Modellizzazione del Sottosistema Aria in Motori Diesel con Turbocompressore a Geometria Variabile

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1 Università degli Studi di Firenze Facoltà di Ingegneria Dipartimento di Sistemi e Informatica Dottorato di ricerca in Ingegneria Informatica e dell Automazione, XVIII ciclo Modellizzazione del Sottosistema Aria in Motori Diesel con Turbocompressore a Geometria Variabile Tesi di dottorato di Leonardo Albertoni Coordinatore: Prof. Edoardo Mosca Relatori: Prof. Alessandro Casavola Ing. Andrea Balluchi Anno Accademico 2005/2006

2 Indice Introduzione 3 Cenni sui motori Inquadramento del lavoro Modello del sottosistema aria 10 Modelli di motori a combustione interna Sottosistema aria Considerazioni sul sottosistema Equazioni dinamiche Equazioni statiche Turbocompressore 38 Compressore Turbina Accoppiamento meccanico Attuatore VGT Misure e sperimentazione 60 Sensore giri turbocompressore Sensore attuatore VGT Misure

3 Indice 2 4 Identificazione turbocompressore 80 Identificazione equazione portata turbina Identificazione rendimento isoentropico di espansione Identificazione equazione portata compressore Identificazione rendimento isoentropico di compressione Validazione sperimentale del modello 101 Conclusioni 115 Bibliografia 120

4 Introduzione Cenni sui motori In questo paragrafo si dà una breve panoramica sui motori a combustione interna per poter meglio inquadrare il problema del quale la tesi si occupa. Dopo oltre cento anni di ricerca e sviluppo, i motori a combustione interna continuano oggi ad essere oggetto di continuo interesse e di continue innovazioni tecnologiche. Sfruttando i progressi tecnologici compiuti in ogni settore della tecnica, i costruttori di motori cercano di migliorare continuamente i loro progetti sotto tutti gli aspetti: potenze sempre maggiori, riduzione dei costi e dell impatto ambientale del processo costruttivo, riduzione dei consumi di combustibile e guidabilità sempre migliore. La ricerca è anche necessaria per le nuove e sempre più stringenti normative antinquinamento (Fig.1). A titolo di esempio basti pensare che i limiti di emissioni EURO4, in vigore a partire dall ottobre 2006, prevedono una riduzione delle emissioni di circa il 50% rispetto ai limiti EURO3, in vigore a partire dalla fine del I limiti EURO5 che entreranno in vigore nell ottobre 2009, fissano un ancor più drastico abbattimento delle emissioni (Fig.2). Per poter rispettare queste norme le case automobilistiche e i loro centri di ricerca sono chiamati ad un incessante opera di sviluppo che porta all introduzione di un numero sempre

5 Introduzione Sviluppo delle normative EURO dal 1990 al 2009 NO x Ossidi d azoto CO Monoss. di carbonio HC Idrocarburi PM Particolato 1990 Euro /93 Euro /96 Euro /01 Euro Euro Euro 5 Figura 1: Limiti di emissioni in [g/kwh], evoluzione delle normative EURO dal 1990 al Figura 2: Tabella limiti di emissioni in [g/kwh]. maggiore di nuovi componenti specifici: si pensi ad esempio ai sistemi di catalizzazione, ai sistemi di sovralimentazione, a quelli di ricircolo dei gas di scarico o quelli di iniezione carburante ad alta pressione. L introduzione di tali nuovi componenti porta inevitabilmente un aumento della complessità dei moderni propulsori. Ecco così che nasce la necessità di prevedere sistemi di controllo che sappiano gestire tutti questi nuovi componenti, caratterizzati da un alto numero di parametri di controllo e di variabili, ed inevitabilmente quindi, da maggiori gradi di libertà. E che sappiano ricavare da tali dispositivi i benefici per i quali sono stati introdotti. In questo

6 Introduzione 5 senso è risultato fondamentale lo sviluppo dei sistemi di controllo elettronico degli attuali motori, costituiti da apposite centraline elettroniche (ECU, Electronic Control Unit). La progettazione delle strategie di controllo motore può seguire sostanzialmente due diversi approcci: l approccio map-based, nel quale la strategia di controllo si basa sostanzialmente su mappe sperimentali, determinate attraverso la conoscenza di una grande quantità di dati rilevati tenendo conto delle caratteristiche del motore in tutte le condizioni di funzionamento. Con l aumento della complessità dei motori tale tipo di approccio è destinato a lasciare il posto ad un approccio di tipo model-based, che oltre ad utilizzare rilevazioni sperimentali prevede l utilizzo di modelli dinamici in grado di simulare il comportamento del motore, sia in condizioni stazionarie che transitorie. Tali modelli si definiscono control-oriented perchè sono finalizzati, non tanto alla descrizione particolareggiata dei fenomeni termofluidodinamici che avvengono all interno del motore, quanto alla descrizione degli effetti che la variazione dei parametri di regolazione hanno sul funzionamento e sulle prestazioni del motore stesso. L utilizzo di tali modelli permette sia la riduzione dei tempi necessari per lo sviluppo delle strategie di controllo, sia le simulazioni Hardware-In-the-Loop (HIL), che permettono una prima valutazione delle strategie di controllo contribuendo ad un ulteriore diminuzione delle prove sperimentali necessarie. Inquadramento del lavoro Nell ottica del passaggio da strategie di modellistica e controllo map-based a quelle model-based, il presente lavoro si occupa della definizione di un

7 Introduzione 6 modello semplificato del sottosistema aria (il sottosistema che descrive il comportamento statico e dinamico dell aria) di un motore diesel dotato di sistema di ricircolo dei gas di scarico (EGR), INTERCOOLER e turbocompressore a geometria variabile (VGT), con particolare attenzione a quest ultimo componente. L obbiettivo è lo studio di un modello semplificato capace di descrivere qualitativamente il comportamento del sottosistema al variare dei parametri. Per lo sviluppo e la realizzazione del modello è stato scelto l ambiente Matlab/Simulink, che è un ambiente comunemente usato in ambito automotive e in generale quando si necessiti di costruire e simulare un modello dinamico (R.W.Weeks and J.J.Moskwa, 1995). Il motore usato negli esperimenti è il nuovo 1.3 Multijet 16 valvole 66KW con turbocompressore a geometria variabile, seconda generazione della famiglia 1.3 Multijet (Fig.3). E un propulsore frutto della collaborazione tra Fiat e General Motors che, grazie alle innumerevoli peculiarità tecnologiche che lo caratterizzano, quali ad esempio iniezione a 16 valvole, common rail di seconda generazione, iniezione multistadio, molto probabilmente costituisce lo stato dell arte per motori diesel di piccola cilindrata. Questa tesi è stata svolta in collaborazione e con il supporto di Magneti Marelli Powertrain, la quale ha progettato e realizzato la ECU per la prima famiglia di propulsori Multijet e successivamente ha sviluppato anche la ECU per i Multiget di seconda generazione. Tra le principali differenze fra le due generazioni c è proprio il sistema di sovralimentazione. Nella prima generazione infatti la turbina era a geometria fissa ed il controllo dell overboost (protezione contro le sovrapressioni nel collettore di aspirazione) e piùingenerale il controllo del turbo era realizzato in modo classico con l utilizzo di una valvola di bypass, lavalvolawaste-gate che, quando azionata, parzializza la portata alla turbina allo scarico. Nella seconda l introduzione della turbina a

