ELEMENTI DI GEOMETRIA NELLO SPAZIO

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1 ELEMENTI DI GEOMETRIA NELLO SPAZIO. NOTE STORICHE INTRODUTTIVE. Nè Cartesio nè Newton elaborarono la geometria analitica nello spazio: ciò fu fatto in seguito, nella prima metà del XVIII secolo, da Clairaut e Laguerre. Aleis Claude Clairaut fu uno dei più precoci matematici che si ricordino, persino più` precoce di Pascal. All'età di dieci anni era in grado di leggere i manuali di de l'hôpital sulle coniche e sul calcolo infinitesimale, mentre a tredici anni presentò una memoria di geometria all'academie des Sciences, della quale divenne membro all'età di diciotto anni, grazie a una deroga speciale rispetto ai limiti di età prescritti dai regolamenti. Nell'anno stesso della sua elezione Clairaut pubblicò un trattato divenuto famoso, "Recherches sur les courbes a double courbure", il cui contenuto fondamentale era stato già da lui presentato all'academie due anni prima. Come era avvenuto per la Geometrie di Descartes, le Recherches di Clairaut apparvero senza l'indicazione del nome dell'autore sul frontespizio, anche se, pure in questo caso, la paternità dell'opera era generalmente nota. Questo libro dell'adolescente Clairaut rappresentava il primo trattato di geometria analitica solida.. COORDINATE CARTESIANE NELLO SPAZIO. Fissate nello spazio tre rette passanti per uno stesso punto O, che non appartengano ad un medesimo piano e che siano a due a due ortogonali, quando su ciascuna di esse si stabilisce un verso di percorrenza, un punto origine e un'unità di misura per i segmenti, queste tre rette costituiscono un sistema di coordinate cartesiane ortogonali. Se, come di solito avviene, come punto origine, su ciascuna di esse si sceglie il loro punto comune, O, e su ciascuna di esse la stessa unità di misura per i segmenti, il sistema di riferimento considerato si dice cartesiano, ortogonale, monometrico. Le tre rette si dicono assi cartesiani e vengono indicati con,,z; il punto O si dice origine delle coordinate, i tre piani passanti per O che contengono due dei tre assi si dicono piani coordinati. Solitamente vengono indicati come piani, z, z. Un sistema di coordinate cartesiane permette di stabilire una corrispondenza biunivoca continua fra i punti dello spazio e le terne ordinate di numeri reali (la corrispondenza è continua perché a due punti P e Q "poco distanti" fra loro corrispondono due terne "poco diverse" tra di loro, e viceversa). Se P è un punto qualunque dello spazio, i piani paralleli ai tre piani coordinati z, z,, passanti per P, intersecano gli assi,, z, rispettivamente, nei punti A, B, C.

2 z C p O B A p Indicate con a,b,c, rispettivamente, le misure dei segmenti orientati OA, OB, OC, i tre numeri a,b,c così ottenuti si dicono coordinate cartesiane ortogonali del punto P o anche ascissa, ordinata e quota (o applicata) del punto P. Ad ogni punto P dello spazio corrisponde una terna ordinata di numeri reali (le coordinate di P). Invece, dati tre numeri reali a,b,c, essi sono interpretabili come coordinate di un unico e ben determinato punto P dello spazio. Si può quindi affermare che fissato nello spazio un sistema cartesiano di riferimento, esiste una corrispondenza biunivoca continua fra i punti dello spazio e le terne ordinate di numeri reali. Le misure dei lati della spezzata OAPP risultano essere le coordinate del punto P e per questa ragione tale spezzata si chiama spezzata costruttrice delle coordinate del punto P. I punti del piano coordinato hanno la terza coordinata nulla (z=0); quelli del piano z hanno la seconda coordinata nulla (=0), e quelli del piano z hanno nulla la prima coordinata (=0). I punti dell'asse hanno nulla la seconda e la terza coordinata (=z=0); quelli dell'asse hanno nulla la prima e la terza coordinata (=z=0), e infine i punti dell'asse z hanno nulla la prima e la seconda coordinata (==0). L'origine degli assi coordinati ha nulle tutte e tre le coordinate. Il piano Oz divide tutto lo spazio in due semispazi. Chiameremo vicino il semispazio che occupa il verso positivo dell'asse O, e lontano l'altro semispazio. Il piano Oz divide lo spazio in due semispazi: chiameremo destro il semispazio che occupa il verso positivo dell'asse O, e sinistro l'altro. Il piano O divide tutto lo spazio in due semispazi: chiameremo superiore il semispazio che occupa il verso positivo dell'asse Oz, e inferiore l'altro. L'insieme dei tre piani O, Oz, ed Oz divide lo spazio in otto parti, dette triedri di coordinate. Sia P un certo punto di coordinate,,z, vale la seguente regola: se >0 >0 z>0 allora P giace nel primo triedro se <0 >0 z>0 allora P giace nel secondo triedro se <0 <0 z>0 allora P giace nel terzo triedro se >0 <0 z>0 allora P giace nel quarto triedro se >0 >0 z<0 allora P giace nel quinto triedro se <0 >0 z<0 allora P giace nel sesto triedro se <0 <0 z<0 allora P giace nel settimo triedro

