Scuola di Calcolo Scientifico con MATLAB (SCSM) 2017 Palermo Luglio 2017

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1 Scuola di Calcolo Scientifico con MATLAB (SCSM) 2017 Palermo Luglio Arianna Pipitone

2 Analizzare i dati Analizzare i dati significa esaminare: il comportamento di ciascun dato a disposizione rispetto agli altri dati il comportamento di tutti i dati rispetto ad un trend Nel primo caso, si esaminano semplici funzioni quali il massimo o il minimo dei dati a disposizione Nel secondo caso, si eseguono indagini più complesse di tipo statistico

3 Massimo e minimo di una matrice m = max(n1,n2) [m,i] = max(v) [m,i] = max(a) Calcola il massimo tra due numeri n1 e n2 (solo due argomen4) Calcola il massimo m degli elemen4 del ve7ore v e l indice i del primo valore massimo trovato in v. Se si usa un solo valore di output, la funzione res4tuisce solo il valore massimo Res4tuisce il ve7ore riga m contenente il massimo di ogni colonna della matrice A e il ve7ore riga i degli indici delle righe dove si trova il primo valore massimo di quella colonna >> [m i] = max(a) m = i = A =

4 Massimo e minimo di una matrice M = max(a,k) M = max(a,b) [m,i] = max(a, [],dim) Res4tuisce una matrice M i cui elemen4 sono il massimo tra il corrispondente elemento di A e lo scalare k. Equivale a: M(i,j) = max(a(i,j),k) Res4tuisce una matrice M i cui elemen4 sono il massimo tra i corrisponden4 elemen4 di A e B. Equivale a: M(i,j) = max(a(i,j),b(i,j)) Res4tuisce il ve7ore m contenente il massimo calcolato lungo la direzione di A specificata dal parametro dim (che può essere al solito 1 per la direzione di default colonna e 2 per la direzione riga) e il ve7ore i degli indici del primo valore massimo lungo quella direzione [m,i] = max(a(:)) Calcola il massimo m della matrice A e l'indice (in index nota4on) del primo valore massimo trovato >> M = max(a, 2) M = A =

5 Massimo e minimo di una matrice m = min(n1,n2) [m,i] = min(v) [m,i] = min(a) M = min(a,k) M = min(a,b) [m,i] = min(a, [],dim) [m,i] = min(a(:)) Calcola il minimo tra due numeri (solo due argomen2!) Calcola il minimo m degli elemen4 del ve7ore v e l'indice i del primo valore minimo trovato in v. Se si usa un solo valore di output, la funzione res4tuisce solo il valore minimo Res4tuisce il ve7ore riga m contenente il minimo di ogni colonna della matrice A e il ve7ore riga i degli indici delle righe dove si trova il primo valore minimo di quella colonna Res4tuisce una matrice M i cui elemen4 sono il minimo tra il corrispondente elemento di A e lo scalare k Res4tuisce una matrice M i cui elemen4 sono il minimo tra i corrisponden4 elemen4 di A e B Res4tuisce il ve7ore m contenente il minimo calcolato lungo la direzione di A specificata dal parametro dim e il ve7ore i degli indici del primo valore minimo lungo quella direzione Calcola il minimo m della matrice A e l'indice (in index nota4on) del primo valore minimo trovato

6 Problema 15: Massimi e minimi di una matrice Un proiettile è sparato da un fucile inclinato di un angolo ϕ rispetto all'orizzonte. Dalla meccanica sappiamo che la gittata è data dalla formula: ϕ 1. Calcolare sperimentalmente per quale valore di ϕ la gittata è massima, assegnando a ϕ valori compresi tra 0 e π/2 con intervalli di incremento di 0.05 rad. Usare velocità iniziale v 0 = 100m/sec e g = 9,81 m/sec 2 [π/4] 2. Per quale valore di ϕ la gittata è minima? [0 - π/2] git 2 v 0 git = sin(2 φ) g 3. Costruite una matrice G che abbia sulla prima colonna i valori di ϕ e sulla seconda colonna i corrispondenti valori delle gittate. Ordinate le righe di G secondo i valori decrescenti delle gittate

7 Problema 16: Massimi e minimi di una matrice Data la matrice: A= Calcolare il minimo e il massimo della matrice A e le loro coordinate (i, j) 2. Calcolare il minimo e il massimo del vettore della somma delle righe di A 3. Calcolare il modulo del vettore contenente i minimi di ogni riga 4. Calcolare il modulo del vettore contenente i massimi di ogni colonna 5. Calcolare la matrice M contenente i massimi tra la matrice A e la matrice B, delle stesse dimensioni di A, con valori casuali uniformemente distribuiti tra il minimo di A e il massimo di A

8 Analisi di dati statistici Le grandezze base che vengono utilizzate per l analisi statistica di dati sono: Media rappresenta la media aritmetica dei dati Mediana è il numero al centro di una lista ordinata 1, 2, 3, 4, 5 x = n i= 1 n x i 3 è la mediana Moda è numero che occorre più spesso nella sequenza 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5 1 è la moda

9 Analisi di dati statistici La media può essere matematicamente corretta, ma nasconde la volatilità dei dati. In altre parole, a volte la media di un insieme di dati non li rappresenta correttamente. È qui che entra in gioco la deviazione standard Nella prima sequenza di dati, la media è rappresentativa. Nella seconda sequenza non è rappresentativa perché la variabilità dei dati è puntuale.

