Le Basi Fisiche della Relatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann

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1 Capitolo 5 Le Basi Fisiche della elatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann Fino ad ora ci siamo occupati di caratterizzare la geometria di un universo omogeneo ed isotropo in espansione uniforme ottenendo la metrica di obertson e Walker ds 2 dt 2 aptq2 r 2 ı dr 2 ` 2 sin `dθ2 2 ` sin 2 θdφ Adesso dobbiamo metterci la fisica ed è chiaro che, poichè il nostro universo in generale è curvo, dovremo utilizzare le equazioni della elatività Generale. La elatività Generale è presentata in altri corsi mentre qui ci limiteremo ad una rapida panoramica per poter giungere al risultato che ci interessa, ovvero l utilizzo della metrica W con le equazioni di campo di Einstein per ottenere le equazioni che regolano aptq. Il concetto di elatività riguarda le trasformazioni subite dalle leggi della Fisica a seguito di trasformazioni dinamiche, ovvero che coinvolgono il tempo, come ad esempio le trasformazioni tra sistemi di riferimento in moto l uno rispetto all altro. Particolare importanza è rivestita dal fatto che le leggi della Fisica non debbano dipendere dal sistema di riferimento: in sostanza, non si dovrebbero avere sistemi di riferimento assoluti ed il Principio Cosmologico non esprime altro che questo stesso concetto. La elatività Galileiana stabilisce l invarianza formale o covarianza delle equazioni della Meccanica Classica per trasformazioni di Galileo ovvero per trasformazioni tra sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme l uno rispetto all altro; questi sistemi di riferimento sono detti inerziali. Questa covarianza implica che con le leggi della Meccanica Classica non è possibile definire un sistema di riferimento assoluto. La covarianza per trasformazioni di Galileo non si applica alle equazioni di Maxwell per le quali potrebbe quindi esistere un sistema di riferimento assoluto, l etere. L esperimento di Michelson e Morley aveva proprio lo scopo di misurare la velocità della luce rispetto all etere. La elatività Speciale di Einstein invece stabilisce che le trasformazioni appropriate per i sistemi inerziali sono quelle di Lorentz. Le equazioni di Maxwell sono covarianti per trasformazioni di Lorentz e quindi non è più possibile definire un riferimento assoluto (l etere). Anche le equazioni della Meccanica Classica possono essere scritte in forma covariante per trasformazioni di Lorentz. Nel limite in cui v{c! 1, le trasformazioni di Lorentz si riducono alle trasformazioni di Galileo e le equazioni della Meccanica Classica ritornano alla forma covariante per trasformazioni Galileiane. Con la elatività Speciale

2 56 Le Basi Fisiche della elatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann si arriva all introduzione di un continuo quadridimensionale spazio-tempo caratterizzato da una geometria non-euclidea con metrica ds 2 dt 2 dl2 (5.1) detta metrica di Minkowski. Le trasformazioni di Lorentz, la metrica di Minkowski e la elatività Speciale in genere riguardano i sistemi di riferimento inerziali così come accadeva per la relatività Galileiana. Come è possibile trattare i riferimenti non inerziali espandendo la teoria della relatività speciale? Come tener conto delle forze apparenti che potrebbero comparire come avviene per la trattazione classica della meccanica in un sistema di riferimento inerziale? Il punto di partenza di Einstein fu l equivalenza tra la massa inerziale e la massa gravitazionale, come suggerito dall esperimento di Eötvös. In pratica Einstein partì dalla semplice considerazione che una persona in caduta libera non percepisce il proprio peso. Infatti il secondo principio della dinamica afferma che F i m i a (5.2) con m i massa inerziale, ovvero la resistenza di un corpo ad essere accelerato da una forza. La legge di gravitazione universale di Newton, applicata in un campo gravitazionale costante come quello sulla superficie della Terra, afferma invece per cui applicando il II principio si ha F g m g g (5.3) m g g m i a (5.4) Ponendosi in un riferimento in caduta libera ovvero con accelerazione a (quindi non inerziale) si ha che l accelerazione è nulla ma la forza totale contiene un contributo dovuto alle forze apparenti per cui si può scrivere m g g m i a 0 (5.5) il primo membro rappresenta la forza, il secondo membro il prodotto di massa ed accelerazione nel riferimento accelerato. Se m i m g allora a g e la forza percepita nel riferimento in caduta libera è F m g g m i a 0 (5.6) ovvero non si sente il proprio peso! Più in generale possiamo eliminare la forza di gravità passando ad un sistema di riferimento non inerziale in caduta libera in un campo gravitazionale da cui si deduce che le forze apparenti dei sistemi non inerziali e le forze gravitazionali devono avere la stessa origine. E importante notare come la gravità possa essere eliminata solo localmente ovvero nelle regioni dello spazio dove si può considerare costante. Quindi in un opportuna regione di un qualsiasi campo gravitazionale è possibile effettuare una trasformazione di coordinate che riduca le equazioni alla forma tipica di un sistema inerziale, ovvero alle equazioni della elatività Speciale. Dopo questa breve introduzione, possiamo passare a vedere quelle che sono le basi fisiche utilizzate da Einstein per la teoria della elatività Generale.

