y = 0.050x lnn

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1 lnn 1. Per una popolazione malthusiana, la variazione di abbondanza da un anno all'altro è descritta dalla seguente equazione: N t+1 = λ N t (1) dove N t è l'abbondanza della popolazione nell'anno t, N t+1 è l'abbondanza della popolazione nell'anno t+1, e λ è il tasso finito di crescita. L'equazione (1) può essere generalizzata per prevedere l'abbondanza della popolazione in un generico istante di tempo t in funzione dell'abbondanza iniziale N 0 al tempo t = 0: N t = λ t N 0 (2) L'equazione (2) può poi essere ricondotta a una retta effettuando una trasformazione logaritmica dei dati: lnn t = t lnλ + lnn 0 (3) che corrisponde alla nota equazione y = mx + q se si pone y = lnn t, x = t, m = lnλ, q = lnn 0. È quindi possibile stimare il tasso di crescita λ calcolando il logaritmo dei dati di abbondanza forniti dal testo e rappresentandoli graficamente in funzione del tempo, come mostrato in figura y = 0.050x Anno Se i dati si allineano sufficientemente bene lungo una retta, dalla pendenza di tale retta è possibile ricavare una stima del tasso di crescita λ. Infatti la pendenza m della retta è facilmente calcolabile prendendo due punti sulla retta e calcolando il rapporto Δy/Δx tra la differenza di ordinata Δy e quella di ascissa Δx. Nel caso in esame (in figura la retta è stata disegnata con la funzione Aggiungi linea di tendenza di Excel), notando che lnn vale circa 5.25 nel 1985 e circa 6 nel 2000, si otterrebbe m = (6 5.25) / ( ) = 0.75/15 = Poiché m = lnλ, il valore del tasso di crescita si ottiene agevolmente come exp(λ) = exp(0.05) = Questo significa che la popolazione aumenta del 5% ogni anno. Una stima ovviamente più approssimata, ma verosimilmente ragionevole, può essere ottenuta tracciando a occhio la retta su un grafico disegnato manualmente e calcolando nello stesso modo la pendenza della retta stessa. Per calcolare il tempo T necessario a che la popolazione raddoppi, è sufficiente sostituire nell'equazione (2) la condizione per cui N t = 2N 0 ; si ottiene quindi 2N 0 = λ T N 0 da cui risulta (indipendentemente dall'abbondanza iniziale della popolazione) λ T = 2

2 ovvero, passando ai logaritmi T lnλ = ln2 da cui è possibile ricavare T come T = ln2 / lnλ che, nel caso della popolazione in esame, risulta approssimativamente pari a 14 anni. 2. Il problema può essere agevolmente risolto ricordando la formula utilizzata per stimare (in modo indiretto) la produzione primaria netta (PPN) in ambiente terrestre: PPN = ΔB + M dove ΔB (= B 2 B 1 ) è la variazione di biomassa in un dato periodo di tempo (t 1,t 2 ), e M la quantità di biomassa morta nello stesso periodo. La biomassa presente nei due appezzamenti nei due istanti in cui viene effettuato il censimento è data dal numero di alberi moltiplicato per il peso medio di ogni albero: B 2010, A = = kg B 2010, B = = kg B 2011, A = = kg B 2011, B = = kg Si ha quindi ΔB A = = kg ΔB B = = kg E la produzione netta dei due appezzamenti risulta quindi PPN A = = kg PPN B = = kg La produzione netta del bosco è quindi pari a kg. È possibile valutare la quantità totale di carbonio assorbita dal bosco nel periodo dato sapendo che il peso della biomassa arborea secca è grosso modo pari al 70% della biomassa totale (questa percentuale è in realtà estremamente variabile in funzione della specie vegetale considerata e delle condizioni climatiche); il contenuto di carbonio rappresenta approssimativamente il 50% della biomassa secca. La quantità di carbonio assorbita è quindi valutabile in = kg C. 3. La produzione primaria lorda è la quantità totale di energia fissata dai produttori primari attraverso la fotosintesi. Di questa, una parte viene consumata nei processi respiratori, mentre la restante parte (produzione primaria netta) viene effettivamente immagazzinata all'interno della biomassa vegetale. Nella bottiglia scura la fotosintesi non è possibile, e quindi la variazione della concentrazione tra l'istante di inizio e quello di fine dell'esperimento è determinata esclusivamente dalla respirazione (di fitoplankton e zooplankton): O 2 (fine) = O 2 (inizio) RES RES = O 2 (inizio) O 2 (fine) = 1 g m -3 Per contro, nella bottiglia chiara sia ha sia fotosintesi e, quindi, produzione primaria lorda, sia respirazione. Risulta quindi O 2 (fine) = O 2 (inizio) RES + PPL