8 Introduzione 7 Figura 3: Fiat 1.3L Multijet 16 valvole 66KW. geometria variabile permette di modificare in modo continuo la permeabilità della turbina stessa e quindi attuare un controllo del turbo in modo assai più fine. La difficoltà nella sintesi di sistemi di controllo per questo nuovo dispositivo ha fatto nascere interesse da parte di Magneti Marelli sullo studio delle interazioni sul sistema aria del controllo della geometria variabile

9 Introduzione 8 della turbina e sulla modellizzazione del comportamento atteso del sistema si sovralimentazione. Da qui è nata la collaborazione tra il Dipartimento di Sistemi e Informatica (DSI) dell Università di Firenze, il Dipartimento di Elettronica Informatica e Sistemistica (DEIS) dell Università della Calabria, Magneti Marelli Powertrain e il laboratorio PARADES, che ha portato alla realizzazione di questa tesi. Il lavoro è stato per la maggior parte svolto presso la sede Magneti Marelli di Bologna, che ha messo a disposizione tutta la strumentazione necessaria ed in particolare una cella motore, ed in stretta collaborazione con i suoi tecnici e motoristi. All attività inoltre ha partecipato, con un supporto che si e protratto durante tutto lo svolgersi del lavoro, ed in particolare si è concretizzato attivamente ogni qual volta ci si è trovati a dover fare delle scelte di approccio, PARADES. Il punto di partenza del lavoro è stata la raccolta della letteratura presente sull argomento ed il recupero dell esperienza maturata in Magneti Marelli sulle applicazioni già sviluppate. Quindi, in riferimento all approccio utilizzato in Magneti Marelli sono state identificate le criticità ed i limiti da superare in modo da fissare gli obiettivi del lavoro. In estrema sintesi, prima del presente lavoro, a causa dell assenza di una modellistica del sistema turbocompressore capace di descrivere come questo dispositivo interagisce con il resto del sistema, il controllo del turbo era progettato in modo non model-based quindi, ad esempio, non dava la possibilità diusareinmodo combinato VGT ed EGR. Inoltre, sempre in riferimento al turbocompressore non era presente una modellizzazione capace di descriverne il comportamento durante i transitori. A seguito di quell analisi, il lavoro si propone quindi di sviluppare tecniche di modellistica da poter essere utilizzate sia per la simulazione in ambienti Hardware-In-the-Loop (HIL), sia nella progettazione dei controllori in modo da poter utilizzare le azioni dei sottosistemi VGT ed

10 Introduzione 9 EGR in modo combinato. Il risultato finale del lavoro è stato lo sviluppo di un modello che è in grado di descrivere qualitativamente il comportamento del gruppo turbocompressore e le interazioni con gli altri attuatori presenti nel sottosistema, tra cui certamente il più importante è l EGR, sia negli stazionari che nei transitori. Il modello sviluppato alla fine del lavoro è stato impiegato sia per l allestimento di un sistema di simulazione integrato in ambiente dspace, che per lo sviluppo e la verifica delle strategie di controllo per i due attuatori VGT ed EGR nel motore 1.3 Multijet di seconda generazione.

11 Capitolo 1 Modello del sottosistema aria L importanza che rivestono i sistemi di controllo elettronico nell ottimizzazione delle prestazioni e la necessità di ridurre le emissioni per riuscire a rispettare normative sempre più vincolanti hanno portato ad una applicazione sempre più diffusa di modelli matematici per la descrizione e la simulazione dei motori a combustione interna. Lo sviluppo di tali modelli, ha permesso di approfondire notevolmente le conoscenze su questi propulsori riducendo i tempi ed i costi delle indagini sperimentali (J.J.Moskwa et al., 1997), (R.Isermann et al., 1998). Oggi i modelli di simulazione vengono utilizzati sia in fase di sviluppo, per valutare gli effetti delle scelte di progetto sulle prestazioni complessive della macchina, che in fase avanzata di collaudo, per ottimizzare e testare i sistemi di controllo elettronico. Per costruire il modello di un sistema occorre inizialmente stabilire quale tecnica adottare in relazione alle finalità dello studio che si vuole affrontare. Modelli molto precisi richiedono in generale tempi di calcolo e costi decisamente piùonerosi rispetto ad un modello semplificato (ad esempio caratterizzato da ipotesi meno restrittive) ma sicuramente meno complesso. Nel caso dei Motori a Combustione Interna (MCI) la realizzazione di un modello di simulazione

12 Modello del sottosistema aria 11 può seguire diverse strade a seconda degli scopi finali del modello stesso, che in particolare possono essere: l approfondimento delle conoscenze dei processi che avvengono nel sistema che si desidera modellare; l identificazione delle variabili principali che influenzano il comportamento del sistema; la previsione del comportamento del sistema in diverse condizioni operative; la definizione di basi per lo sviluppo di nuove tecniche di progettazione. Modelli a stato definito e a stato non definito Nella realizzazione di un modello matematico è necessario individuare in primo luogo i confini del sistema, stabilendo il livello di dettaglio che si vuole raggiungere con lo studio. Occorre quindi distinguere tra il sistema ed i suoi componenti (a loro volta raggruppabili in sottosistemi), tenendo sempre in considerazione che un analisi troppo approfondita porta in genere alla creazione di modelli caratterizzati da tempi di calcolo elevati. Adottando un approccio basato sulla teoria dei sistemi, ognuno dei componenti o dei sottosistemi può essere schematizzato come un blocco (Fig.1.1) che ad un certo insieme di variabili in ingresso associa una ben determinata combinazione di variabili in uscita. A seconda delle caratteristiche del componente o del sottosistema studiato possono poi essere o meno presenti variabili di stato. Facendo riferimento alla figura (Fig.1.1), si è detto che un sistema fisico può essere descritto utilizzando un vettore di variabili in ingresso, un vettore di variabili in uscita ed un vettore di variabili che descrive lo stato del sistema.