3 5.1 Esempio 1: il redshift gravitazionale Il Principio di elatività: le leggi della fisica sono covarianti per trasformazioni di coordinate (ovvero mantengono la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento). 2. Il Principio di Equivalenza: massa inerziale e gravitazionale sono uguali, m i m g, per cui in ogni punto dello spazio-tempo ed in un qualsiasi campo gravitazionale è possibile scegliere un sistema di riferimento inerziale locale tale che, in un regione piccola dello spazio, le leggi della fisica abbiano la stessa forma che in un sistema cartesiano non accelerato in assenza di gravità (ovvero la stessa forma nel caso della elatività Speciale). 3. Il Principio di Mach: le proprietà inerziali locali sono determinate dalla distribuzione di materia ed energia. Mettendo insieme (1) e (2) è chiaro che posso ottenere le leggi della fisica a partire da quelle scritte nell ambito della elatività Speciale e che devo soltanto trovare il modo di scriverle in forma covariante ovvero invariante per trasformazione di coordinate nello spazio tempo considerato che sarà caratterizzato da una metrica ds 2 g µν x µ x ν (5.7) e che sarà in generale uno spazio-tempo descritto da una geometria iemanniana. La (3) ci permette di collegare g µν alla distribuzione di materia ed energia nello spazio tempo e quindi di conoscere g µν ovvero la geometria dello spazio. Si noti come la elatività Generale sia una teoria intrinsecamente non-lineare: infatti un campo gravitazionale dovuto ad una distribuzione di massa genera una certa densità di energia locale in ogni punto dello spazio; dato che E m, questo significa che c è una certa densità di massa inerziale associata al campo gravitazionale che è a sua volta sorgente di campo gravitazionale. Questo caso del campo gravitazionale è diverso dal campo elettrico: quest ultimo genera una certa densità di energia in ogni punto dello spazio e quindi una corrispondente densità di massa. Ma la massa non genera un ulteriore carica elettrica e quindi non genera ulteriore campo elettrico. Quando Einstein ricercò la forma più generale di trasformazione tra sistemi di riferimento per metriche della forma ds 2 g µν x µ x ν (5.8) scoprì, grazie al suo amico matematico Marcel Grossman, che queste erano date dalle geometrie iemanniane il cui difetto era quello di essere non lineari. In realtà Einstein si rese subito conto che la non linearità era un vantaggio delle geometrie iemanniane perché la teoria della gravità, come abbiamo appena visto, deve essere intrinsecamente non lineare. Vediamo adesso due esempi elementari che però ci aiutano a capire come il principio di equivalenza abbia conseguenze profonde per la nostra comprensione della natura dello spazio tempo in un campo gravitazionale. 5.1 Esempio 1: il redshift gravitazionale Consideriamo un riferimento stazionario posto in un campo gravitazionale uniforme g. In base al principio di Equivalenza, questo riferimento è equivalente ad un riferimento non inerziale uniformemente accelerato con a g (figura 5.1). Ovvero, un osservatore posto all interno dell ascensore non è in grado di distinguere tramite qualsiasi tipo di misura

