Determinazione della curva di probabilità

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1 Determinazione della curva di probabilità.si selezionano alcuni tipi di distribuzione, tra i quali sembra più agionevole effettuare la ricerca;.si individua il tipo di distribuzione che meglio si presta a nterpretare le osservazioni. attitudine di un dato tipo di legge (normale, lognormale etc.) a nterpretare le osservazioni disponibili si può valutare, prima ancora i aver determinato i valori da assegnare ai parametri che la aratterizzano, disegnando la spezzata della frequenza cumulata elativa su carte speciali (carte probabilistiche) nelle quali tutte le urve di probabilità di un certo tipo risultano rappresentate da rette.

2 Le carte probabilistiche e carte probabilistiche sono specifiche per ogni tipo di funzione di robabilità (log-normale, Gumbel,..) e vengono costruite in modo ale che le curve di probabilità della funzione corrispondente vi engono rappresentate da rette. ossono essere utilizzate per verificare l ammissibilità della funzione i probabilità prescelta per descrivere il campione, ancor prima di timare i parametri: e il tipo di funzione di distribuzione prescelto è adatto ad nterpretare le osservazioni, i punti devono addensarsi intorno ad una etta.

3 Le carte probabilistiche e carte probabilistiche sono dei grafici, nei quali è riportata in scissa la variabile casuale x, ed in ordinata il valore della robabilità cumulata P(X x) o P(X x), il tempo di ritorno, o la ariabile ridotta della distribuzione, deformando opportunamente la cala in modo tale che la funzione di ripartizione possa essere appresentata da una retta (ad esempio per la distribuzione normale asta porre in ordinata la variabile normale standard).

4 La carta probabilistica log-normale

5 Statistica idrologica La carta probabilistica di Gumbel Carte probabilistiche

6 Carte probabilistiche e plotting position er riportare un punto sulla carta probabilistica, è necessario onoscere di esso il valore x e la probabilità P(X x) o P(X x). Se i arametri della distribuzione non sono stati ancora determinati, non possibile calcolare la probabilità attraverso le formule consuete. elle carte probabilistiche viene quindi utilizzata n approssimazione della probabilità di superamento, detta plotting osition. pprossimazione normalmente utilizzata: F ( X x ) m N + dove m : N : posizione del dato nella serie ordinata in senso decrescente, numerosità del campione

7 Carte probabilistiche e plotting position opo aver riportato i valori sulla carta probabilistica, ed avere ccertato che si addensano intorno ad una retta, è possibile: utilizzare direttamente il diagramma per identificare la retta che meglio regolarizza i valori (p.es. tramite il metodo dei minimi quadrati); ppure: procedere in modo analitico alla determinazione dei parametri (p. es. tramite il metodo dei momenti) e quindi riportare la retta risultante sul grafico al fine di valutarne la capacità descrittiva (questo metodo è preferibile).

8 figure riportano le carte obabilistiche di Gumbel relative ai lori di precipitazione massima nuale di durata pari ad e 24 ore. rette introdotte nei grafici sono elle stimate tramite il metodo dei omenti. Infatti nelle carte viene portata in ascissa la variabile dotta ed in ordinata il dato. y pplicazione: stazione pluviografica di rento x ε x y α + α ε r es.: ε rappresenta il valore ll intercetta dall applicazione del etodo dei momenti si ricava (h) 7.7 massimi annuali ( ora) massimi annuali 24 ore (mm) Stazione pluviografica di rento Cartogramma probabilistico di GUMBEL y: variabile ridotta Stazione di rento - ( ) cartogramma probabilistico di GUMBEL Extr.Val Expected Observed Extr.Val Expected Observed

9 Stima dei parametri Metodo dei momenti successivi: si impone che i momenti ampionari coincidano con quelli della popolazione e quindi si issano i parametri della distribuzione. Metodo della massima verosimiglianza: si determinano i parametri n modo che sia massima la probabilità che siano stati estratti i ampioni osservati dalla popolazione (migliore ma più complesso, a olte coincidente col metodo dei momenti). Atri Metodi (metodo dei minimi quadrati, degli stimatori analoghi, el minimo Chi-quadrato, della minima distanza)