13 Modello del sottosistema aria 12 Figura 1.1: Schema a blocchi di un generico componente. In base alla possibilità di definire delle variabili di stato, è possibile operare una prima distinzione tra: sistemi a stato definito (state determined), per i quali è possibile definire un vettore di variabili di stato; sistemi non a stato definito (non state determined), per i quali non è possibile definire alcuna variabile di stato. I sistemi a stato definito sono rappresentabili mediante sistemi di equazioni differenziali (espresse in termini di derivate delle variabili di stato) e di equazioni algebriche (che legano le altre variabili del sistema alle variabili di stato). Essendo presenti equazioni differenziali l andamento nel tempo delle variabili di uscita (spesso coincidenti con le variabili di stato stesse) può essere determinato una volta note le variabili di stato ad un istante iniziale e l andamento delle variabili in ingresso. I sistemi non a stato definito sono invece rappresentabili mediante sistemi di equazioni algebriche che legano direttamente le variabili in ingresso con quelle in uscita. Il valore assunto da tali variabili dipende solamente dal valore assunto dalle variabili in ingresso all istante considerato.

14 Modello del sottosistema aria 13 Facendo riferimento ai sistemi termofluidodinamici ed in particolare al sottosistema aria di un motore a combustione interna, è possibile classificare come componenti a stato definito tutti quei componenti dotati di volume proprio non trascurabile, come ad esempio collettori e serbatoi. In essi le equazioni di conservazione devono tener conto della possibilità diavereun accumulo di massa, energia e/o quantità di moto all interno del volume. Tali componenti presentano in generale come variabili in ingresso i flussi di massa ed entalpia, mentre le variabili in uscita sono le condizioni termodinamiche esistenti all interno del componente, ovvero le variabili di stato (J.B.Heywood, 1988), (J.Brugård and J.Bergström, 1999). Tipici esempi di componenti non a stato definito sono invece quelli dotati di volume proprio trascurabile, in cui l accumulo di massa ed energia è ininfluente ai fini del calcolo; appartengono ad esempio a questa categoria ugelli e valvole. In questi componenti gli ingressi sono in genere rappresentati dalle variabili di stato (ad esempio pressione e temperatura) a monte e a valle, mentre le uscite sono rappresentate dai flussi di massa ed entalpia (J.B.Heywood, 1988),(O.Storset et al., 2000). Un esempio di componente a stato definito èadesempioun collettore mentre un esempio di un componente non a stato definito è invece un ugello: nella modellazione dell efflusso isoentropico sono necessarie, in accordo con l equazione di De St. Venant (J.B.Heywood, 1988), la pressione totale di monte, la pressione statica di valle e la temperatura di monte, ed in questi componenti le equazioni di conservazione si scrivono in forma algebrica senza considerare il termine relativo all accumulo. Modelli a scatola nera e a scatola bianca Un ulteriore classificazione dei modelli teorici può essere basata sulle metodologie adottate per la simulazione dei fenomeni e dei processi di interesse.

15 Modello del sottosistema aria 14 Esistono infatti: modelli a scatola nera (black box); modelli a scatola bianca (white box). I modelli a scatola nera sono definiti sulla base di correlazioni tra le variabili definite a partire da dati disponibili a priori, derivati da rilievi sperimentali oppure ottenuti utilizzando modelli diversi (in genere più complessi). Essi consentono in genere di definire una correlazione interpolante, i cui coefficienti numerici possono essere determinati con procedure di ottimizzazione che minimizzino una funzione di errore (ad esempio con la procedura dei minimi quadrati). Le correlazioni interpolanti possono essere di diverso tipo: possono essere utilizzati polinomi o funzioni più complesse (ad esempio esponenziali o logaritmiche), ed i dati utilizzati possono essere organizzati in tabelle ordinate (look-up tables). Tra gli strumenti oggi disponibili a tale scopo è opportuno ricordare anche le Reti Neurali (M.Hafner et al., 2000), che vanno opportunamente istruite e validate una volta stabilita la loro architettura. I modelli a scatola bianca sono invece definiti sulla base di correlazioni tra le variabili che derivano dalle equazioni cardinali di conservazione applicabili ai processi che si intende simulare. Tali modelli possono ulteriormente essere distinti in: modelli termodinamici; modelli fluidodinamici. I modelli termodinamici si basano sulle equazioni di conservazione della massa e dell energia e sulle equazioni di stato e di trasformazione dei gas. Per questi motivi le variabili considerate sono solamente quelle termodinamiche (pressione, temperatura, massa volumica, ecc...).

16 Modello del sottosistema aria 15 Nel momento in cui si vanno a considerare anche le variabili cinematiche (nella fattispecie la velocità) per descrivere le condizioni di moto del fluido all interno del sistema, non èpiù possibile fare riferimento solamente alle equazioni di conservazione di massa ed energia, ma è necessario introdurre anche quelle della quantità di moto o del momento della quantità di moto. Tali modelli si dicono allora modelli fluidodinamici e, a causa della loro maggiore complessità, richiedono generalmente tempi di calcolo più elevati. Nella realtà la distinzione tra modelli black box e white box non è sempre così marcata. Esistono infatti molti sistemi il cui comportamento può essere approssimato con l utilizzo delle equazioni cardinali, opportunamente corrette però mediante coefficienti di natura empirica. Ad esempio basti pensare all equazione di De Saint Venant, utilizzata per determinare l efflusso attraverso un ugello. Tale equazione è ottenuta dall equazione di conservazione dell energia con opportune ipotesi semplificative (come ad esempio quella di reversibilità del processo). A causa di queste condizioni, e poiché nonè possibile tener conto di alcuni aspetti caratteristici dell efflusso, come ad esempio gli attriti e il restringimento di vena, l equazione di De Saint Venant (J.B.Heywood, 1988) non è in grado di rappresentare correttamente il comportamento del componente. Si introduce in genere un opportuno coefficiente di efflusso, determinato sperimentalmente che corregga i risutati del modello teorico white box. I modelli di questo tipo sono quindi definiti modelli grey box o a scatola grigia, per specificare il fatto che per la modellazione del componente sono state utilizzate le equazioni cardinali, opportunamente corrette con dei coefficienti di natura empirica.