4 58 Le Basi Fisiche della elatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann se si trova in un sistema inerziale posto in un campo gravitazionale o se si trova in un sistema non inerziale uniformemente accelerato. ~a = ~g h ~g ~v = ~at Figura 5.1: Ascensore stazionario in un campo gravitazionale uniforme g (sinistra) e ascensore soggetto ad accelerazione uniforme a g (destra). In base al principio di equivalenza di Einstein, un osservatore posto dentro l ascensore non è in grado di capire in quale dei due casi si trovi. Consideriamo un onda elettromagnetica di frequenza ν che si propaga dal soffitto al pavimento dell ascensore e supponiamo che a sia piccola. Se h è l altezza dell ascensore, l onda e.m. impiega un tempo t h{c per giungere dal soffitto al pavimento dell ascensore. In base al principio di equivalenza i due ascensori in figura 5.1 sono perfettamente equivalenti come sistemi di riferimento. Pertanto possiamo considerare la propagazione del fotone nel caso del riferimento accelerato. Al tempo t in cui i fotoni raggiungono il pavimento, questo sarà stato accelerato a velocità quindi, poiché t h{c u at g t (5.9) u g h (5.10) c Per effetto Doppler l onda è osservata dal pavimento a frequenza maggiore di quella a cui è stata emessa dal soffitto e, al primo ordine in u{c, si ha ν 1 ν 1 ` u ν c 1 ` g h (5.11) Dal momento che g è costante e g φ, con φ potenziale gravitazionale, si può scrivere g φ h (5.12)

5 5.1 Esempio 1: il redshift gravitazionale 59 quindi ovvero ν 1 ν 1 φ h h ν 1 ν 1 φ (5.13) (5.14) Questa è la formula del redshift gravitazionale z g nel limite Newtoniano. icordando che si ottiene infime z g λ o λ e λ e ν ν1 ν (5.15) z g φ (5.16) Poichè nel nostro caso il fotone passa da soffitto a pavimento, φ ă 0 che implica z g ă 0, ovvero un blueshift. Se la luce si fosse propagata dal pavimento al soffitto avremmo ottenuto l effetto opposto ovvero un redshift. Quindi la frequenza delle onde elettromagnetiche dipende dal campo gravitazionale in cui si propagano. Un test di z g fu proposto da Eddington nel 1924: il valore di z g per le righe nello spettro di una nana bianca, Sirio B, doveva essere pari a c z g 20 km s 1. Nel 1925 Adams misurò un valore di 19 km s 1. Consideriamo adesso l espressione trovata in precedenza ν 1 ν 1 φ (5.17) ed esprimiamola in funzione dei periodi ricordando che φ{! φ T 1 T ovvero L espressione T 1 T» T 1 ` `1 φ φ T 1 T 1 ` φ (5.18) (5.19) (5.20) è la stessa della dilatazione dei tempi tra sistemi di riferimento inerziali in relatività speciale. Questa espressione deve valere esattamente per ogni intervallo temporale per cui, in generale, si deve avere dt 1 dt 1 ` φ (5.21) Assumiamo adesso che φp8q 0 e teniamo conto del fatto che φ φprq φp8q allora dt 1 2 dt 2 1 ` φprq 2 (5.22) e, poichè φprq{! 1 si ha infine dt 1 2 dt 2 1 ` 2 φprq (5.23)

6 60 Le Basi Fisiche della elatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann Se consideriamo l espressione Newtoniana per φ generato da una massa puntiforme M φprq GM r (5.24) si ottiene dt 1 2 dt GM r (5.25) e quindi, data la metrica di Minkowski ds 2 dt 1 2 1{ dl 2, possiamo scrivere ds 2 dt 2 1 2GM 1 r dl2 (5.26) I coefficienti della metrica diventano ben più complessi di quelli dello spazio tempo di Minkowski quando si tenta di considerare l effetto della gravità! Si noti come dt 1, dl sono il tempo e lo spazio misurati da un osservatore in un punto del campo gravitazionale, mentre dt è l intervallo di tempo misurato dall osservatore all infinito. 5.2 Esempio 2: la curvatura dei raggi di luce Abbiamo appena visto come il principio di equivalenza porti al cambiamento di dt nella metrica. Vediamo adesso come anche dl debba cambiare. Utilizziamo nuovamente il principio di equivalenza e sostituiamo un ascensore stazionario nel campo g con uno in un campo gravitazionale nullo ma uniformemente accelerato con a g. Consideriamo un raggio di luce che si propaga orizzontalmente una parte all altra dell ascensore. ~a = ~g 1 2 gt2 l ~g Figura 5.2: Ascensore stazionario in un campo gravitazionale uniforme g (sinistra) e ascensore soggetto ad accelerazione uniforme a g (destra). In base al principio di equivalenza di Einstein, un osservatore posto dentro l ascensore non è in grado di capire in quale dei due casi si trovi.

