Matlab PDE Toolbox UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA. Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Matematica Metodi Numerici per Equazioni alle Derivate Parziali Matlab PDE Toolbox Risoluzione di equazioni alle derivate parziali utilizzando Matlab Luca Cerone A.A

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3 Introduzione Questa tesina ha lo scopo di presentare l'uso di Matlab per la risoluzione numerica di equazioni alle derivate parziali lineari(da qui in avanti EDP). In particolare presenterò il PDE Toolbox, un insieme di funzioni e di utilities dedicate a questo tipo di problema. Nelle prossime pagine spiegherò quali tipi di EDP è possibile risolvere e delineerò una strategia generale per farlo. Dopodiché presenterò in dettaglio sia come sfruttare l'interfaccia graca del toolbox (G.U.I., graphic user interface), sia come eseguire le principali operazioni da linea di comando (C.L., command line), mettendo in risalto i vantaggi e i difetti dei due approcci. Nell'ultima parte applicherò quanto spiegato a due problemi specici e commenterò i risultati così ottenuti. Quanto detto in questa tesina si riferisce alla versione 7.0 di Matlab e alla versione 1.01 del PDE Toolbox. Rispetto alle versioni precedenti ci sono infatti stati dei cambiamenti che potrebbero creare dei problemi di retrocompatibilità. 1 EDP in Matlab: il solver pdepe Prima di introdurre il PDE Toolbox descrivo brevemente una funzione dedicata alle EDP che fa parte del Matlab di base, utile per la risoluzione di sistemi di EDP, in una variabile spaziale e tempo, di tipo ellittico e parabolico. La funzione (che in gergo viene detta solver) in grado di risolvere questi problemi si chiama pdepe: permette di approssimare numericamente la soluzione di sistemi di EDP del tipo c(x, t, u, u x ) u t = x m x (xm f(x, t, u, u x )) + s(x, t, u, u x ) (1.1) trasformandoli in sistemi di equazioni dierenziali ordinarie che risolve poi con il solver ode15 (per informazioni su ode15 si rimanda all'help in linea di Matlab). 1

4 L'equazione (1.1) si suppone valida per t 0 t t f e a x b, con a, b, t 0, t f R. Il termine f(x, t, u, u x ) è un termine di usso, mentre invece s(x, t, u, u x ) è una sorgente. c è una matrice diagonale che rappresenta il modo di interagire delle equazioni del sistema. Gli elementi sulla diagonale possono essere identicamente nulli oppure positivi, ma ce ne deve essere almeno uno positivo: il caso di una singola equazione ellittica non è infatti contemplato dal solver pdepe. Sono permesse discontinuità (di prima specie) delle funzioni c ed s, a patto però che la griglia contenga i punti di discontinuità. m deve essere uguale a 0 se il problema non presenta simmetrie, a 1 se presenta simmetria cilindrica, oppure a 2 se presenta simmetria radiale. Si suppone inoltre che la soluzione u dell'edp soddis la condizione iniziale u(x, t 0 ) = u 0 (x) (1.2) e che negli estremi, soddis le seguenti condizioni al bordo per ogni valore di t: p(a, t, u) + q(a, t)f(a, t, u, u x ) = 0 (1.3) p(b, t, u) + q(b, t)f(a, t, u, u x ) = 0 (1.4) q(x, t) è una matrice diagonale con elementi che sono o identicamente nulli, o sempre diversi da zero. Una volta riscritta la propria EDP nella forma prevista, la si può risolvere numericamente usando il seguente comando: sol=pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan) Il signicato dei parametri da passare alla funzione pdepe è il seguente: - m è il termine che compare in (1.1) e che rappresenta il tipo di simmetria del problema; - pdefun è una funzione denita dall'utente e che, ricevuti in input x, t, u, u x, genera c, f e s. È cioè una funzione del tipo 2