17 Modello del sottosistema aria 16 Modelli di motori a combustione interna Tra i sistemi energetici esistenti i motori a combustione interna sono probabilmente oggi quelli caratterizzati dalla maggiore diffusione. Tra le numerose tipologie di modelli di simulazione esistenti, hanno assunto particolare importanza quelli cosiddetti control-oriented, neiqualileipotesisemplifica- tive sulle quali si basano, sacrificano in parte la precisione dei risultati, ma permettono di ridurne considerevolmente i tempi di sviluppo ed esecuzione, rendendoli adatti alla progettazione dei sistemi di controllo. Essi possono essere utilizzati nella fase di progetto per valutare l influenza di diverse scelte sui parametri di funzionamento, ma è soprattutto nella fase di messa a punto del sistema di gestione che si rivelano efficaci, soppiantando le tecniche di modellazione map-based, che presentano lo svantaggio di richiedere per la costruzione delle mappe di riferimento una notevole quantità di dati (usualmente di origine sperimentale) necessari per valutare l influenza delle variazioni dei parametri di regolazione sulle condizioni operative del motore. Attualmente si tende a ridurre la fase di sperimentazione al banco prova attraverso la creazione di modelli di simulazione semplificati che siano in grado di permettere l ottimizzazione dei parametri di controllo tenendo conto dei processi che hanno luogo nel sistema. Le tecniche generalmente adottate per creare un modello control-oriented di un generico componente sono principalmente due: modelli Filling and Emptying; modelli quasi stazionari. I modelli Filling and Emptying sono in genere modelli white box particolarmente adatti per descrivere il comportamento di quei componenti caratterizzati da un volume proprio non trascurabile (come i collettori di aspirazione

18 Modello del sottosistema aria 17 e scarico), nei quali si possono avere accumuli di massa e/o energia. Essi vengono descritti tramite sistemi di equazioni differenziali (ottenute sulla base delle equazioni di conservazione della massa e dell energia) ed equazioni algebriche. I modelli Filling and Emptying sono modelli zero-dimensionali in cui le proprietà termodinamiche si considerano uniformemente distribuite all interno del volume del componente. Tali modelli permettono di considerare la dinamica del sistema, ma in genere richiedono comunque diverse ipotesi semplificative (ad esempio trascurare gli attriti). I modelli quasi stazionari sono invece adatti a descrivere i componenti dotati di un volume proprio trascurabile. Tali modelli si basano sull ipotesi di poter descrivere il comportamento del componente nel tempo come una successione di stati stazionari. Le equazioni usate per descrivere il modello sono puramente algebriche e i flussi di massa ed energia sono calcolati istante per istante trascurando la dinamica del sistema. Modelli quasi stazionari vengono ad esempio utilizzati per stimare l efflusso attraverso una valvola mediato su più cicli del motore (modelli a valori medi MVEM) o su lunghi transitori, ma anche per modellare compressori e turbine utilizzando mappe e correlazioni derivate dai dati sperimentali. Sottosistema aria Il Sottosistema costituito dal circuito aria è illustrato in (Fig.1.2). Facendo riferimento allo schema di figura sono presenti: il filtro aria (0-1), rappresenta l interfaccia in ingresso nel circuito del sottosistema aria.il motore aspira aria dall ambiente. Per evitare che si introducano nel circuito sporcizie od altro è presente un filtro. La presenza del filtro introduce una piccola caduta di pressione all interno

19 Modello del sottosistema aria 18 Figura 1.2: Schema del circuito di aspirazione e scarico. del circuito rispetto a quella ambiente ma tale effetto viene considerato trascurabile o assimilabile ad una costante sottrattiva; il debimetro (Mass Air Flow sensor, sensore MAF), che provvede a fornire la misura in portata massica del flusso d aria che entra nel circuito; il compressore volumetrico (C), comprime l aria in ingresso innalzandone pressione e temperatura. Il movimento alla girante del compressore è comunicato attraverso un albero rigido che lo caletta alla turbina posta allo scarico (T);

20 Modello del sottosistema aria 19 l Intercooler (2-3). Con la sovralimentazione del motore, l aria entrante nei cilindri ha una densità maggiore rispetto alla normale densità atmosferica in condizioni normali di pressione e temperatura. Tuttavia il compressore durante la compressione fa innalzare la temperatura e diminuire la densità dell aria andando così a perdere parte dei vantaggi dati dalla compressione. L INTERCOOLER raffredda l aria in uscita dal compressore in modo da aumentare la densità di carica. Con l aumento della densità dicaricasipuò riempire ogni cilindro,durante ciascuna fase di aspirazione, con più ossigeno, aumentando di conseguenza la potenza del motore. Inoltre una riduzione della temperatura di ingresso nei cilindri produce una riduzione della temperature dei gas di scarico. Se l INTERCOOLER riesce, ad esempio, ad abbassare la temperature di ingresso nei cilindri da 120 Cfinoa40 C,cisaràin linea di massima un decremento simile per i gas di scarico. Quindi, se i gas di scarico hanno una temperatura prossima ai 750 C senza il raffreddamento, una riduzione di 80 C in aspirazione potrà ridurre la temperatura dei gas fino a 670 C. Tale riduzione può essere di notevole importanza, ad esempio per prolungare la vita delle valvole di scarico, della turbina e di tutti gli organi a valle del ciclo; la valvola a farfalla all ingresso del collettore di aspirazione (3-4). Generalmente durante il normale funzionamento del motore resta totalmente aperta e viene chiusa solo durante la fase di spegnimento del motore per ridurre i traballamenti e la rumorosità durante lo spegnimento. In alcuni casi può essere usata per abbassare la pressione nel collettore di scarico e generare così una perdita di pressione attraverso la valvola di EGR. Supponendo che durante il normale funzionamento venga tenuta costantemente aperta nel proseguo sarà tralasciata;

