ESERCIZI EPOS. { C x 3 (1 x) 0 x 1 0 altrove

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1 ESERCIZI EPOS 1. Sia X una v.c. con densità f X (x) = { C x 3 (1 x) 0 x 1 0 altrove (a) Determinare il valore della costante C (b) Calcolare la funzione di ripartizione F X (x) (c) Calcolare P (X > 1/2) (d) Calcolare E(X) 2. Sia X una variabile casuale con densità { exp( x/λ)xλ 2 x > 0 f(x) = 0 altrove per λ > 0. Dato un campione x 1,..., x n, i.i.d. estratto da X (a) Calcolare la stima di massima verosimiglianza di λ. 3. Sia y 1 = 0, y 2 = 1, y 3 = 1, y 4 = 0, y 5 = 1, y 6 = 1, y 7 = 1, y 8 = 1, y 9 = 1, y 10 = 0 un campione i.i.d. estratto da una v.c. di Bernoulli di parametro θ (a) Calcolare il rapporto tra la funzione di verosimiglianza, L(θ 1 )/L(θ 2 ) nei punti θ 1 = 3/4 e θ 2 = 1/2. (b) Calcolare la media della variabile casuale U = d dθ log L(θ; Y ) quandi Y è un campione casuale i.i.d. estratto da una Bernoulli(θ) (c) Calcolare l informazione osservata e l informazione di Fisher per un campione i.i.d. estratto da una Bernoulli(θ) (d) Calcolare, considerando il campione osservato, un intervallo di confidenza per θ di livello 1 α = 0.95 (z = 1.96) (e) Calcolare la statistica test del rapporto delle verosimiglianze per verificare il sistema di ipotesi H 0 : θ = 1/2 contro l alternativa H a : θ 1/2 1

2 4. Sia X una v.c. di Poisson di parametro λ (a) Calcolare E(X 2 ) (b) Calcolare V ar(x) 5. Sia y = (y 1..., y n ) un campione i.i.d. estratto da una v.c. di tipo Poisson di parametro λ. Supponiamo che n i=1 y i = 25 e che n = 10 (a) Calcolare il rapporto tra la funzione di verosimiglianza, L(λ 1 )/L(λ 2 ) nei punti λ 1 = 5 e λ 2 = 3 e nei punti λ 1 = 5 e λ 2 = 10 (b) Calcolare la media della variabile casuale U = d dλ log L(λ; Y ) quando Y è un campione casuale i.i.d. estratto da una Poisson(λ) (c) Calcolare l informazione osservata e l informazione di Fisher per un campione i.i.d. estratto da una Poisson(λ) (d) Calcolare, considerando il campione osservato, un intervallo di confidenza approssimato per λ di livello 1 α = 0.95 (z = 1.96) (e) Calcolare la statistica test del rapporto delle verosimiglianze per verificare il sistema di ipotesi H 0 : λ = 3 contro l alternativa H a : θ 3 2

3 6. Sia X una v.c. con densità f X (x) = { C/ x 2 x 1 0 altrove (a) Determinare il valore della costante C (b) Calcolare la funzione di ripartizione F X (x) (c) Calcolare P (X > 3) (d) Qual è il supporto della variabile Y = 1/X (e) Calcolare E(X 1 ) 7. Sia X una variabile casuale con distribuzione di probabilità P (X = x) = θ(1 θ) x x = 0, 1,..., per θ [0, 1]. Dato un campione x 1,..., x n, i.i.d. estratto da X (a) Scrivere la funzione di verosimiglianza per θ (b) Calcolare la stima di massima verosimiglianza di θ. (c) Trovare l espressione analitica dell intervallo di confidenza per θ sulla base della distribuzione asintotica dello stimatore di massima verosimiglianza (d) Calcolare la statistica test del rapporto delle verosimiglianze per verificare il sistema di ipotesi H 0 : θ = 1/2 contro l alternativa H a : θ 1/2 3

4 8. Sia X una v.c. con densità f X (x) = { Ce 3(x 5) x 5 0 altrove (a) Determinare il valore della costante C (b) Calcolare la funzione di ripartizione F X (x) (c) Calcolare P (X > 10) (d) Calcolare il valore atteso E(X) 9. Siano X 1,..., X n n variabili casuali indipendenti con densità f Xi (x i ) = λt i e λti xi x i > 0 con λ > 0 parametro incognito e t 1,..., t n costanti positive note. Date le osservazioni x 1,..., x n, (a) Scrivere la funzione di verosimiglianza per λ (b) Calcolare la stima di massima verosimiglianza di λ. (c) Calcolare E(1/ˆλ). Utilizzare il fatto che E(X i ) = 1/(λt i ) (d) Calcolare l informazione attesa 4