5 [c,f,s]=pdefun(x,t,u,dudx) con x e t scalari ed u e dudx vettori che approssimano la soluzione e la derivata parziale, c deve essere un vettore che contiene gli elementi della diagonale della matrice c, f ed s devono essere vettori; - icfun deve essere una funzione che calcola le condizioni iniziali, deve avere la forma u=icfun(x); - bcfun è una funzione che calcola i termini p e q in (1.3) e in (1.4). Ha la forma [pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,ul,xr,ur,t) ul è la soluzione che approssima u in xl= a, ur è la soluzione che approssima u in xr=b. pl e ql sono vettori colonna che corrispondono a p e agli elementi della diagonale di q in a. Analogamente pr e qr corrispondono ai valori di p e della diagonale di q in b; - xmesh è il vettore che contiene i nodi della griglia di [a, b] (il solver richiede che xmesh contenga almeno 3 valori); - tspan è il vettore che contiene i valori degli istanti temporali in cui si vuole conoscere la soluzione. La variabile sol così ottenuta sarà una matrice tridimensionale, dove il generico elemento sol(i, j, k) approssima la k ma componente della soluzione u, all'istante tspan(i) e nel nodo xmesh(j). A titolo di esempio, supponiamo di voler risolvere la seguente EDP parabolica scalare: u t 2 u x 2 = x u(x, 0) = sin(x) u(0, t) = u(2π, t) = 0 3 (1.5)

6 con x (0, 2π) e per t = 0,..., 1. La prima cosa da fare è riscrivere l'equazione nella forma (1.1) e individuare il valore dei coecienti. Nel nostro caso possiamo riscrivere l'edp come 1 u t = 2 u x 2 + x da cui deduciamo che m = 0, c = 1, f = u x e s = x. Analogamente guardando alla forma (1.2) e (1.3), (1.4) delle condizioni iniziali e al bordo rispettivamente, possiamo dedurre che u 0 (x) = sin(x), p(a, t, u) = u = p(b, t, u) = u e inoltre q(a, t, u) = 0 = q(b, t, u). A questo punto si possono scrivere le funzioni da passare come argomenti al solver per la risoluzione numerica dell'equazione. Qui di seguito è riportato il listato del codice da implementare in Matlab per calcolare la soluzione, visualizzarne il prolo al variare del tempo e generare un lmato che mostra l'andamento della soluzione nel tempo. function sol=senzapdetool %generazione dei nodi su x e t. m = 0; x = linspace(0,2*pi,30); t = linspace(0,1,10); sol = pdepe(m,@pdefun,@initcon,@boundcon,x,t); u = sol(:,:,1); surf(x,t,u) %profilo della soluzione al variare del tempo figure plot(x,u(end,:)) %grafico della soluzione per t=1 % %le prossime istruzioni servono a generare un filmato che %mostra l'andamento della soluzione nel tempo umax=max(max(sol)); umin=min(min(sol)); [n,m]=size(sol); 4

7 newplot Mpdepe=moviein(n); for i=1:n plot(x,u(i,:)) axis([0 2*pi umin umax]); caxis([umin umax]); Mpdepe(:,i)=getframe; end % % funzione che definisce i valori di c,f ed s function [c,f,s] = pdefun(x,t,u,dudx) c = 1; f = DuDx; s = x; % %funzione che definisce la condizione iniziale function u0 = initcon(x) u0 = sin(x); % %funzione che definisce le condizioni al bordo function [pl,ql,pr,qr] = boundcon(xl,ul,xr,ur,t) pl = ul; ql = 0; pr = ur; qr = 0; Dovrebbe essere chiaro a questo punto che la risoluzione di una EDP utilizzando il solver di base risulta un po' dicoltosa e inoltre, pur essendo adatta in molte situazioni, non permette di risolvere EDP denite su un dominio bidimensionale, né tantomeno di risolvere EDP ellittiche o iperboliche. Come vedremo nelle prossime sezioni, il PDE Toolbox permette innanzitutto di risolvere problemi più complessi e, nella stragrande maggioranza dei casi, in maniera estremamente semplice tramite GUI. 2 Il PDE Toolbox Il PDE Toolbox estende le capacità del solver di base pdepe, permettendo di risolvere EDP e sistemi di EDP ellittiche, paraboliche e iperboliche, denite 5