21 Modello del sottosistema aria 20 il collettore di aspirazione (5). E il volume di raccolta aria in ingresso ai cilindri; la valvola di ricircolo dei gas di scarico (Exhaust Gas Recirculation, EGR). E una valvola che riporta i gas inerti in uscita dai cilindri verso il collettore di scarico. L EGR è stato introdotto come un dispositivo per ridurre la produzione di NO x.poichéglino x sono prodotti pricipalmente ad alte pressioni ed ad alte temperature, è possibile controllarne la relativa formazione riducendo la compressione o la temperatura nella camera di combustione. A tal fine l EGR mescola il gas di scarico raffreddato nel flusso dell aria nel collettore di aspirazione, contribuendo ad abbassare le temperature di combustione e riducendo la quantità di ossigeno e combustibile che sono bruciati in ogni ciclo. Uno degli svantaggi dell EGR è che fa diminuire la stabilità della combustione. Per non compromettere la guidabilità, cioè ilmodoconcuiilmotore eroga coppia, l EGR è attivo soltanto durante gli stati di carico bassi. La massima quantità di aria combusta ricircolata che i motori diesel possono tollerare prima che subentri il misfire (mancata combustione) è circa il 40%. L uso dell EGR riduce la formazione di NO x fino al 30%; EGRcooler (7-9) è l analogo dell INTERCOOLER. Esso però raffredda i gas combusti che vengono ricircolati attraverso la valvola EGR; il collettore di scarico (7), E il volume di raccolta gas in uscita dai cilindri, prima della turbina e dello scarico; la turbina (T) a la geometria variabile. Raccoglie i gas in uscita dal collettore di scarico e produce la coppia per il compressore volumetrico (C). La turbina costituisce di fatto una strozzatura per il passaggio

22 Modello del sottosistema aria 21 dei gas all uscita del collettore di scarico. All uscita della fase di scarico, i gas escono spontaneamente dal cilindro, espandendosi fino alla pressione a cui si trova il collettore di scarico e quindi espandendosi ancora attraverso la turbina fino alle pressione ambiente. Di conseguenza, l energia a disposizione della turbina può essere pensata costituita da due parti: l una avente il carattere di parziale recupero dell energia di scarico spontaneo, e l altra che si presenta come energia sottratta al motore durante la corsa di espulsione dei gas dal cilindro, che sono compressi dal pistone alla pressione nel collettore di scarico. L energia intercettata dalla turbina viene comunicata al compressore volumetrico (C) mediante un albero di trasmissione rigido. La turbina è dotata di un dispositivo che è in grado di modificarne la geometria e quindi la permeabilità ai gas in ingresso. Sono stati proposti diversi sistemi per la regolazione della geometria della turbina. Il piùefficaceèilsis- tema in cui delle palette presenti nel distributore possono essere ruotate di uno stesso angolo per regolare l area di efflusso e variare quindi la permeabilità della macchina. Un rendimento elevato dell insieme presuppone l assenza di trafilamenti tra palette e cassa e quindi dei giochi molto ridotti. Il conseguente incremento del costo di produzione può raggiungere il 100% se rapportato ad una turbina convenzionale.

23 Modello del sottosistema aria 22 Nomenclatura Per la descrizione del modello si introduce la seguente nomenclatura [pedici]: 1 collettore di aspirazione; 2 collettore di scarico; e motore; c compressore; tc turbocompressore; t turbina; egr EGR; ic INTERCOOLER; ec EGR cooler; amb ambiente; out scarico; f carburante.

24 Modello del sottosistema aria 23 [grandezze]: ρ Densita di massa gas [kg/m 3 ]; P F W S Q T Pressione [kpa]; Concentrazione inerte [ ]; Portata massica [kg/s]; Portata volumetrica [m 3 /s]; Calore [kj]; temperatura [K]; V Volume [m 3 ]; N Numero di giri [rpm]; Ω Potenza [W ]; χ egr χ vgt λ posizione normalizzata attuatore EGR [ ]; posizione normalizzata attuatore VGT [ ]; rapporto aria/carburante normalizzato [ ]; I tc Momento d inerzia turbocompressore [kgm 2 ]; A vgt (χ vgt ) area aquivalente attraverso la turbina [m 2 ]; A egr (χ egr ) area aquivalente attraverso l EGR [m 2 ]; R = c p c v = c p = c v = γ = cp c v λ 0 =14.56 costante dei gas [kj/kg/k]; calore specifico a pressione costante [kj/kg/k]; calore specifico a volume costante [kj/kg/k]; rapporto calori specifici [ ]; rapporto stechiometrico [ ];

25 Modello del sottosistema aria 24 V d = e 3 cilindrata unitaria [m 3 ]; n cyl = 4 numero cilindri [ ]; η t η c η m η v η ic η ec Γ c rc(χ vgt ) g(χ vgt ) 1Pascal= 1Nm/1m 2 1 bar = Pascal 1 mbar = 100 Pascal 1 atm = Pascal rendimento isoentropico turbina [ ]; rendimento isoentropico compressore [ ]; rendimento meccanico turbocompressore [ ]; rendimento volumetrico cilindro [ ]; rendimento INTERCOOLER [ ]; rendimento EGR cooler [ ]; caratteristica di portata del compressore [m 3 /s]; rapporto critico pressioni alla turbina [ ]; rapporto pressioni alla turbina con portata nulla [ ]; Considerazioni sul sottosistema Da una prima analisi del sistema aria preso in esame, si può immediatamente individuare che gli attuatori disponibili per la regolazione sono l attuatore sulla valvola EGR, che ne parzializza la chiusura (χ egr ) e l attuatore sulla geometria variabile della turbina, che ne modifica la permeabilità (χ vgt ). Come grandezze da controllare la scelta può essere delle più svariate. Nel nostro studiolasceltaè ricaduta sul rapporto aria/carburante normalizzato λ e sulla concentrazione di inerte nel collettore di aspirazione F 1.Questoperchèinun motore diesel la regolazione della coppia avviene mediante la modulazione del carburante e in prima approssimazione la quantita di coppia generata è funzione solo della quantità di carburante iniettato (J.B.Heywood, 1988).

