a) Calcolate i valori di stato stazionario del capitale, del prodotto e del consumo per

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1 ESERCITAZIOE 6 - LA TEORIA DELLA CRESCITA ESERCIZIO Considerate un economia descritta dai seguenti dati: ( LE) s. δ. g.3 a) Calcolate i valori di stato stazionario del capitale, del prodotto e del consumo per lavoro effettivo: ;; c. Trovate inoltre i rispettivi valori di regola aurea: g ; g ; c g. Date una rappresentazione grafica dei nuovi valori trovati. La funzione di produzione deve essere riscritta in termini di prodotto per lavoro effettivo: ( LE) ( LE) LE LE LE LE LE ( LE) La condizione di stato stazionario è s f() (δ+g) che nel nostro esempio diventa, (, +,3) 4 6 Il valore di di stead state viene calcolato sostituendo il valore di capitale di stead state nella funzione di produzione f() (6) 4 Il consumo di stead state è, per definizione, il reddito di stead state investimenti, quindi c s 4.4 ( ) 3. Valori di regola aurea: Ricordiamo che il livello di stead state di regola aurea corrisponde al livello di capitale che massimizza il consumo. Il consumo è pari a reddito investimenti: c f ( ) i c f ( ) s f ( ) che data la condizione di stead state s f ( ) ( δ + g) diventa c f ( ) ( δ + g) La condizione di massimo consumo è c ( ) ( ( δ + g) ) ( ) δ + g In questo esercizio

2 (, +,3),5, g Per trovare il valore di e di c che corrispondono al capitale di regola aurea basta sostituire nelle relative definizioni c ( ) ( ) g, g i s f ( ) g, g, g, g g, g g, s è però incognito in quanto il tasso di risparmio che corrisponde al livello di regola aurea non sarà uguale al tasso di risparmio che corrisponde allo stato stazionario iniziale. Per risolvere il s f δ + g problema sfrutto la condizione di stato stazionario g, ( g ) ( ) g c δ ( + g ) ((. +.3) ) 5 5 g g g Dato il valore del consumo è possibile anche trovare il tasso di risparmio di regola aurea g cg, 5 cg, g sg, f ( g ) sg, f ( g ) g cg, s g,.5 f LE ( ) g f () gold (δ+g) i s i s gold gold LE.B. Il livello di capitale di regola aurea si trova nel punto in cui è massima la distanza tra la retta del deprezzamento e la funzione di produzione. La massima distanza si ha quando la funzione di produzione e la retta del deprezzamento hanno la stessa pendenza, cioè quando f ()δ+g. b) Supponete che il progresso tecnico diventi nullo ( g ) mentre δ. 3. Calcolate i nuovi valori di stato stazionario del capitale, del prodotto e del consumo per lavoratore: ; c. Trovare inoltre i rispettivi valori di regola aurea: c. Date ; una rappresentazione grafica dei nuovi valori trovati. Per trovare devo imporre: s f() (δ ). (.3) ( ) ( 44.4) 6. 6 g ; g; g

3 c ( ) s f Per trovare i valori di regola aurea si deve imporre la condizione di massimizzazione del ( ) consumo δ ' g, ( 78,9) 6.7 c i s f δ + g ( ) ( ) g, g, g, g g, g g g f () gold (δ+) i s i s gold gold.b. Il livello di capitale di regola aurea si trova nel punto in cui è massima la distanza tra la retta del deprezzamento e la funzione di produzione. La massima distanza si ha quando la funzione di produzione e la retta del deprezzamento hanno la stessa pendenza, cioè quando f ()δ+g. In questo caso dove g si ha che la retta del deprezzamento è meno inclinata (coefficiente angolare minore, pari a d.3) rispetto al caso del punto a). ESERCIZIO Considerate un economia descritta dai seguenti dati: L δ. a) Calcolate la propensione al risparmio s che garantisce che il capitale per lavoratore di stato stazionario () sia uguale al capitale per lavoratore di regola aurea (g):. Date una rappresentazione grafica dei nuovi valori trovati. g

4 La funzione di produzione può essere riscritta come segue: L L L L L L L L otate come l incognita dell esercizio sia s. La condizione che definisce il problema è g Ricordiamo che il livello di stead state di regola aurea corrisponde al livello di capitale che massimizza il consumo. Il consumo è pari a reddito investimenti: f ( ) i c f ( ) s f ( ) c ma in stead state s f ( ) δ c f ( ) δ La condizione che corrisponde al massimo consumo è c ( ) ( δ ) ( ) δ Sostituendo i valori dati dal problema: δ Per calcolare la propensione al risparmio devo guardare alla condizione di stead-state ( ) s f δ s. sostituendo 65 g s. 65 s s. g Rappresentazione grafica f () gold (δ) i s gold gold

5 .B. Il livello di capitale di regola aurea si trova nel punto in cui è massima la distanza tra la retta del deprezzamento e la funzione di produzione. La massima distanza si ha quando la funzione di produzione e la retta del deprezzamento hanno la stessa pendenza, cioè quando f ()δ+g.

