principale

Dettagli

Foglio di calcolo. Il foglio di calcolo: Excel. Selezione delle celle

Foglio di calcolo. Il foglio di calcolo: Excel. Selezione delle celle Foglio di calcolo Il foglio di calcolo: Excel I dati inseriti in Excel sono organizzati in Cartelle di lavoro a loro volta suddivise in Fogli elettronici. I fogli sono formati da celle disposte per righe

Dettagli

Microsoft PowerPoint

Microsoft PowerPoint Microsoft introduzione a E' un programma che si utilizza per creare presentazioni grafiche con estrema semplicità e rapidità. Si possono realizzare presentazioni aziendali diapositive per riunioni di marketing

Dettagli

MODULO 4: FOGLIO ELETTRONICO (EXCEL)

MODULO 4: FOGLIO ELETTRONICO (EXCEL) MODULO 4: FOGLIO ELETTRONICO (EXCEL) 1. Introduzione ai fogli elettronici I fogli elettronici sono delle applicazioni che permettono di sfruttare le potenzialità di calcolo dei Personal computer. Essi

Dettagli

Piano Lauree Scientifiche Progetto MATEMATICA e STATISTICA Sapienza Università di Roma a.a. 2010/11

Piano Lauree Scientifiche Progetto MATEMATICA e STATISTICA Sapienza Università di Roma a.a. 2010/11 Piano Lauree Scientifiche Progetto MATEMATICA e STATISTICA Sapienza Università di Roma a.a. 2010/11 Corso di formazione rivolto a insegnanti delle Superiori Giuseppe Accascina accascina@dmmm.uniroma1.it

Dettagli

Foglio di calcolo. Numero Valuta Testo Data e Ora Percentuale

Foglio di calcolo. Numero Valuta Testo Data e Ora Percentuale Foglio di calcolo Foglio di calcolo Foglio organizzato in forma matriciale: migliaia di righe e centinaia di colonne In corrispondenza di ciascuna intersezione tra riga e colonna vi è una CELLA Una cella

Dettagli

Lezione 6 Introduzione a Microsoft Excel Parte Terza

Lezione 6 Introduzione a Microsoft Excel Parte Terza Lezione 6 Introduzione a Microsoft Excel Parte Terza I grafici in Excel... 1 Creazione di grafici con i dati di un foglio di lavoro... 1 Ricerca del tipo di grafico più adatto... 3 Modifica del grafico...

Dettagli

www.informarsi.net MODULO 6 ECDL - EIPASS STRUMENTI DI PRESENTAZIONE - PRESENTATIONS Microsoft PowerPoint http://www.informarsi.net/ecdl/powerpoint/

www.informarsi.net MODULO 6 ECDL - EIPASS STRUMENTI DI PRESENTAZIONE - PRESENTATIONS Microsoft PowerPoint http://www.informarsi.net/ecdl/powerpoint/ MODULO 6 ECDL - EIPASS STRUMENTI DI PRESENTAZIONE - PRESENTATIONS Microsoft PowerPoint http:///ecdl/powerpoint/ INTERFACCIA UTENTE TIPICA DI UN SOFTWARE DI PRESENTAZIONE APERTURA E SALVATAGGIO DI UNA PRESENTAZIONE

Dettagli

EXCEL PER WINDOWS95. sfruttare le potenzialità di calcolo dei personal computer. Essi si basano su un area di lavoro, detta foglio di lavoro,

EXCEL PER WINDOWS95. sfruttare le potenzialità di calcolo dei personal computer. Essi si basano su un area di lavoro, detta foglio di lavoro, EXCEL PER WINDOWS95 1.Introduzione ai fogli elettronici I fogli elettronici sono delle applicazioni che permettono di sfruttare le potenzialità di calcolo dei personal computer. Essi si basano su un area

Dettagli

Lezione 5 Introduzione a Microsoft Excel Parte Seconda

Lezione 5 Introduzione a Microsoft Excel Parte Seconda Lezione 5 Introduzione a Microsoft Excel Parte Seconda Utilizzo delle funzioni... 1 Utilizzo di intervalli nelle formule... 2 Riferimenti di cella e di intervallo... 5 Indirizzi assoluti, relativi e misti...