7 5.2 Esempio 2: la curvatura dei raggi di luce 61 Nel tempo t in cui il raggio percorre la distanza l per andare da un lato all altro, l ascensore si muove diverso l alto di un tratto l 1 2 gt2 (5.27) pertanto, nel riferimento dell ascensore il raggio di luce compie un percorso parabolico. Supponiamo di poter approssimare il percorso parabolico con un arco di circonferenza di ~a = ~g 1 2 gt2 d l 1 2 gt2 1 2 gt2 2 Figura 5.3: accelerato. Geometria della propagazione della luce nell ascensore uniformemente raggio (figura 5.3). Allora risulta d sin φ 1 2 g t2 poichè φ! 1, sin φ «φ e quindi dall equazione precedente si ottiene φ g t2 2d (5.28) Confondendo l arco con la corda,, raggio di curvatura della traiettoria è dato da Si può anche scrivere che poichè cos φ «1. Infine si ottiene 2» d2 4φ 2 d2 4 g 2 t 4 4d2 d4 g 2 t 4 (5.29) d cos φ l Ñ d «l c t (5.30) 2 c4 t 4 g 2 t 4 (5.31)

8 62 Le Basi Fisiche della elatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann ovvero c2 g (5.32) con raggio di curvatura del raggio di luce. Quanto trovato per il riferimento uniformemente accelerato è perfettamente equivalente a quello che succede nel riferimento nel campo gravitazionale uniforme. Se ne conclude che il cammino della luce dipende dall accelerazione gravitazionale locale g. Poichè questa dipende dal gradiente del potenziale gravitazionale ne consegue che il cammino dei raggi di luce dipende, a sua volta, dalla distribuzione di massa. 5.3 Alcuni concetti utili Prima di procedere oltre ed arrivare a scrivere le equazioni di Einstein che legano la metrica dello spazio tempo alla distribuzione di massa-energia, dobbiamo richiamare alcuni concetti matematico-geometrici. Se A è un vettore nello spazio tridimensionale, posso definire il quadrivettore nello spazio tempo A µ pa 0, Aq pa 0, A 1, A 2, A 3 q (5.33) con A 0 componente temporale e A 1, A 2, A 3 componenti spaziali del vettore A. Quando il quadrivettore è indicato con A µ (indice in alto) si intende rappresentato in componenti controvarianti, ovvero quelle componenti che si trasformano come il vettore spostamento differenziale per un cambio di coordinate. Se g µν è il tensore metrico si ha ds 2 g µν dx µ dx ν (5.34) dove si è usata la convenzione di Einstein, in base alla quale gli indici ripetuti rappresentano una somma: nel caso di ds 2 l espressione è equivalente a ds 2 4ÿ µ 0 ν 0 4ÿ g µν dx µ dx ν (5.35) dx µ è il quadrivettore spostamento infinitesimo. Il tensore metrico determina il modo di calcolare il prodotto scalare tra due (quadri)vettori che è quindi legato alla metrica: A B g µν A µ B ν (5.36) Il tensore metrico permette anche di ottenere le componenti covarianti di un vettore ovvero quelle che si trasformano come l operatore gradiente di funzione per un cambio di coordinate: A µ g µν A ν (5.37) quindi il tensore metrico g µν serve anche ad abbassare gli indici. Esistono anche le componenti controvarianti del tensore metrico tali che A µ g µν A ν (5.38) e ovviamente deve risultare g µν g νλ δ µ λ (5.39)

