SESSIONE SUPPLETIVA PROBLEMA 1

Transcript

1 SESSIONE SUPPLETIVA PROBLEMA 1 Sei l amministratore di un condominio che ha deliberato di dotarsi di una sala per le riunioni condominiali, sfruttando uno spazio comune già disponibile, da coprire e attrezzare. La superficie individuata è rappresentata in figura 1: La superficie viene chiusa con pareti laterali alte,6 metri e con un tetto piano e orizzontale. Uno dei condomini ti fa presente la necessità di prevedere un impianto di aerazione nella sala, in quanto la mancanza di un adeguato ricambio d aria in locali chiusi può provocare una serie di disturbi fisici, a causa dell accumulo di CO 2 (anidride carbonica o diossido di carbonio). Di norma si considera come valore limite della concentrazione di CO 2 lo,15%: su 1 milione di particelle d'aria il massimo numero di molecole di CO 2 deve essere dunque 15. Nella scelta dell impianto di aerazione un parametro fondamentale è la potenza in kilowatt, che dipende dal volume dell ambiente in cui esso viene utilizzato. La seguente scheda tecnica, fornita dal produttore, fa riferimento alle comuni esigenze di utilizzo: Suppletiva Problema 1 1/ 8

2 1) In base ai dati disponibili e alla scheda tecnica, stima la potenza in kilowatt necessaria, giustificando la tua scelta. Dobbiamo calcolare il volume del locale, che può essere considerato un cilindro con area di base pari all area della superficie della sala e altezza h =.6 m. L arco AB fa parte della parabola tangente all asse delle x in B=(2; ) e passante per A=(; 5); essa ha equazione del tipo: y = a(x 2) 2 ed imponendo il passaggio per A otteniamo 5 = 4a, a = 5. La parabola ha quindi equazione: 4 y = 5 (x 2)2 4 L area della superficie del locale è data dall area della metà del segmento parabolico ABE e quella del trapezio rettangolo con basi BC e DE ed altezza BE. Per il teorema di Archimede l area del segmento parabolico è uguale a: Area(ABFE) = 2 AF BE = 2 4 (4)(5) = m2. Suppletiva Problema 1 2/ 8

3 L area del trapezio è data da: (7 + 5) 5 Area(BCDE) = = m 2 2 La superficie della sala è pari quindi a: S(sala) = Area(ABE) + Area(BCDE) = ( 2 + ) m2 = 11 m m 2 Il volume della sala è quindi dato da: Volume(sala) = Area(base) altezza = 11.6 m = 12 m In base alla scheda tecnica fornita, che prevede 4.4 kw per 15 metri cubi da aerare, possiamo affermare che la potenza in kilowatt necessaria è stimabile in poco meno di 4.4 kw. Mostriamo, anche se non esplicitamente richiesta, la retta di regressione relativa ai dati forniti, in cui la stima della potenza richiesta risulta essere di 4.19 kw. Ricordiamo che i coefficienti m e q della retta di regressione y = mx + q, ottenuta mediante il cosiddetto metodo dei minimi quadrati si ottengono mediante le formule seguenti, in cui x è la media aritmetica delle x, y la media aritmetica delle y, n è il numero dei punti e (x i ; y i ) sono le coordinate dei punti dati: { m = n i=1 (x i x )(y i y ) n i=1(x i x ) 2 q = y mx Per brevità non riportiamo i calcoli (piuttosto lunghi) che portano a determinare m e q, che risultano rispettivamente: m =.2, q = 1.1. La retta di regressione ha quindi equazione: y =. 2 x Sostituendo in questa equazione il volume x = 12 metri cubi del locale da aerare otteniamo la stima della potenza richiesta y = kw. Suppletiva Problema 1 / 8

