Wednesday, November 30, Buchi Neri

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1 Buchi Neri

2 I concetti della relativita generale In relativita speciale: Invariante: ds 2 = c 2 d 2 =c 2 dt 2 -dx 2 -dy 2 -dz 2 d 2 : tempo proprio (tempo misurato da un osservatore solidale con il corpo in moto) Legge di moto di una particella: m d2 X dt 2 = F Nel sistema di riferimento della particella: d 2 X ds 2 =0 2

3 I concetti della relativita generale Tempo proprio in relativita generale: ds 2 = g µν x µ x ν g µν : coefficienti della metrica In relativita speciale: g µν = Problema fondamentale: in presenza di massa-energia, la metrica dello spazio - tempo e diversa in ogni punto. Quindi nel calcolare la variazione di una grandezza spostandosi da un punto A ad un punto B, e necessario considerare anche il cambio di metrica da A a B. 3

4 I concetti della relativita generale PRINCIPIO DI EQUIVALENZA: Vari enunciati: - Massa gravitazionale = massa inerziale - Le leggi della fisica sono le sesse in tutti i sistemi uniformementi accelerati - In un labatorio in caduta libera (che occupi una regione piccola dello spaziotempo) le leggi della fisica sono quelle della relativita speciale. Conseguenze generali: - La gravita non e considerata una forza esterna, ma una curvatura dello spazio tempo. (La curvatura e indotta dalla presenza di materia-energia) - Una particella libera in un campo gravitazionale si muove lungo una geodetica dello spazio-tempo curvo Conseguenza particolare : i fotoni risentono della presenza di un campo gravitazionale 4

5 I concetti della relativita generale Esempio: la derivata di un vettore spostamento, e la variazione del vettore in un intervallo infinitesimo di tempo. In altre parole, devo misurare il vettore al tempo t, misurarlo ancora al tempo t+dt, e poi calcolare la differenza. Ma al tempo t+dt il vettore si trova in un altro punto dello spazio-tempo, quindi con un altra metrica. Quale metrica uso per misurare la variazione? Soluzione: devo calcolare la variazione dopo aver riportato il vettore all istante t+dt nello stesso punto dello spazio-tempo del vettore all istante t. Nel fare questo, la misura del vettore cambiera per effetto della variazione della metrica. In pratica: Posso ottenere l equazione che descrive il moto di una particella in un campo gravitazionale dalla (banale) equazione geodetica nel sistema solidale con la particella mediante un cambio di coordinate nel sistema dell osservatore. 5

6 I concetti della relativita generale Sistema della particella: coordinate ξ µ x µ Sistema dell osservatore: coordinate d 2 ξ µ ds 2 Moltiplicando per =0= d ds ( dξµ dx ν dx ν ds dx k dξ µ dξµ d 2 x ν )= dx ν ds ξ µ dx ν x ν x k ds e usando l identita dx k dx ν = δk ν dx k ds si ottiene l EQUAZIONE GEODETICA: d 2 x k ds 2 +Γk νµ dx µ ds dx ν ds =0 Γ k νµ : coefficienti della connessione affine, o simboli di Christoffel : contengono l infomazione sulle variazioni dovute alla metrica. 6

7 I concetti della relativita generale Nota: finora abbiamo solo accennato ad un formalismo: l equazione geodetica e semplicemente un modo per fattorizzare tutta la dipendenza dalla metrica nei coefficienti di Christoffel. Passaggi fondamentali: - Calcolo tensoriale: espressione dei simboli di Christoffel in funzione dei coefficienti della metrica - Fisica : calcolo dei coefficienti della metrica in base alle equazioni del campo gravitazionale. - Calcolo delle equazioni di moto in uno spazio-tempo curvo: nei calcoli pratici si sfruttano 1) le equazioni di Eulero-Lagrange; 2) L integrale primo dell equazione geodetica 7

8 I concetti della relativita generale Lagrangiana in relativita generale: L = g µν ẋ µ ẋ ν Equazioni di Eulero-Lagrange: (in assenza di potenziali esterni) d du ( L ẋ ν ) L x µ =0 u: parametro rispetto a cui si esprime la traiettoria della particella. Per geodetiche non-nulle (cioe per particelle con massa) la scelta naturale per parametrizzare la traiettoria e il tempo proprio. Per geodetiche nulle ds=0 per definizione, edeve essere scelta un altra parametrizzazione. Integrale primo dell equazione geodetica: g µν ẋ µ ẋ ν =0 (fotoni) g µν ẋ µ ẋ ν = c 2 (particelle con massa) 8