Dettagli

MICROSOFT EXCEL INTRODUZIONE PRIMI PASSI

MICROSOFT EXCEL INTRODUZIONE PRIMI PASSI MICROSOFT EXCEL INTRODUZIONE Si tratta di un software appartenente alla categoria dei fogli di calcolo: con essi si intendono veri e propri fogli elettronici, ciascuno dei quali è diviso in righe e colonne,

Dettagli

Struttura logica di un programma

Struttura logica di un programma Struttura logica di un programma Tutti i programmi per computer prevedono tre operazioni principali: l input di dati (cioè l inserimento delle informazioni da elaborare) il calcolo dei risultati cercati

Dettagli

Raddrizzamento digitale per la costruzione di fotopiani con RDF. 1. Avvio di RDF ed impostazione dei dati 2. Raddrizzamento analitico

Raddrizzamento digitale per la costruzione di fotopiani con RDF. 1. Avvio di RDF ed impostazione dei dati 2. Raddrizzamento analitico Raddrizzamento digitale per la costruzione di fotopiani con RDF Informazioni generali: Esercitazione: Introduzione 1. Avvio di RDF ed impostazione dei dati Prerequisiti 2. Raddrizzamento analitico Obiettivi

Dettagli

Impress è il programma per la creazione di presentazioni della suite OpenOffice.org.

Impress è il programma per la creazione di presentazioni della suite OpenOffice.org. Impress è il programma per la creazione di presentazioni della suite OpenOffice.org. Barra dei menu Menu degli strumenti standard Vista diapositive Pannello delle attività Menu degli strumenti di presentazione

Dettagli

COREL DRAW 7.0 manuale introduttivo

COREL DRAW 7.0 manuale introduttivo COREL DRAW 7.0 manuale introduttivo 1 SOMMARIO INTRODUZIONE... 3 L AMBIENTE DI LAVORO... 3 La Toolbar degli strumenti... 6 2 INTRODUZIONE CorelDraw, da sempre è uno tra i programmi grafici più completi,

Dettagli

Uso del computer e gestione dei file

Uso del computer e gestione dei file Uso del computer e gestione dei file Sommario Uso del computer e gestione dei file... 3 Sistema Operativo Windows... 3 Avvio di Windows... 3 Desktop... 3 Il mouse... 4 Spostare le icone... 4 Barra delle

Dettagli

GeoGebra vers.5 - vista Grafici 3D

GeoGebra vers.5 - vista Grafici 3D GeoGebra vers.5 - vista Grafici 3D Marzo 2015 (manuale on-line, con aggiunte a cura di L. Tomasi) Questo articolo si riferisce a un componente della interfaccia utente di GeoGebra. Viste Menu Vista Algebra

Dettagli

Manuale LIM Hitachi FX77- PARTE 1

Manuale LIM Hitachi FX77- PARTE 1 Manuale LIM Hitachi FX77- PARTE 1 Sommario Che cos'è StarBoard Software?... 2 Elementi dello schermo... 2 Guida rapida all'avvio... 3 Selezione di una modalità... 5 Disegno... 6 Disegno con gli strumenti

Dettagli

Guida rapida - versione Web e Tablet

Guida rapida - versione Web e Tablet Guida rapida - versione Web e Tablet Cos è GeoGebra? Un pacchetto completo di software di matematica dinamica Dedicato all apprendimento e all insegnamento a qualsiasi livello scolastico Gestisce interattivamente

Dettagli

Quickstart. Cos è GeoGebra? Notizie in pillole

Quickstart. Cos è GeoGebra? Notizie in pillole Quickstart Cos è GeoGebra? Un software di Matematica Dinamica in un pacchetto semplice da usare Per l apprendimento e la didattica a tutti i livelli scolastici Comprende geometria, algebra, tabelle, grafici,

Dettagli

Sommario SELEZIONARE UN OGGETTO UTILIZZANDO LA BARRA DEGLI OGGETTI 10 NAVIGARE ATTRAVERSO I RECORD IN UNA TABELLA, IN UNA QUERY, IN UNA MASCHERA 12

Sommario SELEZIONARE UN OGGETTO UTILIZZANDO LA BARRA DEGLI OGGETTI 10 NAVIGARE ATTRAVERSO I RECORD IN UNA TABELLA, IN UNA QUERY, IN UNA MASCHERA 12 $FFHVV;3 A Sommario cura di Ninni Terranova Marco Alessi DETERMINARE L INPUT APPROPRIATO PER IL DATABASE 3 DETERMINARE L OUTPUT APPROPRIATO PER IL DATABASE 3 CREARE LA STRUTTURA DI UNA TABELLA 3 STABILIRE