26 Modello del sottosistema aria 25 Quindi la combustione può avvenire correttamente in un ampio intervallo di valori per λ, che non è vincolata a rimanere al rapporto stechiometrico come nel caso dei motori benzina. D altra parte una volta stabilita la coppia che si vuole generare, la quantità di inquinanti ed in particolare di NO x che si producono è funzione principalmente della temperatura e del λ di combustione. Quindi diventa di fondamentale importanza per poter rientrare nei limiti di emissione prescritti controllare il rapporto aria/carburante e la concentrazione di gas inerte nel collettore di aspirazione, vedi figura (Fig.1.3) A/F vs. Emission limits Air/Fuel NV T EURO III EURO IV EURO V Figura 1.3: Evoluzione dei limiti su λ in funzione delle normative EURO. Da un punto di vista controllistico, il sistema si presenta come un sistema MIMO (Multiple In Multiple Out) con una forte interazione fra gli ingressi di controllo. La risposta del χ vgt sulla portata d aria cambia al variare della

27 Modello del sottosistema aria 26 posizione χ egr, le dinamiche sono fortemente non lineari e con guadagni in continua non monotoni tra le uscite e χ vgt, (Fig.1.4). Figura 1.4: Guadagni in continua fra χ vgt, χ egr e λ, F 1. Anche da questa prima e superficiale analisi si capisce che pensare di progettare una strategia di controllo basata su mappe richiede molto tempo per la loro messa a punto e spesso non conduce a risultati ottimali (M.Hafner et al., 2000). Quello che il progettista desidererebbe è utilizzare la valvola EGR per regolare la portata d aria e il VGT per regolare la pressione in modo indipendente (I.Kolmanovsky et al., 1997). Ecco allora che non stupisce che l approccio SISO classico al problema del controllo di EGR e VGT, soprattutto in riferimento alla definizione degli obiettivi di disaccoppiamento per

28 Modello del sottosistema aria 27 questi due attuatori non abbia consentito fino ad ora di ottenere risultati soddisfacenti. Solo utilizzando un modello che descriva le dinamiche dell intero sistema multivariabile si ha la potenzialità di ottimizzare l uso di questi due attuatori specie nelle zone dove la loro interazione èpiù marcata (I.Kolmanovsky and A.Stefanopoulou, 1998). Il modello ricavato, oltre che essere utilizzato per la simulazione in ambienti Hardware-In-the-Loop (HIL), quali ad esempio dspace per la verifica del comportamento delle strategie di contollo motore, potrà anche essere usato per la costruzione di modelli ulteriormente semplificati, lineari o Linear-Parameter-Varying (LPV) e successivamente utilizzati per la sintesi del controllo (M.Jung and K.Glover, 2003), (M.Jung and K.Glover, 2006). Equazioni dinamiche Il modello del sottosistema si costruisce sostanzialmente utilizzando le equazioni che descrivono i due volumi del collettore di scarico e di aspirazione del motore. Nel caso di questo studio l analisi del sottosistema aria è finalizzata alla costruzione di un modello il più possibile semplice ma sufficientemente descrittivo delle grandezze di maggior interesse per la gestione della combustione in modo da permettere la costruzione di strategie per la loro regolazione. Tali grandezze come introdotto precedentemente sono la concentrazione di gas inerte nel collettore di aspirazione F 1 ed il rapporto aria/carburante normalizzato λ. Data quindi la necessità di avere delle informazioni oltre che sulla temperatura e la pressione anche sulla composizione (ossigeno e inerte) dei gas nei due volumi, le equazioni dinamiche per densità, pressione e frazione di inerte per ognuno dei due volumi del colletore di aspirazione (pedice 1 )

29 Modello del sottosistema aria 28 e del collettore di scarico (pedice 2 ) (vedi paragrafo nomenclatura 1), sono derivate dalle equazioni fondamentali dei bilanci di massa(j.brugård and J.Bergström, 1999), (F.Karlsson, 2001), (P.Andersson, 2005): ρ = 1 V Win W out, (1.1) P = γr V (W int in W out T ), (1.2) F = 1 ρv Win (F in F ). (1.3) a cui si aggiunge il bilancio delle coppie all albero del gruppo turbocompressore per l equazione della dinamica dei giri (O.Flärd and M.Gustafsson, 2003). Ṅ tc = 60 2πI tc N tc Ω. (1.4) Andando quindi a descrivere le equazioni dinamiche del modello, sotto l ipotesi che non ci sia reflusso (flusso inverso) attraverso l EGR, esplicitando tutti gli addendi sia per il collettore di aspirazione (pedice 1 ), per quello di scarico (pedice 2 ), e per l albero del turbocompressore, otteniamo: Collettore di aspirazione: in ingresso la portata dal compressore W c1 e quella dall EGR W 21 ; in uscita la portata che entra nei cilindri W 1e ; Collettore di scarico: in ingresso c è la portata in uscita dai cilindri W e2 ; in uscita quella verso la turbina W 2t e quella attraverso; l EGR W 21

30 Modello del sottosistema aria 29 Albero turbocompressore: a sommare la coppia fornita dalla turbina premoltiplicata per il rendimento meccanico η m Ω t ; a sottrare la coppia assorbita dal compressore Ω c ; andando così a sostituire tutti gli addendi identificati nelle equazioni (1.1),(1.2),(1.3) e (1.4) si ottiene: ρ 1 = 1 V 1 (W c1 + W 21 W 1e ), F 1 = W 21(F 2 F 1 ) W c1 F 1 ρ 1 V 1, P 1 = γr V 1 ( W c1 T ic + W 21 T ec W 1e T 1 Q ) 1, c p ρ 2 = 1 V 2 (W e2 W 2t W 21 ), F 2 = W e2(f e F 2 ), ρ 2 V 2 P 2 = γr V 2 ( W e2 T e W 2t T 2 W 21 T 2 Q ) 2, c p Ṅ tc = 60 2π ( ηm Ω t Ω c I tc N tc ). In figura (Fig.1.5) si riporta lo schema del motore con le indicazioni delle granderre indicate nelle formule precedenti.

31 Modello del sottosistema aria 30 T, P amb amb vgt Air Filter Air Flow Meter Wc1 c c C N tc, I tc t T, m t P out W 2t EGR cooler T ec Intercooler ec W 2 t 2, P2 F2, T2,, V 2 W f W21, N e T ic ic EGR valve egr 1, P1 F1, T1,, V 1 Figura 1.5: Schema motore con riferimenti alle grandezze del modello. In base a tali equazioni, raccogliendo in forma vettoriale gli ingressi, lo stato e le uscite, viene individuata una descrizione del modello come segue X stato u ingressi manipolabili û ingressi non manipolabili

