Un carattere comportamentale y è una strategia evolutivamente stabile (ESS) rispetto ad un altra strategia x se e solo se b x

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1 Un carattere comportamentale y è una strategia evolutivamente stabile (ESS) rispetto ad un altra strategia x se e solo se b x (") # b y (") < 0, che, per un " arbitrariamente piccolo, risulta quando "(y,y) > "(x,y) (2.9) o quando "(y,y) = "(x,y) e "(y,x) > "(x,x).

2 un ESS è una risposta o.ma verso se stesso (almeno debolmente, e se esso è una risposta o3ma debole verso se stesso allora l altra strategia non è una risposta o3ma a se stessa). Poiché piccole perturbazioni di p a>orno ad un ESS si auto- correggono, ogni ESS è un equilibrio di Nash simmetrico

3 Quando il mutante è una risposta o3ma debole a se stesso con π(y,x) π(x,x), allora y potrebbe essere neutralmente stabile: l invasore x non può essere eliminato ma esso non prolifererà a causa dell aggiornamento dei payoff

4 L NSS e l ESS sono raffinamenl stringenl (in modo crescente) dell equilibrio di Nash. Ogni ESS è un NSS ed ogni NSS è un equilibrio di Nash; ma naturalmente non è vero il contrario. Il conce>o opposto alla stabilità evolulva è la capacità di invasione o capacità di sopravvivenza iniziale. Se x ha capacità di sopravvivenza iniziale contro allora y non è un ESS

5 Gioco Falco- Colomba %!"#$% ()*+%!"#$% =>CD?EFG%=>CD?EF% >G%%H% ()*+% IG%>% >EFG%>EF% Il premio da dividere è indicato con v, c rappresenta il costo di perdere una lite. La probabilità che un Falco ha di vincere una compelzione con un altro Falco è 1/2. Le Colombe dividono il premio equamente e senza cosl. Se c > v, F e C non sono un ESS.

6 Gioco Falco- Colomba %!"#$% ()*+%!"#$% =>CD?EFG%=>CD?EF% >G%%H% ()*+% IG%>% >EFG%>EF% Se C > V, Falco- Falco e Colomba- Colomba non sono un ESS (non sono o.me risposte a se stessi). Controllare la diagonale pricipale

7 I membri di questa popolazione sono accoppial in modo casuale. bh(p) payoff a>esi del Falco e bd( p) payoff a>esi della Colomba la frazione di Falchi è p i payoff a>esi sono b h ( p) = p v! c 2 + ( 1! p )v ( b d ( p) = p0 + ( 1! p) v 2 (

8 i payoff a>esi sono decrescenl in p v b(h,p).5v 0 b(d,p) 0.5(v-c) 0 1 p p*

9 assumiamo che, alla fine di un periodo, ciascun membro della popolazione produca un numero di duplicab esa. (escludendo le mutazioni) uguale a φ più il payoff del gioco. Se in un periodo vi erano p Falchi nel periodo successivo vi saranno falchi pari a p( b +! ) h! Ciascun falco genera b h +! ( )! falchi

10 Normalizzando la popolazione totale all unità, possiamo scrivere la frequenza di Falchi nella popolazione dell anno successivo p = p( b +! ) h pb + ( 1! p)b +! h d! Il mutamento nella popolazione! tra due periodi è!p = p " p = p( b +! ) h { p( b +! ) + ( 1" p) ( b +! )} " p! h d

11 Definiamo il payoff medio a>eso b! e sosltuiamo nell equazione! della precedente slide!p = p " p = p b h +! Ricordando che si o3ene =pb + ( 1! p)b +! h d! ( ) b " " p { p ( b +! ) + ( 1" p) ( b +! )} h d b " ( b h! b ) d = 1 v! pc 2 ( )!! b! "p = p( 1! p) ( b! b ) = p( 1! p) 1 ( h d 2 v! pc )!

12 PunL stazionari b h p ( ) = b d p ( )! p=0 p=1

13 Ricerca di soluzioni interne b h ( p) = b ( d p)! p v! c 2 + 1! p ( )v = p0 + 1! p ( ) v 2! v! v 2 = p* (! v 2 + c 2 + v! v 2 ) " v 2 = p c 2 " p* = v c! p * è il valore di p che porta ad equilibri interni p* è un equilibrio di Nash: se la frazione di Falchi è p*, allora entrambe le strategie sono deboli risposte o3me

14 p* è un equilibrio stabile? un aumento nella prevalenza di Falchi svantaggerà i Falchi stessi (e di conseguenza indurrà una riduzione nella frequenza dei Falchi nel periodo successivo): d ( b h! b ) d dp = { d 1 2 v! pc ( )} dp =! 1 2 c! 0 $

15 Altri equilibri sono stabili? Si, p=0 e p=1 147! Ma nessuno dei due è un eq. di Nash b ( 0) > b ( 0) h d!!! b ( 1) < b ( 1) h d! Dato che C>V è meglio essere Falco quando ci sono solo Colombe e viceversa.

16 Tabella 2.3. ESS, l esistenza e la stabilità di un equilibrio interno y è un ESS y non è un ESS x è un ESS p*!(0,1) instabile p*=1 stabile x non è un ESS p*=0 stabile p*!(0,1) stabile

17 Esercizio con Assurance game # K117)3$')# T)2)-'# K117)3$')# #NKUKS:$# #NKUTS:.# T)2)-'# #NTUKS:-# #NTUTS:&# # con c<a e b<d p* = c! a b! a + c! d #

18 Evoluzione dei diri3 di proprietà In p*, sia Falchi che Colombe agiscono seguendo la propria risposta o3ma; Ma la fitness media è massimizzata in p = 0 Tragedia di Hobbes?

19 Nel gioco falco- colomba come può la stru>ura delle interazioni sociali chi è accoppiato con chi, per giocare quali giochi essere modificata in modo da produrre risultal desiderabili in popolazioni di a>ori autonomi? Possibili soluzioni: Espellere i falchi ELche>are falchi e colombe e dare libertà di rifiutare le interazioni Aumentare la probabilità di matching tra simili Evitare C, lancio moneta

20 Nuovo Gioco Il premio è difendere una proprietà Strategia Bourgeois Se proprietario gioca H Se intruso gioca D Probabilità del 50% di essere proprietario

21 ! & E)0H& F/#$& D/7+,$/"*& E)0H& #& F/#$& >& #JK& #JM& D/7+,$/"*& #JKN#JM& #JK&! Quando B incontra H, 50% gioca come H e 50% come D Quando B incontra D, 50% gioca come H e 50% come D Quando B incontra B, delle volte è H contro D e metà delle volte il contrario