Dettagli

Esercitazione di Termofluidodinamica Computazionale

Esercitazione di Termofluidodinamica Computazionale Ing. Mitja Morgut Prof. Enrico Nobile Università degli Studi di Trieste DINMA, Sezione di Fisica Tecnica Esercitazione di Termofluidodinamica Computazionale Utilizzo del Generatore di Mesh ANSYS-ICEM CFD

Dettagli

Introduzione al Simulink

Introduzione al Simulink Introduzione al Simulink pag. 1 L ambiente Simulink Simulink è un ambiente grafico per la simulazione di sistemi complessi Simulink è composto da una libreria di blocchi che descrivono elementi statici

Dettagli

STRUMENTI DI PRESENTAZIONE POWERPOINT 2003

STRUMENTI DI PRESENTAZIONE POWERPOINT 2003 STRUMENTI DI PRESENTAZIONE POWERPOINT 2003 INDICE 1 Strumenti di Presentazione... 4 2 Concetti generali di PowerPoint... 5 2.1 APRIRE POWERPOINT... 5 2.2 SELEZIONE DEL LAYOUT... 6 2.3 SALVARE LA PRESENTAZIONE...

Dettagli

Guida all uso del foglio elettronico Excel Lezioni ed esercizi

Guida all uso del foglio elettronico Excel Lezioni ed esercizi Lezioni di EXCEL Guida all uso del foglio elettronico Excel Lezioni ed esercizi 1 Il foglio elettronico Excel Excel è un foglio elettronico che consente di effettuare svariate operazioni nel campo matematico,

Dettagli

AutoCAD 2D. Corso di base. Roberta Virili

AutoCAD 2D. Corso di base. Roberta Virili AutoCAD 2D Corso di base Roberta Virili Introduzione C.A.D. (Computer Aided Design) Permette di disegnare con l aiuto del computer. Le più diffuse applicazioni di AutoCAD sono: disegni architettonici ;

Dettagli

Portale cartografico del Servizio Geologico, Sismico e dei Suoli Guida utente

Portale cartografico del Servizio Geologico, Sismico e dei Suoli Guida utente Portale cartografico del Servizio Geologico, Sismico e dei Suoli Guida utente 1. Introduzione Il Portale cartografico del Servizio Geologico, Sismico e dei Suoli (SGSS) rappresenta l evoluzione dell ambiente

Dettagli

www.renatopatrignani.it 1

www.renatopatrignani.it 1 APRIRE UN PROGRAMMA DI POSTA ELETTRONICA MODIFICARE IL TIPO DI VISUALIZZAZIONE LEGGERE UN CHIUDERE IL PROGRAMMA ESERCITAZIONI Outlook Express, il programma più diffuso per la gestione della posta elettronica,

Dettagli

Microsoft Paint. Per far partire il programma occorre cliccare su START \ PROGRAMMI \ ACCESSORI \ PAINT

Microsoft Paint. Per far partire il programma occorre cliccare su START \ PROGRAMMI \ ACCESSORI \ PAINT Microsoft Paint Paint è uno strumento di disegno che consente di creare disegni sia semplici che elaborati. È possibile creare disegni in bianco e nero o a colori e salvarli come file bitmap. I disegni

Dettagli

Funzioni reali di più variabili reali

Funzioni reali di più variabili reali Funzioni reali di più variabili reali Generalità. Indichiamo con R n il prodotto cartesiano di R per sé stesso, n volte: R n = {(, 2,, n ) ;! R,, n!r}. Quando n = 2 oppure n = 3 indicheremo le coordinate

Dettagli

CORSO AUTOCAD CENNI PRELIMINARI

CORSO AUTOCAD CENNI PRELIMINARI CORSO AUTOCAD CENNI PRELIMINARI Benvenuti a tutti al corso sull utilizzo di Autocad, in questa prima lezione voglio quali sono i principi base del funzionamento di Autocad. Autocad non è nient altro che

Dettagli

Strumenti e metodi per la redazione della carta del pericolo da fenomeni torrentizi

Strumenti e metodi per la redazione della carta del pericolo da fenomeni torrentizi Versione 1.0 Strumenti e metodi per la redazione della carta del pericolo da fenomeni torrentizi Corso anno 2011 D. MANUALE UTILIZZO DEL VISUALIZZATORE Il Visualizzatore è un programma che permette di

Dettagli

Manuale d uso - Pencil 0.4.3b by Pascal Naidon - 21 Luglio 2007 (da completare)