9 5.4 Le equazioni di campo di Einstein 63 con δ µ λ delta di Kronecker (δµ λ 1 se µ λ, δµ λ 0 se µ λ). In sostanza, le componenti controvarianti e covarianti del tensore metrico sono l una l inversa dell altra. Consideriamo adesso una trasformazione di coordinate x Ñ x 1 e calcoliamo lo Jacobiano non singolare della trasformazione Con una notazione più compatta si può scrivere Λ µ1 µ Bxµ1 Bx µ (5.40) Λ µ1 µ B µ x µ1 (5.41) e l operatore gradiente B µ B Bx µ (5.42) è dato in componenti covarianti. Data questa definizione di Jacobiano di una trasformazione di coordinate si può quindi dire che A µ è un quadrivettore se e solo se si trasforma come A µ1 Λ µ1 µa µ (5.43) Un tensore è un oggetto a più indici che si trasforma con una combinazione di Jacobiani in modo da trasformare ogni indice come per un quadrivettore. Pertanto un tensore è caratterizzato da M µ1 ν 1 Λ µ1 µλ ν ν 1M µ ν (5.44) Come già detto g µν è un tensore quindi, date le proprietà dei tensori, è facile verificare che ds 2 g µν dx µ dx ν (5.45) è un invariante scalare. 5.4 Le equazioni di campo di Einstein icordiamo adesso le basi su cui Einstein ha fondato la elatività Generale: 1. il Principio di elatività (covarianza delle leggi della natura per trasformazione di coordinate) 2. il Principio di Equivalenza (cancellazione locale della gravità in un sistema non inerziale) 3. il Principio di Mach (g µν dipende dalla distribuzione di massa-energia). Consideriamo una particella che si muove liberamente sotto l azione delle sole forze gravitazionali; per il principio di equivalenza deve esistere un sistema di riferimento di coordinate localmente inerziali ξ α per le quali valga d 2 ξ α dτ 2 0 (5.46) con τ tempo proprio e d 2 ξ α {dτ 2 quadriaccelerazione, che è ovviamente nulla per come abbiamo scelto il riferimento ξ α.

10 64 Le Basi Fisiche della elatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann Passiamo adesso ad un qualsiasi riferimento x µ effettuando il cambiamento di coordinate ξ α Ñ x µ dato da ξ α Λ α µ x µ Bξα Bx µ xµ (5.47) Si può facilmente dimostrare che l equazione di moto diventa d 2 x µ dτ ` dx µ dx ν 2 Γλ µν dτ dτ 0 (5.48) La soluzione di questa equazione fornisce l equazione della geodetica nel riferimento x µ. d 2 x µ {dτ 2 è la quadriaccelerazione ed il secondo termine, che deriva dal cambiamento di coordinate ξ α Ñ x µ, descrive l effetto delle forze gravitazionali, ottenute come forze non-inerziali in un sistema di riferimento non-inerziale. Γ λ µν prende il nome di connessione affine ed è data da Γ λ µν Bxλ B 2 ξ α (5.49) Bξ α Bx µ Bx ν η αβ è il tensore metrico di Minkowski nel sistema di riferimento ξ α, in cui vale la elatività Speciale per la totale assenza di forze per cui il tensore metrico g µν nello spazio di coordinate x µ è dato dalla trasformazione g µν η αβ Bξ α Bx µ Bξ β Bx ν (5.50) questa espressione permette di ottenere g µν a partire da η αβ e dalla trasformazione di coordinate. Si può infine dimostrare che la connessione affine Γ λ µν è esprimibile con i Simboli di Christoffel Γ λ µν 1 2 gλσ pb µ g σν ` B ν g σµ B σ g µν q (5.51) Adesso dobbiamo cercare una relazione tensoriale che leghi la metrica, ovvero il tensore metrico g µν e le sue derivate, alla distribuzione di materia ed energia che posso rappresentare con il tensore energia-impulso. Si può dimostrare che, a partire dal tensore metrico g µν e dalle sue derivate prime e seconde può essere costruito un solo tensore, detto Tensore di curvatura di iemann λ µνσ B ν Γ λ µσ B σ Γ λ µν ` Γ η µσγ λ ην Γ η µνγ λ ησ (5.52) Questo tensore descrive la variazione delle coordinate di un vettore V µ trasporto parallelo lungo un cammino (spostamento) infinitesimo df µk a seguito del dv ν λ µνkv λ df µk (5.53) icordiamo che un vettore ruota durante il trasporto parallelo se lo spazio è curvo. A partire dal tensore di curvatura di iemann si possono poi ritrovare per contrazione il Tensore di icci: µν λ µλν (5.54) e la Curvatura scalare µ µ g µν µν (5.55)

