Estremi relativi (liberi) per campi scalari

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1 Estremi relativi (liberi) per campi scalari Riccarda Rossi Università di Brescia Analisi Matematica B

2 Punti di estremo relativo (o locale) Definizione Sia Ω R n e sia f : Ω R un campo scalare. Diciamo che x 0 Ω 1. è un punto di minimo RELATIVO (o minimo LOCALE) per f se esiste ε > 0 tale che x B ε (x 0 ) Ω : f (x 0 ) f (x) 2. è un punto di massimo RELATIVO (o massimo LOCALE) per f se esiste ε > 0 tale che x B ε (x 0 ) Ω : f (x 0 ) f (x) Se vale 1 o 2, si dice che x 0 è un punto di estremo relativo o di estremo locale.

3 Commenti

4 Una definizione equivalente

5 Punti di estremo assoluto (o globale) Definizione Sia Ω R n e sia f : Ω R un campo scalare. Diciamo che x 0 Ω 1. è un punto di minimo ASSOLUTO (o minimo GLOBALE) per f x Ω : f (x 0 ) f (x) 2. è un punto di massimo ASSOLUTO (o massimo GLOBALE) per f x Ω : f (x 0 ) f (x) Se vale 1 o 2, si dice che x 0 è un punto di estremo assoluto o di estremo globale.

6 Ogni punto di estremo assoluto è anche di estremo relativo

7 Cosa faremo: Dati f : Ω R, x 0 Ω, f differenziabile in x 0 daremo condizioni necessarie, al prim ordine, affinché x 0 sia un punto di estremo RELATIVO

8 Cosa faremo: condizioni sufficienti, al second ordine, affinché x 0 sia un punto di estremo RELATIVO

9 Estremi locali e punti critici Teorema (Teorema di Fermat (Condizione necessaria)) Sia Ω R n un aperto e sia f : Ω R un campo scalare. Sia x 0 un punto di estremo relativo per f. Se f è differenziabile in x 0 allora In particolare f (x 0 ) = 0. v R n : v = 1 : D v f (x 0 ) = 0.

10 Confronto con funzioni di una variabile

11 Significato geometrico del teorema di Fermat

12 Dimostrazione

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17 Notiamo che l ipotesi che f sia differenziabile non può essere omessa. Infatti, il punto t = 0 è un punto di massimo per la funzione f : [ 1, 1] R, f (t) = 1 t, ma f (0) non esiste.

18 Esempi

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25 Definizione (Punti critici) Sia Ω R n un aperto e sia f : Ω R un campo scalare. Diciamo che x 0 Ω è un punto STAZIONARIO (o CRITICO) di f se f è differenziabile in x 0 e se f (x 0 ) = 0. Quindi in un punto critico x 0 Se Ω è aperto e f è differenziabile in Ω, i punti di estremo relativo vanno ricercati fra i punti stazionari, ma non tutti i punti stazionari sono di estremo.

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27 Definizione (Punti di sella) Sia Ω R n un aperto. Sia f : Ω R un campo scalare e sia x 0 Ω un punto stazionario di f. Diciamo che x 0 è un punto di sella di f se x 0 non è né un minimo locale né un massimo locale. Daremo condizioni al second ordine che ci permetteranno di classificare i punti stazionari e cioè stabilire se sono punti di massimo relativo minimo relativo sella

28 Minimo e massimo locale

29 Punto di sella

30 Punto di sella

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34 Condizioni al second ordine per funzioni di una variabile..

35 Richiami di algebra lineare

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39 Matrice hessiana Definizione (Matrice hessiana) Sia Ω R n un aperto e sia f : Ω R. Supponiamo che in x Ω esistano tutte le derivate seconde di f. Chiamiamo matrice hessiana di f nel punto x la matrice H f (x) di n righe e n colonne tale che (H f (x)) ij = 2 f x i x j (x).

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41 Sia f C 2 (Ω). Segue dal Lemma di Schwarz che la matrice hessiana è simmetrica: (H f (x)) ij = (H f (x)) ji e quindi tutti i suoi autovalori sono numeri reali. e quindi nel caso n = 2

42 Esempio Consideriamo f : R 2 R data da f (x, y) = x 3 + 2y 2 + x 2 y + 6

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44 Teorema (Test della matrice hessiana) Sia Ω R n e sia x 0 Ω un punto critico di f : Ω R. Supponiamo inoltre che esista un intorno U Ω di x 0 tale che f C 2 (U). Valgono le seguenti affermazioni: 1. Se tutti gli autovalori di H f (x 0 ) sono positivi, allora x 0 è un punto di minimo locale. 2. Se tutti gli autovalori di H f (x 0 ) sono negativi, allora x 0 è un punto di massimo locale. 3. Se H f (x 0 ) ha almeno un autovalore positivo e un autovalore negativo, allora x 0 è un punto di sella. 4. Se zero è un autovalore di H f (x 0 ) e tutti gli altri autovalori hanno lo stesso segno, allora il test è inefficace.

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46 Corollario (Test del determinante hessiano) Sia Ω R 2 e sia (x 0, y 0 ) Ω un punto critico di f : Ω R. Supponiamo inoltre che esista un intorno U Ω di (x 0, y 0 ) tale che f C 2 (U). Valgono le seguenti affermazioni: 1. Se det H f (x 0, y 0 ) > 0 e 2 xxf (x 0, y 0 ) > 0, allora (x 0, y 0 ) è un punto di minimo locale. 2. Se det H f (x 0, y 0 ) > 0 e 2 xxf (x 0, y 0 ) < 0, allora (x 0, y 0 ) è un punto di massimo locale. 3. Se det H f (x 0, y 0 ) < 0, allora (x 0, y 0 ) è un punto di sella. 4. Se det H f (x 0, y 0 ) = 0 il test è inefficace.

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48 Dimostrazione

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58 Esempi f (x, y) = x 2 + 2y 2 + 3

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61 f (x, y) = xy

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64 f (x, y ) = x 2 + y 3

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