Manuale d uso - Pencil 0.4.3b by Pascal Naidon - 21 Luglio 2007 (da completare) Manuale d uso - Pencil 0.4.3b by Pascal Naidon - 21 Luglio 2007 (da completare) Traduzione di Eros Bottinelli Introduzione Un documento di Pencil è basato sui livelli. Ci sono attualmente quattro tipi

Dettagli

MICROSOFT WORD INTRODUZIONE

MICROSOFT WORD INTRODUZIONE 1 MICROSOFT WORD INTRODUZIONE Word è il programma più diffuso per elaborazione di testi, il cui scopo fondamentale è assistere l utente nelle operazioni di digitazione, revisione e formattazione di testi.

Dettagli

Quinta lezione: Stampare e salvare una mappa

Quinta lezione: Stampare e salvare una mappa Quinta lezione: Stampare e salvare una mappa Stampa e salvataggio in vari formati. Utilizzare il prodotto per inserirlo in relazioni, come base di disegni In questa lezione vedremo come creare una mappa

Dettagli

Ci sono molti vantaggi nel mettere in relazione le

Ci sono molti vantaggi nel mettere in relazione le Capitolo 4 Relazioni tra tabelle 4.1 Definizione di una relazione 4.2 Visualizzazione e modifica delle relazioni 4.3 Stampa delle relazioni Ci sono molti vantaggi nel mettere in relazione le tabelle di

Dettagli

3.3 Formattazione. Formattare un testo. Copyright 2008 Apogeo. Formattazione del carattere

3.3 Formattazione. Formattare un testo. Copyright 2008 Apogeo. Formattazione del carattere 3.3 Formattazione Formattare un testo Modificare la formattazione del carattere Cambiare il font di un testo selezionato Modificare la dimensione e il tipo di carattere Formattazione del carattere In Word,

Dettagli

I Polinomi. Michele Buizza. L'insieme dei numeri interi lo indicheremo con Z. è domenica = non vado a scuola. signica se e solo se.

I Polinomi. Michele Buizza. L'insieme dei numeri interi lo indicheremo con Z. è domenica = non vado a scuola. signica se e solo se. I Polinomi Michele Buizza 1 Insiemi In questa prima sezione ricordiamo la simbologia che useremo in questa breve dispensa. Iniziamo innanzitutto a ricordare i simboli usati per i principali insiemi numerici.

Dettagli

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni: FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,

Dettagli

Strumenti e metodi per la redazione della carta del pericolo da fenomeni torrentizi

Strumenti e metodi per la redazione della carta del pericolo da fenomeni torrentizi Versione 1.0 Strumenti e metodi per la redazione della carta del pericolo da fenomeni torrentizi Corso anno 2011 B. MANUALE DI UTILIZZO DEL GRIGLIATORE Il pre processore Grigliatore è composto da tre macro

Dettagli

Documentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab

Documentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab Documentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab Algoritmi Metodo di Gauss-Seidel con sovrarilassamento Metodo delle Secanti Metodo di Newton Studente Amelio Francesco 556/00699 Anno

Dettagli

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15 Tutorato di Analisi - AA /5 Emanuele Fabbiani 5 marzo 5 Integrali doppi. La soluzione più semplice... Come per gli integrali in una sola variabile, riconoscere eventuali simmetrie evita di sprecare tempo

Dettagli

qui possiamo scegliere se creare un nuovo Database oppure aprire un Database già esistente. Fatto ciò avremo questa seconda schermata:

qui possiamo scegliere se creare un nuovo Database oppure aprire un Database già esistente. Fatto ciò avremo questa seconda schermata: Creare un Database completo per la gestione del magazzino. Vedremo di seguito una guida pratica su come creare un Database per la gestione del magazzino e la rispettiva spiegazione analitica: Innanzitutto

Dettagli

Word è un elaboratore di testi in grado di combinare il testo con immagini, fogli di lavoro e

Word è un elaboratore di testi in grado di combinare il testo con immagini, fogli di lavoro e Word è un elaboratore di testi in grado di combinare il testo con immagini, fogli di lavoro e grafici, tutto nello stesso file di documento. Durante il lavoro testo e illustrazioni appaiono sullo schermo

Dettagli

Tutorial 3DRoom. 3DRoom

Tutorial 3DRoom. 3DRoom Il presente paragrafo tratta il rilievo di interni ed esterni eseguito con. L utilizzo del software è molto semplice ed immediato. Dopo aver fatto uno schizzo del vano si passa all inserimento delle diagonali