5 10. Sia X una v.c. con densità f X (x) = C per x [ 1, 1] e f X (x) = 0 altrove. (a) Determinare il valore della costante C. (b) Calcolare la funzione di ripartizione F X (x). (c) Calcolare il primo quartile di X, ovvero il valore x 0.25 tale che F X (x 0.25 ) = (d) Calcolare il valore atteso E(X 3 ). 11. Siano X 1,..., X n n variabili casuali indipendenti con distribuzione di probabilità P Xi (x) = e λti (λt i ) xi /x i! x i = 0, 1, 2,... con λ > 0 parametro incognito e t 1,..., t n costanti positive note. Date le osservazioni x 1,..., x n, (a) Scrivere la funzione di verosimiglianza per λ (b) Calcolare la stima di massima verosimiglianza di λ. (c) Calcolare E(ˆλ). (d) Calcolare l informazione attesa 5

6 12. Sia X una v.c. con densità f X (x) = C x per x [0, 2] e f X (x) = 0 altrove. (a) Determinare il valore della costante C. (b) Calcolare la funzione di ripartizione F X (x). (c) Calcolare il primo quartile di X, ovvero il valore x 0.25 tale che F X (x 0.25 ) = (d) Calcolare la media di X (e) Calcolare il valore atteso E(X 2 ) e la varianza di X. 13. Siano X 1,..., X n n variabili casuali con densità f(x i ; β) = 1 2π e 1 2 (xi βti)2 con β parametro incognito e t 1,..., t n costanti note. Date le osservazioni x 1,..., x n, (a) Scrivere la funzione di verosimiglianza per β (b) Calcolare la stima di massima verosimiglianza di β. (c) Calcolare E( ˆβ). (d) Calcolare l informazione attesa 6

7 14. Sia X una v.c. con densità f X (x) = x 2 per x [ 2, 3] e f X (x) = 0 altrove. (a) Determinare il valore della costante C. (b) Calcolare la funzione di ripartizione F X (x). (c) Calcolare il valore atteso E(X). 15. Siano X 1,..., X n n variabili casuali indipendenti con densitá di probabilità f(x) λ 4 exp ( λx)x 3 λ > 0 x > 0 (a) Scrivere la funzione di verosimiglianza per λ (b) Scrivere l equazione che determina la stima di massima verosimiglianza di λ. (c) É possibile ricavare analiticamente la stima di massima verosimiglianza di λ? 7

8 Sia X una v.c. con densità f X (x) = c x(1 x) 2 per x [0, 1] e f X (x) = 0 altrove. (a) Determinare il valore della costante c. (b) Calcolare la funzione di ripartizione F X (x). (c) Calcolare il valore atteso E(X). 16. Siano X 1,..., X n n variabili casuali indipendenti con densitá di probabilità f(x) (1/λ)e x/λ λ > 0 x > 0 (a) Scrivere la funzione di verosimiglianza per λ (b) Scrivere l equazione che determina la stima di massima verosimiglianza di λ. (c) Calcolare la stima di massima verosimiglianza di λ e un intervallo di confidenza al 95% per un campione di numerosità 30 dove si è osservato n j=1 y j = 60. 8

9 17. Sia X v.a. con funzione di densit di tipo Weibull: f X (x; λ, c) = λcx c 1 e λxc I (0, ) (x), λ, c > 0. Dimostrare, utilizzando la funzione di ripartizione, che se Z = λx c allora Z Exp(1), 18. Sia X v.a. con funzione di densit di tipo Beta di secondo tipo: 1 f X (x; a, b) = B(a, b) (1 + x) a+b I (0, )(x), x a 1 dove a > 0 e b > 0. Trovate la distribuzione di Y = X/(1+X), utilizzando la funzione di ripartizione. 9

10 19. Siano X 1,..., X n i.i.d. estratti da una popolazione X con funzione di densità f θ (x) = 1 { θ 2 x exp x } θ con x > 0 e θ > 0. (a) Calcolare E(X) e V ar(x). (b) Trovare la statistica sufficiente per θ (c) Valutare se la media campionaria X è uno stimatore corretto per θ. Nel caso non lo fosse provare a correggerlo. (d) Calcolare l MSE dello stimatore corretto calcolato al punto e). (e) Calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza di θ e verificare che corretto e la sua varianza raggiunge il limite inferiore di Rao-Cramer. 1 (f) Calcolare il valore atteso di X. Utilizzando questa informazione provare a costruire uno stimatore corretto di 1 θ. 10

