Logica e Ragionamento Logico

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1 Preparazione ai Test di ingresso Cagliari, Luglio 2017

2 Struttura del test Medicina e Chirurgia/Odontoiatria e Protesi Dentaria 60 domande minuti di tempo 1. Culture Generale: 2 domande 2. : 20 domande 3. Biologia: 18 domande 4. Chimica: 12 domande 5. Matematica e Fisica: 8 domande Punteggi risposta corretta: 1,5 punti risposta sbagliata: -0,4 punti risposta non data: 0 punti

3 Struttura del test Medicina e Chirurgia/Odontoiatria e Protesi Dentaria 60 domande minuti di tempo 1. Culture Generale: 2 domande 2. : 20 domande 3. Biologia: 18 domande 4. Chimica: 12 domande 5. Matematica e Fisica: 8 domande Punteggi risposta corretta: 1,5 punti risposta sbagliata: -0,4 punti risposta non data: 0 punti

4 Struttura del test Medicina Veterinaria 60 domande minuti di tempo 1. Culture Generale: 2 domande 2. : 20 domande 3. Biologia: 16 domande 4. Chimica: 16 domande 5. Matematica e Fisica: 6 domande Punteggi risposta corretta: 1,5 punti risposta sbagliata: -0,4 punti risposta non data: 0 punti

5 Struttura del test Medicina Veterinaria 60 domande minuti di tempo 1. Culture Generale: 2 domande 2. : 20 domande 3. Biologia: 16 domande 4. Chimica: 16 domande 5. Matematica e Fisica: 6 domande Punteggi risposta corretta: 1,5 punti risposta sbagliata: -0,4 punti risposta non data: 0 punti

6 Decreto Ministeriale Per l ammissione ai corsi è richiesto il possesso di una cultura generale, con particolari attinenze all ambito letterario, storico-filosofico, sociale ed istituzionale, nonché della capacità di analisi su testi scritti di vario genere e da attitudini al ragionamento logico-matematico. [...] Accertamento della capacità di usare correttamente la lingua italiana e di completare logicamente un ragionamento, in modo coerente con le premesse, che vengono enunciate in forma simbolica o verbale attraverso quesiti a scelta multipla formulati anche con brevi proposizioni, scartando le conclusioni errate, arbitrarie o meno probabili. I quesiti verteranno su testi di saggistica scientifica o narrativa di autori classici o contemporanei, oppure su testi di attualità comparsi su quotidiani o su riviste generalistiche o specialistiche; verteranno altresì su casi o problemi, anche di natura astratta, la cui soluzione richiede l adozione di forme diverse di ragionamento. Quesiti relativi alla cultura generale, affrontati nel corso di studi, completano questo ambito valutativo.

7 Decreto Ministeriale Per l ammissione ai corsi è richiesto il possesso di una cultura generale, con particolari attinenze all ambito letterario, storico-filosofico, sociale ed istituzionale, nonché della capacità di analisi su testi scritti di vario genere e da attitudini al ragionamento logico-matematico. [...] Accertamento della capacità di usare correttamente la lingua italiana e di completare logicamente un ragionamento, in modo coerente con le premesse, che vengono enunciate in forma simbolica o verbale attraverso quesiti a scelta multipla formulati anche con brevi proposizioni, scartando le conclusioni errate, arbitrarie o meno probabili. I quesiti verteranno su testi di saggistica scientifica o narrativa di autori classici o contemporanei, oppure su testi di attualità comparsi su quotidiani o su riviste generalistiche o specialistiche; verteranno altresì su casi o problemi, anche di natura astratta, la cui soluzione richiede l adozione di forme diverse di ragionamento. Quesiti relativi alla cultura generale, affrontati nel corso di studi, completano questo ambito valutativo.

8 Che cos è la logica? Non sarà nel nostro interesse introdurre il concetto di logica in modo preciso. Ci possono bastare alcune intuizioni! La logica è la scienza del ragionamento esatto (corretto, valido) Storicamente la logica è stata introdotta nella filosofia greca Oggi la logica è una materia interdisciplinare: interessa filosofia, matematica e informatica In questo corso la logica servirà in modo particolare per: 1. Dare una struttura formale al linguaggio naturale 2. Riconoscere e applicare formule sempre vere 3. Comprendere meccanicamente la correttezza di un ragionamento

14 La struttura logica del linguaggio Quali sono i tasselli della struttura argomentativa? Da quali configurazioni linguistiche ha inizio l indagine logica del linguaggio? Definizione GLI ENUNCIATI Un enunciato è un espressione linguistica a proposito della quale ha senso chiedersi se sia vera o falsa.

