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1 Astronomia Lezione 7/1/016 Docente: Alessandro Melchiorri Sito web per slides lezioni: oberon.roma1.infn.it:/alessandro/astro015/ Libri di testo consigliati: - An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Addison Wesley - Universe, R. Freedman, w. Kaufmann, W.H. Freeman and Company, New York

2 Perche la notte e buia?

3 Paradosso di Olbers: Se l Universo e costituito da una distesa infinita di stelle, distribuite in modo omogeneo, allora la notte non dovrebbe essere buia, ma luminosa. Soluzioni intorno al 1900: - L Universo deve essere finito. -Non vi e una distribuzione finita di stelle.

4 Universo di Friedmann 0 1 a(t1) 0 1 a(t)

5 In un simile universo in espansione i fotoni sono sottoposti ad un redshift. Quindi se misuriamo lo spettro delle galassie lontane dovremmo vederle spostate verso il rosso, come se si allontanassero da noi. a t a t0

6 Redshift z=0 z=z1 z=z z=z3 z=z3 z=0 z=z1 z=z

7 velocita Nel 199 Hubble e Humason misurano le distanze di queste galassie e trovano una relazione di proporzionalità tra la loro velocità e la distanza. Distanza

8 La legge di Hubble v=h0d 199: H0 ~500 km/sec/mpc (sbagliata di circa un fattore 10 per via del diverso tipo di cefeidi). La costante di Hubble fornisce anche una stima per l età dell universo: t0 (100 / H 0 ) 9.8 Gyrs

9 Legge di Hubble ed Universo in espansione Hubble trova che la velocità è proporzionale alla distanza: V=H0 d dove H0 è la costante di Hubble che ha dimensioni dell inverso di un tempo. In un universo in espansione la distanza tra due punti può scriversi come: d(t)=a(t) L dove a(t) e un fattore di scala che cresce con in il tempo. Se definiamo al tempo attuale a(t0)=1 allora L è la distanza tra due punti al tempo t0. Derivando rispetto al tempo troviamo: v=(da/dt)l=(da/dt)l a/a=(da/dt)d/a=h(t)d quindi si trova la legge di Hubble. Infatti se guardiamo oggetti a distanze non molto grandi, quindi con t vicino a t0 H(t)= H0.

10 La Legge di Hubble Con questi valori l età è più ragionevole: t0 (100 / 70 ) 9.8 Gyrs 14 Gyrs

11 Distanze con la legge di Hubble

12 199: H0 ~500 km/sec/mpc 001: H0 = 7 7 km/sec/mpc

13 Esempio: distanza di M87

14 Piu recentemente la survey df ha catalogato circa galassie.

15 La survey piu recente e piu completa e quella della SLOAN DIGITAL SKY SURVEY galassie Con un telescopio di.5 m nel New Mexico.

16 Equazione di Friedmann Ma come evolve il fattore di scala a(t) in funzione del tempo. Dipende da cosa e composto l universo. Dalla relatività generale si trova che il fattore di scala del modello di Friedmann deve seguire questa semplice equazione differenziale: a 8 G H 3 a Dove a destra abbiamo la densità media dell universo. Per risolverla dobbiamo conoscere come la densità scala in funzione di a(t).

17 Facciamo qualche esempio molto semplice. a 8 G H 3 a a 4 a 3 3 Radiazione a (t ) t1 / Materia (Polvere) a (t ) t / 3 Costante Cosmologica Abbiamo espansione anche con materia ordinaria! a (t ) exp t 3

18 Modello composto da sola Materia (non relativistica) 0 ρm=ρm /a 3 a 8 π G 0 3 H (t )= = ρm a =H 0 a 3 / a 3 H0 da = dt a a (t ) 0 a 1/ da=h 0 t /3 3 t /3 a(t )=( H 0 t ) =( ) t0 t =t 0 a(t 0 )=1 1 t 0= 9.8 h Gyrs 10Gyrs 3 a 8 π G 0 1/ (t =t 0 )=H 0 =( ρ m) a 3 L'Universo si espande sotto la forza della sola gravità! Esiste una relazione ben precisa tra costante di Hubble ed età dell'universo! (h 0.67)

19 Modello composto da sola Radiazione ρr=ρ0r / a4 a 8 π G 0 4 H (t )= = ρr a =H 0 a a 3 H0 da = dt a a (t ) 0 a da=h 0 t 1/ a 8πG 0 (t =t 0 )=H 0 =( ρr ) a 3 L'Universo si espande sotto la forza della sola gravità! 1/ 1 t 1/ a(t )=( H 0 t ) =( ) t0 t =t 0 a(t 0 )=1 1 1 t 0= 9.8 h Gyrs 7.3 Gyrs Esiste una relazione ben precisa tra costante di Hubble ed età dell'universo! (h 0.67)

20 ρλ=ρ 0 Λ Modello composto da sola Costante Cosmologica a 8πG 0 H (t )= = ρλ=h 0 a 3 da =H0 adt 1 / a 8πG 0 (t =t 0 )=H 0 =( ρ Λ) a 3 da / a=h 0 t a(t )=e t =t 0 a(t 0 )=1 H 0( t t 0 ) t 0 a( 0)> 0 t 0 = L'espansione dell'universo è esponenziale! In questo modello non si ha Big Bang. L'età dell'universo è infinita.

