Per rispondere al primo quesito è necessario avere una stima de volume della stanza, la cui base è la regione rappresentata in figura 1

Transcript

1

2 Soluzione 1. Per rispondere al primo quesito è necessario avere una stima de volume della stanza, la cui base è la regione rappresentata in figura 1 La regione ha un contorno mistilineo e non è data alcuna informazione, se non quelle deducibili dal grafico, sulla natura dell arco curvilineo. Primo metodo In prima approssimazione,senza effettuare il calcolo del volume, possiamo procedere così Consideriamo due solidi, uno di volume sicuramente minore del volume V della stanza e l altro sicuramente maggiore. Il primo è il prisma, di altezza 3,60 m, avente per base il trapezio di vertici (2:0) (9;0) (7;5) (2;5) e quindi di volume Il secondo è il prisma, di uguale altezza, avente per base il rettangolo di vertici (0;0) (9;0) (9;5) (0;5) quindi di volume Essendo , secondo la scheda tecnica la potenza necessaria è compresa tra 3,5 kw e 5,3 kw

3 Nella scheda tecnica, tra i valori 108 e 162, compare il loro valor medio, 135, e si osserva che i corrispondenti valori della potenza necessaria, sono ad essi legati da un andamento lineare Metri cubi PotenzaP(V) pendenza , ,6 0, ,5 0, ,4 0, ,3 0, ,1 0, ,2 0, Possiamo pertanto accettare che la potenza necessaria è, corrispondente a un volume di 135 Secondo metodo Volendo calcolare il volume si può procedere così Verifichiamo che nel riferimento cartesiano suggerito dal reticolato della figura, possiamo riferirci alla parabola di vertice (2.0) passante per (0;5), di equazione Valutiamo, nel grafico, i punti di ascissa 0 2 o di ordinata , rispettivamente e confrontiamoli con quelli calcolati mediante l equazione della parabola Valore letto Valore letto Valore calcolato errore (incertezza 0,25 equivalente alla mezza divisione) x 1 y x 2 (x 1 -x 2 ) , ,005 0,75 2 0, ,015 0,5 3 0, ,05 0,25 4 0, ,039 Gli errori sono tutti inferiori a 0,1, quindi minori dell incertezza di lettura. Possiamo accettare la parabola come curva approssimatrice. Calcoliamo l area di base della stanza come somma di di un trapezio e un semisegmento parabolici =

4 Area di base del solido che rappresenta la stanza Volume del solido, che può essere considerato un prisma V= Poichè il valore non è presente nella scheda tecnica si procede ad un interpolazione Innanzi tutto osserviamo se la distribuzione è approssimativamente lineare Metri cubi PotenzaP(V) pendenza , ,6 0, ,5 0, ,4 0, ,3 0, ,1 0, ,2 0, , pendenza media Sapendo che e prendendo in considerazione la pendenza media possiamo supporre che Metri cubi Potenza pendenza , ,6 0, ,5 0, ,34 0, ,4 0, ,3 0, ,1 0, ,2 0, Il valore della potenza necessaria è valutato circa 2. Secondo le indicazioni del testo il volume della stanza viene approssimato a 130

5 La percentuale di presente è 0,3%,, corrispondente al volume di 0,390 Indicando con il volume di presente nella stanza al tempo t, espresso in minuti,osserviamo che la velocità di variazione è uguale alla somma algebrica della velocità di ingresso e quella di uscita. In un minuto entra un volume di aria pari a contenente 0,1% di, quindi in un minuto entra un volume di pari a Poiché il volume d aria contenuto nella stanza deve rimanere costante, in un minuto esce un volume di, in cui la concentrazione di al tempo è uguale a. In un minuto esce, quindi, un volume di pari a. Approssimando la velocità istantanea di variazione con la velocità media, possiamo scrivere Poiché, se C(t) è la concentrazione di, vale la relazione l equazione può essere scritta nella forma seguente In forma più generale possiamo scrivere, indicando con la portata di ingresso ( 20 m 3 /minuto) la concentrazione di ingresso ( 0,001) la concentrazione iniziale ( 0,003) V il volume ovvero un equazione del tipo dove A e B sono due costanti positive Sostituendo la soluzione proposta dal testo,

6 +h ovvero +h ovvero +h otteniamo ovvero La funzione assegnata è soluzione dell equazione differenziale per qualunque valore di k ma solo per il valore di pari a Il valore di k si può determinare imponendo la condizione iniziale + +0,001 Poiché h è uguale alla concentrazione di ingresso e k è uguale alla differenza tra la concentrazione iniziale e quella di ingresso, la funzione può essere interpretata in tal modo cioè la differenza tra la concentrazione di e quella di ingresso diminuisce esponenzialmente

7 3. Imponiamo +0,001< L impianto deve essere acceso circa 9 minuti prima dell inizio della riunione 4.I partecipanti alla riunione entrano nella sala quando l impianto di aerazione è in funzione da 10 minuti, pertanto la concentrazione di è ridotta a +0,001 Le 50 persone espirano ogni minuto un volume complessivo di aria pari a 400 litri, ovvero con una concentrazione del 4% di. Poiché, con l ingresso dei partecipanti alla riunione, cambia lo scambio di volume di aria tra interno ed esterno, scriviamo l equazione differenziale che permette di determinare la concentrazione di in funzione del tempo, in una forma più generale, indicando con la portata generata(0,400 m 3 /minuto) la concentrazione generata (0,04)

8 L equazione è formalmente uguale alla precedente, cioè assume la forma A e B possono essere calcolate sostituendo i valori assegnati si trova = Ci aspettiamo che la soluzione sia con La funzione in questo caso è crescente e tende asintoticamente al valore = Grafico unificato

9 SOLUZIONE dell equazione differenziale (non richiesta) mediante il metodo di separazione delle variabili Discussione del segno dell argomento del modulo. Sostituiamo il valore iniziale e osserviamo che nell intervallo in cui è risolto il problema di Cauchy la funzione assume sempre segno positivo o negativo a seconda che sia o Prima equazione in quanto Pertanto funzione decrescente che tende asintoticamente al valore Seconda equazione

10 in quanto sostituendo a il valore >0 Pertanto con funzione crescente che tende asintoticamente al valore Il valore è. in generale, il valore medio tra la concentrazione della immessa e quella generata all interno, pertanto Se = ovvero se la concentrazione iniziale è maggiore della concentrazione media dell apporto di all aria immessa dall impianto di aerazione e dalle persone presenti in sala,, corrispondente la concentrazione di decresce tendendo asintoticamente al valore Se = ovvero se la concentrazione iniziale è minore della concentrazione media dell apporto di all aria immessa dall impianto di aerazione e dalle persone presenti in sala,, corrispondente la concentrazione di cresce tendendo asintoticamente al valore