17 Gli enunciati Alcuni esempi Oggi il cielo è grigio Mia madre ha 60 anni e mio padre ne ha 65 I gatti sono felini In questo momento a Londra vivono esattamente 137 persone con i capelli rossi Gianni è irlandese NON sono enunciati Che ore sono? Maria, la sorella di Luca

18 Gli enunciati Alcuni esempi Oggi il cielo è grigio Mia madre ha 60 anni e mio padre ne ha 65 I gatti sono felini In questo momento a Londra vivono esattamente 137 persone con i capelli rossi Gianni è irlandese NON sono enunciati Che ore sono? Maria, la sorella di Luca

19 Enunciati atomici Gli enunciati si dividono in atomici (semplici) e composti Definizione Un enunciato è atomico (semplice) se non può essere scomposto in parti che siano a loro volta enunciati Esempi Lorenzo è alto Cagliari si trova sul mare Firenze si trova tra Bologna e Roma 2 divide 8

22 Cosa esprimono gli enunciati Proprietà Es: Lorenzo è alto A 1 (l) Relazioni (binarie) Es: Cagliari si trova sul mare T 2 (c, m) 2 divide 8 D 2 (2, 8) Giovanni ama Maria A 2 (g, m) Relazioni (ternarie) Es: Firenze si trova tra Bologna e Roma T 3 (f, b, r) Le proprietà e le relazioni in logica si chiamano predicati. Le proprietà sono casi particolari di relazioni a un posto.

26 Enunciati composti Gli enunciati composti NON sono enunciati atomici Definizione Un enunciato è composto se può essere scomposto in una o più parti che sono ancora enunciati (atomici o composti) Esempi Oggi c è il sole e fa caldo Oggi c è il sole, oggi fa caldo sono ancora enunciati Ieri non sono andato al mare Ieri sono andato al mare è un enunciato

30 Comporre enunciati I connettivi Così come l algebra ha le sue operazioni, la logica è caratterizzata da 5 operazioni fondamentali, i connettivi, tramite le quali costruire nuovi enunciati a partire da enunciati dati Negazione A:= Anna è sorella di Franco. Applicando la negazione che leggiamo come non otteniamo l enunciato composto A:= Anna non è sorella di Franco La negazione è un connettivo unario, perchè si applica ad un SOLO enunciato

33 Comporre enunciati Congiunzione e disgiunzione Considero due enunciati atomici: A:= Anna è sorella di Franco B:= Stefano è amico di Teresa Congiunzione A B:= Anna è sorella di Franco e Stefano è amico di Teresa Disgiunzione A B:= Anna è sorella di Franco o Stefano è amico di Teresa, sono connettivi binari perchè si applicano a due enunciati

37 Connettere enunciati Implicazione e doppia implicazione Consideriamo ancora gli enunciati (atomici) A:= Anna è sorella di Franco B:= Stefano è amico di Teresa Implicazione (leggiamo se...allora ) A B:= Se Anna è sorella di Franco allora Stefano è amico di Teresa Doppia implicazione (leggiamo se e solo se ) A B:= Anna è sorella di Franco se e solo se Stefano è amico di Teresa Anche e sono connettivi binari

41 I Principi della Logica Classica Il concetto di enunciato è stato definito in relazione alle proprietà di essere vero o essere falso. Vediamo quali sono i principi cardini della Logica Classica 3 principi fondamentali Principio di Bivalenza I possibili valori di verità attribuiti ad un enunciato sono esattamente due: il vero e il falso. Principio di Determinatezza Ad ogni enunciato si può attribuire uno ed un solo valore di verità. Principio di Verofunzionalità Il valore di verità di un enunciato composto è determinato dal valore di verità degli enunciati atomici costituenti

45 Le tavole di verità Negazione Per il Principio di Verofunzionalità, la verità di enunciato composto, dipende unicamente dal valore di verità degli enunciati componenti. Le tavole di verità ci dicono come funzione questa dipendenza. Negazione ( ) A V F A F V la negazione inverte il valore di verità