8 su un dominio limitato Ω R 2 (con condizioni di Dirichlét, condizioni di Neumann e condizioni miste), problemi agli autovalori e anche una classe di equazioni non lineari. In queste pagine mi occuperò principalmente dei tre tipi di EDP lineari seguenti: equazioni ellittiche (c u) + au = f (2.1) equazioni paraboliche equazioni iperboliche d u t (c u) + au = f (2.2) d 2 u (c u) + au = f (2.3) t2 Le equazioni (2.1), (2.2) e (2.3), possono essere viste anche come una notazione compatta per sistemi di EDP rispettivamente ellttici, parabolici o iperbolici. Il Matlab è in gradi di risolvere sistemi che si presentino in forma (2.1), (2.2) e (2.3), anche se non sono, matematicamente parlando, eettivamente del tipo indicato. Da qui in avanti, mi riferirò esclusivamente al caso di EDP scalari e non di sistemi. Nell'equazione (2.1) c, a, f e u sono funzioni a valori complessi denite su Ω. In (2.2) e (2.3) c, a, f, d, sono funzioni a valori complessi che possono eventualmente dipendere anche da t, mentre u è una funzione a valori complessi. Dopo queste informazioni preliminari non rimane che vedere come usare eettivamente il PDE Toolbox per la risoluzione di un problema. 3 L'interfaccia graca: un primo semplice problema Il modo più semplice per risolvere una EDP usando il Toolbox è senza dubbio usare l'interfaccia graca. Dopo aver caricato la GUI tramite il comando pdetool, ci si troverà davanti a una schermata che si presenta come mostrato in gura

9 Figura 3.1: Come si presenta la GUI del PDE Toolbox Per illustrare le funzioni disponibili è conveniente supporre di voler risolvere un problema, ad esempio la seguente equazione ellittica con condizioni al bordo di Dirichlet: u = 1 in Ω (3.1) u = 0 su δω dove Ω R 2 è la sfera di centro l'origine e raggio 1. La prima cosa da fare è disegnare il dominio Ω. Per fare ciò è suciente premere l'icona rappresentante l'ellisse con la croce al centro (vedi gura 3.2), dopodiché si posiziona il cursore sull'origine e, tenendo il tasto destro del mouse, lo si trascina no ad aver ottenuto una circonferenza del raggio desiderato. Il cerchio così ottenuto apparirà con l'interno colorato in grigio, e sarà contrassegnato dall'etichetta C1. Per essere sicuri di aver disegnato proprio il dominio desiderato, si può cliccare due volte sul cerchio e inserire i 7

10 Figura 3.2: Barra degli strumenti del PDE Toolbox dati giusti (coordinate del cerchio e lunghezza del raggio) tramite l'interfaccia che compare. Dopo aver disegnato il dominio si devono specicare le condizioni al bordo. Cliccando sull'icona δω, nell'area di lavoro verrà mostrato il bordo di C1 come composto da 4 archi. Tale rappresentazione del bordo è molto comoda qualora si vogliano imporre condizioni al bordo miste, permettendo di specicare per ogni arco il tipo di condizione desiderata: cliccando due volte su un arco si apre, infatti, un menù che permette di scegliere le condizioni relative a quell'arco. Ciò mette in luce da un lato la semplicità di utilizzo per risolvere problemi con condizioni miste, dall'altro il limite di dover imporre condizioni al bordo solamente su archi pressati. Per ovviare a questo inconveniente si dovrà agire da linea di comando, come spiegherò più avanti. In ogni caso, nel problema che stiamo risolvendo, le condizioni sono dello stesso tipo su tutti gli archi ed è conveniente inserirle tutte in una volta nel modo che segue: aprire il menù di scelta Boundary dunque selezionare Specify Boundary Conditions, e dunque il tipo di condizione che si vuole imporre: nel nostro caso Dirichlet di parametri h = 1 ed r = 0. Dopo aver specicato il dominio e le condizioni al bordo è necessario indicare che tipo di EDP si sta risolvendo e con che parametri. Si clicca dunque sull'icona PDE e si sceglie elliptic con coecienti c = 1, a = 0, f = 1. A questo punto è suciente creare la griglia cliccando sull'icona col triangolo, eventualmente ranarla cliccando sull'icona con più triangolini uno dentro l'altro, e risolvere l'edp cliccando sull'icona con l'uguale. Di default apparirà una rappresentazione bidimensionale della soluzione. Se si vuole il graco 3d basta premere il bottone con la supercie, selezionare la 8