11 20. Attenzione: il punto a può essere utile per il punto b. a) Sia Z una v.a. Gamma(δ, λ) verificare che E(1/Z)= λ/(δ 1) purché δ > 1, che E(1/Z 2 ) = λ 2 /((δ 2)(δ 1)) purché δ > 2 e trovare V ar(1/z) b) Sia X 1,..., X n un campione estratto dalla densità f(x; θ) = θx θ 1 I (0,1) (x) (a) Trovare lo stimatore di massima verosimiglianza per θ. (b) Vedere se è corretto o asintoticamente corretto (c) Verificare che converge in probabilità a θ (d) Vedere se la sua varianza raggiunge il limite inferiore di Rao Cramer (e) Trovare la sua efficienza, ovvero il rapporto tra il limite inferiore di Rao Cramer e la varianza dello stimatore. (f) Trovare gli stimatori di massima verosimiglianza di 1/θ e di θ(1 θ) 11

12 21. Siano y 1,..., y n iid da una v.a. di tipo Weibull: f(y; θ, λ) = α θ ( y θ ) α 1 exp{ ( y θ ) α} 1) Trovare la stima di massima verosimiglianza di θ noto il valore di α. 2) Scrivere la logverosimiglianza profilo per α. 22. Consideriamo due campioni indipendenti x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ) generati rispettivamente da due v.a. di tipo Normale N(µ x, σ 2 ) e N(µ y, σ 2 ). Calcolare la statsitistica test del rapporto generalizzato delle verosimiglianze per verificare l ipotesi nulla H 0 : µ x = µ y contro H 1 : µ x µ y. 23. Consideriamo due campioni indipendenti x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ) generati rispettivamente da due v.a. di tipo Normale N(µ x, σ 2 x) e N(µ y, σ 2 y). Calcolare la statsitistica test del rapporto generalizzato delle verosimiglianze per verificare H 0 : σ 2 x = σ 2 y contro H 1 : σ 2 x σ 2 y. 12

13 24. Sia Y una v.a. Geometrica con d.d.p. P (Y = y) = θ(1 θ) y 1 y = 1, 2,... 0 < θ < 1 Trovare il valore atteso di Y Dato un campione y 1,..., y n i.i.d. dove y i Y, trovare lo stimatore di massima verosmiglianza per θ. Verificare che si tratta di uno stimatore consistente. Trovare l informazione attesa di Fisher Barbara e Giulio hanno una moneta con cui la probabilità di ottenere testa è θ. Barbara lancia la moneta una volta e osserva se si verifica testa. Giulio, invece, lancia la moneta finché non esce testa e conta i lanci effettuati (un lancio se testa si verifica al primo lancio, 2 lanci se testa si verifica al secondo lancio e così via) Qual è l informazione attesa di Fisher nell esperimento di Barbara. Qual è l informazione attesa di Fisher attesa nell esperimento di Giulio. Quale dei due esperimenti sarà più informativo ai fini dell inferenza su θ? (Sugg: guardare il rapporto tra le due informazioni attese.) 25. Sia y 1,..., y n un campione di osservazioni indipendenti dove y i è una realizzazione da una v.a. Esponenziale con media βx i con β incognito e le costanti x 1,..., x n note. Trovare una statistica sufficiente per β Trovare la stimatore di massima verosimiglianza per β, verificare che è corretto e trovarne la varianza. 13

14 26. Supponiamo di avere due campioni indipendenti: x 1,..., x n sono osservazioni i.i.d esponenziali con media 1/θ e y 1,..., y n sono osservazioni i.i.d esponenziali con media 1/µ (a) Scrivere la funzione di verosimiglianza per (µ, θ) Calcolare la matrice di Informazione di Fisher I(θ, µ) (c) Verificare che la statistica test del rapporto delle verosimiglianze per la verifica di è funzione della statistica T = H 0 : θ = µ H 1 : θ µ n i=1 x i n i=1 x i + m i=1 y i Per quali valori di T il p-value diminuisce? 14

