Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati Ingegneria e Scienze Informatiche - Cesena A.A
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- Placido Perini
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1 Ingegneria e Scienze Informatiche - Cesena A.A dilena@cs.unibo.it, pietro.dilena@unibo.it
2 Note introduttive sul corso Modalità d esame Note introduttive sul corso Finalità: fornire competenze di base relative all implementazione di algoritmi efficienti (in termini di risorse di calcolo utilizzate) per la risoluzione di problemi su liste, alberi e grafi.
3 Note introduttive sul corso Modalità d esame Note introduttive sul corso Finalità: fornire competenze di base relative all implementazione di algoritmi efficienti (in termini di risorse di calcolo utilizzate) per la risoluzione di problemi su liste, alberi e grafi. Prerequisiti: conoscenza delle tecniche per l analisi di algoritmi (corso di Algoritmi e Strutture Dati), conoscenza di base del linguaggio C e familiarità con un qualsiasi ambiente di sviluppo C (Dev-C++, Linux, ecc).
4 Note introduttive sul corso Modalità d esame Note introduttive sul corso Finalità: fornire competenze di base relative all implementazione di algoritmi efficienti (in termini di risorse di calcolo utilizzate) per la risoluzione di problemi su liste, alberi e grafi. Prerequisiti: conoscenza delle tecniche per l analisi di algoritmi (corso di Algoritmi e Strutture Dati), conoscenza di base del linguaggio C e familiarità con un qualsiasi ambiente di sviluppo C (Dev-C++, Linux, ecc). Testi consigliati: Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati. T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein. Programmazione con strutture dati in C. D. Calvanese, P. Liberatore, F. Massacci. Lucidi delle lezioni, Wikipedia
5 Note introduttive sul corso Modalità d esame Note introduttive sul corso Finalità: fornire competenze di base relative all implementazione di algoritmi efficienti (in termini di risorse di calcolo utilizzate) per la risoluzione di problemi su liste, alberi e grafi. Prerequisiti: conoscenza delle tecniche per l analisi di algoritmi (corso di Algoritmi e Strutture Dati), conoscenza di base del linguaggio C e familiarità con un qualsiasi ambiente di sviluppo C (Dev-C++, Linux, ecc). Testi consigliati: Introduzione agli Algoritmi e Strutture Dati. T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein. Programmazione con strutture dati in C. D. Calvanese, P. Liberatore, F. Massacci. Lucidi delle lezioni, Wikipedia Infos: Web: dilena/homepage/lasd1314.html Ricevimento: su appuntamento (via ) oppure ogni mercoledì dalle 11 alle 12, studio 11, via Sacchi 3, Cesena.
6 Note introduttive sul corso Modalità d esame Modalità d esame Sviluppo di un progetto, da realizzare in linguaggio C con relativa relazione scritta. Il progetto può essere sviluppato in gruppi di massimo tre studenti. Scelta preferita/consigliata: gruppi di due studenti. Il progetto deve essere consegnato entro un mese dal superamento della prova scritta. Può essere consegnato prima del superamento della prova scritta e resterà valido fino al superamento della stessa.
7 Note introduttive sul corso Modalità d esame Modalità d esame Sviluppo di un progetto, da realizzare in linguaggio C con relativa relazione scritta. Il progetto può essere sviluppato in gruppi di massimo tre studenti. Scelta preferita/consigliata: gruppi di due studenti. Il progetto deve essere consegnato entro un mese dal superamento della prova scritta. Può essere consegnato prima del superamento della prova scritta e resterà valido fino al superamento della stessa. Dettagli sul progetto: Vi verranno proposti due progetti distinti: uno progetto semplice e un progetto (leggermente più) complesso. Ogni gruppo deve consegnare uno solo dei due progetti, a scelta. Il progetto semplice non ha una valutazione numerica: se valutato positivamente, permette di registrare il voto dello scritto. Il progetto complesso, se valutato positivamente, permette di incrementare il voto della prova scritta fino ad un massimo di 3 punti.