11 Figura 3.3: Come appare il Boundary Mode casella Height (3d plot) e quindi fare clic su plot. Abbiamo sin qui delineato le linee guida da seguire nell'arontare una EDP con Matlab, usando perlopiù impostazioni di default. Il Matlab, però, permette di scegliere molti parametri che possono portare a una più eciente risoluzione dei problemi, sia in termini di tempo, che della precisione ottenuta, come mostrerò nella prossima sezione. 4 GUI impostazioni generiche Ho n qui mostrato come risolvere una semplice EDP, adesso approfondirò le caratteristiche della GUI per risolvere problemi un po' più complessi e avere un maggior controllo dei parametri in gioco. Innanzitutto vediamo le opzioni che sono comuni per i tre tipi di EDP (2.1), (2.2), (2.3). 9

12 Iniziamo dalla creazione del dominio, nel caso precedente Ω era un oggetto estremamente semplice, ma si possono denire domini più complessi ottenuti dall'unione e intersezione di poligoni ed ellissi. Per un dominio che non si possa decomporre in questa maniera sarà necessario denire delle funzioni che lo descrivono e agire da linea di comandi come mostrerò in seguito. Innanzitutto si procede col disegnare le gure di base che compongono il dominio, ad esempio un'ellisse, un triangolo e un rettangolo. Per disegnare un'ellisse generica si clicca su una delle due icone che rappresenta un'ellisse (con o senza croce a seconda che la si voglia tracciare a partire dal centro o delineando i semiassi) e si trascina il cursore nell'area dedicata alla graca. Si può notare la dierenza col caso precedente in cui si voleva disegnare un cerchio: usando il tasto destro del mouse si garantisce che i semiassi siano uguali, il tasto destro garantisce anche che i lati di un rettangolo siano uguali e permette quindi disegnare dei quadrati. Clicchiamo poi sull'icona col rettangolo per tracciare il rettangolo e sull'icona con il poligono per disegnare i tre lati del triangolo (questo pulsante permette inoltre di creare poligoni generici). I tre oggetti sono contrassegnati dalle etichette E1,R1,P1 rispettivamente, e di default il Matlab considera l'unione di questi oggetti come dominio Ω. Suppongo però, che Ω sia dato dall'unione dell'ellisse e del rettangolo alla quale viene tolto il triangolo. Per specicare questo dominio è semplice: in alto, subito sotto la barra degli strumenti, c'è infatti una barra che contiene la cosiddetta SET FORMULA, che indica quale tipo di operazione insiemistica si deve fare con gli oggetti disegnati. Subito dopo il disegno la formula sarà E1 + R1 + P 1 che rappresenta l'unione dei tre oggetti. E' suciente modicare la formula in (E1 + R1) P 1 per ottenere il dominio desiderato (vedi gura 4.1). In generale, le parentesi servono a gestire la precedenza delle operazioni 10