3 se >0 <0 z<0 allora P giace nel ottavo triedro. DISTANZA TRA DUE PUNTI. PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO. Sia dato un sistema di coordinate Oz e siano A(,,z) e B(,,z) le coordinate di due punti A e B dello spazio rispetto al sistema Oz. La distanza tra i due punti A e B, cioè la misura del segmento AB è data dalla seguente formula: AB = ( ) + ( ) + ( z z ) In coordinate cartesiane ortogonali, la distanza di due punti nello spazio è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze fra le coordinate dello stesso nome. In particolare, la distanza di un punto P(,,z) dall'origine degli assi è data da: OP = + + z Analogamente a quanto fatto nel piano, le coordinate del punto medio M del segmento di estremi A(,,z) e B(,,z) sono date da: + M = + M = z+ z z M = cioè sono le medie aritmetiche delle coordinate omonime. 4. EQUAZIONE CARTESIANA DI UN PIANO. Nello spazio, ove sia fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali, un piano si può rappresentare analiticamente mediante un'equazione del tipo: a + b + cz + d = 0

4 nel senso che tutti e soltanto i punti di questo piano hanno coordinate che soddisfano questa equazione, cioè: ogni piano si puo` rappresentare mediante un'equazione di primo grado nelle incognite,,z. 5. PIANI IN POSIZIONI PARTICOLARI. Nell'equazione del piano: a + b + cz + d = 0 alcuni dei coefficienti possono essere nulli; non tutti però e nemmeno i primi tre insieme. ) Se d=0 il piano corrispondente passa per l'origine delle coordinate, perchè i valori: =0, =0, z=0 (coordinate dell'origine), soddisfano l'equazione. ) Se nell'equazione di un piano manca una variabile, il piano è parallelo all'asse che corrisponde alla variabile mancante; se manca inoltre anche il termine noto, allora l'asse stesso giace sul piano. ) Se nell'equazione di un piano mancano due variabili, il piano è parallelo al piano coordinato che corrisponde alle due variabili mancanti. In particolare: a) z = 0 è l'equazione del piano b) = 0 è l'equazione del piano z c) = 0 è l'equazione del piano z L'equazione del piano che passa per i tre punti: P(,,z) ; P(,,z) ; P(,,z) è data da: z z = 0 z z 4

5 Da questa equazione, sviluppando il determinante per gli elementi della prima riga, si deduce l'equazione lineare: z z z + z = z z z 0 e quindi i quattro determinanti delle matrici di ordine possono essere interpretati come i coefficienti a,b,c,d dell'equazione generale di un piano. A volte è più comodo rappresentare l'equazione di un piano in una forma diversa. Sappiamo da quanto detto in precedenza che una equazione di primo grado in tre variabili del tipo: a + b + cz + d = 0 rappresenta in un riferimento cartesiano ortogonale un piano e l'equazione prende il nome di equazione generale del piano. Se poniamo: d p = a d q = b d r = c l'equazione del piano diventa: p + z q + r = e viene detta equazione segmentaria del piano. I valori p,q,r indicano le misure dei segmenti staccati, a partire dall'origine, sugli assi coordinati. 6. EQUAZIONE DI UN FASCIO DI PIANI. STELLA DI PIANI. Si definisce fascio di piani la totalità dei piani dello spazio passanti per una retta ( asse del fascio ), o anche la totalita` dei piani paralleli ad un piano dato. Se: 5

6 a + b + cz + d = 0 ; A + B + Cz + D = 0 sono le equazioni di due piani appartenenti al fascio, l'equazione del fascio è del tipo: M ( a+b+cz+d ) + N ( A+B+Cz+D ) = 0 con M,N numeri reali. Condizione necessaria e sufficiente affinchè tre piani distinti appartengano ad uno stesso fascio è che la matrice (4) dei coefficienti delle equazioni dei tre piani abbia rango minore o uguale a. Si chiama stella di piani la totalità dei piani dello spazio passanti per uno stesso punto ( centro della stella ) o anche la totalità dei piani paralleli ad una retta data. L'equazione della stella di piani individuata da tre piani non appartenenti ad uno stesso fascio è la combinazione lineare delle tre equazioni dei piani. Condizione necessaria e sufficiente affinchè quattro piani distinti appartengano alla stessa stella è che il determinante della matrice quadrata di ordine 4 formata dai coefficienti numerici delle equazioni dei piani sia uguale a zero. 6