4 In occasione di una riunione di condominio, un rilevatore di CO 2 installato nella sala indica una concentrazione dello,%; i condomini chiedono quindi di accendere l impianto di aerazione, in modo che all ora di inizio della riunione la concentrazione sia stata ridotta allo,15%. Il sistema di aerazione immette nella sala 2 lo,1% di CO 2. m minuto di aria fresca contenente 2) Approssimando il volume della sala a 1 m, ricava l equazione differenziale che descrive l andamento della concentrazione c(t) in funzione del tempo t (espresso in minuti). Verifica inoltre che la funzione c(t) = k e 2 1 t + h è una soluzione di tale equazione differenziale. Detta c(t) la concentrazione di anidride carbonica nella sala al generico istante t e h=.1 la concentrazione (costante) di anidride carbonica dell aria immessa dall aeratore, per effetto dell immissione di aria fresca la concentrazione va diminuendo, pertanto abbiamo una velocità (negativa, poiché la concentrazione va diminuendo) data da: c (t) = dc(t) dt La concentrazione c(t) all istante t è data da: c(t) = Volume CO2 (t) Volume sala (t) = V CO2 (t) V sala. Ma risulta (essendo 2 m il volume d aria ricambiata al minuto): dc(t) = c(t + dt) c(t) = dv CO 2 (t) V sala Quindi: = V CO 2 (immesso) V CO2 (eliminato) V sala = h 2 dt c(t) 2 dt V sala c (t) = dc(t) dt = h 2 dt c(t) 2 dt 1 dt = 2 2 (c(t) h)) = (c(t) h)) 1 1 Osserviamo che c (t) = quando c(t) = h, che avviene per t che tende all infinito: arriviamo al completo ricambio dell aria della sala. L equazione differenziale che descrive l andamento della concentrazione c(t) in funzione del tempo t (in minuti) è quindi: c (t) = 2 (c(t) h) 1 Verifichiamo, come richiesto, che la funzione c(t) = k e 2 1 t + h è una soluzione di tale equazione differenziale. La derivata di tale funzione è: c (t) = 2 1 k e 2 1 t ; ma c(t) = k e 2 1 t + h, quindi k e 2 1 t = c(t) h, pertanto: Suppletiva Problema 1 4/ 8

5 c (t) = 2 k 2 1 e 1 t = 2 (c(t) h) che è l equazione differenziale trovata. 1 Abbiamo quindi verificato che la funzione c(t) = k e 2 1 t + h è una soluzione dell equazione differenziale c (t) = 2 (c(t) h) 1 Risolviamo l equazione differenziale: dc c(t) h = dt, ln c(t) h = t + a, c(t) h = e 1 t+a = e a e 2 1 t 1 c(t) = ±e a e 2 1 t + h = k e 2 1 t + h, c(t) = k e 2 1 t + h (abbiamo posto k = ±e a e quindi k può essere positivo o negativo). Quindi: c(t) = k e 2 1 t + h c.v.d. ) Determina i valori da assegnare alle costanti k e h in modo che la funzione c(t) rappresenti l andamento della concentrazione di CO 2 a partire dall istante t = di accensione dell aeratore. Stabilisci quindi quanto tempo prima dell inizio della riunione esso deve essere acceso, per soddisfare la richiesta dei condomini. In base alle informazioni fornite, per t= la concentrazione è pari a.%, quindi se t = deve risultare c(t) =., pertanto, avendo già detto che h=.1:. = k + h, k =..1 =.2. Risulta perciò: c(t) =.2 e 2 1 t +.1 Il grafico di questa funzione si può tracciare facilmente notando che è una funzione esponenziale che per t= vale., è sempre decrescente e per t che tende a più infinito tende a.1: Suppletiva Problema 1 5/ 8

6 Dobbiamo ora trovate t in modo che sia c(t) =.15% =.15; si ha perciò:.15 =.2 e 2 1 t +.1,.2 e 2 1 t =.5, e 2 1 t =.25, 2 1 t = ln(.25), t = 1 2 ln(.25) 9 minuti L aeratore deve quindi essere acceso circa 9 minuti prima dell inizio della riunione. 4) L impianto è in funzione da 1 minuti, quando i 5 partecipanti alla riunione accedono alla sala. Considerando che l impianto rimane acceso anche durante la riunione e che un essere umano mediamente espira 8 litri/minuto di aria contenente il 4% di CO 2 (fonte: OSHA, Occupational Safety and Health Administration), descrivi in termini qualitativi come cambierà l andamento di c(t) dopo l ingresso dei condomini nella sala, giustificando la tua risposta. I 5 partecipanti immettono nella sala 8x5=4 litri/minuto di aria contenente il 4% di CO 2. Dopo 1 minuti di funzionamento dell aeratore la concentrazione di anidride carbonica è pari a: c(1) =.2 e % I 5 condomini immettono aria contenente il 4% di CO 2 alla velocità di: 4 litri = 4 dm =.4 m minuto minuto minuto L effetto combinato dell aeratore e dei condomini equivale quindi ad immettere in ogni minuto 2 metri cubi di aria con una concentrazione di anidride carbonica allo,1% e.4 metri cubi con una concentrazione di anidride carbonica al 4 %. I volumi di anidride carbonica immessi in un minuto dall aeratore e dai condomini sono dati da: V CO2 (aeratore) =.1 2 m =.2 m V CO2 (condomini) =.4.4 m =.16 m Il volume totale di anidride carbonica immessa nella stanza in un minuto è quindi pari a: V CO2 (aeratore) + V CO2 (condomini) =.6 m La concentrazione dell anidride carbonica dell aria totale immessa è uguale a: Suppletiva Problema 1 6/ 8