9 Geometria di Schwarzschild Caso interessante: spazio-tempo isotropo e STATICO : 1) i coefficienti della metrica non dipendono dal tempo 2) la metrica e invariante per trasformazioni t --> -t (se e verificata solo la 1) si parla di spazio-tempo STAZIONARIO) In pratica: descrizione dello spazio-tempo all esterno di una distribuzione di massa statica con simmetria sferica Dalla richiesta di isotropia e staticita si ottiene: ds 2 = A(r)dt 2 B(r)dr 2 r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) dove i coefficienti A(r) e B(r) devono essere ricavati dalle equazioni del campo gravitazionale. 9

10 Geometria di Schwarzschild Si ha: A(r) =c 2 (1 2GM c 2 r ) 2GM B(r) = (1 c 2 r ) 1 La Metrica di Schwarzschild (1917) e quindi: g µν = c 2 (1 2µ r ) (1 2µ r ) dove µ = GM c 2 Si nota immediatamente che i coefficienti metrici divergono per r 2µ ( raggio di Schwarzschild ) 10

11 Geometria di Schwarzschild Spostamento verso il rosso (redshift) gravitazionale: consideriamo un emettitore (E) ed un ricevitore (R) fissi in un campo gravitazionale isotropo e statico, che emettono due impulsi: dr = 0; dθ = 0; dφ = 0; ds 2 = c 2 (1 2µ r )dt2 I fotoni si muovono su geodetiche nulle, per cui ds=0 e: c 2 (1 2µ r )dt2 =(1 2µ r ) 1 dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2 D altra parte, le coordinate spaziali rimangono costanti (perche E ed R sono fissi). Quindi considerando due impulsi a due istanti diversi, la differenza fra la coordinata temporale nel sistema dell emettitore e la stessa che nel sistema del ricevitore: t E = t R ds R ds E = 1 2µ/r R 1 2µ/r E 11

12 Geometria di Schwarzschild Il tempo proprio ds/c e identificabile come il periodo della radiazione emessa. Quindi la frequenza della radiazione emessa misurata dal ricevitore e minore di quella misurata dall emettitore. In generale, per ogni spazio-tempo STAZIONARIO: ν R ν E = g00 (x E ) g 00 (x R ) dove la notazione sottolinea l indipendanza della metrica dalla coordinata temporale (per l ipotesi di stazionarieta ) NOTA: Il redshift gravitazionale deriva direttamente dal principio di equivalenza: se una radiazione di lunghezza d onda e emessa dalla parete di un laboratorio che si sta spostando nella stessa direzione con moto accelerato, essa verra misurata alla parete opposta con una lunghezza d onda modificata per effetto doppler: / v/c 12

13 Geometria di Schwarzschild CALCOLO DELLE ORBITE: Equazioni di Eulero: L = c 2 d dσ L ẋ µ 1 2µ r ṫ 2 L x µ =0 1 2ν r ṙ 2 r 2 ( θ 2 + sin 2 θ) φ 2 Si ottiene: 1 2µ r ṫ = K 1 2µ r 1 r + µc2 r 2 ṫ2 1 2µ r 2 µ r 2 ṙ2 r( θ 2 + sin 2 θ φ 2 )=0 θ + 2 r ṙ θ sin θ cos θ φ 2 =0 r 2 sin 2 θ φ = h 13

14 Geometria di Schwarzschild Posso considerare orbite sul piano equatoriale e assumere = /2 1 2µ r 1 r + µc2 r 2 ṫ2 1 2µ r 1 2µ ṫ = K r 2 µ r 2 ṙ2 r φ 2 =0 r 2 φ = h Questo e il set di equazioni che definiscono le orbite. K = energia totale h = momento angolare La seconda equazione e complessa. Conviene, per semplicita di calcoli, usare al suo posto l integrale primo dell equazione geodetica 14

15 Geometria di Schwarzschild g µν ẋ µ ẋ ν = c 2 da cui: 1 2µ r ṫ = K c 2 1 2µ r ṫ 2 1 2µ r 1 ṙ 2 r 2 φ2 = c 2 r 2 φ = h Sostituendo la terza e la prima equazione nella seconda: ṙ 2 + h2 r 2 1 2GM c 2 r 2GM r = c 2 (k 2 1) Termine aggiuntivo rispetto al caso Newtoniano 15

16 Geometria di Schwarzschild Stabilita delle orbite: L equazione precedente puo essere riscritta, in analogia al caso Newtoniano, come: 1 2 dr dt 2 + V eff(r) =E Veff(r) e il potenziale efficace. Nel caso Newtoniano: V eff = GM r + h2 2r 2 In relativita generale: V eff = µc2 r + h2 2r 2 µh2 r 3 --> Facile studio di funzione 16

17 Geometria di Schwarzschild Newton GR Estremi: dv eff dr = µc2 r 2 h2 r 3 + 3µh2 r 4 =0 µc 2 r 2 h 2 r +3µh 2 =0 r = h 2µc (h ± h 2 12µ 2 c 2 ) 17