Dettagli

Corso di Visual Basic (Parte I)

Corso di Visual Basic (Parte I) Corso di Visual Basic (Parte I) Come muovere i primi passi con Microsoft Visual Basic, lo strumento da molti considerato ideale per la realizzazione di applicazioni di piccola e media entità in ambiente

Dettagli

GESTIONE CONTO CORRENTE BANCARIO

GESTIONE CONTO CORRENTE BANCARIO GESTIONE CONTO CORRENTE BANCARIO parte seconda LA GESTIONE DEL CONTO CORRENTE PER TUTTI manuale seconda parte pag. 1 La gestione dei movimenti Prima di caricare i movimenti, è indispensabile aprire il

Dettagli

CORSO PRATICO WinWord

CORSO PRATICO WinWord CORSO PRATICO WinWord AUTORE: Renato Avato 1. Strumenti Principali di Word Il piano di lavoro di Word comprende: La Barra del Titolo, dove sono posizionate le icone di ridimensionamento: riduci finestra

Dettagli

Microsoft Word Nozioni di base

Microsoft Word Nozioni di base Corso di Introduzione all Informatica Microsoft Word Nozioni di base Esercitatore: Fabio Palopoli SOMMARIO Esercitazione n. 1 Introduzione L interfaccia di Word Gli strumenti di Microsoft Draw La guida

Dettagli

GUIDA ALL USO DEL VISUALIZZATORE CARTOGRAFICO

GUIDA ALL USO DEL VISUALIZZATORE CARTOGRAFICO Ministero dell Ambiente e della tutela del territorio e del mare GUIDA ALL USO DEL VISUALIZZATORE CARTOGRAFICO Stato del documento Redatto Approvato Funzione Team di progetto Geoportale nazionale Responsabile

Dettagli

Guida essenziale. GeoGebra: guida rapida pag. 1 di 7 GeoGebra-guidaRapida.sxw

Guida essenziale. GeoGebra: guida rapida pag. 1 di 7 GeoGebra-guidaRapida.sxw Guida essenziale GeoGebra: guida rapida pag. 1 di 7 GeoGebra-guidaRapida.sxw Installazione Il programma GeoGebra si può scaricare liberamente dal sito dell'autore, Markus Hohenwarter: sito all'indirizzo

Dettagli

Videoscrittura con OpenOffice Writer V

Videoscrittura con OpenOffice Writer V Videoscrittura con OpenOffice Writer V Videoscrittura con OpenOffice Writer V 1. Importare fogli di calcolo o altri oggetti 2. Tabulazione 3. Realizzazione di un volantino con suddivisione in colonne 4.

Dettagli

Suite di produttività office automation

Suite di produttività office automation Suite di produttività office automation Cosa è una SUITE Una suite è una collezione di applicativi software ciascuno dei quali svolge un ruolo specifico all interno di un medesimo ambito (es: sicurezza,

Dettagli

GREASE Gis Rich Internet Application Enterprise and Services. Manuale d'uso

GREASE Gis Rich Internet Application Enterprise and Services. Manuale d'uso GREASE Gis Rich Internet Application Enterprise and Services Manuale d'uso Indice generale Visualizzatore GREASE...1 Toolbar...3 FUNZIONI DI BASE...3 Annulla selezione...4 Aggiornamento...4 Stampa...4

Dettagli

Versione aggiornata al 11.11.2014

Versione aggiornata al 11.11.2014 Word Processing Versione aggiornata al 11.11.2014 A cura di Massimiliano Del Gaizo Massimiliano Del Gaizo Pagina 1 SCHEDA (RIBBON) HOME 1. I L G R U P P O C A R AT T E R E Word ci offre la possibilità,

Dettagli

Dispensedi Word. CampusLab - Agenzia Formativa Sede Provinciadi Cuneo Sede Provinciadi Torino Sede Provinciadi Vercelli Sede Liguria C.