13 Figura 4.1: Composizione di un dominio 11

14 da svolgere sugli insiemi, il + indica l'unione di insiemi, l' l'intersezione e il che l'insieme va tolto da ciò che lo precede. In questo modo si possono creare insiemi anche abbastanza complessi con uno sforzo relativamente modesto. Per quanto riguarda la creazione di un dominio l'unica cosa che resta da dire è che gli elementi che compongono il dominio possono essere ruotati. Per farlo bisogna prima selezionare l'elemento che si desidera ruotare, dopodiché nel menù Draw si sceglie Rotate. A questo punto bisogna scegliere l'angolo di rotazione in gradi (ricordando che un numero positivo indica una rotazione antioraria e un numero negativo una rotazione oraria) e le coordinate del punto che fa da centro della rotazione (di default è il centro di massa dell'oggetto). Analizziamo ora i menù restanti. Sul menù File c'è poco da dire, permette di iniziare una nuova sessione di lavoro, caricarne una, salvarla, salvarla con un nuovo nome, e stamparla. Il menù Edit si attiva solamente quando si stanno disegnando gli oggetti che compongono il dominio, o si stanno modicando le impostazioni del bordo. Ecco il signicato delle opzioni nell'ordine: Undo quando si sta disegnando un poligono, permette di cancellare l'ultimo segmento disegnato; Cut rimuove gli oggetti disegnati ma li conserva in memoria per poterli incollare nella posizione desiderata con Paste; Copy copia gli oggetti in memoria per poterli incollare nella posizione desiderata con Paste, e lascia l'originale dove si trova; Paste incolla gli oggetti in memoria nella posizione desiderata; Clear cancella tutti gli oggetti selezionati; Select All seleziona tutti gli oggetti disegnati. Il menù Options permette di scegliere delle impostazioni utili: Grid visualizza una griglia nell'area di disegno; Grid Spacing permette di scegliere quanto deve essere tta la griglia; 12

15 Snap se questa opzione è selezionata, quando si prova a disegnare un oggetto questo è costretto ad aderire alla griglia (ad esempio i centri delle circonferenze verrano poste sul nodo più vicino, e lo stesso per i vertici di rettangoli e poligoni); Axis Limits permette di selezionare la lunghezza dell'intervallo della x e della y; Axis Equal impone la stessa scala sugli assi x e y; Turn o Toolbar Help disabilita il messaggio di aiuto che compare soermandosi col mouse sulle icone; Zoom permette di ingrandire porzioni dell'area di disegno; Application è l'opzione più interessante: andando con il cursore su Application si apre un menù a tendina che permette di scegliere la modalità desiderata. Quella predenita è Generic Equation, generica EDP, ma ve ne sono molte altre per i generici sistemi di EDP e per le principali applicazioni delle EDP ai problemi della sica e della meccanica. In sostanza, i parametri da inserire negli altri menù non saranno più quelli delle formule (2.1), (2.2), (2.3), ma saranno legati alla forma standard dell'equazione per lo specico problema considerato. Ad esempio per l'equazione stazionaria del calore (Heath Equation), la forma standard dell'edp con condizioni al bordo di Dirichlet è: (k T ) = Q + h (T ext T ) in Ω T = T bound su δω (4.1) dove T è la temperatura, k è il coeciente di conduzione, Q rappresenta la sorgente di calore, h è il coeciente di conduzione per convezione, T ext è la temperatura esterna, T bound è la funzione della temperatura T sul bordo. L'equazione in questione è un'equazione ellittica, ma in questo caso anziché i coecienti visti in precedenza, si dovranno inserire i valori di k, Q, h, T ext, e T bound. La trattazione dettagliata di tutte le modalità per le applicazioni esula dallo scopo di questa tesina, ma informazioni approfondite possono 13