3 ovvero la produzione lorda può essere calcolata come PPL = O 2 (fine) O 2 (inizio) + RES = = 4 g m -3 Sapendo infine che ogni grammo di ossigeno prodotto corrisponde a circa 25 kcal, la produzione primaria lorda è pari a PPL = 4 g m kcal / 1 giorno = 100 kcal m -3 giorni Per calcolare la vita media alla nascita (e 0 ) delle due specie è necessario ricordare la formula x e 0 = max x=0 L x n 0 dove x max è l'età massima raggiunta dagli individui della coorte, n 0 è il numero di individui di età zero (la cosiddetta radice della coorte) e L x è il numero medio di individui sopravvissuti tra l'età x e l'età x+1. La tabella sottostante riporta i dati relativi alla coorte di pettirossi e i corrispondenti valori di L x. x max x n x L x La somma x=0 L x rappresenta il numero totale di anni vissuti dalla totalità di individui della coorte. Dividendo tale valore per il numero iniziale di individui n 0 si ottiene il numero di anni vissuto mediamente da ogni individuo. Nel caso dei pettirossi si ha dunque e 0 = ( ) / 94 = 0.88 anni Un calcolo del tutto analogo consente di stimare, per la coorte di storni, una vita media alla nascita di 1.55 anni. La stima della vita media a 3 anni è basata sullo stesso concetto, salvo il fatto che si considerano come popolazione iniziale solo quegli individui sopravvissuti fino al terzo anno di età. La formula risulta pertanto x e 3 = max x=3 L x n 3 e la vita media all'età 3 per i pettirossi è quindi data da e 3 = ( ) / 3 = 1.17 anni Il fatto che e 3 sia maggiore di e 0 si spiega con una mortalità giovanile particolarmente elevata (più dell'80% degli individui muore prima di compiere il primo anno di vita). Per questo motivo, gli individui che riescono a superare la fase critica giovanile hanno di fronte a loro un orizzonte di vita che è mediamente superiore a quello di un nuovo nato. Per gli storni, invece e 3 risulta inferiore a e 0 e pari a 1.06 anni.

4 Classi di età Classi di età 5. Le figure sottostanti rappresentano le piramidi demografiche di Francia e Iraq. Dalla prima (a forma di ogiva, con un massimo nella classe di età fra 40 e 49 anni) si desume facilmente che la popolazione è in declino, mentre dalla seconda (a forma di tenda, con la classe dei bambini fra 0 e 9 anni nettamente dominante rispetto alle altre) è possibile ipotizzare che la popolazione sia in crescita Francia 2010 uomini donne 30% 10% 10% 30% Distribuzione percentuale Iraq 2010 uomini donne 30% 10% 10% 30% Distribuzione percentuale Per calcolare l'aspettativa di vita alla nascita nei due paesi è possibile utilizzare la formula utilizzata nell'esercizio 4, opportunamente modificata per tenere conto del fatto che le classi di età hanno un'ampiezza di 10 anni anziché di uno: x e 0 = max x=0 L x n 0 10 L'aspettativa di vita risulta pari a 75 anni per la Francia e 31 per l'iraq. È inoltre interessante utilizzare i dati disaggregati per genere, calcolando e 0 per donne e uomini separatamente. Si scopre così che in Francia l'aspettativa di vita è di 79 anni per le donne e 72 per gli uomini, mentre in Iraq la differenza è meno accentuata (31 contro 30). 6. Il livello di diversità nelle due comunità è quantificabile mediante uno degli indici di alfadiversità, ad esempio quello di Simpson: S 2 H = 1 i=1 p i le probabilità di occorrenza delle diverse specie nelle due comunità sono riportate nella tabella sottostante.

