Lezione 4. Lezione 4. Rappresentazioni numeriche. Rappresentazioni numeriche. Rappresentazioni numeriche. Rappresentazioni numeriche

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1 Sommario Lezione 4 Aritmetica in complemento a due Proprietà della rappresentazione in complemento a due Rappresentazioni a virgola fissa Rappresentazioni a virgola mobile Lezione 4 Materiale di riferimento 1. D. A. Patterson, J. L. Hennessy, Computer Organization and Design, Morgan Kaufmann, cap. 4 pagg A. Clements, "The principles of computer hardware", Oxford, 2000, cap. 4, pagg G. Bucci, "Architetture degli elaboratori elettronici", McGraw-Hill, 2001, cap. 1, pp Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 1 Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 2 Tutti i microprocessori manipolano dati rappresentati in forma numerica binaria. I circuiti che permettono l elaborazione (anche complessa) di dati binari risultano infatti estremamente semplici da realizzare e poco costosi. E importante osservare che i numeri binari elaborati da un processore non rappresentano sempre quantità numeriche. Anche le stesse istruzioni del processore, i caratteri di un testo, o i pixel di una figura sono tradotti in numeri binari. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 3 Un numero N, in generale, si può scrivere come: n 1 i N = a i b (1) i= = m dove gli a i sono dette cifre, e b èla base fissata. La rappresentazione coerente di N è quindi: a n-1 a n-2 a 1 a 0.a -1 a -2 a -m. Questa notazione viene detta posizionale. Nel caso binario, la base b è pari a 2. Le cifre possibili (bit) sono quindi solo 1 e 0. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 4 E importante osservare che la quantità di cifre n+m, necessaria a rappresentare un certo numero N dipende dalla base b. Ad esempio, è facile vedere che il numero di cifre binarie richiesto per rappresentare un numero decimale che abbia k cifre è circa pari a 3.3 k (log 2 10 = 3.3). Nel mondo dei microprocessori, viene molto usata anche la rappresentazione in base 16 (esadecimale) le cui 15 cifre sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 5 E utile saper convertire un numero da una base all altra. La conversione da decimale a binario di un numero intero si esegue come nell esempio seguente. Esempio: converto in binario il numero = 28 con resto 1 Ad ogni passo dimezzo il 28 2 = 14 con resto 0 risultato e tengo il 14 2 = 7 con resto 0 resto. La sequenza dei 7 2 = 3 con resto 1 resti, letta al contrario, 3 2 = 1 con resto 1 è il risultato. 1 2 = 0 con resto = Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 6 1

2 La conversione da binario a decimale di un numero intero si esegue invece come nell esempio seguente. Esempio: converto in decimale il numero binario Esistono algoritmi simili anche per la conversione di numeri frazionari tra le diverse basi, anche se vengono usati meno frequentemente. Esempio: converto in decimale Ad ogni passo raddoppio il risultato e sommo il bit corrente = /2+0 1/4 +1 5/8+1 13/ /32 Ad ogni passo dimezzo il risultato e sommo il bit corrente = 13/32 Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 7 Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 8 Nel caso di conversione da decimale a binario di una frazione si procede invece come nel seguente esempio. Esempio: converto in binario il numero x 2 = Ad ogni passo x 2 = raddoppio la parte frazionaria e tengo la x 2 = parte intera x 2 = x 2 FINE! = N.B. il numero di cifre dopo la virgola dipende dalla base scelta! Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 9 Le conversioni da e per la base 16 si eseguono in modo del tutto analogo. Esempio: converto in esadecimale il numero (arrestandomi a 3 cifre decimali) = 16 con resto = 1 con resto = 0 con resto x 16 = C 0.16 x 16 = x 16 = = C C28 16 Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 10 I processori usano un numero fissato di cifre binarie (bit) per rappresentare i dati. Tale numero varia a seconda del processore, assumendo alcuni valori tipici, come: 4 piccoli microcontrollori 8 molti microcontrollori (es. PIC) 16 microcontrollori di alta gamma 32 DSP e mc ad alte prestazioni 64 processori per PC di quarta generazione 128 processori speciali (console per videogames) Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 11 E importante osservare che la lunghezza della parola (word) di un processore non ha alcuna relazione con la sua accuratezza nell effettuare calcoli. Un processore a 4 bit può calcolare con la stessa accuratezza di uno a 128 bit! La differenza tra i due starà nella velocità e nel costo. L unità a 128 bit sarà di certo molto più costosa di quella a 4 bit, ma anche molto più veloce nell effettuare calcoli a 128 bit. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione

3 Nei processori a virgola fissa, l aritmetica in gioco è quella dei numeri interi (con segno). Le regole dell aritmetica elementare, che conosciamo per i numeri decimali, rimangono perfettamente valide anche per i numeri rappresentati in base 2. I circuiti che eseguono le operazioni fondamentali sono spesso ispirati al modo in cui noi eseguiamo a mano le stesse operazioni. Inoltre, anche per l aritmetica in base 2 esistono tabelline di calcolo. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 13 Le tabelline binarie sono ovviamente molto più semplici di quelle per l aritmetica decimale. 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 riporto 1 addizione 0 0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=1 prodotto 0-0=0 0-1=1 prestito 1 1-0=1 1-1=0 sottrazione Addizione e sottrazione sono uguali! Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 14 Esempi di operazioni fra numeri binari: _11_1_ riporti x x _ Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 15 Esempi di operazioni fra numeri binari: _ prestiti Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 16 Utilizzando parole di n bit è possibile rappresentare i numeri naturali tra 0 e 2 n -1. Se si vogliono rappresentare numeri negativi è quindi necessario ricorrere a una qualche forma di codifica: a) modulo e segno; b) complemento a 1; c) complemento a 2. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 17 La rappresentazione in modulo e segno del numero intero N su n bit è del tipo: Bit di segno (1 se < 0) a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 numero N Le sue proprietà essenziali sono: a) (2 n-1-1) N 2 n-1-1; b) esistono due rappresentazioni dello 0. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione

4 La rappresentazione in complemento a 1 di un numero intero N su n bit ha le seguenti proprietà: a) (2 n-1-1) N 2 n-1-1; b) esistono due rappresentazioni dello 0; c) i numeri negativi si ottengono semplicemente invertendo bit a bit la rappresentazione dei positivi. E stata usata raramente (solo nei primi esemplari di microprocessore realizzati). La rappresentazione dei numeri negativi nei calcolatori viene convenzionalmente operata secondo la notazione detta complemento a due. La notazione in modulo e segno si usa invece limitatamente alla rappresentazione dei numeri a virgola mobile. Il complemento a due di un numero N, rappresentato con n bit, è definito come: C2(N) = 2 n -N Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 19 Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 20 L aritmetica in complemento a 2 ha diverse proprietà interessanti: con n bit, permette di rappresentare tutti i numeri N tali che -2 n-1 N 2 n-1-1, ha una sola rappresentazione dello ; il bit più significativo è un bit di segno; permette di unificare le operazioni di somma e sottrazione a livello hardware. Il calcolo del complemento a 2 di un numero N si può effettuare, oltre che applicando la definizione, anche con la seguente procedura: inverto tutti i bit del numero (neg); sommo 1 al risultato. Esempio: Considerando 5 bit troviamo C2(14). C2(14) = (32-14) 2 = oppure: neg(01110)+1= = Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 21 Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 22 Questo fatto si può dimostrare in modo del tutto generale. Consideriamo parole a n bit e un numero N rappresentabile in complemento a 2. Dalla definizione C2(N) = 2 n N = (2 n 1) N + 1, ma 2 n 1 = (dalla tabellina) e, siccome 1-N i = neg(n i ) (sottraendo bit a bit), N = neg(n). Quindi effettivamente C2(N) = neg(n) +1 c.v.d. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 23 Utilizzando la precedente proprietà è immediato verificare che: N+C2(N) = 0 N N = 0 Infatti: N+C2(N) = N+neg(N)+1 = -1+1 = 0 Inoltre C2(C2(N)) = N (-N) = N Infatti: 2 n (2 n N) = N Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione

5 Infine, in alcune occasioni può essere utile sapere che un numero N rappresentato in complemento a 2 su n bit può sempre essere interpretato come: a n-1 a n-2 a n-3 a 1 a 0 numero N su n bit N = -a n-1 2 n-1 +a n-2 2 n a 0 Ovvero come un qualunque numero binario, ma con il segno della prima cifra invertito. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione Il diagramma circolare permette di visualizzare l insieme dei numeri rappresentabili in complemento a 2 (in questo caso su 4 bit). Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 26 Overflow La scelta di rappresentare i numeri interi in complemento a due semplifica molto la realizzazione dei circuiti aritmetici di un processore. In pratica lo stesso circuito è in grado di operare somme e sottrazioni. Tuttavia, questa rappresentazione pone il problema dell overflow aritmetico. Quando il risultato di una operazione fuoriesce dall intervallo di valori rappresentabili si dice che è avvenuto un overflow. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 27 Overflow Esempi di overflow (n = 5-16 N 15 ) I risultati delle due addizioni sono errati a causa dell overflow. Notare il cambiamento del bit di segno. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 28 Overflow Esempi di overflow (n = 5-16 N 15 ) La circolarità della notazione in complemento a due comporta la compensazione di eventuali overflow intermedi. Se il risultato finale può essere correttamente rappresentato, gli overflow intermedi non hanno effetto. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 29 Overflow Il verificarsi di una condizione di overflow non compensata durante l elaborazione dei dati rappresenta un problema estremamente serio. I risultati dell elaborazione saranno infatti totalmente inattendibili. Per questa ragione tutti i processori rilevano il verificarsi della condizione di overflow, cui è riservato un bit nel registro di stato del processore. Nella realizzazione di elaborazioni numeriche la condizione di overflow deve essere evitata o accuratamente gestita. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione

6 Si tratta della modalità di rappresentazione numerica più usata nei microcontrollori e in molti DSP. Corrisponde in sostanza all aritmetica degli interi con segno, a meno di una moltiplicazione per un fattore di scala o di normalizzazione, che, deciso dal programmatore, rimane sottointeso. La scelta del fattore di scala definisce l intervallo dei valori rappresentabili. Senza conoscere il fattore di scala, è impossibile decodificare la rappresentazione di un numero. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 31 Consideriamo ad esempio la stringa: Essa può essere interpretata come: la rappresentazione del numero: la rappresentazione in C2 di: la rappresentazione in C2 dei numeri: con fattore di scala con fattore di scala 2 6 Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 32 Nell uso dell aritmetica a virgola fissa sono presenti due potenziali problemi/insidie: - nell esecuzione di somme (algebriche) bisogna essere certi che gli operandi siano rappresentanti con lo stesso fattore di scala. - l esecuzione di prodotti richiede, in generale, l aggiustamento del fattore di scala del prodotto. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 33 Ad esempio, volendo sommare: cioè = cioè cioè il risultato ottenuto sarà corretto solo se la posizione del punto decimale è la stessa per i due addendi. Infatti il calcolatore, se non viene debitamente istruito, non allinea autonomamente i punti decimali prima di sommare, generando, in questo caso, un risultato incongruente con la rappresentazione scelta. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 34 D altra parte, l esecuzione del prodotto dei due numeri precedenti genera il risultato: che, se interpretato come una frazione in cui il punto decimale si trovi nella stessa posizione dei due operandi, ossia come corrisponde a , risultato palesemente errato. Il risultato corretto si ottiene solo dopo uno shift a sx di due posizioni che, producendo la stringa binaria , corrisponde al valore corretto Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 35 La necessità di un ri-allineamento del risultato emerge chiaramente se ragioniamo in termini più formali: P = numero binario frazionario, rappresentato su m bit con fattore di scala S = 2 m-z Q = numero binario frazionario, rappresentato su m bit con fattore di scala S = 2 m-z P 2 m-z Q 2 m-z = P Q 2 2m-2Z Interi equivalenti a P e Q secondo il fattore di scala S Il fattore di scala del prodotto è S 2, non 2 2m-Z! Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione

7 Si vede allora che, per riportare la virgola nella posizione corretta, è necessario operare una moltiplicazione del risultato per 2 Z,i.e. uno shift a sx di Z posizioni, ottenendo: P Q 2 2m-2Z 2Z = P Q 2 2m-Z In cui la virgola è stata correttamente riposizionata Z (e non 2Z) posizioni a destra dell MSB. E importante osservare che, salvo rare eccezioni, il ri-posizionamento della virgola è compito del programmatore. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 37 A completamento dell esempio precedente, bisogna dire che la normalizzazione può riguardare anche numeri con segno, ossia rappresentati in complemento a 2. In tal caso, il numero di bit m èda considerarsi pari a n-1, essendo n il numero di bit a disposizione per la rappresentazione dei numeri. In caso di numeri con segno, quindi, la virgola potrà essere posta, al più, un bit a dx dell MSB. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 38 Un caso particolare di normalizzazione è quello in cui Z = 0. Ciò corrisponde a porre la virgola più a sinistra possibile. Per i numeri senza segno, ciò vuol dire addirittura prima dell MSB come in: In questo caso, la rappresentazione permetterà di generare solo numeri frazionari positivi e con parte intera nulla, del tipo 0.89, , Tale rappresentazione prende quindi il nome di rappresentazione frazionaria o Qn. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 39 Invece, nel caso di numeri in complemento a 2, la posizione della virgola sarà a destra del bit di segno come in: oppure che corrispondono, nella rappresentazione Q7, rispettivamente a e Rappresentazioni frazionarie con parti intere diverse da 0 si indicano generalmente come 3.5, 4.4, etc. indicando esplicitamente il numero di bit interi (incluso il segno) e quelli riservati alla parte frazionaria. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 40 E possibile indicare la rappresentazione frazionaria su 8 bit con segno, oltre che come Q7, anche come 1.7 (e quella su 16 bit come 1.15 oltre che Q15 ). In generale, la rappresentazione adottata deve essere spiegata dal programmatore il più chiaramente possibile in ogni modulo di codice, così da semplificare il lavoro di interpretazione da parte di un qualunque lettore. Emerge chiaramente una certa laboriosità nello svolgimento di calcoli complicati a virgola fissa. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 41 La precisione di un numero corrisponde al numero di cifre significative che si usano per rappresentarlo. L accuratezza di un valore invece è una misura della vicinanza tra il valore vero e la sua rappresentazione numerica. L accuratezza di un numero può essere molto bassa anche se la sua precisione è elevata, ad es: π= 3.14 oppure π = Il primo valore è meno preciso, ma più accurato del secondo. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione

8 L aritmetica degli interi (virgola fissa) può risultare inadeguata al mantenimento di elevati livelli di accuratezza nei calcoli. Alcuni DSP, e pochissimi mc, fanno uso di una differente modalità di rappresentazione dei numeri, detta a virgola mobile (floating point). A parità di lunghezza di parola, la rappresentazione a virgola mobile permette di ampliare l intervallo dei valori rappresentati. Facilita inoltre il mantenimento di elevata accuratezza nei calcoli. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 43 Come abbiamo visto, l aritmetica a virgola fissa permette di trattare anche numeri frazionari, ma mantiene il punto decimale in una posizione determinata una volta per tutte. In alcuni calcoli, questo può compromettere l accuratezza del risultato. Un esempio tipico èil calcolo di: A+B A-B quando A e B sono poco diversi, e.g. A= B= Il risultato avrà la stessa precisione di A e B, ma la sua accuratezza sarà molto bassa (il divisore ha una sola cifra significativa). Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 44 Esistono diversi tipi di formato per la rappresentazione dei numeri in virgola mobile. Tutti si basano sul principio della notazione scientifica normalizzata = Tale notazione può essere estesa ai numeri binari ottenendo un formato del tipo: 1.xxxxx 2 yyy La prima parte del numero (xxxxx) si chiama mantissa, la seconda (yyy) esponente. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 45 Lo standard IEEE 754, adottato da tutti i processori recenti, definisce la struttura dei numeri rappresentati in virgola mobile. Essa è del tipo: E-B (-1) S (1+F) 2 dove S è il segno della mantissa, F è la parte frazionaria della mantissa (l 1 a sinistra del punto è reso implicito), E è l esponente di 2 richiesto (con offset B implicito). La struttura di parola di un numero a virgola mobile è quindi: S esponente (E) mantissa (F) Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 46 Nel caso di singola precisione (single) i campi della parola sono così organizzati: S: 1 bit 0 se positivo, 1 se negativo E: 8 bit valori da 0 a 255 con offset 127 F: 23 bit valori da 0 a La lunghezza totale della parola è quindi di 32 bit. Esistono anche i formati a doppia e quadrupla precisione (64 e 128 bit). Il range dei numeri rappresentabili è molto ampio. Considerando i soli valori positivi: = N = Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 48 Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 47 E però importante osservare che, per ogni valore dell esponente, i possibili valori della mantissa sono solo Poiché i diversi valori dell esponente sono 2 8,in totale i numeri positivi rappresentabili con questa modalità sono esattamente 2 31, ossia tanti quanti quelli rappresentabili su 32 bit a virgola fissa! Ciò che cambia con la rappresentazione a virgola mobile è quindi solo la spaziatura dei valori rappresentati che non è più costante, ma cambia in ragione dell esponente. 8

9 In realtà la spaziatura dei numeri rappresentati in virgola mobile è tale per cui la distanza relativa tra due numeri successivi, i.e. la loro differenza rapportata al minimo numero rappresentabile per ogni dato esponente (i.e. 2 E ), è costante ed è pari a ε = 2 -n_f dove n_f rappresenta il numero di bit riservati alla mantissa. Tale quantità prende il nome di precisione di macchina o ε-macchina. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 49 I valori massimo (+128) e minimo (-127) del campo esponente, sono riservati. Il valore 127 serve a codificare lo zero, che non può essere rappresentato solo da una mantissa completamente nulla, a causa dell 1 implicito. Lo zero appare quindi come una parola completamente priva di 1. Il valore +128 serve invece a gestire numeri più grandi del massimo consentito (overflow), che vengono indicati con la notazione NaN (not a number). Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 50 I circuiti che realizzano le operazioni in virgola mobile sono decisamente più complessi di quelli richiesti dall aritmetica a virgola fissa. Ad esempio, l operazione di somma richiede i seguenti passi: 1) identificazione dell addendo con l esponente minore; 2) aggiustamento (shift a destra) della sua mantissa fino rendere gli esponenti uguali; 3) somma delle mantisse; 4) post-normalizzazione del risultato (se serve). Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione 4 51 In un sistema a virgola mobile con 16 bit, di cui 5 siano riservati all esponente (B=15) e 10 alla mantissa, calcolare: E-B=7 E-B=5 Troncamento! Il secondo addendo deve essere scalato (2 shift a dx) per rendere uguali gli esponenti. Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione Il risultato, nella nostra rappresentazione, sarà allora: dove la mantissa è stata post-normalizzata (e l esponente ridotto di 1) = = (il valore esatto è 117.4) Simone Buso - Microcontrollori e DSP - Lezione