Dispensedi Word. CampusLab - Agenzia Formativa Sede Provinciadi Cuneo Sede Provinciadi Torino Sede Provinciadi Vercelli Sede Liguria C. Accreditamento Regione Piemonte Sede operativa di formazione professionale Organismo: certificato nr. 098/001 ER 0988/2003 ES-0988/2003 ISO 9001:2000 Dispensedi Word CampusLab - Agenzia Formativa Sede

Dettagli

Il software libero nella didattica

Il software libero nella didattica Il software libero nella didattica Software libero per la Matematica JFractionLab, KBruch, Kig, KAlgebra, KmPlot, Lybniz, Geogebra, OpenEuclide, DrGeo, CaRMetal LibreOffice/OpenOffice al posto di Microsoft

Dettagli

S.C.S. - survey CAD system Tel. 045 / 7971883. Il menu file contiene tutti i comandi predisposti per:

S.C.S. - survey CAD system Tel. 045 / 7971883. Il menu file contiene tutti i comandi predisposti per: 1 - File Il menu file contiene tutti i comandi predisposti per: - l apertura e salvataggio di disegni nuovi e esistenti; - al collegamento con altri programmi, in particolare AutoCAD; - le opzioni di importazione

Dettagli

SoftWare DMGraphics. Indice. Manuale d uso. 1) Introduzione. 2) Pagine grafiche. 3) Grafici. 4) Menù

SoftWare DMGraphics. Indice. Manuale d uso. 1) Introduzione. 2) Pagine grafiche. 3) Grafici. 4) Menù SoftWare DMGraphics Manuale d uso Indice 1) Introduzione 2) Pagine grafiche. 2.1) Pagina grafica 2.2) Concetti generali 2.3) Scale dei valori 2.4) Posizionamento elementi nel grafico 3) Grafici 3.1) Grafici

Dettagli

Laboratorio CAD - Supporto didattico n. 5 - Giuseppe Modica - A.A. 2010-2011. AutoCAD. Laboratorio CAD. A.A. 2010-2011 docente: Giuseppe 1 Modica

Laboratorio CAD - Supporto didattico n. 5 - Giuseppe Modica - A.A. 2010-2011. AutoCAD. Laboratorio CAD. A.A. 2010-2011 docente: Giuseppe 1 Modica AutoCAD DISEGNO e MODIFICA di OGGETTI Everyday drafting will never be the same Laboratorio CAD A.A. 2010-2011 docente: Giuseppe 1 Modica Disegno di oggetti Le proprietà degli oggetti Premessa Il materiale

Dettagli

Excel Foglio elettronico: esempio

Excel Foglio elettronico: esempio Excel Sist.Elaborazione Inf. excel 1 Foglio elettronico: esempio Sist.Elaborazione Inf. excel 2 Foglio elettronico o spreadsheet griglia o tabella di celle o caselle in cui è possibile inserire: diversi

Dettagli

FAQ per il corso di Informatica

FAQ per il corso di Informatica FAQ per il corso di Informatica Per i Corsi di Laurea in Biotecnologie e in Scienze Biologiche della Facoltà di Bioscienze e Biotecnologie Università di Modena e Reggio Emilia a.a. 2008-2009 (Prof. Sergio

Dettagli

Modulo 3. Rappresentazione di solidi mediante forntiera e strutture dati collegate.

Modulo 3. Rappresentazione di solidi mediante forntiera e strutture dati collegate. Modulo 3. Rappresentazione di solidi mediante forntiera e strutture dati collegate. Nel precedente modulo abbiamo presentato le modalità di rappresentazione di un solido mediante enumerazione o mediante

Dettagli

Solidi comunque inclinati nello spazio e i sistemi di riferimento ausiliari

Solidi comunque inclinati nello spazio e i sistemi di riferimento ausiliari Solidi comunque inclinati nello spazio e i sistemi di riferimento ausiliari Alla fine del capitolo saremo in grado di: Operare su forme tridimensionali comunque inclinate nello spazio rispetto ai piani

Dettagli

I PROGRAMMI PER L ELABORAZIONE DEL TESTO

I PROGRAMMI PER L ELABORAZIONE DEL TESTO I PROGRAMMI PER L ELABORAZIONE DEL TESTO Modulo 3 dell ECDL Quarta Parte pag. 1 di 15 CopyLeft Multazzu Salvatore I programmi per elaborazione del testo : Quarta Parte SOMMARIO Tabelle... 3 Modificare

Dettagli

GESTIONE CIMITERIALE CASI D USO. Manuale Back-Office. Alphasoft S.r.l.

GESTIONE CIMITERIALE CASI D USO. Manuale Back-Office. Alphasoft S.r.l. GESTIONE CIMITERIALE CASI D USO Manuale Back-Office Alphasoft S.r.l. CASI D USO SOFTWARE GESTIONE CIMITERI ALPHASOFT S.R.L. 1 Sommario 1 Gestione anagrafica Utente.... 3 1.1 Inserimento nuova anagrafica....