49 Le tavole di verità Congiunzione e disgiunzione Congiunzione ( ) A B A B V V V V F F F V F F F F La congiunzione è vera nell unico caso in cui i due enunciati congiunti siano entrambi veri La congiunzione è commutativa

52 Le tavole di verità Disgiunzione Disgiunzione ( ) A B A B V V V V F V F V V F F F La disgiunzione è falsa nell unico caso in cui i due enunciati disgiunti siano entrambi falsi (e vera in tutti gli altri casi) La disgiunzione è commutativa

55 Disgiunzione inclusiva ed esclusiva Si può introdurre un tipo di disgiunzione diversa da, il cui uso è molto frequente nel linguaggio naturale: la disgiunzione esclusiva. Disgiunzione esclusiva ( ) A B A B V V F V F V F V V F F F Una disgiunzione esclusiva ( ) è vera quando esattamente uno dei disgiunti è vero

58 Le tavole di verità Implicazione Implicazione ( ) A B A B V V V V F F F V V F F V A si chiama antecedente dell implicazione, B conseguente L implicazione è falsa nell unico caso in cui l antecedente è vero mentre il conseguente è falso L implicazione non è commutativa

61 Le tavole di verità Doppia implicazione Doppia implicazione ( ) A B A B V V V V F F F V F F F V La doppia implicazione (o bicondizionale) è vera solo quando i due enunciati che connette hanno lo stesso valore di verità. La doppia implicazione esprime l equivalenza logica tra enunciati

64 Esercizio Un uomo viene processato per furto. Il pubblico ministero e l avvocato difensore nell ultima udienza fanno le seguenti affermazioni: PM: "Se l imputato è colpevole, allora ha avuto un complice" Avvocato: "Ciò non è vero" Supponendo che l affermazione dell avvocato riportata sopra sia vera, cosa si può dire con certezza? A) che l imputato verrà assolto B) che l imputato verrà condannato insieme al complice C) che l imputato viene assolto, ma il complice condannato D) che l imputato verrà ritenuto colpevole e quindi condannato E) non si può concludere nulla con certezza

67 Dal linguaggio naturale al linguaggio logico Il linguaggio naturale, che usiamo ogni giorno, è incredibilmente ricco di espressioni linguistiche e sfumature lessicali che a prima vista sembra impossibile pensare di ridurre, nei termini delle cinque operazioni appena viste. In realtà il linguaggio della logica è in grado di schematizzare moltissime espressioni del linguaggio naturale, perdendo però la forza di molte sfumature.

68 Dal linguaggio naturale al linguaggio logico Il linguaggio naturale, che usiamo ogni giorno, è incredibilmente ricco di espressioni linguistiche e sfumature lessicali che a prima vista sembra impossibile pensare di ridurre, nei termini delle cinque operazioni appena viste. In realtà il linguaggio della logica è in grado di schematizzare moltissime espressioni del linguaggio naturale, perdendo però la forza di molte sfumature.

69 Dal linguaggio naturale al linguaggio logico Quando Quando viene espresso tramite un implicazione Quando Linguaggio naturale: Luca sta male quando corre Logica: Se Luca corre allora sta male A B A:= Luca corre B:= Luca sta male Quando introduce l antecedente dell implicazione

72 Dal linguaggio naturale al linguaggio logico Perchè Anche perchè viene espresso tramite un implicazione Perchè Linguaggio naturale: 14 è pari perchè è divisibile per 2 Logica: Se 14 è divisibile per 2 allora è pari A B A:= 14 è divisibile per 2 B:= 14 è pari Perchè introduce l antecedente dell implicazione

75 Dal linguaggio naturale al linguaggio logico Nonostante, ma Nonostante e ma vengono espressi dalla congiunzione Nonostante, ma Linguaggio naturale: Luca studia nonostante sia malato Logica: Luca studia e è malato Linguaggio naturale: È agosto ma fa freddo Logica: È agosto e fa freddo

76 Dal linguaggio naturale al linguaggio logico Nonostante, ma Nonostante e ma vengono espressi dalla congiunzione Nonostante, ma Linguaggio naturale: Luca studia nonostante sia malato Logica: Luca studia e è malato Linguaggio naturale: È agosto ma fa freddo Logica: È agosto e fa freddo