16 essere trovate nell'help in linea di Matlab; Refresh aggiorna e ridisegna tutti gli oggetti graci. I menù che restano sono quelli che maggiormente ci interessano dal punto di vista matematico. Tuttavia le schermate potrebbero variare a seconda del tipo di problema che si aronta, pertanto per spiegarli converrà fare riferimento a problemi specici. 5 GUI impostazioni avanzate per EDP ellittiche Torniamo a considerare l'equazione (3.1) di pagina 7. Abbiamo già visto come risolverla usando le impostazioni di base, vediamo ora qualche opzione più avanzata. Dopo aver disegnato il cerchio unitario, aver settato le condizioni al bordo, scelto il tipo di equazione e inserito i coecienti, apriamo il menù Mesh. Abbiamo già visto gli eetti di Initialize Mesh e Rene Mesh (rispettivamente la crezione della griglia e il suo ranamento), saltiamo per il momento l'opzione Jiggle Mesh e clicchiamo su Parameters. Nella schermata che si apre è possibile impostare alcuni parametri: Maximum Edge Size permette di impostare la lunghezza massima dei lati dei triangoli che compongono la griglia; Mesh Growth Rate deve essere un numero compreso tra 1 e 2, indica la velocità di crescita della griglia, e dà un'indicazione della dierenza di dimensione tra i più piccoli triangoli che compongono la griglia e i più grandi; Jiggle Mode selezionando questa opzione si abilita la funzione di jiggling (da jiggle, scuotere), ossia dopo aver generato la griglia si cerca di far sì che i triangoli siano per quanto più possibile equilateri, in maniera da evitare problemi di malcondizionamento. A ogni triangolo della griglia viene associato un valore di qualità che dipende proprio dalla forma del triangolo. Tra le modalità di Jiggling si può scegliere, ON per eettuare questa operazione una sola volta, Optimize minimum per ripetere l'operazione no a quando 14

17 il più basso valore di qualità dei triangoli non smette di crescere, oppure no a quando non si è raggiunto il numero massimo di iterazioni che si può speci- care più in basso, Optimize mean si comporta come Optimize minimum, ma prendendo come riferimento la qualità media dei triangoli; rene methods permette di scegliere se avere una griglia per quanto più possibile uniforme (opzione regular), oppure se suddividere ad ogni ranamento solamente i lati più lunghi dei triangoli (opzione longest). Sempre dal menù Draw è possibile visualizzare gracamente la qualità dei triangoli con Display Triangle Quality (sono accettabili valori superiori a 0.6), ed eventualmente eseguire manualmente l'operazione di Jiggling cliccando su Jiggling. É inoltre possibile mostrare i numeri dei vertici dei triangoli, e il numero associato ad ogni triangolo, scegliendo Show Node Labels e Show Triangle Labels rispettivamente. Tuttavia, specie quando si lavora con una griglia composta di un numero elevato di triangoli, sconsiglio di abilitare queste opzioni perché richiedono l'uso di una notevole quantità di memoria che potrebbe rallentare in maniera drastica le operazioni da compiere. Andiamo ora ad analizzare il menù Solve. Cliccando su Solve, si lancia il solver che risolve numericamente l'equazione. I parametri utilizzati dal solver possono esere specicati cliccando su Parameters. Nel caso di equazioni ellittiche, si aprirà una nestra che prevede l'abilitazione di due opzioni: Adaptive mesh renement e Use Non Linear Solver. Di default non sono selezionate, tuttavia risultano utili in molte occasioni. Adaptive mesh mode, permette di calcolare la soluzione numerica andando a ranare la griglia solo in quei triangoli dove non si è raggiunta l'accuratezza desiderata. Se lo si seleziona si potrà decidere il numero massimo di triangoli che può essere aggiunto ad ogni ranamento della griglia (Maximum Numbers of Triangles), il numero massimo di ranamenti della griglia da eseguire (Maximum Number of renements), i criteri in base ai quali scegliere: 15

