Scheda La legge di Boyle e Mariotte

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1 Scheda La legge di Boyle e Mariotte PREREQUISITI Per affrontare la prova devi sapere: Qual è la relazione tra massa e peso Quali sono la definizione e l unità di misura della pressione Come si legge un termometro Enunciato della legge di Boyle e Mariotte 1 Titolo La prova riguarda lo studio dell andamento del volume al variare della pressione nella trasformazione isoterma di un gas perfetto, per cui il titolo è: Verifica della legge di Boyle e Mariotte. 2 Obiettivi Vogliamo trovare una conferma della proporzionalità inversa tra volume e pressione in un gas perfetto (nel nostro caso aria), quando la temperatura venga mantenuta costante, e tracciare il grafico relativo a tale trasformazione. 3a Schema e/o disegno Il disegno si limita al cilindro con un pistone sul quale vengono disposti dei pesi via via crescenti, allo scopo di modificare la pressione (fig. 1). 3b Materiale e strumenti Il materiale utilizzato è quello che segue: cilindro (eventualmente graduato) con pistone che scorre al suo interno e chiusura a tenuta; pesi; asta di supporto; calibro ventesimale e asta millimetrata; termometro; barometro. Figura 1 h

2 4 Contenuti teorici I riferimenti teorici sono quelli relativi alla definizione e al comportamento dei gas perfetti, in particolare quando vengono sottoposti a una trasformazione a temperatura costante. Quindi, dopo avere detto che cosa si intende per gas perfetto, puoi illustrare la legge di Boyle e Mariotte con tutti i suoi risvolti per quanto riguarda l andamento del volume in funzione della pressione, soffermandoti magari sul significato della proporzionalità inversa. 5 Descrizione della prova La prova è un po impegnativa dal punto di vista dell elaborazione dei dati: se il cilindro non è graduato, dovrai calcolare ogni volta il volume del cilindro occupato dall aria a partire dalla misurazione dell altezza variabile; inoltre, dovrai determinare i valori corrispondenti delle pressioni, da sommare a quella atmosferica e a quella dovuta al pistone, conoscendo le masse dei solidi utilizzati. Ciò che ci accingiamo a fare è: mettere dei pesi sul pistone, il cui valore cresca regolarmente (il doppio, il triplo ecc. del valore iniziale), e ogni volta rilevare l altezza occupata dall aria entro il cilindro; misurare o calcolare (se non vengono letti sul cilindro graduato) i volumi occupati dall aria, dopo avere rilevato il diametro della sezione cilindrica (d): V S h π d 2 4 superficie della sezione cilindrica h altezza del cilindro (posizione del pistone) e, quindi, le pressioni aggiuntive a cui è sottoposta l aria, secondo la seguente formula: F m g pagg S π 2 d 4 peso della massa disposta sul pistone superficie della sezione cilindrica Puoi procedere come segue. a) Con un calibro ventesimale, inserendo nel cilindro le ganasce opposte al cursore, misura il diametro interno: d ( ± ) b) Misura per mezzo di una bilancia la massa del pistone: m pistone ( ± ) e quella dei pesi che ti servono per aumentare la pressione del gas (colonna 5 della tabella 1): m 1 ( ± ) m 2 ( ± ) m 3 ( ± ) ecc. c) Metti il cilindro con il pistone nel supporto, in modo che sia verticale, regolando la quantità d aria tramite la chiusura inferiore del cilindro, che potrà essere un semplice tappo in gomma (in questo caso, fai in modo che appoggi sul ripiano affinché tenga meglio l aria). d) Fai qualche prova, abbassando il pistone a vari livelli entro il cilindro e verificando che, quando cessa la forza, il gas si espanda riportando il pistone nella posizione iniziale: se così non fosse, ciò vorrebbe dire che gli attriti e/o le perdite di aria sono significative. e) Prendi nota, tramite il barometro, della pressione esterna: p atm ( ± ) f ) Rileva, tramite il termometro, la temperatura dell ambiente, che sarà presa come temperatura del gas (questo dato ti serve unicamente per valutare se durante la prova la temperatura del sistema è rimasta costante): t i ( ± )