77 Dal linguaggio naturale al linguaggio logico Solo se Solo se corrisponde ad un implicazione. ATTENZIONE alla posizione di antecedente e conseguente Solo se Linguaggio naturale: Luca viene a cena solo se Gianna lo accompagna Logica: Se Luca viene a cena allora Gianna lo accompagna A solo se B si formalizza A B

80 Dal linguaggio naturale al linguaggio logico Condizione sufficiente La condizione sufficiente corrisponde ad un implicazione. ATTENZIONE alla posizione di antecedente e conseguente Condizione sufficiente Linguaggio naturale: Condizione sufficiente affinchè Luca sia toscano è che sia fiorentino Logica: Se Luca è fiorentino allora è toscano A è condizione sufficiente affinchè B si formalizza A B

83 Dal linguaggio naturale al linguaggio logico Condizione necessaria La condizione necessaria corrisponde ad un implicazione. ATTENZIONE alla posizione di antecedente e conseguente Condizione necessaria Linguaggio naturale: Condizione necessaria affinchè Luca abbia la patente è che sia maggiorenne Logica: Se Luca ha la patente allora è maggiorenne A è condizione necessaria affinchè B si formalizza B A

84 Ricapitolando Implicazione L implicazione sarà per noi il connettivo principale A B Un implicazione del tipo A B corrisponde a: se A allora B A solo se B A è condizione sufficiente affinchè B B è condizione necessaria affinchè A

85 Ricapitolando Doppia implicazione A B Una doppia implicazione del tipo A B corrisponde a: A se e solo se B se A allora B e se B allora A A è condizione necessaria e sufficiente affinchè B

86 Forma logica Comprendere la forma logica degli enunciati proposti nei quesiti sarà il primo passo da compiere e può già essere sufficiente a risolvere alcune tipologie di esercizi (apparsi negli ultimi anni) sarà fondamentale per altri quesiti per i quali useremo tecniche più sofisticate

87 Esercizio Forma logica Non è sufficiente aver comprato un biglietto per volare in aereo; è necessario aver fatto il check in. Mario non ha fatto il check in e dunque non può volare. Quale tra le seguenti segue la stessa forma logica? A) Si può entrare allo stadio solo se ho comprato i biglietti per la partita. Domenica sono entrato allo stadio, dunque ho comprato i biglietti. B) Quando nevica i paesi di montagna rischiano di rimanere isolati per giorni. A volte non serve che nevichi, basta che piova molto affinchè restino isolati. C) Se si potano le rose a primavera, la successiva fioritura sarà garantita ma Alessia non si applica mai nel giardinaggio, quindi le sue rose sono destinate a non fiorire bene. D) Luca sa che non basta studiare per superare l esame, ma bisogna anche essere fortunati, e lui non è certo un tipo baciato dalla fortuna! È certo, non passerà l esame. E) Se tutti gli studenti che si presentano al test di ingresso entrassero nel corso di laurea, la facoltà non avrebbe aule sufficienti per garantire lezioni a tutti. Ma non tutti gli studenti possono accedere al corso di laurea, dunque le aule della facoltà saranno in numero sufficiente per tutti gli studenti.

90 Esercizio Forma logica (Test Medicina 2014) Per poter richiedere il visto per una vacanza-lavoro in Australia sono necessari due requisiti: bisogna dimostrare di avere un conto corrente con un saldo di almeno euro e avere un età massima di 30 anni. Giulia ha più di 30 anni, quindi non è idonea per richiedere tale visto. Quale delle seguenti affermazioni segue la stessa struttura logica del suddetto ragionamento? A) Molte professioni hanno limiti d età. L esercito non recluta nessuno che abbia più di 30 anni. Giovanni ha 25 anni, quindi è idoneo per richiedere di arruolarsi nell esercito B) Per candidarsi alla presidenza degli Stati Uniti, bisogna essere nati in territorio statunitense e bisogna avere un età superiore ai 40 anni. John è nato negli Stati Uniti ed ha 50 anni, quindi è idoneo per candidarsi alla presidenza degli Stati Uniti C) Una borsa di studio viene offerta solo agli studenti che si sono laureati con il massimo dei voti e che sono stati già ammessi a una scuola di dottorato. Marco non si è laureato con il massimo dei voti, quindi non è idoneo per richiedere la borsa di studio D) Per vincere una medaglia d oro alle Olimpiadi, bisogna partecipare ai giochi olimpici. Rita ha vinto una medaglia d oro, quindi deve aver partecipato alle Olimpiadi E) Per apparire sulla copertina di una rivista bisogna essere famosi. Luca deve essere più famoso di quanto tutti pensassero, dato che è apparso sulla copertina di una rivista nel del mese di aprile