11 5.4 Le equazioni di campo di Einstein 65 Il tensore che descrive la geometria dello spazio tempo è quindi il Tensore di Einstein G µν µν 1 2 g µν (5.56) Adesso dobbiamo ottenere la distribuzione di massa-energia che è esprimibile tensorialmente col Tensore Energia-Impulso. Se si considera un fluido con densità ρ e pressione p (entrambe grandezze comoventi) si ha con u µ quadrivelocità. Le equazioni di Einstein sono finalmente ovvero T µν pρ ` pq u µ u ν pg µν (5.57) G µν 8πG T µν (5.58) µν 1 2 g µν 8πG T µν (5.59) Dopo aver formulato queste equazioni Einstein si rese conto che era possibile aggiungere un termine costante Λ che avrebbe poi potuto permettere l esistenza di un universo stazionario: µν 1 2 g µν 8πG T µν ` Λg µν (5.60) Si noti come in questa equazione tensoriale ci sono solo 6 equazioni indipendenti sulle 16 equazioni totali. Da 16 si passa a 10 perché i tensori metrici (e quindi tutti i derivati) sono simmetrici; inoltre 4 sono ridondanti per le proprietà di µν. Il tensore metrico ha però 10 componenti indipendenti incognite, pertanto abbiamo a disposizione solo 6 equazioni per 10 incognite. La presenza di 4 gradi di libertà incogniti porta ad una invarianza di gauge per la scelta del riferimento. Vediamo adesso di intuire come mai le equazioni hanno quella forma. E chiaro che le equazioni di Einstein nel limite Newtoniano devono fornire, tra le altre, l equazione di Poisson. Quando abbiamo ottenuto l espressione per il redshift gravitazionale nel limite Newtoniano avevamo trovato ds 2 dt 2 1 ` 2φ dl2 (5.61) per cui g 00 1 ` 2φ (5.62) φ 1 2 pg 00 1q (5.63) L equazione di Poisson è ovvero 2 φ 4πGρ (5.64) 2 φ 1 2 c2 2 g 00 (5.65)

12 66 Le Basi Fisiche della elatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann Il tensore energia impulso di un fluido comovente (cioè che non ha velocità propria rispetto all espansione dell universo) ha solo il termine T 00 0 e, nel caso di p 0, si ha ovvero sostituendo otteniamo ovvero T 00 pρ ` pqγ 2 pg 00 (5.66) ρ T 00 γ 2» T 00 per v c! 1 (5.67) 1 2 c2 2 g 00 4πG T 00 (5.68) 2 g 00 8πG c 4 T 00 (5.69) che ricorda la componente 00 delle equazioni di Einstein. In conclusione, le equazioni di campo di Einstein µν 1 2 g µν 8πG T µν ` Λg µν (5.70) sono 6 equazioni non lineari indipendenti. Il procedimento da seguire per arrivare alla loro soluzione è il seguente: 1. si sceglie una forma del tensore metrico che contenga in sé le eventuali simmetrie del sistema (si ricorda che non è possibile risolvere il problema se tutte le 10 componenti del tensore simmetrico g µν sono incognite); 2. si determina la forma del tensore energia-impulso che descrive le sorgenti del campo proprie del problema; 3. si scrivono le equazioni di Campo di Einstein ottenendo un sistema di equazioni differenziali nelle funzioni incognite presenti in g µν ; 4. la loro soluzione permette di determinare g µν da cui si ottiene la geometria dello spazio e le equazioni geodetiche che determinano il moto. 5.5 Derivazione delle equazioni di Friedmann Prima di procedere è opportuno vedere quali siano le convenzioni relative ai segni. La metrica di Minkowski è η µν rs1s diagr 1, 1, 1, 1s (5.71) con rs1s segnatura della metrica di Minkowksi che può essere pari a `1 o 1. diagr 1, 1, 1, 1s indica la matrice con i valori p 1, 1, 1, 1q sulla diagonale. Il tensore di curvatura di iemann ha segnatura rs2s tale che µ νρσ rs2s `B σ Γ µ νρ B ρ Γ µ νσ ` Γ µ λσ Γ ν λ ρ Γ µ λ ρ Γ ν λ σ (5.72) Il tensore di icci è µν rs2s rs3s α µαν (5.73)