Dettagli

Per creare una nuova finestra di layout è possibile copiarne una esistente col [1] LAYOUT O SPAZIO CARTA PREMESSA

Per creare una nuova finestra di layout è possibile copiarne una esistente col [1] LAYOUT O SPAZIO CARTA PREMESSA LAYOUT O SPAZIO CARTA A partire dalla versione di AutoCAD 2000 è stato introdotto l'uso dei layout che consente di comporre un modello per la stampa. Cosa sia lo dice la parola stessa (dall'inglese: disposizione,

Dettagli

GUIDA PRATICA ALLA CONFIGURAZIONE ED

GUIDA PRATICA ALLA CONFIGURAZIONE ED GUIDA ALL UTILIZZO DI MICROSOFT EXCEL 2000 GUIDA PRATICA ALLA CONFIGURAZIONE ED ALL UTILIZZO DEL FOGLIO ELETTRONICO MICROSOFT EXCEL 2000 A CURA DI FABIO SOLARINO dott. Fabio Solarino -- Servizio web della

Dettagli

Capitolo 8 Introduzione a Draw:

Capitolo 8 Introduzione a Draw: Guida introduttiva Capitolo 8 Introduzione a Draw: lo strumento per il disegno grafico vettoriale di OpenOffice.org OpenOffice.org Copyright Il presente documento è rilasciato sotto Copyright 2005 dei

Dettagli

Breve guida ai principale comandi di Microsoft Word 2010. Corso PON " I Pitagorici Digitali"

Breve guida ai principale comandi di Microsoft Word 2010. Corso PON  I Pitagorici Digitali Breve guida ai principale comandi di Microsoft Word 2010 Corso PON " I Pitagorici Digitali" 1 In questa breve guida saranno raccolti le principale funzionalità attivabili su Word 2010 in funzione degli

Dettagli

Guida all'utilizzo di "Ambiente Italia 3D"

Guida all'utilizzo di Ambiente Italia 3D Guida all'utilizzo di "Ambiente Italia 3D" MATTM-SCC-DM0006-V01-01 Pagina 1 di 34 Sommario 1 Avvio del programma Ambiente Italia 3D 3 2 Elementi dell'interfaccia 5 2.1 Il visualizzatore 5 2.2 La barra

Dettagli

CATALOGO E-COMMERCE E NEGOZIO A GRIGLIA

CATALOGO E-COMMERCE E NEGOZIO A GRIGLIA CATALOGO E-COMMERCE E NEGOZIO A GRIGLIA In questo tutorial verrà illustrato come sfruttare la flessibilità del componente "Catalogo E-commerce" per realizzare un classico negozio a griglia, del tipo di

Dettagli

MODULO 4 FOGLIO ELETTRONICO

MODULO 4 FOGLIO ELETTRONICO MODULO 4 FOGLIO ELETTRONICO Che cos è un foglio elettronico Quando dobbiamo eseguire dei calcoli, rappresentare tabelle, fare disegni, siamo portati naturalmente a servirci di fogli a quadretti perché

Dettagli

MDM-Metrosoft - Guida al programma GearSoftMan Ver. 4.08. Guida a GearSoftMan Codice Software: 193 Ver. 4.08

MDM-Metrosoft - Guida al programma GearSoftMan Ver. 4.08. Guida a GearSoftMan Codice Software: 193 Ver. 4.08 MDM-Metrosoft - Guida al programma GearSoftMan Ver. 4.08 Guida a GearSoftMan Codice Software: 193 Ver. 4.08 MDM-Metrosoft - Guida al programma GearSoftMan Ver. 4.08 Pagina 2 di 31 INDICE 1 IMMISSIONE DATI

Dettagli

Prof.ssa Paola Vicard

Prof.ssa Paola Vicard Questa nota consiste per la maggior parte nella traduzione (con alcune integrazioni) da Descriptive statistics di J. Shalliker e C. Ricketts, 2000, University of Plymouth Consideriamo come esempio il data

Dettagli

1. DESCRIZIONE DI CIASCUN COMPONENTE

1. DESCRIZIONE DI CIASCUN COMPONENTE 1. DESCRIZIONE DI CIASCUN COMPONENTE 1.1 Stativo 1. Regolazione della messa a fuoco 2. Vite di bloccaggio 3. Anello di fissaggio 1.2 Microscopio digitale Tasto x fotografare Linea di indicazione dell ingrandimento

