Principio Cosmologico: L universo ha le stesse proprieta in ogni suo punto e lungo ogni direzione ovvero e omogeneo ed isotropo in senso spaziale.

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1 Principio Cosmologico: L universo ha le stesse proprieta in ogni suo punto e lungo ogni direzione ovvero e omogeneo ed isotropo in senso spaziale. Nota: l omogenerita NON implica l isotropia (campo magnetico uniforme) l isotropia NON implica l omogeneita (profilo di densita con simmetria sferica) l isotropia in ogni punto implica l omogeneita Principio Cosmologico Perfetto: lo spazio-tempo e omogeneo e isotropo Il Principio Cosmologico Perfetto implica che lo spazio tempo sia massimamente simmetrico (massimo numero di Killing vectors per descrivere invarianze traslazionali e rotazionali in tutte le coordinate). Questo principio e alla base del modello dello Steady State, in voga negli anni 60 (Burbridge ed Hoyle). Secondo tale modello le proprieta dell universo (spazialmente omogeneo ed isotropo) non dipendono dal tempo. Questo modello e stato in seguito abbandonato a causa della sua difficolta a spiegare l esistenza del fondo cosmico di microoonde. Il Principio Cosmologico implica che lo spazio sia massimamente simmetricoin senso spaziale e che le sue proprieta possano evolvere nel tempo. Esso e alla base del Modello Cosmologico Standard del Big Bang Caldo.

2 In base al principio cosmologico, dunque, e possibile suddividere lo spazio-tempo in sottovarieta a t=costante, tutte spazialmente omogenee ed isotrope. ds 2 = g µν dx µ dx ν = dt 2 + a(t)σ ij dx i dx j Il tensore metrico e sempre simmetrico. Inoltre la condizione di isotropia implica che i termini non-diagonali di σ ij siano nulli: σ ij = σ ji = 0 j i σ ϑϑ dϑ 2 + σ ϕϕ dϕ 2 = r 2 dω 2 ϕ σ rr = ϑ σ rr = 0 Isotropia In coordinate polari (r,θ,ϕ) avremo inoltre che: Isotropia Omogeneita'

3 ds 2 = (dt) 2 dl 2 = (dt) 2 σ αβ dx α dx β dr 2 ds 2 = (dt) 2 a(t) 2 (1 Kr 2 ) + r2 (dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) a(t) = fattore di espansione [l]. (r,ϑ,ϕ) = coordinate comoventi adimensionali. K = (-1,0,+1) parametro di curvatura.

4 La costante K e legata alla curvatura globale del sistema (piu prcisamente: allo scalare di Ricci). Per un sistema omogeneo ed isotropo essa e costante. Ma non necessariamente nulla. Nelle opportune unita di misura (in cui il fattore di espansione ha le dimensioni di una lunghezza e le coordinate comoventi sono a-dimensionali) K puo assumere solo tre valori: (-1,0,+1). Il caso K=0 e quello relativo ad una geometria Euclidea. Menre gli altri due casi si riferiscono a geometrie non Euclidee a curvatura positiva o negativa. Le Geometrie non-euclidee soddisfano la condizione di isotropia ed obbediscono a tutti i postulati della geometria Euclidea tranne il quinto (detto delle rette parallele) il quale implica che: La somma degli angoli interni di un triangolo e 180 gradi Una circonferenza di raggio r e lunga 2πr. In figura e mostrato il caso di una varieta 2-dimensionale Euclidea. Le proprieta geometriche del sistema possono essere ricavate da misure fatte entro il sistema stesso (in questo caso in 2-D; e.g. la somma degli angoli interni di un triangolo). Un universo Euclideo e infinito

5 Un seconda possibilita, mostrata in figura, e quella di una varieta 2-dimensionale sferica. Come per esempio la superficie terreste. Nonostante questa sia localmente piatta, e ben noto che e possibile misurarne la curvatura (=deviazione dalla piattezza) attraverso misure interne alla varieta come la misura della somma degli angoli interni di un triangolo (>180 gradi). Infatti non e stato necessario costruire satelliti per capire che la terra e sferica. Il caso 3-D puo essere compreso per analogia ma non rappresentato graficamente. Questo tipo di geometria e anche detta chiusa. Un universo con geometria sferica (chiusa) e finito ma illimitato. Continuando sullo stesso cammino un osservatore (segnale) tornerebbe nel punto da cui e partito.