18 Geometria di Schwarzschild All ultima orbita stabile: V eff c 2 = =5.7% Una particella che parte da R>> µ e arriva all ultima orbita stabile puo irradiare fino al 5.7% della sua massa a riposo (reazioni nucleari: 0.7%) Esempio: particella che parte da r=20gm/c 2 e h=3.5 GM/c (per avere un orbita stabile servirebbe un momento angolare maggiore: esercizio 18

19 Geometria di Schwarzschild TRAIETTORIE DEI FOTONI - stesso trattamento, ma con equazione geodetica g µν ẋ µ ẋ ν = c 2 c 2 1 2µ r ṫ 2 1 2µ r 1 2µ r ṫ = K 1 ṙ 2 r 2 φ2 =0 r 2 φ = h da cui: ṙ 2 + h2 r 2 1 2GM c 2 r = c 2 k 2 19

20 Geometria di Schwarzschild Esiste un orbita circolare, a r=3µ ma e instabile. Nota: questo non vieta a un fotone di avere una traiettoria che passa da r<3µ NON circolare, purche r>2µ 20

21 Geometria di Kerr Generalizzazione: metrica STAZIONARIA assisimmetrica ds 2 = Adt 2 B(dφ ωdt) 2 Cdr 2 Ddθ 2 Risolvendo le equazioni del campo gravitazionale: ds 2 = c 2 1 2µr ρ 2 dt 2 + 4µacr sin2 θ ρ 2 dtdφ ρ2 dr2 ρ 2 dθ 2 r 2 + a 2 + 2µra2 sin 2 θ ρ 2 sin 2 θdφ 2 ρ 2 = r 2 + a 2 cos 2 θ =r 2 2µr + a 2 a: momento angolare. La metrica si riduce al caso di Schwarzschild per a-->0 21

22 Geometria di Kerr =r 2 2µr + a 2 =0 r ± = µ ± µ 2 a 2 Ci sono due orizzonti degli eventi. Nota: se a 2 > µ 2 non ci sono orizzonti. In questo caso =0 e una singolarita visibile all esterno (singolarita NUDA) Caratteristica nuova : consideriamo un fotone emesso da un punto fisso (r,, ) in direzione ±. Dunque =costante; r=costante dφ dt = g tφ g φφ ± gtφ g φφ 2 g tt g φφ - essendo un fotone: ds=0 g tt dt 2 +2g tθ dtdφ + g φφ dφ 2 =0 Due soluzioni, a seconda che il fotone si muova nella direzione di rotazione del BH o in quella contraria. 22

23 Geometria di Kerr Situazione interessante: se gtt=0 dφ dt 1 = 2g tφ g φφ ; dφ dt 2 =0 Si puo dimostrare facilmente che la prima soluzione e pari a 2 (frequenza di rotazione del BH) La seconda soluzione e sorprendente: il fotone rimane inizialmente fermo, per l effetto di trascinamento delle orbite. Dato che qualsiasi particella massiva si muove piu lentamente di un fotone, se ne deduce che sara impossibile per essa avere orbite stazionarie. Esiste cioe una ERGOSFERA, regione in cui non e possibile avere osservatori a riposo rispetto ad un sistema di riferimento all infinito. 23

24 Geometria di Kerr Dalla metrica di Kerr: g tt = c 2 r2 2µr + a 2 cos 2 θ ρ 2 g tt =0 r S = µ ± µ 2 a 2 cos 2 θ Struttura dello spazio-tempo intorno a un buco nero rotante: r- r+ Ergosfera 24

25 Geometria di Kerr Moto circolare (particelle massive e fotoni): stesso approccio del caso non rotante (piu calcoli!) ṙ 2 = c 2 (k 2 1) + 2µc2 o: 1 2ṙ2 + V eff = 1 2 c2 (k 2 1), V eff = µc2 r + a2 c 2 (k 2 1) h 2 r 2 r + h2 a 2 c 2 (k 2 1) 2r 2 Stessa struttura del potenziale efficace del caso a=0. Studio della funzione Veff: + µ(h ack)2 2µ(h ack)2 r 2 6µr 3a 2 ± µr =0 a = µ r = µ; r =9µ (orbita rotante / controrotante) 1 V eff (a = µ; r = µ) =0.43c 2 r 3 r 3 25

26 Effetti Osservabili 1) Effetto Blandford-Znajek: estrazione dell energia rotazionale del BH, tramite campi magnetici poloidali ancorati all ergosfera r 2 a 2 c L EM <B 2 φ µ µ 26

27 Effetti Osservabili 2) Emissione dalle regioni interne di un disco di accrescimento Effetti facilmente osservabili: riga di emissione. La riga di emissione piu intensa attesa dalle regioni interne del disco e la K del ferro a ~6.4 kev 27