5 ln S A Specie p i 2 p i B Specie p i 2 p i 7/ / / / / / / Il valore dell'indice di Simpson risulta rispettivamente pari a per la comunità A e per la comunità B. Nonostante il maggior numero di specie, la seconda comunità risulta meno biodiversa della prima a causa dell'elevata asimmetria nella distribuzione delle specie. Il grado di somiglianza tra le due comunità può essere valutato mediante l'indice di Sørensen: I S = 2 S A B / (S A + S B ) dove S A e S B sono il numero di specie nella comunità A e nella comunità B, e S A B è il numero di specie comuni alle due comunità. 7. Secondo la teoria della biogeografia delle isole, il numero di specie S presente su un'isola di un arcipelago è tanto più elevato quanto maggiore è l'estensione dell'isola. Analizzando i dati riportati nel testo si osserva che, effettivamente, il numero di specie sulle isole di Tetraneso aumenta all'aumentare dell'area. In molti arcipelaghi S può essere legato all'area A dell'isola mediante una relazione del tipo S = ca z in cui c è una costante di proporzionalità che varia da arcipelago a arcipelago, mentre l'esponente z è in molti casi vicino al valore di 0.3. L'equazione (1) può essere trasformata in una retta passando ai logaritmi: lns = lnc + z lna L'equazione (2) corrisponde alla nota equazione y = mx + q se si pone y = lns, x = A, m = z, q = lnc. La figura sottostante mostra che effettivamente i dati trasformati si allineano molto bene lungo una retta. È quindi possibile stimare i parametri della relazione stimando intercetta e pendenza della retta stessa. Utilizzando la funzione di Excel, ad esempio, si ricava m = 0.32 e q = Risulta quindi c = exp(3.31) = 27.5 e z = m = 0.32, il che conferma ulteriormente che i dati sono in linea con la teoria. (1) (2) y = 0.32x ln A

6 8. Il tempo di residenza di una sostanza all'interno di un comparto è dato, se il comparto è all'equilibrio (cioè se i flussi di quella sostanza in ingresso bilanciano quelli in uscita), dal rapporto tra il contenuto di sostanza nel comparto (lo stock) e la somma di tutti i flussi entranti (o uscenti, il che è lo stesso perché si bilanciano). Il tempo medio di residenza T R del carbonio negli oceani può essere quindi calcolato come T R = Pg / Tg/anno = g / g/anno = 444 anni. 9. La produzione netta per i diversi comparti ecologici si calcola facilmente come differenza tra produzione lorda PL e respirazione RES: per i produttori primari, PPN = PL RES = = 880 kcal m -2 anni -1 per gli erbivori, PSN1 = PL RES = = 104 kcal m -2 anni -1 per i carnivori, PSN2 = PL RES = = 13 kcal m -2 anni -1 L'efficienza di assimilazione è data dal rapporto tra quanto viene assimilato (la produzione lorda) e quanto viene rimosso (somma dell'assimilato e del non assimilato) dal comparto sottostante: per gli erbivori, e A1 = 148 / ( ) = 0.83 per i carnivori, e A2 = 31 / (31 + 3) = 0.91 L'efficienza di produzione netta, infine, è data dal rapporto tra produzione netta e produzione lorda: per gli erbivori, e N1 = (148 44) / 148 = 0.70 per i carnivori, e N2 = (31 18) / 31 = 0.42