3 SITUAZIONI POSSIBILI. la popolazione è in declino I morti superano i nati. Lucia Della Croce - Matematica applicata alla biologia

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1 3 SITUAZIONI POSSIBILI 1 la popolazione è in declino I morti superano i nati

2 EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI BATTERI IN DECLINO

3 popolazione 3 Con immigrazione: Yn = 0.8 * Yn tempo Si stabilizza al valore 1 b

4 1 EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI BATTERI IN CRESCITA

5 1 n n 1 Lo stato della popolazione è STAZIONARIO

6 La dinamica della cavalletta (Chorthippus brunneus) tutti gli adulti muoiono nell'arco di un anno; ogni femmina depone mediamente 7.3 ooteche alla fine dell'estate; ogni teca contiene circa 11 uova; le uova rimangono in uno stato di quiescenza durante l'inverno e solo il 7.9% di esse si schiude all'inizio della primavera successiva per dar luogo a ninfe nello stadio di sviluppo I; il 72% delle ninfe nello stadio I passa allo stadio II; il 76% dallo stadio II a quello III, e ancora il 76% dallo stadio III al IV; l'89% delle ninfe allo stadio IV emerge finalmente come cavalletta adulta pronta a riprodursi il rapporto sessi si può in prima approssimazione assumere pari a 1:1 (cioè il 50% degli individui sono femmine e il 50% maschi);

7 una generazione = un anno specie univoltina e annuale gli adulti si riproducono una sola volta e poi muoiono all'inizio dell'inverno, ogni generazione sopravvive per un solo anno le generazioni non si sovrappongono nello stesso istante di tempo non ci sono individui che appartengono a generazioni diverse. Nessun adulto nell'anno sopravvive fino all'anno successivo Siccome nessun adulto nell'anno sopravvive fino all'anno successivo, il numero di individui nella generazione sarà dato solo dagli individui nati nella generazione che sopravvivono fino alla generazione. Avendo indicato con il numero di cavallette (maschi + femmine) all'inizio della generazione t, costruiamo il modello per passi successivi:

8 Numero di femmine della generazione t N t 2 Numero di teche prodotte: 7.3 X num. Femmine = 3.65 N t N t numero di uova: 11 X num. teche = 11 X 3.65 =40.15 N t N t num. ninfe stadio I: X = N t N t num. ninfe stadio II: 0.72 X = N t Num. ninfe stadio III: 0.76 X = N t num. ninfe stadio IV: 0.76 X = N t N t N t t 1 Num. adulti generaz X = N t N t Lucia Della Croce - Matematica applicata alla biologia

9 La dinamica della popolazione di cavallette è compiutamente descritta dalla semplice equazione: N t 1 N t Il fattore è detto tasso finito di crescita

10 La dinamica della cinciallegra (parus major) Il rapporto sessi è circa 1:1 (50% maschi e 50% femmine) Le femmine adulte depongono in media 10 uova all'inizio dell'estate L'84% delle uova si schiude e dà luogo a pulcini che sopravvivono fino a un mese di vita. Il 71% dei pulcini si impiuma e raggiunge i tre mesi di vita. Solo il 10% dei pulcini impiumati sopravvive all'inverno ed emerge come adulto riproduttivo Il 50% degli adulti muore durante l'inverno, la parte rimanente sopravvive fino all'estate dell'anno successivo.

11 Se indichiamo con Nt il numero totale di individui (maschi + femmine) all'inizio della generazione t (cioè all'inizio dell'estate, appena prima della riproduzione), la dinamica della popolazione di cinciallegre sarà descritta dalla seguente equazione Nt+1 = Nt - morti durante la generazione t + nuovi nati nella generazione t Le cinciallegre che muoiono durante la generazione t sono pari 0.5Nt e quindi gli adulti della generazione t che sopravvivono fino alla generazione successiva sono semplicemente: Nt Nt = 0.5 Nt

12 Per quanto riguarda il calcolo dei nati nella generazione t si procede come nel caso precedente per passi successivi: num. femmine della generazione t: Nt /2 num. uova: num. pulcini di 1 mese: num. pulcini di 3 mesi: num. pulcini che diventano adulti: 10 x num. femmine = 5 Nt 0.84 x num. nuova = 4.2 Nt 0.71 x pulcini di 1 mese = 0.71 x 4.2 Nt = Nt 0.1 x Nt = Nt

13 La dinamica della popolazione di cinciallegre risulta allora compiutamente descritta dalla seguente equazione: Nt+1 = 0.5 Nt Nt = Nt Il fattore "0.798" è il tasso finito di crescita della popolazione. Il suo valore è inferiore a 1. La popolazione di cinciallegre diminuisce da un anno all altro Se oggi la popolazione ha 1000 individui, l'anno prossimo ne avrà solo 798, il successivo 637 e così via.