6 La terza, e ultima, possibilita, mostrata in figura, e una geometria iperbolica (o aperta). In una geometria siffatta la somma degli angoli interni di un triangolo e inferiore a 180 gradi. Due rette parallele divergono e una cerchio di raggio R ha una dirconferenza maggiore di 2πR. Un universo con geometria iperbolica (aperta) e infinito e illimitato. La geometria dell universo e univocamente determinata dalvalore (o dal segno) di K. K=0 universo piatto. K<0 universo aperto. K>0 universo chiuso. La geometria dell universo (il valore di K) non cambia nel tempo.

7 Sostituendo l espressione della metrica FRW nelle equazioni di Einstein: dr 2 ds 2 = (cdt) 2 a(t) 2 (1 Kr 2 ) + r2 (dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) R ij 1 2 g R = 8πG ij c 4 e considerando il tensore energia momento per fluidi perfetti: T ij = ( p + ρc 2 )U i U j pg ij ricaviamo le equazioni di Friedmann che,in unita fisiche, hanno la forma: a = 4π Componente t-t: 3 G ρ + 3 p a Componenti x-x (elaborando): Adiabaticita dell espansione: Equazione(i) di stato: c 2 8π a 2 + Kc 2 = a 2 3 Gρ d(ρc 2 a 3 ) = pda 3 p = p(ρ) T ij

8 E possibile giustificare le equazioni di di Friedmann partendo dal caso Newtoniano. Consideriamo un sistema autogravitante con potenziale gravitazionale del tipo 1/r. Il Teorema di Gauss implica che : 1) Il campo gravitazionale esterno ad una distribuzione sfericamente simmetrica e identico a quello generato da una massa puntiforme posta al centro delle coordinate. 2) Il campo gravitazionale all interno di una crosta sferica di massa M distribuita in modo omogeneo e nullo. Consideriamo un mezzo di densita ρ uniforme ed in espansione. Scegliamo un generico centro delle coordinate ed un oggetto di massa a distanza R. Se R e tale che R >> R s = 2GM( < R) c 2 ~ GρR3 c 2 ovvero: t cross = R c << t ff ~ 1 Gρ Possiamo trascurare gli effetti relativistici

9 V = L energia potenziale gravitazionale e l energia cinetica del corpo m sono: GM( < R)m R = 4GπρR2 m 3 ; T = 1 2 mv 2 ; T + V = U = const Poiche l espansione e uniforme possiamo introdurre un set di coordinate co-moventi, x, indipendenti dal tempo e legate alle posizioni fisiche R attraverso il fattore di espansione a(t) :! R (t) = a(t) x! In queste coordinate l equazione di conservazione dell energia diventa: U = 4Gπρa2 x 2 m m a 2 x 2 ma 2 x 2 2 a a 2 = 8Gπ 3 ρ Kc 2 Kc 2 = 2U a 2 mx 2 Si noti che: L equazione di evoluzione di a NON dipende dal punto di massa m ne dalla scelta del sistema di coordinate. Al contrario di U, la costante K NON dipende dal punto di massa m scelto, ovvero e una caratteristica intrinseca del sistema considerato K non dipende dal tempo

10 a 2 = 8Gπ a 3 ρ Kc 2 a 2 La I equazione di Friedmann ha dunque come analogo Newtoniano l eq. di conservazione dell energia e descrive l evoluzione del parametro a(t). Ricordando che la densita decresce come a 3 otteniamo tre classi di soluzioni a seconda del valore di K: Caso K>0. Soluzione ellittica. Il secondo membro puo cambiare di segno (diventa negativo per grandi valori di a). Rappresenta il caso di un sistema legato e quindi un universo che prima espande e poi collassa. Caso K<0. Soluzione iperbolica. Il secondo membro e sempre positivo. La velocita di espansione e sempre positiva. Sistema non e legato. L espansione e ininterrotta. Caso K=0. Soluzione parabolica. Il secondo membro e positivo ma tende a 0 per a che tende a infinito. Sistema in espansione con velocita asintoticamente nulla. E sempre possibile riscalare a cosi che K assuma i valori +1,0,-1. Noi preferiremo utilizzare la convenzione a(t o )=1. t o = epoca attuale.