18 Worst Triangles si basa sul peggiore valore di qualità dei triangoli per selezionare i triangoli da ranare, e su una funzione nativa del PDE Tool (pdejmps,che vedremo quando parlerò di C.L.) che fornisce una stima dell'errore sui vari triangoli; il valore indicato in Worst Triangle Fraction deve essere compreso tra 0 e 1, tantò più sarà alto tanti meno triangoli necessiteranno un ranamento, tanto più sarà vicino a 0 tanti più triangoli saranno ranati; Relative Tolerance esegue il ranamento su quei triangoli per i quali l'errore relativo stimato è maggiore della tolleranza indicata nella casella Relative Tolerance; User dened function per indicare un'eventuale funzione creata dall'utente per la selezione dei triangoli; Renement Method, si può scegliere regular o longest con lo stesso signi- cato visto per i parametri del menù Mesh. Per quanto riguarda Use Non Linear Solver è necessario selezionarlo quando ci si trova di fronte a un'equazione non lineare, i parametri da denire solo la tolleranza per l'errore, una eventuale soluzione inziale da cui far cominciare partire l'algoritmo (il solver non lineare si basa sull'algoritmo di Newton che ha convergenza solo locale), il modo di approssimare lo Jacobiano della funzione (xed, usando un metodo di punto sso, lumped approssimandolo con una matrice diagonale, full calcolo completo dello Jacobiano. Le opzioni Adaptive mode e Use Non Linear Solver possono essere attivate sia indipendentemente l'una dall'altra che contemporaneamente. Dopo aver settato tutte queste impostazioni, cliccando sull'icona con l'uguale si procede alla risoluzione numerica. Restano solamente da impostare le proprietà di visualizzazione. Per fare ciò si apra il menù Plot e si clicchi su Parameters. Ecco brevemente il signi- cato dei parametri: Color permette di scegliere in base a quale valore assegnare il colore a quanto 16

19 disegnato nel graco (di default è la soluzione approssimata u); plot style serve per decidere se il colore dovrà sfumare gradatamente (interpolated shad.), o se riferirsi al valor medio della funzione su ciascun triangolo (at shad.; contour se selezionato mostra le curve di livello nel graco; arrows disegna delle frecce per indicare l'andamento del campo vettoriale, le si può scegliere di lunghezza ssa (normalized) oppure proporzionale al modulo del campo vettoriale (proportional); deformed mesh dà una rappresentazione deformata del dominio, la deformazione dipende dal modulo del gradiente; questa opzione deve essere attivata da sola ed è pensata principalmente per problemi di meccanica; Height 3d di default disegna la supercie (x, y, u(x, y)), tuttavia è possibile scegliere la grandezza che si desidera rappresentare sull'asse delle z utilizzando il menù a tendina (ad esempio u ; plot in x-y grid disegna il graco anziché sulla griglia triangolare di partenza, su una griglia rettangolare; contour plot levels indica quante curve di livello disegnare; show mesh rappresenta la griglia nel graco; colormap indica quali colori usare per la rappresentazione graca. Dopo aver congurato tutti i parametri desiderati è suciente cliccare su Plot per visualizzare i risultati nella maniera voluta. Come si sarà notato nel menù di scelta non era possibile selezionare l'opzione Animation, questo perché in una equazione ellittica la soluzione non dipende da una variabile temporale. Tale dipendenza è invece in generale presente in equazioni paraboliche e iperboliche, e per esse sarà possibile ottenere un'animazione che mostra come varia la soluzione in funzione del tempo. 17