32 Modello del sottosistema aria 31 y uscita X = ρ 1 F 1 P 1 ρ 2 F 2 P 2 u = χ egr χ vgt û = P amb T amb P out N e W f y = λ F 1 N tc Riguardo alla temperatura in uscita dal cilindro T e ed ai bilanci energetici nei due collettori vengono introdotte le seguenti approssimazioni. La temperatura in uscita dal motore viene approssimata con una funzione non lineare della giratura motore N e e della portata di combustibile iniettato W f. Tale funzione nel modello è realizzata con una funzione affine a tratti: T e = f(n e,w f ) Lo scambio di calore nel collettore di aspirazione viene considerato trascurabile e quindi posto a 0: Q 1 = 0 Il collettore di scarico, al contrario di quello di aspirazione, non può essere approssimato come adiabatico, ma data la difficoltà di misurare o stimare lo scambio di calore con l esterno si preferisce considerarlo nullo ( Q 2 =0)e mappare il suo effetto nell equazione che ricostruisce la temperatura all uscita dal motore, quindi: Q 2 = 0

33 Modello del sottosistema aria 32 Nell equazione del bilancio delle coppie del sistema turbocompressore il rendimento meccanico del gruppo η m viene solitamente posto uguale ad una costante ed inglobato nel rendimento isoentropico della turbina η t,(o.flärd and M.Gustafsson, 2003). Le pressioni di contorno: ambiente ed allo scarico vengono fissate ad un valore costante ed inoltre viene considerata trascurabile la caduta di pressione a cavallo del filtro aria in ingresso al circuito aria. Equazioni statiche Nelle equazioni che descrivono le dinamiche dei due collettori e la dinamica dell albero turbocompressore indicate precedentemente, compaiono molti termini che dipendono dalle trasformazioni che avvengono nei vari elementi (EGR, turbina, compressore,...) che sono stati approssimati come elementi con volume trascurabile. In base a tale posizione le trasformazioni che avvengono in tali sottoparti del sistema sono state caratterizzate da equazioni algebriche che ne descrivono il comportamento come evoluzione attraverso una successione di stati quasi stazionari. Temperature nei collettori In tale modo, e facendo anche riferimento alla bibliografia presente a tale riguardo (Nieuwstadt et al., 2000), (I.Kolmanovsky et al., 1999) sono state descritte le temperature nei due collettori secondo l equazione dei gas perfetti.

34 Modello del sottosistema aria 33 T 1 = P 1 ρ 1 R T 2 = P 2 ρ 2 R Potenza fornita dalla turbina ed assorbita dal compressore Le trasformazioni termodinamiche nel compressore e nella turbina sono state descritte come trasformazioni isoentropiche (L.Eriksson et al., 2002), (I.Kolmanovsky et al., 1997), dove i rendimenti isoentropici di turbina e compressore sono mappati e verranno trattati in maggior dettaglio nel capitolo successivo. Ω c = W c1 c p T amb ) η c (Sc1 0, P 1 P amb [ ( P1 P amb ) γ 1 γ 1 ] ( Ω t = W 2t c p T 2 η t χ vgt,n tc,t 2, P ) [ out 1 P 2 ( Pout P 2 ) γ 1 ] γ (1.5) Frazione di gas inerte in uscita dal motore La frazione di gas inerte in uscita dal motore è espressa secondo l equazione seguente, che rappresenta come varia la frazione di inerte in funzione della combustione che avviene nel cilindro (O.Storset et al., 2000). F e = W 1eF 1 + W f (1 + λ 0 ) W 1e + W f

35 Modello del sottosistema aria 34 Portata attraverso la valvola EGR La portata attraverso la valvola EGR viene descritta utilizzando l equazione di De Saint-Venant (Nieuwstadt et al., 2000) per il flusso stazionario attraverso un condotto. P0, T0,V0 P, T,V Throat AT Figura 1.6: Schema teorico modello De Saint-Venant.

36 Modello del sottosistema aria 35 che nel caso della valvola EGR diventa: P 2 W 21 = A egr (χ egr ) Ψ RT2 Ψ(r) = ( γ 2γ γ 1 ( P1 P 2 ) con ) (r 2 γ+1 γ r γ 2 γ+1 ) γ+1 2(γ 1) ( se r> ( se r 2 γ+1 2 γ+1 ) γ γ 1 ) γ γ 1 Portata attraverso la turbina Anche per quanto riguarda l equazione della portata attraverso la turbina, che verrà trattata in maggior dettaglio nel prossimo capitolo, viene utilizzata una versione modificata dell equazione di De Saint-Venant (I.Kolmanovsky et al., 1997). P 2 W 2t = A vgt (χ vgt ) RT2 ( ) Pout Ψ,χ vgt P 2 con (1.6) Ψ(r, χ vgt ) = (r g(χ vgt )+1) 2 γ (r g(χvgt )+1) γ+1 γ se r > rc(χ vgt ) (rc(χ vgt ) g(χ vgt )+1) 2 γ (rc(χvgt ) g(χ vgt )+1) γ+1 γ se r rc(χ vgt ) Portata attraverso il compressore La portata attraverso il compressore è invece sostanzialmente ricostruita con un equazione che si basa sulla mappatura che deriva dal costruttore e verrà descritta in maggior dettaglio nel capitoli seguenti.

37 Modello del sottosistema aria 36 W c1 = P amb RT amb T amb T ref Γ c ( ) P1,Ntc 0 P amb (1.7) Portata in ingresso al motore La portata in ingresso al cilindro è descritta in modo classico dalla relazione W 1e = n cylv d 120RT 1 η v (N e,p 1 )N e P 1 dove η v (N e,p 1 )è il rendimento di aspirazione che viene mappato in funzione del punto motore. Portata in uscita dal motore La portata in uscita dai cilindri in stazionario è la somma della portata entrante più quella dovuta al carburante iniettato. W e2 = W 1e + W f Temperatura all uscita del compressore La temperatura in uscita dal compressore è data dalla trasformazione isoentropica descritta da: 1 T c = T amb 1+ η c (N tc,t amb, ) P 1 P amb ( ( P1 P amb ) γ 1 γ 1) Temperatura all uscita dell INTERCOOLER La temperatura dei gas in uscita dall INTERCOOLER è funzione del rendimento dell INTERCOOLER η ic

38 Modello del sottosistema aria 37 T ic = T amb η ic +(1 η ic )T c Temperatura all uscita del cooler EGR Analogamente la temperatura in uscita del cooler EGR per il raffreddamento dei gas che ricircolano dal collettore di scarico verso quello di aspirazione viene descritta in funzione del rendimento del cooler EGR η ec T ec = T amb η ec +(1 η ec )T 2 Nelle equazioni delle trasformazioni termodinamiche nel cooler EGR e nell INTERCOOLER, i comportamenti sono piuttosto stabili e quindi in prima approssimazione i rispettivi rendimenti η ec e η ic vengono posti pari a delle costanti da identificare. Se l efficienza dei cooler è molto elevata in prima approssimazione le temperature in uscita possono essere anche fissate come delle costanti. Altrimenti valgono le equazioni sopra indicate con l approssimazione di porre i rendimenti dei cooler costanti. Rapporto aria/carburante normalizzato Infine il rapporto aria carburante, che è stato indicato come una delle uscite di interesse del modello, è ricostruito a partire dalla frazione di inerte presente nel collettore di aspirazione a dalla quantità di combustibile iniettato. λ = (1 F 1)W 1e W f