21 Nessuno di questi modelli funziona. Dobbiamo realisticamente Considerare un modello che abbia tutte e tre le componenti. Se non ci sono interazioni rilevanti tra esse su scale cosmologiche L'equazione di Friedmann per un modello composito è: a 8 πg 0 3 H (t) =( ) = (ρm /a +ρr /a 4 +ρλ) a 3 Definendo come: 3 H 0 ρc = 8πG Ωm=ρm /ρc Ωr =ρr /ρc ΩΛ =ρλ /ρc Si ha: Ω m Ωr H (t) a 1 ( ) =( ) = + 4 +ΩΛ 3 H0 a H 0 a a Le osservazioni attuali suggeriscono come valori: Ωm 0.3 ΩΛ 0.7 Ωr 10 5

22 In generale io posso pensare che la densita di energia totale sia data da una somma di queste componenti con singole ampiezze da determinare sperimentalmente: Tot M R In questo semplice modello possiamo attenderci 3 ere nella storia dell universo dominate energeticamente da Radiazione, Materia e, infine, Costante Cosmologica. Log(Densita ) Radiazione Materia Costante Cosmologica Log(a(t))

23 Un universo in evoluzione apre prospettive completamente nuove. La persona che per primo applico la fisica fondamentale all Universo in espansione puo essere considerata George Gamow: Se l Universo e in espansione quale era il suo stato primordiale?

24 Il modello di Gamow trovo pero La resistenza della Steady State Theory proposta da Hoyle, Bondi e Gold. In tale teoria la densita di materia rimane costante con il tempo. Si crea quindi una piccola quantita di materia. Non c e evoluzione. L universo e sempre rimasto uguale a se stesso.

25 Il modello del Big Bang Caldo L universo primordiale e costituito da un plasma relativistico di energia elevatissima. Infatti, per i fotoni e per le particelle relativistiche l energia e inversamente proporzionale al fattore di scala 1 E a

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27 Per calcolare l'età dell'universo in questo modello è necessario fare un semplice integrale numerico: da dt = H (a) ada t 0=c H 0 (Ωm a+ωr +Ω Λ a4 )1/ 1 0 1

28 Una stima dell eta dell universo puo essere ottenuta attraverso metodi differenti: Eta degli ammassi globulari Gli ammassi globulari sono tra gli oggetti piu antichi della nostra galassia ed una stima della loro eta permette un limite inferiore all eta dell universo. L eta dell ammasso globulare puo essere stimata attraverso modelli di evoluzione stellare e considerazioni dinamiche. Eta di clusters con bassa presenza di metalli sono stimate tra i 15 e i 17 miliardi di anni. Datazione con elementi radioattivi Due isotopi dell Uranio, il 35 e il 38 possiedono tempi di vita dell ordine dei 4.5 miliardi di anni. L U-38 decade in piombo Pb-06. Assumendo di conoscere quanto U-38 ci fosse in origine possiamo determinare un limite inferiore all eta dell universo attraverso misure di U-38 e Pb-06. Questi metodi pongono un limite inferiore sui 13 miliardi di anni.

29 t0 H 0 Misure attuali Le età attuali degli oggetti più antichi ansieme ad una costante di Hubble intorno ai 70 km/s/mpc suggeriscono un'età maggiore di almeno 1 miliardi di anni. E' necessario aggiungere una costante cosmologica per avere questa età in un modello di Friedmann.

30 Distanze e metrica di Friedmann ds = c dt +(dx +dy +dz ) ds = c dt +a(t ) ( dx + dy +dz ) ds =0 dr =c Distanza propria (comobile): 1 r (a)= a c Metrica di Friedmann Coord. Cartesiane Coord. Sferiche ds = c dt +a(t ) ( dr +r d Ω ) Per un fotone si ha: ds =0 dr =c Metrica di Minkowsky (relatività speciale) dt a (t )! coordinate comobili Non dipendono da t! dt da =c a (t ) a H (a) da' a ' H (a ' ) Distanza percorsa da un raggio di luce emesso quando il fattore di scala valeva a.

31 Relazione distanza-redshift in modello di sola materia Ωm=1 ΩΛ =0 H (a)=h 0 a 1 r (a)= a c 3/ da' a ' H (a ' ) 1 1 / 1 / 1 1/ r (a)=ch 1 = ch 1 ] a= ch 1 ] 0 a da' a' 0 [a' 0 [ 1 a a= 1 1+ z r ( z )= c H 1 0 [ 1 1 ] 1/ (1+ z ) z r ( z ) c H 0 [ 1 (1 z +oz +...)]=ch 0 z Simile alla legge di Hubble!