15 27. Sia Y una v.a. di Poisson con parametro λ Dato un campione y 1,..., y n i.i.d. dove y i Y, trovare ˆλ, lo stimatore di massima verosmiglianza per λ. Trovare media e varianza di ˆλ Calcolare l informazione osservata e l informazione di Fisher attesa Verificare se la varianza di ˆλ raggiunge il limite inferiore di Rao- Cramér Trovare la funzione generatrice dei momenti della v.a. n i=1 Y i, dove Y 1,..., Y n sono v.a. indipendenti di tipo Poisson(λ) Sia z un valore del supporto di ˆλ, calcolare P (ˆλ = z) 28. Sia y 1,..., y n un campione di osservazioni indipendenti dove y i è una realizzazione da una v.a. Y i di tipo Bernoulli con probabilità θ i = P (Y i = 1) = exp (α + βx i) 1 + exp (α + βx i ) con α e β incogniti e le costanti x 1,..., x n note. Scrivere la funzione di verosimiglianza Trovare una statistica sufficiente per (α, β) 29. Siano y i,..., y n n osservazioni indipendenti con y i Y i dove Y i è una v.a. esponenziale con media 1/ exp (α + βx i ) e x 1,..., x n costanti note con n i=1 x i = 0. Scrivere la funzione di logverosimiglianza per α e β Scrivere la funzione di logverosimiglianza profilo per β 15

16 30. Sia Y una v.a. di Bernoulli con parametro θ. Consideriamo un campione y 1,..., y n i.i.d. dove y i Y. Trovare una statistica sufficiente per θ Trovare ˆθ, lo stimatore di massima verosmiglianza per θ. Trovare media e varianza di ˆθ Calcolare l informazione osservata e l informazione di Fisher attesa Verificare se la varianza di ˆθ raggiunge il limite inferiore di Rao- Cramér Sia z un valore del supporto di ˆθ, calcolare P (ˆθ = z) 31. Sia (y 1,..., y N ) un campione di osservazioni i.i.d. da una v.a. Poisson di media θ. Determinare la stima di massima verosimiglianza di θ nell ipotesi in cui solo le prime n (n < N) osservazioni siano completamente note, mentre delle rimanenti N n si conosca solo la somma s = N i=n+1 y i 32. Supponiamo di avere due campioni indipendenti: x 1,..., x n sono osservazioni i.i.d Normali con media µ x incognita e varianza 1, y 1,..., y m sono osservazioni i.i.d Normali con media µ y incognita e varianza 1. Determinare la statistica test del rapporto delle massime verosimiglianze per il sistema di ipotesi H 0 : µ x = µ y H 1 : µ y µ x Stabilire se è possibile calcolare un P-value esatto invece che approssimato 16

17 33. Sia X una v.a. di tipo Gamma, ovvero con densità. f(x; λ, ν) = λν Γ(ν) e λx x ν 1 Mostrare che la funzione di log-verosimiglianza per un campione casuale estratto da una popolazione con questa densità è n n l(λ, ν) = nν log λ + (ν 1) log x i λ x i n log Γ(ν), i=1 scrivere le equazioni di verosimiglianza e trovare la matrice di informazione osservata e la matrice di infinformazione attesa. Posto λ = ν/µ dire che cosa rappresenta il parametro µ, scrivere la funzione di logverosimiglianza in funzione di λ e µ, verificare che in questo caso l informazione osservata è casuale e verificare che l informazione di Fisher è I(µ, ν) = diag{2ν/µ 2, d 2 log Γ(ν)/dν 2 1/ν} 34. Siano X 1, X 2,..., X n n v.a. indipendenti con funzione di ripartizione F (x) Qual è la probabilità che le prime s < n v.a. siano minori di c e le restanti n s siano maggiori di c? Supponendo che F (x) = 1 e θx quanto vale la probabilità calcolata al punto precedente? Supponiamo ora di conoscere i valori x 1,..., x n s assunti dalle prime n s osservazioni mentre per le restanti sappiamo solo che hanno assunto un valore maggiore di c. Scrivere la funzione di verosimiglianza per θ assumendo sempre F (x) = 1 e θx. 35. Dato un campione X 1,..., X n di v.a. indipendenti aventi distribuzione di Poisson di parametro λ verificare che T = n i=1 X i è una statistica sufficiente utilizzando il fatto che T P oisson(nλ) i=1 17