8 Note introduttive sul corso Modalità d esame Modalità d esame Sviluppo di un progetto, da realizzare in linguaggio C con relativa relazione scritta. Il progetto può essere sviluppato in gruppi di massimo tre studenti. Scelta preferita/consigliata: gruppi di due studenti. Il progetto deve essere consegnato entro un mese dal superamento della prova scritta. Può essere consegnato prima del superamento della prova scritta e resterà valido fino al superamento della stessa. Dettagli sul progetto: Vi verranno proposti due progetti distinti: uno progetto semplice e un progetto (leggermente più) complesso. Ogni gruppo deve consegnare uno solo dei due progetti, a scelta. Il progetto semplice non ha una valutazione numerica: se valutato positivamente, permette di registrare il voto dello scritto. Il progetto complesso, se valutato positivamente, permette di incrementare il voto della prova scritta fino ad un massimo di 3 punti. Le specifiche dei due progetti verranno presentate verso la metà del corso. Motivazione: tarare la difficoltà dei progetti in base al livello medio della classe.
9 La successione di Fibonacci Introduzione La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata La successione di Fibonacci, attribuita al matematico pisano del XIII secolo Leonardo Fibonacci, descrive il rate di crescita di una popolazione di conigli. Funzione matematica che descrive la successione di Fibonacci: j 1 se n 2 Fib(n) = Fib(n 1) + Fib(n 2) se n > 2 Primi 4 termini della successione di Fibonacci: Fib(1) = 1, Fib(2) = 1, Fib(3) = 2, Fib(4) = 3
10 La successione di Fibonacci generalizzata La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata Proviamo a complicare leggermente la funzione che descrive la successione di Fibonacci.
11 La successione di Fibonacci generalizzata La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata Proviamo a complicare leggermente la funzione che descrive la successione di Fibonacci. Sia x un numero intero (non necessariamente positivo). Definiamo la seguente funzione: j x se n 2 GFib(x, n) = GFib(x, n 1) + GFib(x, n 2) se n > 2 Primi 4 termini della successione di Fibonacci generalizzata per x = 4: GFib(4, 1) = 4, GFib(4, 2) = 4, GFib(4, 3) = 8, GFib(4, 4) = 12
12 La successione di Fibonacci generalizzata La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata Proviamo a complicare leggermente la funzione che descrive la successione di Fibonacci. Sia x un numero intero (non necessariamente positivo). Definiamo la seguente funzione: j x se n 2 GFib(x, n) = GFib(x, n 1) + GFib(x, n 2) se n > 2 Primi 4 termini della successione di Fibonacci generalizzata per x = 4: GFib(4, 1) = 4, GFib(4, 2) = 4, GFib(4, 3) = 8, GFib(4, 4) = 12 Ovviamente, Fib(n) = GFib(1, n) per ogni intero n.
13 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Soluzione ricorsiva: 1: function GFib(x, n) 2: if n 2 then 3: return x 4: else 5: return GFib(x, n 2) + GFib(x, n 1) 6: end if 7: end function
14 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Soluzione ricorsiva: 1: function GFib(x, n) 2: if n 2 then 3: return x 4: else 5: return GFib(x, n 2) + GFib(x, n 1) 6: end if 7: end function Soluzione iterativa: 1: function GFib(x, n) 2: a b x 3: for i 3 to n do 4: c a + b 5: a b 6: b c 7: end for 8: return b 9: end function
15 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata Nota (superflua) sul passaggio di parametri da riga di comando in C Template C per una implementazione di GFib(x, n) che legge i parametri da riga di comando. # include <stdio.h> # include < stdlib.h> int GFib ( int x, int n) { // Codice della funzione GFib } int main ( int argc, char * argv []) { int x,n; if( argc!=3) { fprintf ( stderr," Usage : Gfib <x> <n>\ n"); return 1; } x=atoi ( argv [1]) ; n=atoi ( argv [2]) ; printf ("% d\n", GFib (x,n)); return 0; }
16 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata Quale implementazione è maggiormente efficiente in termini di tempo di calcolo: ricorsiva o iterativa?