Dettagli

Introduzione ad Access

Introduzione ad Access Introduzione ad Access Luca Bortolussi Dipartimento di Matematica e Informatica Università degli studi di Trieste Access E un programma di gestione di database (DBMS) Access offre: un supporto transazionale

Dettagli

FINALITÁ. Il modulo 4, richiede che il candidato comprenda il concetto di. foglio elettronico e dimostri di sapere usare il programma

FINALITÁ. Il modulo 4, richiede che il candidato comprenda il concetto di. foglio elettronico e dimostri di sapere usare il programma PATENTE EUROPEA DEL COMPUTER 4.0 MODULO 4 Excel A cura di Mimmo Corrado MODULO 4 - FOGLIO ELETTRONICO 2 FINALITÁ Il modulo 4, richiede che il candidato comprenda il concetto di foglio elettronico e dimostri

Dettagli

EXCEL. Prima lezione. Per avviare Excel è possibile ricorrere a uno dei metodi seguenti:

EXCEL. Prima lezione. Per avviare Excel è possibile ricorrere a uno dei metodi seguenti: EXCEL Prima lezione Excel è un programma che trasforma il vostro computer in un foglio a quadretti, così come Word lo trasformava in un foglio a righe. In altri termini con Ecel potrete fare calcoli, tabelle,

Dettagli

Internet Posta Elettronica

Internet Posta Elettronica Progetto IUVARE Codice progetto CIP: 2007.IT.051.PO.003/II/D/F/9.2.1/0299 Corso Operatore/trice socio assistenziale MODULO "INFORMATICA DI BASE" Docente: Arch. Tommaso Campanile Internet Posta Elettronica

Dettagli

UN USO DIVERSO DEL COMANDO RACCORDA

UN USO DIVERSO DEL COMANDO RACCORDA UN USO DIVERSO DEL COMANDO RACCORDA Il comando raccorda ha anche un uso diverso da quello di smussare gli angoli di polinee o di poligoni.. Può servire per ottenere un tipo molto particolare di ESTENDI.

Dettagli

Metodi Numerici per Equazioni Ellittiche

Metodi Numerici per Equazioni Ellittiche Metodi Numerici per Equazioni Ellittiche Vediamo ora di descrivere una tecnica per la risoluzione numerica della più semplice equazione ellittica lineare, l Equazione di Laplace: u xx + u yy = 0, (x, y)

Dettagli

Corso base AutoCAD 2D-3D. Corso AA. 2013-2014 Docente : Arch. Antonella Cafiero

Corso base AutoCAD 2D-3D. Corso AA. 2013-2014 Docente : Arch. Antonella Cafiero Corso base AutoCAD 2D-3D Corso AA. 2013-2014 Docente : Arch. Antonella Cafiero 1 - Introduzione ad AutoCAD Interfaccia grafica GUI Uso della tastiera Uso del mouse Barra dei menu Menu di scelta rapida

Dettagli

APPUNTI WORD PER WINDOWS

APPUNTI WORD PER WINDOWS COBASLID Accedemia Ligustica di Belle Arti Laboratorio d informatica a.a 2005/06 prof Spaccini Gianfranco APPUNTI WORD PER WINDOWS 1. COSA È 2. NOZIONI DI BASE 2.1 COME AVVIARE WORD 2.2 LA FINESTRA DI

Dettagli

Modulo 2 - ECDL. Uso del computer e gestione dei file. Fortino Luigi

Modulo 2 - ECDL. Uso del computer e gestione dei file. Fortino Luigi 1 Modulo 2 - ECDL Uso del computer e gestione dei file 2 Chiudere la sessione di lavoro 1.Fare Clic sul pulsante START 2.Cliccare sul comando SPEGNI COMPUTER 3.Selezionare una delle opzioni STANDBY: Serve

Dettagli

GeoGebra - Guida. Manuale Ufficiale 3.2. Markus Hohenwarter e Judith Hohenwarter www.geogebra.org

GeoGebra - Guida. Manuale Ufficiale 3.2. Markus Hohenwarter e Judith Hohenwarter www.geogebra.org GeoGebra - Guida Manuale Ufficiale 3.2 Markus Hohenwarter e Judith Hohenwarter www.geogebra.org GeoGebra - Guida 3.2 Ultima modifica: 4 novembre 2009 Autori Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org Judith

Dettagli