13 5.5 Derivazione delle equazioni di Friedmann 67 per cui le equazioni di Einstein sono G µν µν 1 8πG 2 g µν rs3s T µν ` Λg µν (5.74) Fino ad ora abbiamo usato la convenzione rs1s 1 rs2s `1 rs3s `1 che porta alle equazioni di Einstein nella forma µν 1 2 g µν 8πG T µν ` Λg µν (5.75) Cominciamo adesso a esplicitare queste equazioni. Abbiamo visto come per uno spazio omogeneo ed isotropo in espansione uniforme la metrica più generale è quella di obertson e Walker ds 2 dt 2 aptq2 r 2 ı dr 2 ` 2 sin `dθ2 2 ` sin 2 θdφ Dato che ds 2 g µν dx µ dx ν, il tensore metrico scritto in forma di matrice è pertanto g µν a2 ptq a2 ptq r 2 sin a2 ptq r 2 sin 2 0 sin 2 θ Per ottenere le componenti controvarianti si può facilmente calcolare l inverso del tensore in componenti covarianti g µν pg q 1 µν c2 a 2 ptq 0 0 c2 2 a 2 ptq csc2 r c2 2 a 2 ptq csc2 r cs θ A questo punto, per prima cosa, si calcolano i Simboli di Christoffel a partire da g µν e per rappresentare il risultato si utilizza la convenzione che Γ 1 23 corrisponde a Γ µ νσ con µ 1, ν 2, σ 3 (gli indici assumono i valori 0,1,2,3). I simboli di Christoffel non nulli

14 68 Le Basi Fisiche della elatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann sono soltanto Γ 0 11 Γ 0 22 Γ 0 33 aptq9aptq 2 aptq sin 2 ` r 9aptq 2 aptq sin 2 ` r sin 2 θ 9aptq Γ aptq aptq 2r Γ sin 2r Γ sin sin 2 θ Γ 2 20 Γ 2 21 Γ 2 33 Γ 3 30 Γ 3 31 Γ aptq aptq cot ` r cos θ sin θ 9aptq aptq cot ` r cot θ Si calcola quindi il tensore di iemann e si riportano i risultati tenendo conto della stessa convenzione utilizzate per i Γ. Considerando è possibile ottenere usando l antisimmetria per lo scambio degli ultimi due indici anche se questa cosa non è evidente perché riportiamo le λ µνσ invece delle λµνσ ; gli elementi del tensore da cui si ottengono

15 5.5 Derivazione delle equazioni di Friedmann 69 tutti gli elementi non nulli sono soltanto: aptq:aptq 2 sin 2 ` r aptq:aptq 2 sin 2 ` r sin 2 θ aptq:aptq :aptq aptq sin2 ` r pc2 ` 2 9a 2 ptqq sin2 ` r sin 2 θ p ` 2 9a 2 ptqq :aptq aptq 1 2 ` 9a2 ptq sin2 ` r sin 2 θ p ` 2 9a 2 ptqq :aptq aptq 1 2 ` 9a2 ptq (5.76) ` sin2 r pc2 ` 2 9a 2 ptqq Si calcolano quindi tensore e scalare di icci dalle contrazioni successive del tensore di Curvatura di iemann. Le forme non nulle del tensore di icci sono quelle diagonali: :aptq aptq 2 2 ` 29a2 ptq ` aptq:aptq sin2 ` r p2c2 ` 2 2 9a 2 ptq ` 2 aptq:aptqq sin2 ` r sin 2 θ p2 ` 2 2 9a 2 ptq ` 2 aptq:aptqq