7 V(CO 2 immessa in un minuto) V(aria immessa in un minuto).6 m =.176 =.176 % 2.4 m La funzione che descrive l andamento della concentrazione di anidride carbonica dopo l ingresso dei condomini, ragionando in modo analogo a quello fatto per trovare la precedente espressione di c(t), è del tipo: c 1 (t) = k 1 e t Per trovare k 1 osserviamo che deve essere: c 1 (1) = c(1) =.14 quindi:.14 = k 1 e , k 1 = ( ) e L andamento della concentrazione che prima dell arrivo dei condomini (t=1) era c(t) =.2 e 2 1 t +.1 diventa (da t=1 in poi) c 1 (t) =.158 e t Possiamo riassumere l andamento complessivo della concentrazione, da quando è stato acceso l aeratore (t=), nella funzione seguente:.2 e 2 1 t +.1, se t < 1 c(t) = {.158 e t +.176, se t 1 che ha il seguente grafico: Suppletiva Problema 1 7/ 8

8 Osserviamo che dopo l ingresso dei condomini la concentrazione dell anidride carbonica comincia a crescere. Il valore limite della concentrazione di CO 2, lo,15%, si ottiene dopo un numero di minuti t che si trova risolvendo la seguente equazione:.158 e t =.15, e t = t = ln(.16456), t = ln(.16456) minuti Quindi dopo circa un minuto e mezzo dall inizio della riunione viene raggiunto il valore limite della concentrazione.15 % di anidride carbonica, ma la concentrazione rimarrà comunque inferiore.176, cioè allo.18 % circa: Con la collaborazione di Stefano Scoleri e Angela Santamaria Suppletiva Problema 1 8/ 8

9 SESSIONE SUPPLETIVA PROBLEMA 2 Fissato k R, la funzione g k :R R è così definita: g k = e kx2. Si indica con Γ k il suo grafico, in un riferimento cartesiano Oxy. 1) Descrivi, a seconda delle possibili scelte di k R, l andamento della funzione g k. y = g k = e kx2 La funzione è definita su tutto l asse reale per ogni valore di k, è sempre pari ed è sempre positiva; per ogni k risulta y() = 1. Distinguiamo ora i seguenti casi: k = : la funzione diventa la retta di equazione y = 1. k > : lim x ± e kx2 = + asintoto orizzontale y=. k < : lim x ± e kx2 = + ; non c è asintoto obliquo perché la funzione non è un infinito del primo ordine. Studio della derivata prima y = 2kxe kx2 Se k > : y > per x < : la funzione è crescente per x< e decrescente per x>; x= è punto di massimo relativo (e assoluto) con ordinata y=1. Se k < : y > per x > : la funzione è crescente per x> e decrescente per x<; x= è punto di minimo relativo (e assoluto) con ordinata y=1. Studio della derivata seconda y = 2k[e kx2 + x( 2kxe kx2 )] = 2ke kx2 (1 2kx 2 ) Suppletiva Problema 2 1/ 5