20 6 GUI impostazioni avanzate per EDP paraboliche iperboliche In questo paragrafo mostrerò qualche impostazione specica per le equazioni paraboliche e iperboliche. Tratterò insieme i due casi in quanto sono molto simili da spiegare. Sia per il caso parabolico che per quello iperbolico, le uniche cose che dieriscono da quanto visto no ad adesso sono i menù Solve e Plot. Supponiamo di avere un'equazione parabolica. Aprendo il menù Solve e dunque Parameters, apparirà una schermata in cui sarà possibile impostare le seguenti opzioni: Time, deve essere un vettore che rappresenta gli istanti temporali per i quali si vuole calcolare la soluzione; u(t0), funzione che rappresenta la soluzione all'istante iniziale t 0, può essere una funzione di x e y, ad esempio sin(x + y); Relative Tolerance e Absolute Tolerance sono rispettivamente l'errore relativo e quello assoluto che si vuole commettere. Per un'equazione iperbolica il menù Solve si presenterà in maniera pressoché identica, salvo per il fatto che si dovrà inserire anche il valore di u (t 0 ). Sia per le equazioni paraboliche che per quelle iperboliche il menù Plot apparirà identico e, rispetto al caso ellittico ci sono due sole dierenze: si può scegliere l'istante temporale per cui si vuole disegnare il graco, e si può creare una animazione (sia 2D che 3D) dell'evolvere nel tempo della soluzione. Per scegliere il valore del tempo t per il quale si vuole disegnare la soluzione, sarà suciente aprire il menù a tendina time for plot che si trova in basso a destra e selezionare il tempo desiderato. Naturalmente si potranno scegliere tutte le opzioni a disposizione, come visto per il caso ellittico. Per generare un'animazione bidimensionale della soluzione si deve invece 18

21 selezionare Animation. Si può accedere a un menù di opzioni cliccando sul pulsante Options vicino alla casella Animation. Si potranno così impostare il numero di fotogrammi al secondo (Fps) da visualizzare e per quante volte ripetere il lmato (Number of repeats). Nel caso fosse già stato creato un lmato, sarà possibile selezionare Replay, in maniera da visualizzare quello già esistente senza crearne uno nuovo (questa opzione è molto comoda in quanto, soprattutto con griglie tte e intervalli temporali molto lunghi, la generazione di un lmato può richiedere molto tempo e risorse). Per generare una animazione tridimensionale basta selezionare Height 3d e procedere come nel caso bidimensionale. Per vedere come applicare in pratica quanto detto n qui, aronterò ora il seguente problema: 2 u t 2 u + u = 1 u = 0 su δω u(x, y, 0) = sin(x + y) u (x, y, 0) = x y (6.1) dove Ω è il dominio mostrato in gura 6.1, dato dall'unione delle due circonferenze C1 e C2 di raggio 1 e centri rispettivamente ( 0.5, 0) e (0.5, 0). Cercherò la soluzione per gli istanti t n = n, n = 0,..., 5. Dopo aver disegnato il dominio Ω, andiamo a specicare le condizioni al bordo. Clicchiamo sull'icona δω, quindi apriamo il menù Boundary e Specify Boundary Condition. Nel nostro caso sono condizioni di Dirchlét, e basterà impostare i seguenti valori h=1, r=0. Per avere una rappresentazione dei bordi più pulita clicchiamo anche, sempre dal menù Boundary su Remove all subdomain borders. Andiamo ora a specicare il tipo di EDP che si vuole risolvere. menù PDE, apriamo PDE specication, selezioniamo Hyperbolic e inseriamo i seguenti valori per i coecienti: c=1, a=1, f=1, d=1. Dal 19

22 Figura 6.1: Griglia sul dominio Ω del problema (6.1) Prima di generare la griglia e ranarla, apriamo il menù Solve e in Parameters imponiamo le condizioni iniziali: u(t0)=sin(x+y), u'(t0)=x-y. Specichiamo inoltre l'intervallo temporale, nel nostro caso basta inserire la stringa [0 : 1 : 5], nella casella Time. Per la griglia lasciamo le impostazioni predenite, generiamo la griglia cliccando sul triangolo e la raniamo cliccando sull'icona con più triangolini. Per evitare problemi di malcondizionamento dal menù Mesh eettuiamo il jiggling per due volte. Possiamo quindi cliccare sull'uguale per far calcolare la soluzione approssimata. Per impostazione predenita apparirà disegnata una rappresentazione bidimensionale della soluzione all'istante temporale t 5. Vogliamo invece visualizzare un graco tridimensionale per ciascuno degli istanti t n. Apriamo il menù Plot e quindi Parameters. Selezioniamo Height 3d e l'istante temporale per cui vogliamo visualizzare il graco (vedi gura 6.2). 20