17 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata Quale implementazione è maggiormente efficiente in termini di tempo di calcolo: ricorsiva o iterativa? Costo computazionale: implementazione ricorsiva O(2 n ), implementazione iterativa O(n). Riusciamo a fare di meglio?
18 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata Quale implementazione è maggiormente efficiente in termini di tempo di calcolo: ricorsiva o iterativa? Costo computazionale: implementazione ricorsiva O(2 n ), implementazione iterativa O(n). Riusciamo a fare di meglio? Suggerimento. Dimostriamo per induzione che per ogni n 3 «n 1 «1 1 Fib(n) Fib(n 1) = 1 0 Fib(n 1) Fib(n 2)
19 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata Quale implementazione è maggiormente efficiente in termini di tempo di calcolo: ricorsiva o iterativa? Costo computazionale: implementazione ricorsiva O(2 n ), implementazione iterativa O(n). Riusciamo a fare di meglio? Suggerimento. Dimostriamo per induzione che per ogni n 3 «n 1 «1 1 Fib(n) Fib(n 1) = 1 0 Fib(n 1) Fib(n 2) 1 Caso base n = « «2 « = = ««Fib(3) Fib(3 1) Fib(3) Fib(2) = = Fib(3 1) Fib(3 2) Fib(2) Fib(1) «
20 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata Quale implementazione è maggiormente efficiente in termini di tempo di calcolo: ricorsiva o iterativa? Costo computazionale: implementazione ricorsiva O(2 n ), implementazione iterativa O(n). Riusciamo a fare di meglio? Suggerimento. Dimostriamo per induzione che per ogni n 3 «n 1 «1 1 Fib(n) Fib(n 1) = 1 0 Fib(n 1) Fib(n 2) 1 Caso base n = « «2 « = = ««Fib(3) Fib(3 1) Fib(3) Fib(2) = = Fib(3 1) Fib(3 2) Fib(2) Fib(1) « Caso induttivo. Assumiamo che la relazione sia vera per n e dimostriamo che vale anche per n + 1. «n «n 1 « = = ««Fib(n) Fib(n 1) 1 1 = = Fib(n 1) Fib(n 2) 1 0 ««Fib(n) + Fib(n 1) Fib(n) Fib(n + 1) Fib(n) = = Fib(n 1) + Fib(n 2) Fib(n 1) Fib(n) Fib(n 1)
21 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata Possiamo utilizzare la proprietà precedente per implementare la funzione di Fibonacci in tempo O(log(n)). Perchè? 1: function Fib(n) 2: if n 2 then 3: return 1 4: else «1 1 5: M 1 0 6: MatrixPow(M,n 1) 7: return M[0][0] 8: end if 9: end function 10: procedure MatrixPow(M,n) 11: if n > 1 then 12: MatrixPow(M,n/2) 13: M M M 14: if n dispari then «1 1 15: M M : end if 17: end if 18: end procedure
22 Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata Siano abbiamo a b M M = c d = «a b M = e N = c d «« ««a b a a + b c a b + b d = = c d c a + d c c b + d d «a 2 + bc ab + bd ca + dc cb + d 2 ««a b 1 1 M N = = c d 1 0 «a + b a = c + d c «a 1 + b 1 a 1 + b 0 = c 1 + d 1 c 1 + d 0
23 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata generalizzata Riusciamo ad implementare efficientemente GFib(x, n) sfruttando l implementazione efficiente di Fib(n)?
24 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata generalizzata Riusciamo ad implementare efficientemente GFib(x, n) sfruttando l implementazione efficiente di Fib(n)? E necessario capire come è definita GFib(x, n).
25 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata generalizzata Riusciamo ad implementare efficientemente GFib(x, n) sfruttando l implementazione efficiente di Fib(n)? E necessario capire come è definita GFib(x, n). Primi 8 termini della funzione di Fibonacci generalizzata in funzione di x: x, x, 2x, 3x, 5x, 8x, 13x, 21x. Primi 8 termini della funzione di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21.