11 Per risolvere l equazione di Friedmann (a lato) e necessario conoscere ρ(a). Questa informazione la otteniamo dall equazione di continuita : a a Applichiamo la I legge della termodinamica ad un volume comovente dv de + pdv = TdS ; p = pressione E = 4π 3 a3 ρc 2 2 = 8Gπ 3 ρ Kc 2 a 2 de dt dv da = 4πa 2 dt dt a ρ + 3 a ρ + p = 0 c 2 = 4πρa 2 c 2 da dt + 4π 3 a3 dρ dt c 2 ds dt = 0 p = p(ρ) Aggiungendo infine l equazione di stato p=p( ρ ) e possibile chiudere il sistema di equazioni e risolvere l evoluzione a(t)

12 L equazione di Friedmann e quella di continuita possono essere utilizzate per esplicitare l accelerazione, attraverso una terza equazione (non indipendente) detta II equazione di Friedmann d a 2 8Gπ dt a 3 ρ + Kc 2 = 0 ; ρ + 3 a a 2 a ρ + p = 0 c 2 2 a a a a 2 8Gπ ρ 2 a Kc 2 = 0 a a 2 3 a 3 ρ + 3 a a ρ + p a = 0 a a 2 = 4πG ρ + p + Kc 2 a c 2 a 2 c 2 a a = 4πG ρ + p 3 c 2 Si noti che: 1) L accelerazione non dipende da K. E che e sempre negativa per p e ρ positive 2) Aumentando densita e pressione si rallenta l espansione dell universo. 3) Poiche p e costante non ci sono forze associate al suo gradiente.

13 Consideriamo un treno d onde di lunghezza λ e emesso al tempo t e in un punto (t e,r,θ,φ) e ricevuto in (t 0,0,0,0) con lunghezza d onda λ 0. Il fotone segue la geodetica ds 2 =0, dθ 2 =0, dφ 2 =0. cdt a(t) = dr (1 Kr (dt > 0 dr < 0) ) 1) t cdt 0 = a t e r 0 d r (1 K r 2 ) 0.5 = f (r) Analogamente per un fotone emesso a te+δte e ricevuto a to+δto 2) t 0 +δt 0 cdt = a t e +δt e r 0 d r (1 K r 2 ) 0.5 = f (r)

14 Prendendo dt=1/ν=λ/c piccolo e sottraendo le eq. 1) e 2) membro a membro si ottiene: cdt t e +δt e = t e a t 0 +δt 0 t 0 cdt a cδt e a(t e ) = cδt 0 a(t 0 ) a(t 0) a(t e ) = cδt o cδt e = ν e ν o = λ 0 λ e 1+ z Dove si e tenuto conto che cδt rappresenta la lunghezza d onda del fotone z λ o(t o,0) λ e (t e,r) λ e (t e,r) = a 0 a e 1 E il redshift cosmologico (da non confondersi con quello gravitazionale!) Esso e causato dal fatto che la luce non viaggia in uno spazio-tempo di Minkowsky. Non e un effetto Doppler poiche le coordinate comoventi degli oggetti sono fissate.

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16 ..di un evento A da un altro B e definita come la lunghezza dell intervallo (di tipo spazio) tra i due eventi misurata istantaneamente (dt=0) da una catena di osservatori disposti tra B e A. ds = dl 2 Senza perdere in generalita (omogeneita ) si ponga il punto A al centro del sistema di coordinate e il punto B lungo la direzione dθ=0, dϕ=0 (isotropia). La separazione infinitesima tra due eventi infinitamente vicini misurata a t=costante (dt=0) risulta essere: B A ds 2 = dl 2 = a(t) 2 dr 2 (1-Kr 2 )

17 integrando l elemento di linea lungo un cammino con ϕ e θ costanti. d pr (t) = r a(t)dr ʹ = a(t) f (1-Kr ʹ 2 ) 0. 5 K (r); f K (r) = 0 sin -1 (r) (K = +1) r (K = 0) sinh -1 (r) (K = -1) La distanza propria e un utile concetto ma non e un osservabile. La velocita finita della luce rende infatti impossibile effettuare misurazioni istantanee. Per tale motivo si definiscono altri tipi di distanza in modo operativo (distanza luminosita, distanza diametro angolare, distanza parallattica) a cui corrispondono delle grandezze osservabili, la cui espressione analitica e una semplice funzione della distanza propria. Localmente, ovvero nell Universo vicino, tutte le definizioni di distanza sono equivalenti (quindi d pr e localmente un osservabile).

