3x 1 - x 2 x 3 2 x 1 + x x 2 + x 3 -x 2 + 4x 3-4. x 4 =

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1 Esercitazione del //22 Altilio Rosa Esercizio F(x)= 3x - x 2 x 3 2 x + x x 2 + x 3 -x 2 + 4x 3-4 x = x 2 = - x 3 = x 4 = 2 2 Verificare se i seguenti punti sono soluzioni del problema di complementarietà non lineare(ncp(f)). Le condizioni necessarie affinché i punti siano una soluzione dell NCP sono : x F(x) xifi(x)= Consideriamo il punto x : F(x ) = -2-4 poiché la funzione calcolata nel punto non risulta essere possiamo concludere che il punto non è una soluzione dell NCP. Per il punto x 2 si verifica subito che esso non è soluzione del problema poiché non tutte le sue componenti risultano essere. Esaminando il punto x 3 si verifica facilmente che è una soluzione in quanto le sue componenti sono tutte,inoltre F(x 3 ) = 2 e si verifica anche che (x 3 ) T F(x 3 ) = 2 Affinché la condizione sia = + + = soddisfatta occorra che per ogni i almeno una tra xi e Fi sia uguale a.

2 Infine si verifica che x 4 non è una soluzione poiché il prodotto x T F(x) non è uguale a, infatti: F(x 4 ) =. (x) T F(x).. Adesso analizziamolo graficamente: In questo punto la F dovrà essere fatta in questo modo: x 2 Se mi trovo in questo punto x >, F deve essere uguale a x = F x 2 > F 2 = x > F = x 2 = F 2 Se mi trovo in questo punto la F deve essere fatta in questo modo per essere una soluzione: x x > F = x 2 = F 2

3 Esercizio 2 F(x) = 3x - x 2 x 3 2 x 4 + x + x x 2 + x 3 - x 4 x 2 -x 2 + 4x 3 4 x 4 + x K = R 3 + xr verificare se i seguenti punti sono soluzioni del problema di complementarietà mista MICP x = ok x2 = Le condizioni necessarie affinchè i punti siano una soluzione del MICP sono : G(U,V) = V H(U,V) le soluzioni vanno bene, sono entrambe ammissibili : F(x ) = = F2(x ) = 3 3 = sono uguali a F3(x ) = = F4(x ) = 2 2 ma il punto non è soluzione in quanto la F4 è diversa da. F(x 2 ) = F2(x 2 ) = 3 = F3(x 2 ) = F4(x 2 ) = È quindi è una soluzione

4 Se avessimo avuto x fatto in questo modo x = questo non sarebbe comunque una soluzione infatti: F(x ) = 3 nelle variabili non vincolate la F deve essere uguale a indipendentemente dal suo prodotto con la x. Esercizio 3 Verificare se sono soddisfatte le condizioni per trasformare i seguenti problemi in una VI e scrivere la VI corrispondente: min 2x 2 + 5/2x xx2 + 4x3x2 min 5x xx3 + 8x2x3+ 26x3 x x 2 x x 2 x,x 2 x 3 Le regioni ammissibili sono convesse e chiuse quindi vanno bene; Le funzioni obiettivo sono C Inoltre le funzioni obiettivo devono essere convesse per ogni fissata variabile degli altri giocatori. Analizziamo quindi quest ultima affermazione per il primo problema: scompongo la funzione obiettivo in due elementi, poiché la somma di funzioni convesse è ancora una funzione convessa. il primo elemento è : 2x 2 + 5/2x xx2 devo verificare che è convessa, calcolo l Hessiana 4x + 2x 2 5x 2 + 2x = 2 4 = 6 > e siccome i determinanti di nord ovest sono positivi possiamo concludere che il primo termine della funzione obiettivo è convessa.

5 il secondo elemento fissata la variabile dell altro giocatore diventa lineare 4x 3x 2 Quindi la funzione obiettivo del primo problema è convessa fissata X 3. Si poteva considerare direttamente tutta la funzione obiettivo e calcolarne l Hessiana arrivando allo stesso risultato: 4x + 2x x Simmetrica quindi va bene 2 + 2x + 4x Analizziamo adesso il secondo problema: fissate x e x 2 allora la funzione obiettivo diventa : 5x xx3 + 8x2x3+ 26x3 è immediato verificare che è convessa anche senza calcolarne l hessiana. Possiamo quindi scrivere la VI corrispondente che avrà: x f K: {x / x } F = = x 2 f 2 4x + 2x 2 5x 2 + 2x + 4x 3 x 3 + 6x + 8x 2-26 Esercizio 4 Consideriamo un gioco di Nash generalizzato in cui anche i vincoli risultano essere influenzato dalle scelte degli altri giocatori. min (x - 2) 2 min ½ y 2 + 2xy 2y x y x + y 3/2 x + y 3/2 x y Verificare che x = (,) sia un equilibrio di Nash. Non possiamo applicare le regole della VI, ma comunque possiamo verificare che x = (,) è soluzione usando la definizione di equilibrio di Nash. ) Poniamo y = si vede graficamente che fissato y =, x = è la soluzione ottima del primo problema il problema del primo giocatore diventa: min (x - 2) 2 x x 3/2 x

6 Poniamo x = il problema del secondo giocatore diventa: si vede graficamente che fissato x =, y = è la soluzione ottima del secondo problema 2) min ½ y 2 + 2y 2y y y + 3/2 y