18 36. Sia Y una v.a. Binomiale con probabilità di successo θ incognita e numero di prove s noto, P (Y = y) = ( ) s θ y (1 θ) s y y = 0,..., s. y Consideriamo un campione y 1,..., y n i.i.d. dove y i Y. Trovare una statistica sufficiente minimale per θ Trovare ˆθ, lo stimatore di massima verosmiglianza per θ. Trovare media e varianza di ˆθ Calcolare l informazione osservata e l informazione di Fisher attesa Verificare se la varianza di ˆθ raggiunge il limite inferiore di Rao- Cramér Sia z un valore del supporto di ˆθ, calcolare P (ˆθ = z) 37. Sia (y 1,..., y N ) un campione di osservazioni i.i.d. da una v.a. Bernoulli di media θ. Determinare la stima di massima verosimiglianza di θ nell ipotesi in cui solo le prime n (n < N) osservazioni siano completamente note, mentre delle rimanenti N n si conosca solo la somma s = N i=n+1 y i 18

19 38. Date le osservazioni indipendenti y 1,..., y n, supponiamo che y i N(β x i, σ 2 ) con β e σ 2 parametri incogniti e x 1,..., x n costanti note. (a) Trovare le stime di massima verosimiglianza di ˆβ e ˆσ 2 (b) Trovare la distribuzione di ˆβ (c) Verificare che Cov( ˆβ, y j x j ˆβ) = 0 j (d) Trovare la statistica test del rapporto delle verosimiglianze per il sistema d ipotesi H 0 : β = 0 H 1 : β 0 e dimostrare che la statististica test è funzione monotona di T 2 dove T = n ˆβ j=1 x2 j n j=1 (yj xj ˆβ) 2 n 1 e detrminare la distribuzione di T sulla base dei punti 2 e 3 e del fatto che sotto H 0 abbiamo n j=1 (y j x j ˆβ) σ 2 χ 2 n 1 19

20 39. Sia Y una v.a. avente densità 1 y f(y) = λ 2 Γ(2) e λ y y 0 ovvero una v.a. di tipo Gamma con parametro di forma noto e pari a 2 e parametro λ incognito. Consideriamo un campione y 1,..., y n i.i.d. dove y i Y. Trovare una statistica sufficiente per λ Trovare ˆλ, lo stimatore di massima verosmiglianza per λ. Trovare media e varianza di ˆλ Calcolare l informazione osservata e l informazione di Fisher attesa Verificare se la varianza di ˆλ raggiunge il limite inferiore di Rao- Cramér 40. Sia y 1 e y 2 due realizzazioni indipendendenti, la prima da una variabile esponenziale con media µ e la seconda da una variabile esponeziale con media τ µ. Scrivere la log-verosimiglianza profilo per τ 41. Siano y 1,..., y n, n realizzazioni indipendenti da una v.a. Normale con media 0, varianza a i σ 2 e a 1,..., a n costanti positive note. Scrivere la funzione di verosimiglianza, trovara la statistica sufficiente Trovare la stima di massima verosimiglianza di σ 2 e determinare media e varianza della sua distribuzione 20

21 42. Siano Y 1,..., Y n, n v.a. Normali indipendenti con media µ e varianza σ 2. Dimostrare che COV (Ȳ, Y i Ȳ ) = 0 i = 1,..., n 43. Siano y 1..., y n1 n 1 osservazioni normali indipendenti con media β 1 e varianza σ 2 e y n1+1..., y n1+n 2 n 2 osservazioni normali indipendenti e indipendenti dalle prime n 1 con media β 1 + β 2 e varianza σ 2. Posto y t = (y 1..., y n1, y n1+1..., y n1+n 2 ) Determinare la matrice X per cui è possibile scrivere y = Xβ + ɛ dove β t = (β 1, β 2 ) ed ɛ NM(0, σ 2 I) Determinare le stime di massima verosimiglianza di β 1 e β 2 Supponiamo che le numerosità dei due gruppi di osservazioni siano n 1 = 4 n 2 = 6, le medie siano ȳ 1 = 3.5 e ȳ 2 = 3 e le varianze siano s 2 1 = 1 e s 2 2 = 2. Sapendo che t 8,0.025 = 2.3 determinare un intervallo di confidenza al 95% per β 2 e interpretare il tipo di informazione ottenuta (ovvero spiegare il significato degli intervalli di confidenza) 21