16 70 Le Basi Fisiche della elatività Generale e la derivazione delle Equazioni di Friedmann mentre per lo scalare di icci abbiamo 6 pc2 ` 2 9a 2 ptq ` 2 aptq:aptqq 2 a 2 ptq Questo ci permette di ottenere il tensore di Einstein G µν ovvero il primo membro delle equazioni di Einstein. G 00 3 pc2 ` 2 9a 2 ptqq 2 a 2 ptq G a2 ptq 2aptq:aptq 2 G 22 G 33 sin2 ` r pc2 ` 2 9a 2 ptq ` 2 2 aptq:aptqq sin2 ` r sin 2 θ p ` 2 9a 2 ptq ` 2 2 aptq:aptqq Andiamo adesso a determinare il secondo membro delle equazioni di Einstein. Il tensore energia-impulso è T µν pρ ` pqu µ u ν pg µν (5.77) La quadrivelocità è data da u ν γp1, u x, u y, u z q u i v i c e, se prendiamo un fluido comovente (stazionario), avremo u x u y u z 0 γ 1 u ν p1, 0, 0, 0q ovvero utilizzando l espressione per g µν trovata prima, si ottiene in componenti controvarianti ovvero» T µν pρ ` pq fi ffi ffi fl pgµν (5.78) ρ p a 2 ptq T µν p csc ` 2 r a 2 ptq p csc ` 2 r cs θ 2 a 2 ptq

17 5.5 Derivazione delle equazioni di Friedmann 71 Si noti come il secondo membro delle equazioni di Einstein in coordinate controvarianti diventi πG c T µν ` Λg µν 8πG 2 pρc2 ` pq πG pgµν ` Λg µν ovvero Λ appare come un contributo di pressione negativa. Si passa quindi a componenti covarianti del tensore Energia-Impulso T µν g µλ g νσ T λσ (5.79) ottenendo ρ pa 2 ptq T µν p 2 a 2 ptq sin ` 2 r p 2 a 2 ptq sin ` 2 r sin 2 θ Ovviamente, le componenti covarianti e controvarianti della matrice unitaria sono uguali. Come si può facilmente notare scrivendo le Equazioni di Einstein G µν 8πG T µν ` Λg µν (5.80) solo i termini diagonali sono non nulli ovvero abbiamo ottenuto quattro equazioni per aptq: 3 c2 a 2 ptq ` 2 9a2 ptq pλ ` 8πGρq 0 1 9a2 ptq 2aptq:aptq ` 1 ` 8πGp ` c Λ 2 a 2 ptq 0 2 ` c 4 sin2 r c4 ` 2 9a 2 ptq ` 2 2 aptq:aptq ` 2 p8πgp Λqa 2 ptq 0 c 4 ` sin2 r sin 2 θ c 4 ` 2 9a 2 ptq ` 2 2 aptq:aptq ` 2 p8πgp Λqa 2 ptq 0 c 4 (5.81) Dove le parentesi con G e Λ sono chiaramente il contributo del secondo membro delle Equazioni di einstein (tensore energia impulso e costante cosmologica). Le ultime due equazioni sono chiaramente equivalenti. Dalla prima si ottiene sostituendo 9aptq 2 nella seconda si ottiene invece 9a 2 ptq 8πGρ a 2 ptq c2 3 ` Λa2 ptq (5.82) 1 8πGρ a 2 ptq ` 1 Λ 2 3 a 2 ptq aptq:aptq 2 8πGp a c 4 2 ptq ` Λa 2 ptq 0 (5.83)

18 ovvero, raccogliendo, :aptq 4πG 3 ρ ` 3p aptq ` 1 Λaptq (5.84) 3 Si può verificare che sostituendo 9a 2 ptq dalla prima equazione nella terza si ritrova la seconda equazione. In conclusione abbiamo trovato solo due equazioni indipendenti: 9a 2 ptq 8πGρ a 2 ptq c2 3 :aptq 4πG 3 ρ ` 3p ` Λa2 ptq aptq ` 1 Λaptq (5.85) 3 che sono finalmente le equazioni che volevamo ottenere e che prendono il nome di Equazioni di Friedmann.