14 Accrescimento della cinciallegra (Parus maior) Questa popolazione è quindi destinata ad estinguersi Perde quasi il 20% di individui ogni anno, a meno che non intervengano nuovi fattori (ripopolamenti o migrazioni ) che permettano di compensare la naturale perdita di individui di Parus maior

15 IDENTIFICARE IL MODELLO DI MALTHUS P0, P1,, PN conteggi in stagioni successive Si vuole scrivere l equazione del modello relativo all evoluzione della popolazione P stima del parametro t P? t 0

16 TRASFORMAZIONE LOGARITMICA log( P) log( ) log( P ) t 0 t log( P ) t log( ) log( P t 0 ) a b a t b a e

17 Problema: stimare la pendenza della retta Supponiamo di conoscere P1 e P2 P 1 P 0 log( P) log( ) log( P ) P 2 P 0 log( P ) 2log( ) log( P ) a b 2a 2 b

18 FASCIO DI RETTE at at 1 2 b b b 1 2 t -10 Si ottiene un sistema di 2 equazioni nell incognita a Tra le rette del fascio di centro log(p0) occorre trovare quella che passa per (t1 1) e (t2 2): -15 NON ESISTE

19 SOLUZIONE Si cerca la retta che passa più vicino possibile ai due punti b t a = coefficiente angolare della retta a t a e

20 IDENTIFICAZIONE DEI PARAMETRI Foca grigia del Canada I dati sono relativi al numero di cuccioli di foca grigia (Halichoerus grpus) nati ogni anno a Sable Island, Canada. ( Gulland 1987 Seal and fisheries: A case studies for predator control? Trends in Ecolog and Evolution )

21 Numero di foche Crescita di foche Anni La crescita sembra esponenziale P t t P 0 Anno N. foche

22 Numero di foche (scala logaritmica) Per verificare questa ipotesi conviene rappresentare gli stessi dati in scala semilogaritmica ( i logaritmi delle densità in funzione del tempo) Crescita di foche t log( Pt ) log( ) log( P0 ) log( P t ) t log( ) log( P0 ) 10 3 a t b Anni a e

23 Si può osservare che i logaritmi delle densità dei dati di censimento sono graficamente approssimabili con un retta. Si deduce che questa popolazione è in una fase di crescita malthusiana. Occorre calcolare il tasso finito di crescita Effettuando una regressione lineare sui logaritmi naturali di P(t), si ottengono l'intercetta e il coefficiente angolare della retta di regressione trasformazione logaritmica delle densità della popolazione nei vari anni

24 Numero di foche (in scala logaritmica) Tasso di crescita malthusiana di una popolazione di foche Approssimazione ai minimi quadrati dati di censimento retta stimata tasso di crescita : anni

25 TEMPO (ore) DENSITA OSS (cellule/ml) Stimare il tasso di accrescimento della popolazione di Salmonella

26 STABILITA PER SISTEMI DINAMICI LINEARI Problema: predire il comportamento a lungo termine Lucia Della Croce - Matematica applicata alla biologia

27 PUNTO STAZIONARIO E un punto in cui il sistema è in equilibrio. In un punto stazionario la popolazione non cambia più da una stagione all altra : f ( )

28 COME SI INDIVIDUANO I PUNTI STAZIONARI Si introduce un altra funzione: g() g descrive l evoluzione di una popolazione che non cambia nel tempo L intersezione di f con g fornisce un punto stazionario Lucia Della Croce - Matematica applicata alla biologia

29 Intersezione delle rette f() e g() L intersezione di f con g fornisce un punto stazionario ) ( ) ( 1 1 n n n n g f n n n n f 1 1 ) ( ) ( n n f () f g()

30 DIAGRAMMA A RAGNATELA (diagramma di Moran) Diagramma a ragnatela per la ricerca dei punti stazionari ATTRATTIVO f)) 2.4 g() 2.3 Y

31 DIAGRAMMA A RAGNATELA (diagramma di Moran) Diagramma a ragnatela per la ricerca dei punti stazionari ATTRATTIVO f)) -1 g() -2 Y

32 DIAGRAMMA A RAGNATELA (diagramma di Moran) 3 Diagramma a ragnatela per la ricerca dei punti stazionari f)) g() REPULSIVO Y0