26 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata generalizzata Riusciamo ad implementare efficientemente GFib(x, n) sfruttando l implementazione efficiente di Fib(n)? E necessario capire come è definita GFib(x, n). Primi 8 termini della funzione di Fibonacci generalizzata in funzione di x: x, x, 2x, 3x, 5x, 8x, 13x, 21x. Primi 8 termini della funzione di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Conclusione: GFib(x, n) = x Fib(n)
27 La successione di Fibonacci La successione di Fibonacci generalizzata Implementazione della funzione di Fibonacci generalizzata Nota sul prodotto riga per colonna di due matrici 2x2 generalizzata generalizzata Riusciamo ad implementare efficientemente GFib(x, n) sfruttando l implementazione efficiente di Fib(n)? E necessario capire come è definita GFib(x, n). Primi 8 termini della funzione di Fibonacci generalizzata in funzione di x: x, x, 2x, 3x, 5x, 8x, 13x, 21x. Primi 8 termini della funzione di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Conclusione: GFib(x, n) = x Fib(n) generalizzata. 1: function GFib(x, n) 2: return x Fib(n) 3: end function
28 InsertionSort: pseudocodice
29 InsertionSort: pseudocodice key = 2, j = 2 j
30 InsertionSort: pseudocodice key = 2, j = 2, i = 1 2 < 5 SWAP j i
31 InsertionSort: pseudocodice key = 4, j = 3 j
32 InsertionSort: pseudocodice key = 4, j = 3, i = 2 4 < 5 SWAP j i
33 InsertionSort: pseudocodice key = 4, j = 3, i = 1 4 > 2 STOP j i
34 InsertionSort: pseudocodice key = 6, j = 4 j
35 InsertionSort: pseudocodice key = 6, j = 4, i = 3 6 > 5 STOP j i
36 InsertionSort: pseudocodice key = 1, j = 5 j
37 InsertionSort: pseudocodice key = 1, j = 5, i = 4 1 < 6 SWAP j i
38 InsertionSort: pseudocodice key = 1, j = 5, i = 3 1 < 5 SWAP j i
39 InsertionSort: pseudocodice key = 1, j = 5, i = 2 1 < 4 SWAP j i
40 InsertionSort: pseudocodice key = 1, j = 5, i = 1 1 < 2 SWAP j i
41 InsertionSort: pseudocodice key = 3, j = 6 j
42 InsertionSort: pseudocodice key = 3, j = 6, i = 5 3 < 6 SWAP j i
43 InsertionSort: pseudocodice key = 3, j = 6, i = 4 3 < 5 SWAP j i
44 InsertionSort: pseudocodice key = 3, j = 6, i = 3 3 < 4 SWAP j i
45 InsertionSort: pseudocodice key = 3, j = 6, i = 3 3 > 2 STOP j i
46 InsertionSort: pseudocodice InsertionSort: pseudocodice Pseudo codice dell algoritmo InsertionSort. 1: procedure InsertionSort(A) 2: for j 2 to Length(A) do 3: key A[j] 4: i j 1 5: while i > 0 & A[i] > key do 6: A[i + 1] A[i] 7: i i 1 8: end while 9: A[i + 1] key 10: end for 11: end procedure
47 InsertionSort: pseudocodice InsertionSort: pseudocodice Pseudo codice dell algoritmo InsertionSort. 1: procedure InsertionSort(A) 2: for j 2 to Length(A) do 3: key A[j] 4: i j 1 5: while i > 0 & A[i] > key do 6: A[i + 1] A[i] 7: i i 1 8: end while 9: A[i + 1] key 10: end for 11: end procedure In cosa differisce dall esempio precedente? Di quale accortezza dobbiamo tenere conto per una implementazione in C?
48 InsertionSort: pseudocodice Nota (superflua) sulla lettura di una lista di interi da file Funzione C che legge una lista di interi da un file. int * readlist ( char * file, int *n) { FILE *in = fopen (file,"r"); int * list,x; if( in== NULL ) return NULL ; while ( fscanf (in,"% d",&x)!= EOF ) (*n) ++; list = ( int *) calloc (*n, sizeof ( int )); rewind (in); (*n) =0; while ( fscanf (in,"% d",&x)!= EOF ) list [(* n) ++]= x; fclose (in); return list ; }
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