39 Capitolo 2 Turbocompressore La composizione e la descrizione dell intero modello rispecchia, per quanto riguarda la descrizione delle dinamiche collettore delle trasformazioni nell E- GR e nei due cooler, nonchè nella descrizione della portata in ingresso ed in uscita dal cilindro, uno schema a valori medi. L uso di schemi a valori medi, che come si può capire anche dalla letteratura (M.Fons et al., 1999), (H.Bengtsson, 2002), rappresenta uno standard già ben collaudato per la costruzione di modelli control-oriented per motori a combustione interna. L elemento su cui ci siamo soffermati maggiormente in questa attività, sia per il carattere di maggior contenuto innovativo, sia per la concreta difficoltà che ne comporta la trattazione, è il modello del sistema turbocompressore e la sua integrazione in un modello complessivo che permetta di valutare le interazioni di tale di componente con altri quali ad esempio l EGR e di valutare come il funzionamento dell intero sistema ne venga influenzato. Il turbo sovralimentatore a gas di scarico utilizzato per le prove sperimentali nell ambito del presente lavoro è quello utilizzato sul motore 1.3 Multijet, ovvero un KKK KP35 (prodotto dalla Borg Warner Turbo System) dotato

40 Turbocompressore 39 di palette del distributore della turbina a calettamento variabile (Variable Nozze Turbine, VGT). Figura 2.1: Turbocompressore Borg Warner KP35. Questa caratteristica rispetto alla turbina a geometria fissa con valvola waste-wate (P.Andersson, 2002), permette di ottenere valori piùelevatidi rendimento di espansione in turbina, che può adattarsi ai diversi regimi motore e garantire così oltre che un miglior rendimento complessivo, anche una migliore risposta ai transitori e una caratteristica di coppia del motore più favorevole alla trazione stradale. La maggiore efficienza della turbina è giustificata dal fatto che, grazie alla possibilità di variare l incidenza delle palette del distributore, si possono

41 Turbocompressore 40 Figura 2.2: Turbocompressore Borg Warner KP35, sezione. ridurre le perdite dovute all urto all ingresso del rotore. Soprattutto nelle applicazioni veicolistiche, può infatti capitare spesso, a causa di variazioni della portata o del regime di rotazione rispetto alle condizioni di progetto, che la velocità in ingresso non risulti tangente al bordo di attacco della paletta rotorica: controllando il calettamento delle palette statoriche si riesce ad avere un angolo di ingresso sempre prossimo alle condizioni ottimali, riducendo le perdite e migliorando quindi il rendimento. Un altro aspetto importante è legato alla possibilità di regolare la sezione di passaggio del distributore della turbina, da un valore minimo a un valore massimo (corrispondente alle condizioni di piena apertura). Ridotte sezioni

42 Turbocompressore 41 di passaggio sono particolarmente utili ai bassi regimi e carichi, per avere un elevato rapporto di espansione attraverso la turbina e di conseguenza elevate velocità dei gas a valle del distributore. Aumentando il regime di rotazione del motore (e con esso la portata di gas evolventi), il distributore viene progressivamente aperto per poter smaltire tale portata senza aumentare eccessivamente il rapporto di espansione, e contenendo quindi l incremento della contropressione allo scarico. Va notato che, in assenza di un circuito di bypass (come nel caso in cui si utilizzi una valvola di by-pass della turbina, detta waste-gate), l intera portata di gas di scarico viene elaborata dalla turbina, con un conseguente migliore recupero energetico della loro entalpia. L impiego di un sistema a geometria variabile permette di ridurre inoltre le dimensioni della turbomacchina ed in particolare del rotore, contenendo l inerzia delle parti rotanti e quindi garantendo una risposta molto piùpronta alle variazioni di carico. Per interpretare adeguatamente le curve caratteristiche di compressore e turbina che i costruttori rendono disponibili, è necessario introdurre una convenzione. Tali prestazioni infatti vengono misurate su un banco prova con aria in condizioni di temperatura e pressione diverse da quelle alle quali compressore e turbina si trovano ad operare su motore e devono quindi essere corrette. La stragrande maggioranza dei costruttori assumono come riferimento la temperatura e la pressione ambiente (circa 20 C, cioè 293 K, e circa 1 bar o, le stesse grandezze espresse in unità del sistema anglosassone). Per poter correlare correttamente le portate misurate al banco a quelle effettive nell impiego su motore si definisce così la portata corretta o ridotta e la velocità di rotazione corretta o ridotta. Si possono così definire grandezze cosiddette pseudo-adimensionali che descrivono il comportamento di una turbomacchina operatrice con validità del

43 Turbocompressore 42 tutto generale: Rapporto di espansione β = P 2 P 1 Velocità ridotta Portata massica ridotta Portata volumetrica ridotta n 0 = n m 0 = ṁ P 0 T 0 T 1 mv 0 = ṁv T 1 P 1 T 0 in cui, per capire, m 0 è la portata in massa misurata quando l aria aspirata è alla temperatura di riferimento T 0 ed alla pressione di riferimento P 0 ed n 0 è il corrispondente regime di rotazione, mentre m è la portata in massa che verrebbe misurata alla temperatura T 1 ed alla pressione P 1 alla velocità di rotazione n. Ad esempio, per il compressore i costruttori forniscono delle curve di dipendenza del rapporto di compressione β (cioè il rapporto tra la pressione allo scarico del compressore e quella all aspirazione dello stesso) dalla portata m 0 al variare del regime di rotazione n 0. T 0 T 1 Se il compressore aspira aria ad una temperatura T ed una pressione P, la portata che dovremo attenderci è al regime di rotazione: ṁ = P T0 m 0 P 0 T n = n 0 T T 0 Per la turbina le considerazioni sono del tutto analoghe con la sola lieve differenza che si indica con β il rapporto di espansione cioè il rapporto tra la pressione all ingresso della turbina e quella allo scarico della stessa (per entrambelemacchineè quindi superiore ad uno).