32 Relazione distanza-redshift in modello di sola radiazione Ωm=0 Ωr =1 ΩΛ =0 H (a)=h 0 a 1 r (a)=ch a da' =ch 1 0 [a ' ]a=ch 0 [1 a] a= 1 1+ z r ( z )=c H 1 0 [ 1 1 ] (1+ z) z 1 Simile alla r ( z ) c H [1 (1 z+ oz +...)]=ch z legge di Hubble!

33 Relazione distanza-redshift in modello di sola costante cosmologica Ωm=0 Ωr =0 ΩΛ =1 H (a)=h 0 1 r (a)=ch a 1 1 ]1=cH 0 [a 1] a a' da' =ch 1 0 [ a' a= z 1 r ( z )=c H 0 [ 1+ z 1]=cH 0 z Simile alla legge di Hubble! A piccoli redshift la distanza propria soddisfa la legge di Hubble.

34 Ma Hubble misura distanze di luminosità non proprie. Come sono legate le due? F= E 4 π (1+ z) r ( z) d L ( z)=(1+ z )r ( z )=ch La Legge di Hubble è quindi verificata ma solo a piccoli redshifts!!! Il Flusso ricevuto sarà minore per un termine (1+z) redshift dei fotoni e (1+z) per minor numero di fotoni. 1 0 z (1+ z ) 0 z 1 dz ' H (z') La distanza di luminosità di un oggetto a redshift z è la sua distanza propria moltiplicata per (1+z)! d L ( z) r ( z) ch 1 0 z z <1 Introducendo il parametro di decelerazione: La legge di Hubble si deve modificare anche per z leggermente più grandi. q 0=[ 1 a ] H 0 a t =t q 0< 0 a >0 0 q 0> 0 a <0 1 d L ( z) ch 1 z(1+ (1 q0) z +oz +...) 0

35 Seconda Equazione di Friedmann a 4 π G = (ρ+3 P) a 3 Stabilisce il rate di Espansione dell'universo. Abbiamo le seguenti equazioni di stato per le 3 componenti: Pr =ρr /3 Pm=0 PΛ= ρλ Possiamo quindi riscrivere: a = (Ω / a + Ω / a Ω Λ) m r a H 0 q 0= ( a 1 1 ) = (Ω + Ωr ΩΛ ) a H 0 t =t m 0 Se quindi ho una costante cosmologica l'universo accelera L'espansione... e a parità di redshift gli oggetti hanno distanze di luminosità maggiori! q 0< 0 a >0 Ω Λ >(Ωm / +Ω r) 1 d L ( z) ch 1 (1 q0) z +oz +...) 0 z(1+ q 0< 0 d L ( z) q 0> 0 d L ( z)

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37 Supponiamo di aver misurato la distanza di luminosità di I=1,..,n supernovae ciascuna con redshift zi e distanza: d exp L ( z i) Per ciascun redshift corrispondente ci possiamo calcolare, Assunto un valore per i parametri cosmologici, una Distanza di luminosità teorica tramite: Th L d ( z i)=ch 1 0 zi 0 dz ' H (z ') Abbiamo visto la legge di Pogson: μ=m M =5 log ( dl ) 10 pc In cosmologia di preferisce riscrivere in Mpc: μ=m M =5 log ( dl )+5 1 Mpc Dato un catalogo di SN-Ia ed un modello possiamo calcolare: th χ = i=1,.. n exp (μi (Ωm, ΩΛ, Ωr, H 0) μ i ) σμ

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41 Evidenza per una costante cosmologica!!! I modelli aperti sono esclusi.

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45 I fotoni si disaccoppiano dalla materia anni dopo il Big Bang. La distanza di questa superficie di ultimo scattering e circa 13 miliardi di anni luce.

46 La radiazione cosmica di fondo A. Penzias e R. Wilson scoprono nel 1964 un segnale nelle microonde E l eco dell universo primordiale?

47 La radiazione cosmica di fondo Scoperta (definitivamente) da Penzias e Wilson nel Premi Nobel nel Lo spettro in frequenza della CMB (misurato dal satellite COBE) e un corpo nero perfetto a T=.78 K.

48 Il satellite COBE nel 199 «prova» che la radiazione di fondo cosmico ha uno spettro di «corpo nero». E effettivamente l eco del Big Bang. Il modello dello stato stazionario e definitivamente scartato. COBE porta il premio nobel a Mather e Smoot nel 006.

49 Il premio Nobel George Smoot nella serie televisiva «The Big Bang Theory»

50 Il cielo a microonde COBE (1991) Altamente Isotropo... Anisotropia di dipolo... Impronte lasciate da strutture primordiali a redshift (z~1000)? Via Lattea (z=0)