10 Metodo dei Momenti ata una distribuzione caratterizzata da k parametri incogniti, questi engono stimati esprimendoli come funzione dei primi k momenti ella popolazione e quindi sostituendo ai momenti della popolazione i omenti campionari. I UGUAGLIANO I MOMENI CAMPIONARI AI MOMENI EORICI DELLE DISRIBUZIONI I AIBUISCE A CIASCUN MOMENO DELLA OPOLAZIONE IL VALORE DEL CORRISPONDENE OMENO DEL CAMPIONE ESRAO DA QUELLA OPOLAZIONE

11 Metodo dei Momenti: Esempio i voglia stimare media µ e varianza σ 2 aratterizzata da una distribuzione normale. di una popolazione la media µµ è il momento di ordine uno e viene stimato ponendo m con m n n x i i la varianza σ 2 µ 2 (µ ) 2 è legata al momento di ordine due, viene timata ponendo σ 2 s 2 con n ( x m) 2 i 2 i s

12 Metodo dei Momenti: osservazioni ANAGGI: la estrema semplicità che rende il metodo dei momenti pplicabile facilmente a situazioni in cui sarebbe troppo complesso pplicarne altri. VANAGGI: se si deve stimare il valore della funzione di un arametro è in generale meglio stimare tale valore direttamente nvece che il parametro e quindi applicare la funzione. Per queste agioni il metodo di massima verosimiglianza deve essere preferito, uando possibile, al metodo dei momenti.

13 Metodo della Massima Verosimiglianza

14 Metodo della Massima Verosimiglianza

15 Metodo della Massima Verosimiglianza

16 est Statistici er verificare la correttezza delle ipotesi: si esegue un frequency test on: χ 2 (grezzo ma semplice); Kolmogorov-Smirnov (migliore ma più complesso).

17 est statistico di Pearson o del χ 2 er verificare l adattamento del campione ad una distribuzione eorica occorre che sia verificata la disuguaglianza: Χ 2 k ( i Npi ) 2 N 2 χ Np α i i ( k s ) numero di classi in cui si è diviso il campione i numero di valori del campione compreso nella i-esima classe, numerosità del campione, i probabilità teorica che un osservazione sia compresa nella i-esima classe ari alla differenza della funzione di ripartizione calcolate agli estremi di ciascuna lasse numero dei parametri della distribuzione teorica che si considera -α 2 (k-s-) valore di una variabile casuale Chi quadro con k-s- gradi di libertà

18 est di Kolmogorov-Smirnov er verificare l adattamento del campione ad una distribuzione eorica occorre che sia verificata la disuguaglianza: D N max i [ P( xi ) FS ( xi )] Dα (x i ): probabilità cumulate secondo il modello s(x i ): frequenze empiriche di non superamento calcolate utilizzando la formula di Blom. er N maggiore di 35 valgono le seguenti statistiche: α 0.05 α 0. 0

19 Calcolo dei valori di assegnato tempo di ritorno L EMPO DI RIORNO E LEGAO ALLA CORRISPONDENE ROBABILIA DI NON SUPERAMENO DALLA RELAZIONE ( x ) na volta determinato il tempo di ritorno r, si calcola il valore della robabilità di non superamento P(x) corrispondente tramite la eguente relazione: P P( [ x x ] P( x) x ) R

20 ( ) ( ) [ ] ( ) ( )] ln ln x ln ln w x ) x F ( ) x F ( ) x X P ( ) x X P ( : è poiché ) x F ( ln ln x e exp x F x α ε ε α ε α ε α Esempio di applicazione: Esempio di applicazione: distr distr. di. di Gumbel Gumbel eterminazione del valore di x caratterizzato da un tempo di ritorno

21 Esempio di applicazione: distr.. di Gumbel AZIONE PLUVIOGRAFICA DI RENO rincipali statistici del campione e valori dei parametri della istribuzione di probabilità di GUMBEL tima dei parametri ε e α con il metodo dei momenti. Durata (ore) N casi minimo massimo media Deviazione standard ε α

22 Esempio di applicazione: distr.. di Gumbel AZIONE PLUVIOGRAFICA DI RENO rincipali statistici del campione e valori dei parametri della istribuzione di probabilità di GUMBEL tima dei parametri ε e α con il metodo dei momenti. empo di ritorno () w Durata