6 b) Consideriamo che l ammortamento vari ( δ. 5) mentre s rimanga s ~ s. Calcolate i nuovi valori di stato stazionario del capitale e del prodotto per lavoratore: ;. Date una rappresentazione grafica dei nuovi valori trovati. (ota: s pms) Per trovare Per trovare devo imporre: s f() δ devo imporre: f ) ( ) (.5. 5 f () gold (δ ) (δ) i s gold gold ESERCIZIO 3 Considerate un economia senza progresso tecnologico descritta dalle seguenti equazioni: L propensione marginale al risparmio PMS s,375 tasso di ammortamento δ d,5 a) Calcolate i valori di stato stazionario del capitale procapite ( /L) e del reddito pro capite ( /L) e rappresentate graficamente l equilibrio. La funzione di produzione può essere riscritta come segue: L L L L L L L L La condizione di stato stazionario è

7 s f() (δ) che nel nostro esempio diventa,375 (,5) 5 5 Il valore di di stead state è calcolato sostituendo il valore di capitale di stead state nella funzione di produzione ) f() (5 5 f () (δ) i s b) Calcolate i rispettivi valori di regola aurea e ricavate la corrispondente propensione marginale al risparmio, fornendo una rappresentazione grafica del nuovo equilibrio di regola aurea (in un nuovo grafico). La condizione di massimo consumo è c ( ) ( ( δ ) ) ( ) δ In questo esercizio,5,5, 5 g 4 Per trovare il valore di di regola aurea basta sostituire gold nella funzione di produzione: ( ) ( 4) g, g Per calcolare la propensione al risparmio devo guardare alla condizione di stead-state

8 di regola aurea ( gold ) gold s f δ s. 5 s.5 sostituendo 4 g s.5 4 s.5. 5 gold f () gold (δ) i s gold i s gold c) Spiegate economicamente e descrivete graficamente come evolvono, i e c quando il sistema passa dall equilibrio di stato stazionario a quello di regola aurea. La propensione al risparmio (s) a e quindi i s >amm, mentre c diminuisce; >; ; fino a quando gold. Graficamente l evoluzione nel tempo di ed i mostra un graduale aumento nel tempo fino a raggiungere il nuovo più elevato valore di regola aurea. Per contro l evoluzione nel tempo di c mostra una iniziale riduzione per poi aumentare nel tempo fino al nuovo più alto valore di regola aurea. d) Supponiamo ora che il governo adotti misure che portano il progresso tecnologico da un livello zero ad un tasso di crescita positivo pari a g. Rappresentate graficamente il nuovo equilibrio di stato stazionario con progresso tecnologico.

9 E f () (g+δ) i s E e) Spiegate se e perché esiste crescita (procapite e totale) permanente in questo nuovo equilibrio di stato stazionario. ella situazione di stato stazionario ora abbiamo che il progresso tecnologico genera una crescita economica permanente, sia procapite che totale. Infatti: E E + E + g g > e + E+ + g + g > dove ed sono costanti, mentre E cresce ad un tasso costante g a causa del progresso tecnologico. e consegue che il livello assoluto e pro capite della produzione crescono nello stato stazionario ad un tasso costante g determinato dal progresso tecnologico. Il progresso tecnologico è pertanto l unico fattore in grado di assicurare una crescita economica permanente.

10 ella situazione di stato stazionario ora abbiamo che il progresso tecnologico genera una permanente crescita economica. Infatti: E e E E e E dove, ed sono costanti, mentre E cresce ad un tasso costante g a causa del progresso tecnologico. e consegue che il livello assoluto e pro capite della produzione (e del capitale) crescono nello stato stazionario ad un tasso costante g determinato dal progresso tecnologico. Il progresso tecnologico è pertanto l unico fattore in grado di assicurare una crescita economica permanente.