10 La deviazione standard La deviazione standard dà un idea di come siano distribuiti i dati nel campione rispetto alla media. Detto in un altro modo consente di sapere se la media è affidabile per dare una rappresentazione significativa dei dati Nel primo caso, la deviazione standard è 2. Questo ci dice che ogni dato del campione si trova a una distanza media di 2 punti dalla media. Una deviazione standard di 0 starebbe a significare che ogni dato è esattamente uguale alla media del campione (42,33 in questo caso). Una deviazione standard di 2 non è così lontana da 0, indicando che la maggioranza dei dati è posizionata molto vicino alla media. Quanto più la deviazione standard è vicina a 0, tanto più affidabile è la media. Quindi una deviazione standard vicina a 0 ci dice che c è poca volatilità nel campione. Al contrario, una deviazione standard alta, indica che la media si discosta da alcuni dati nella sequenza e non è rappresentativa di ciascuno di essi.

11 La deviazione standard Supponiamo di avere una distribuzione La media aritmetica ( µ ) della distribuzione X è uguale quindici (µ=15 ). Per calcolare la deviazione standard, si sommano i quadrati delle differenza assolute tra i singoli valori numerici ( 12, 13, 15, 20 ) e la media aritmetica ( µ=15 ) della distribuzione.

12 La deviazione standard Si divide la somma per il numero degli elementi della distribuzione X ossia quattro (n=4). In questo modo si ottiene la media aritmetica dei quadrati delle differenze. Infine si calcola la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati. Il risultato è lo scostamento quadratico medio ( o deviazione standard) della variabile statistica X. In questo caso, la deviazione standard è circa 3,082.

13 La deviazione standard Nel caso in cui la modalità di rappresentazione dei dati fosse un intervallo di valori, si prende come riferimento il valore centrale della classe. Per esempio, supponendo di avere tali dati: A ciascuna modalità (classe) è associata una frequenza assoluta che indica il numero degli elementi aventi quel valore.

14 La deviazione standard Poi si calcola la sommatoria dei quadrati delle differenze tra ogni modalità e la media aritmetica ( x i - µ ) 2. In questo caso ogni differenza è moltiplicata per la relativa frequenza Φ i della classe.

15 La deviazione standard Poi si divide la sommatoria dei quadrati per il numero della popolazione (N=20). Infine si calcola la radice quadrata. Si ottiene così lo scarto semplice medio della distribuzione.

16 La varianza La varianza è un altro indicatore molto usato, e rappresenta la variabilità di un insieme di dati. Un valore basso significa che i dati sono raggruppati molto vicini fra loro, mentre una varianza elevata indica dei dati più distribuiti. La seguente distribuzione statistica è composta da cinque elementi: La media aritmetica della distribuzione è uguale a sei ( µ=6 ).

17 La varianza Per calcolare la varianza si sommano i quadrati delle differenze tra i valori x i della distribuzione X e il valore medio (6). In questo esempio la varianza della distribuzione X è uguale a due ( σ2=2 ).

18 La varianza Anche in questo caso, quando la modalità di rappresentazione dei dati fosse un intervallo di valori, si prende come riferimento il valore centrale della classe. Per esempio, supponendo di avere tali dati:

19 La varianza Per calcolare la varianza, si sommano i quadrati delle differenze tra ogni valore modale e la media aritmetica (x i - µ ) 2 moltiplicati per la relativa frequenza Φ i della classe.

20 La varianza In MATLAB è possibile calcolare tutte queste grandezze richiamando semplici funzioni; la distribuzione dei dati è rappresentata dagli elementi dei vettori e delle matrici Esiste altresì una libreria esterna che consente di fare analisi statistica sofisticata e complessa (Statistical Toolbox) Le funzioni operano sulle colonne o sulle righe delle matrici

21 Funzioni di analisi dei dati m = mean(v) m = mean(a) m = mean(a,dim) m = median(v) m = median(a) m = median(a,dim) Calcola la media degli elemen4 del ve7ore v Calcola la media degli elemen4 delle colonne della matrice A Calcola la media degli elemen4 di una matrice lungo la dimensione dim (1 o 2) Calcola la mediana degli elemen4 del ve7ore v Calcola la mediana degli elemen4 delle colonne della matrice A Calcola la mediana degli elemen4 della matrice A lungo la dimensione dim (1 o 2)

22 Funzioni di analisi dei dati d = std(v) d = std(a) Calcola la deviazione standard degli elemen4 del ve7ore v Calcola la deviazione standard degli elemen4 delle colonne della matrice A d = std(a,1,dim) Calcola la deviazione standard degli elemen4 di una matrice lungo dim (1 o 2) n i= 1 σ = ( x ) 2 i x n 1 s = var(v) Calcola la varianza degli elemen4 del ve7ore v s = var(a) Calcola la varianza degli elemen4 delle colonne della matrice A var = = n 2 i= 1 σ ( x ) 2 i x n 1

23 Problema 17: Funzioni di analisi dei dati Di seguito si riportano i risultati in decimi di un test scolastico: Risulta2 TEST in decimi Calcolare quanti alunni hanno preso parte al test [16] 2. Calcolare il voto minimo e quello massimo [1-10] 3. Calcolare il voto medio [5.8750] 4. Calcolare la mediana [6] 5. Calcolare la deviazione standard [2.6300] 6. Calcolare la varianza [6.9167] 7. Ordinare i voti in ordine decrescente e convertire il vettore dei voti così ordinati in 30-esimi