22 44. Sia y 1,..., y n un campione i.i.d. dove y i è una realizzazione da una v.a. Normale con media 1 e varianza σ 2 incognita. (a) Trovare una statistica sufficiente (b) Trovare lo stimatore di massima verosimiglianza di σ 2 (c) Verificare che tale stimatore è corretto e trovarne la varianza (d) Verificare se tale stimatore è efficiente, ovvero se raggiunge il limite inferiore di Rao-Cramer (e) Verificare che lo stimatore 1 n 1 n i=1 (Y i Ȳ )2 è corretto ma meno efficiente dello stimatore di massima verosimiglianza. 45. Sia (y 1,..., y N ) un campione di osservazioni i.i.d. da una v.a. Poisson di media θ. Determinare la stima di massima verosimiglianza di θ nell ipotesi in cui solo le prime n (n < N) osservazioni siano completamente note, mentre delle rimanenti N n si conosca solo la somma s = N i=n+1 y i 46. Siano Y 1,..., Y n v.a. normali con varianza unitaria e medie E(Y j ) = βx j con x j (0, 1] costanti note e β incognito. (a) Scrivere la funzione di verosimiglianza (b) Trovare una statistica sufficiente per β (c) Trovare lo stimatore di massima verosimiglianza per β e determinarne la distribuzione (d) Trovare l informazione di Fisher I(β). Mostrare che il massimo per I(β) in funzione di x 1,..., x n si ottiene quando tutte le x j sono uguali ad 1. Che cosa può significare quest ultimo risultato da un punto di vista statistico? 22

23 47. Consider the family of distribution on (0, ) with density f(x; θ) exp( θx a ) where θ > 0 is the unknown parameter and a > 1 is a fixed and known quantity. (a) Find the normalizing constant for the density (b) Write the likelihood function for θ (c) Find a sufficient statistics for θ (d) Find the distribution of X a where X is the r.v. with density f(x; θ) (e) Verify that the expected value of the score function is 0 (f) Find the maximum likelihood estimator for θ (g) Find the maximum likelihood estimator for ψ = 1/θ (h) Find the distribution of ˆψ 48. Let y 1, y 2,, y n be an i.i.d. sample from a geometric random variable such that the probability of success is 1/(1 + θ) for a positive θ and let x 1, x 2,, x m be an iid sample, independent from the previous one, from a Poisson random variable with mean θ. (a) Write the likelihood, the log likelihood and the score equation for the joint sample y 1,, y n, x 1,, x m ; (b) Indicate a sufficient statistic for θ. (c) Let 20 i=1 y i = 184, 30 i=1 x i = 334, n = 20, m = 30 find the value of the MLE of θ; (d) Find the observed Fisher Information and construct an approximate confidence interval of nominal size 95% for θ. 23

24 49. Let U 1,..., U n be an i.i.d. sample from an exponential distribution with parameter λ. In fact, we only observe where c is a known constant. Y i = min{u i, c} and Z i = I(U i < c), (a) Write the likelihood and the log likelihood for λ. Find a sufficient statistic for λ. (b) Write the score function and find the expression for the maximum likelihood estimate of λ. (c) Obtain the maximum likelihood estimate of β = log(θ). (d) Give an approximation for the distribution of the maximum likelihood estimator. (e) Using the result in the previous point, provide a confidence interval for λ with approximate confidence level Suppose that x 1,..., x n are fixed real numebers such that xk = 0 x 2 k = n Let Y 1,... Y n be independent random variables such that Y k is normally distributed with mean α + βx k and σ 2 = 1. (a) Find the expression for the likelihood ratio statistics W (θ 0 ) for testing H 0 : α = 0, β = 0 against the unrestricted alternives (b) Prove that under the null hypothesis, the exact distribution of W (α = 0, β = 0) is the χ 2 with 2 degrees of freedom (c) Find the expression of the generalized likelihood ratio statistic W p (α = 0, β = 0) for testing H 0 : α = 0, β = 0 when σ 2 is unknown. 24

25 51. Random variables X e Y have joint p.d.f. f(x, y) = kx α y β 0 x 1, 0 y 1. Assume that you have n pairs of observations (x i, y i ) (a) Find the value of k (b) Write the likelihood function (c) Find the maximum likelihood estimator of α and β (d) Find the Fisher information matrix I(α, β) (e) Find an approximate variance for ˆα and ˆβ 52. Let y 1, y 2,, y n be an i.i.d. sample from a Bernoulli variable with probability θ y and let x 1, x 2,, x m be an iid sample, independent from the previous one, from a Bernoulli variable with probability θ x (a) Write the likelihood, the log likelihood and the score equation for the joint sample y 1,, y n, x 1,, x m ; (b) Indicate a sufficient statistic for (θ x, θ y ). (c) Find the expression for the likelihood ratio statistics W for testing H 0 : θ x = θ y against the unrestricted alternative H 1 : θ x θ y 25