3 g) Metti sul pistone uno dei pesi e, facendo in modo che la compressione non sia troppo rapida, determina l altezza dalla base del cilindro fino al pistone (prima riga della colonna 1 in tabella): h 1 ( ± ) h) Ripeti la misurazione dell altezza di cui all istruzione precedente ogni volta che aggiungi un peso, completando così la colonna 1 della tabella. i) Leggi il valore della temperatura dell ambiente per confrontarlo con quello iniziale: t f ( ± ) Fatto questo, l esecuzione pratica della prova è terminata. 6 Raccolta dei dati In tabella abbiamo riportato i dati che vanno effettivamente elaborati, mentre abbiamo posto all esterno di essa quelli costanti, come la massa del pistone, il diametro del cilindro, l altezza iniziale, la pressione atmosferica. Come sempre, quelli qui riportati sono dati campione e non quelli che avrai tu. m pistone (113,3 ± 0,1) g p atm (1,010 ± 0,005) 10 5 Pa d (35,45 ± 0,05) mm Tabella h Dx(h) V S h Dx(V) m Dx(m) p Dx(p) p V Dx( p V ) ( 10-3 m) ( 10-3 m) ( 10-6 m 3 ) ( 10-6 m 3 ) (kg) (kg) ( 10 5 Pa) ( 10 5 Pa) (J) (J) ,500 0,001 1,071 0,006 8,6 0,3 7 Elaborazione Suddividiamo il trattamento dei dati in varie fasi, perché è piuttosto articolato. Calcoliamo la superficie della sezione del cilindro: π 2 3, S d ( 35, ) 987, m 4 4 (Se devi calcolare l incertezza di S, vedi più avanti l help 1.) Determiniamo il volume V 1 occupato dall aria con un solo peso sul pistone: V 1 S h , m m 3 Mettiamo il valore nella colonna 3 della tabella 1. (Se devi calcolare l incertezza di V 1, leggi l help 2.) Troviamo la pressione iniziale p 1, data dalla somma della pressione atmosferica, di quella dovuta alla massa del pistone e, infine, della pressione della prima massa (0,500 kg) aggiunta sul pistone: mpistone g m1 g 5 0, , 81 0, 500 9, 81 p1 patm + ppistone + pagg patm + + 1, S S , , , , Pa 1, Pa Questo risultato lo riportiamo nella colonna 7 della tabella. (Se devi calcolare l incertezza di p 1, vedi più avanti l help 3.) m

4 Moltiplichiamo, infine, la pressione p 1 per il volume corrispondente V 1 : 5 6 p V 1, , 568 J 8, 6 J 1 1 Il valore trovato lo inseriamo nella colonna 9. (Se devi calcolare l incertezza di p 1 V 1, il procedimento è del tutto simile a quello seguito per S h 1, per cui vedi ancora l help 2.) Ripetiamo i calcoli per trovare il volume V 2, la pressione p 2 e il loro prodotto, completando la seconda riga della tabella 1 L elaborazione può concludersi con il tracciamento del grafico (p, V) su carta millimetrata, così come illustrato in figura 2, dove sono riportati anche gli intervalli di indeterminazione tanto dei volumi quanto delle pressioni (che nel piano diventano perciò dei rettangoli). Tieni presente che per visualizzare meglio l iperbole, ci vorrebbe un numero maggiore di punti. p ( 10 5 Pa) 1,200 1,100 1, V ( 10 6 m 3 ) Figura 2 8 Analisi dei risultati e conclusioni Per valutare l esperienza devi osservare se i valori ottenuti di p V sono effettivamente, nei limiti degli errori sperimentali, costanti. Se hai calcolato anche le incertezze con le leggi di propagazione, allora puoi disegnare gli intervalli di indeterminazione (che saranno tanti quanti sono i pesi adoperati), ottenendo qualcosa simile a quanto riportato in figura 3. Nel caso in cui trovi una zona in comune a tutti gli intervalli tracciati, potrai sostenere di aver avuto una conferma della legge di Boyle e Mariotte. Se, viceversa, i valori di p V sono fra loro piuttosto lontani o non c è compatibilità fra gli intervalli di indeterminazione, allora devi cercare di individuare i fattori che hanno influenzato negativamente la prova. Te ne suggeriamo alcuni: l aria non è un gas perfetto; la temperatura dell aria non è rimasta costante, a causa della rapida compressione o dell aumento della temperatura ambientale durante l esecuzione della prova; l attrito pistone-cilindro non è trascurabile; si sono verificate delle perdite di aria. p 1 V 1 p 2 V 2 p 3 V 3 p 4 V 4 Figura 3 7,5 8,0 8,5 9,0 J

5 help 1 Trattandosi di un prodotto fra π/4 e d 2, se prendiamo un numero appropriato di cifre decimali per π (per esempio: π 3,14159), potremo considerare esclusivamente l incertezza sul diametro: Δxd ( ) ΔxS ( ) εr( S) S 2 εr( d) S S 2 d 3 0, , , , , , m 2 Il risultato di S è perciò: S (987 ± 3) 10 6 m 2. help 2 L errore relativo di un prodotto è dato dalla somma degli errori relativi dei fattori, per cui: ΔxS ( ) Δxh ( 1) 3 0, 001 ΔxV ( 1) εr( V1) V1 [ εr( S) + εr( h1)] V1 + V1, S h , [0, ,01235] 79, , , , m 3 help 3 L incertezza di p 1 è data dalla somma delle incertezze di p atm, di p pistone e di p agg. L incertezza di p atm coincide con l errore di sensibilità del barometro, mentre il calcolo dell incertezza di p pistone e p agg è come procedimento identico. Vediamo i passaggi per la pressione della massa aggiunta: m g p 1 agg S 0, 500 9, , Pa considerando che il valore dell accelerazione di gravità è: g (9,81 ± 0,01) m/s 2. Δxm ( 1) Δxg ( ) ΔxS ( ) Δxp ( agg ) [ εr ( m1 ) + εr( g) + εr( S)] pagg + + p agg m1 g S Per cui sarà: 0, 001 0, , , 500 9, , , , , , , , , Pa p agg (0,0497 ± 0,0003) 10 5 Pa Una volta calcolato analogamente Δx(p pistone ), scriverai: Δx(p 1 ) Δx(p atm ) + Δx(p pistone ) + Δx(p agg )