18 La distanza propria cambia nel tempo. Come conseguenza si ha che ogni punto acquisisce una velocita radiale (detta di recessione) rispetto ad ogni altro punto (posto per convenienza al centro del sistema di coordinate). v r d pr = a a (t) f K (r) = a d H(t)d pr pr La Legge di Hubble e conseguenza diretta del Principio Cosmologico

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20 H DI o = 73.8 ± 2.4 H CMB o = 67.4 ±1.4 H Lens o = 66 ± 7 km s Mpc km s Mpc km s Mpc

21 d pr (t) = f K (r)a(t)~ra(t 0 ) 1) r t dr ʹ cdt r = 0 c(t 0 t 1 ) d 0 (1 Kr 2 ) 0.5 t 1 a(t) a(t 0 ) pr = c(t 0 t 1 ) a 2) a(t 1 ) a(t 0 ) (t 0 t 1 ) a(t a 0 ) t 0 3) a(t 1 ) = a(t ) 0 (1+ z) a(t 0)(1 z) d pr c(t 0 t 1 ) a a 1 t 0 cz cz H 0 d pr = d pr

22 Consideriamo una galassia in (t e,r,θ,φ) con luminosita L e spettro normalizzato I(λ). La radiazione e osservata in (t 0,0,0,0,). L energia emessa in dt e e data da dl = LI(λ)dλ J(ν) = λ2 c I(λ) S = 4πa(t 0 ) 2 r 2 G O

23 La radiazione osservata in (t 0,0,0,0) nell intervallo (λ 0, λ 0 +Δλ 0 ) e stata emessa in (t e,r,θ,φ) nell intervallo λ o 1+ z, λ o + Δλ 0 1+ z L energia emessa tra t e e t e +Δt e e data da δn e = λ L(Δt e ) = LI o Δλ o 1+ z 1+ z Δt e L(Δt e ) λ = LI 0 (1+ z)hc /λ o 1+ z δn e Δt 0 = δn 0 Δt 0 = Lλ o hc Δλ 0 Δt e ( 1+ z) 2 hc λ 0 Il tasso di fotoni raccolti nell intervallo di tempo (t 0,t 0 +Δt 0 ) sulla superficie S e dato da 1 (1+ z) I λ o Δt Δλ e 2 1+ z o Δt 0

24 A t 0 l energia del fotone rivelato e pari ad hc/λ 0. Il flusso relativo all intervallo Δλ 0 e quindi F(λ o )Δλ o = hc λ o δn 4πr 2 a 2 (t o ) = L 1 (1+ z) I λ o 2 1+ z Δt Δλ e 1 o Δt 0 4πr 2 a 2 (t o ) Δt e Δt 0 = 1 (1+ z) F(λ o ) = LI[λ o /(1+ z)] 4πr 2 a 2 (t o )(1+ z) 3 F(ν o ) = LJ[ν o (1+ z)] 4πr 2 a 2 (t o )(1+ z) F BOL = L BOL 4πr 2 a 2 (t o )(1+ z) 2

25 d L 2 L BOL d L = a(t o )(1+ z)r = a2 (t o ) 4πF BOL a(t) r d L = a (t o ) a (t) a(t o )r = (1+ z) d pr

26 r θ+δθ B Consideriamo 2 raggi di luce emessi O Δθ contemporaneamente a t e dai punti A e B e che raggiungono l origine delle coordinate a t 0. Scegliamo A e B in modo che abbiano coordinate spaziali (r,θ,φ) ed (r,θ+δθ,φ). r A θ d ds 2 = r 2 a 2 (t)(δθ) 2 = d 2 Δθ = d ra(t)

27 d A d Δθ = a(t)r = (1+ z) 1 a(t o )r = (1+ z) 1 d pr = (1+ z) 2 d L