93 Esercizio Forma logica e tavole di verità Per far sì che l enunciato essere intelligente e conoscere bene le scienze è condizione necessaria e sufficiente per vivere felici sia falso, deve accadere necessariamente che: A) Luigi è un ottimo conoscitore della scienza ma non è vero che è felice B) Luca conosce perfettamente le scienze inoltre è intelligente e felice C) Marta non è felice: non conosce bene le scienze D) Gianni è felice nonostante sia intelligente ma non conosca bene le scienze E) Marina è felice: conosce bene le scienze oppure non è particolarmente intelligente

96 Verità logiche e contraddizioni Tavole di verità e connettivi Abbiamo imparato che le tavole di verità in generale forniscono uno strumento che permette di capire se un enunciato composto sia VERO o FALSO in base ai valori di verità degli enunciati atomici che lo compongono: il valore di A dipende dal valore di A il valore di A B dipende dai singoli valori di A e di B il valore di A B dipende dai singoli valori di A e di B il valore di A B dipende dai singoli valori di A e di B il valore di A B dipende dai singoli valori di A e di B

97 Verità logiche e contraddizioni Enunciati soddisfacibili e falsificabili Gli enunciati composti non sono tutti uguali e le tavole di verità portano alla luce importanti proprietà che li caratterizzano e li distinguono gli uni dagli altri. Soddisfacibilità Un enunciato è detto soddisfacibile se esiste almeno un assegnazione di valori alle variabili proposizionali che lo compongono tale da renderlo vero. un enunciato è soddisfacibile quando nella tavola di verità ad esso associata compare almeno un valore V.

100 Verità logiche e contraddizioni Enunciati soddisfacibili e falsificabili Analogamente possiamo definire la proprietà duale: Falsificabilità Un enunciato è detto falsificabile se esiste almeno un assegnazione di valori alle variabili proposizionali che lo compongono tale da renderlo falso. un enunciato è falsificabile quando nella tavola di verità ad esso associata compare almeno un valore F.

103 Attenzione! Un enunciato può essere contemporaneamente soddisfacibile e falsificabile! Esempio A B B A A B (B A) (A B) V V V V V V F V V V F V F V F F F V F F (B A) (A B) è soddisfacibile per A = B = V e A = V, B = F (B A) (A B) è falsificabile per A = F, B = V e A = B = F

106 Verità logiche e contraddizioni Contraddizioni Consideriamo l enunciato (A A) e guardiamo la sua tavola di verità: Esempio A A A A (A A) V F V F F V V F Questo enunciato non solo è falsificabile ma non è mai vero!

109 Verità logiche e contraddizioni Contraddizioni Gli enunciati che risultano sempre falsi sono quelli che in logica formale vengono chiamati falsità logiche: Contraddizione Un enunciato è detto contraddizione o falsità logica se nessuna assegnazione di valori alle variabili proposizionali che lo compongono lo rende vero, ovvero ogni assegnazione lo rende falso. Una contraddizione è una formula la cui tavola di verità dà come risultato F per ogni caso possibile considerato.

112 Verità logiche e contraddizioni Tautologie Consideriamo l enunciato A (B A) e guardiamo la sua tavola di verità: Esempio A B B A A (B A) V V V V V F V V F V F V F F V V Questo enunciato non solo è soddisfacibile ma non è mai falso!

115 Verità logiche e contraddizioni Tautologie Gli enunciati che risultano sempre veri sono quelli che in logica formale vengono chiamati verità logiche: Tautologia Un enunciato è detto tautologia o verità logica se ogni assegnazione di valori alle variabili proposizionali che lo compongono lo rende vero. Una tautologia è una formula la cui tavola di verità dà come risultato V per ogni caso possibile considerato.

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