10 Se k > : y > se 1 2kx 2 <, x 2 > 1 2k : x < 1 2k Quindi il grafico volge la concavità verso l alto se x < 1 se 1 < x < 1 1 ; x = ± 2k 2k 2k or x > 1 2k 2k or x > 1 2k e verso il basso 1 sono punti di flesso, con ordinata y = e k( 2k ) = 1 e Se k < : y > se 1 2kx 2 > : sempre verificato. Quindi il grafico volge sempre la concavità verso l alto; non ci sono flessi. Rappresentiamo nello stesso piano cartesiano le funzioni per k=, k > (per comodità posiamo k =.5), e k < (per esempio k =.5): 2) Determina per quali k R il grafico Γ k possiede punti di flesso e dimostra che, in tali casi, le ordinate dei punti di flesso non dipendono dal valore di k e che le rette tangenti nei punti di flesso, qualunque sia k, passano tutte per il punto T = (; 2 e ). Abbiamo già dimostrato nel punto precedente che il grafico possiede punti di flesso per k > : F = (± 1 ; 1 ) e, come si vede, l ordinata è indipendente da k. 2k e y = g k = e kx2 e y = 2kxe kx2 con k >. Suppletiva Problema 2 2/ 5

11 La tangente in F 1 = ( 1 2k ; 1 e y ( 1 2k ) = (2k). 1 2k 1 e = 2k e ) ha coefficiente angolare: Tangente in F 1 : y 1 = e 2k (x + 1 ) e se x = otteniamo y = 2 : la retta passa quindi e 2k e per T per ogni k. La tangente in F 2 = ( 1 2k ; 1 e y ( 1 2k ) = ( 2k). 1 2k 1 e = 2k e ) ha coefficiente angolare: Tangente in F 2 : y 1 = e 2k (x 1 ) e se x = otteniamo y = 2 : la retta passa e 2k e quindi per T per ogni k. Assumi nel seguito k >. Sia S k la regione di piano compresa tra l asse x e Γ k. ) Prova che esiste un unico rettangolo R k di area massima, tra quelli inscritti in S k e aventi un lato sull asse x, e che tale rettangolo ha tra i suoi vertici i punti di flesso di Γ k. È possibile scegliere k in modo che tale rettangolo R k sia un quadrato? Sia B i vertice del rettangolo situato nel primo quadrante; le sue coordinate sono: B = (x; e kx2 ), con x. L area del rettangolo è data da: Area(ABCD) = 2x e kx2 ; tale area è massima quando lo è la funzione: Suppletiva Problema 2 / 5

12 y = x e kx2, con x e k > Studiamo la derivata prima: y = e kx2 2kx 2 e kx2 se e kx2 (1 2kx 2 ), 1 2kx 2, x 2 1 2k Quindi y se 1 x 1 1, quindi per x. Quindi la funzione è 2k 2k 2k crescente per x < 1 massimo relativo (e assoluto). Pertanto: 2k e decrescente per x > 1 Il rettangolo di area massima si ottiene per x = 1 2k 2k 1 : quindi x = è punto di 2k, che coincide con l ascissa del flesso del primo quadrante; data la simmetria del grafico il rettangolo di area massima ha un altro vertice nel flesso del secondo quadrante. Il rettangolo di area massima è un quadrato se: 2x = e kx2, quindi se: 2 1 2k = 1 e, 2 k = 1 e, k = 2e. Il rettangolo di area massima è un quadrato se k = 2e. 4) t Posto G(t) = 2π x e x2 dx, determina il valore di lim t + G(t), e interpreta il risultato in termini geometrici. t In base al metodo dei gusci cilindrici, G(t) = 2π x e x2 dx rappresenta il volume del solido ottenuto dalla rotazione della regione di piano compresa fra il grafico della curva di equazione y = e x2, l asse delle x, l asse delle y e la retta di equazione x = t. Suppletiva Problema 2 4/ 5

13 Risulta: t G(t) = 2π x e x2 dx Pertanto: lim G(t) = lim π(1 t + t + e t2 ) = π t = π 2x e x2 dx = π [e x2 ] t = π (e t 2 1) Il risultato del limite rappresenta il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa attorno all asse y della regione di piano compresa fra il grafico della curva di equazione y = e x2, l asse delle y e l asse delle x. Nota Approfondimento sui gusci cilindrici : Con la collaborazione di Angela Santamaria Suppletiva Problema 2 5/ 5

14 SESSIONE SUPPLETIVA QUESTIONARIO QUESITO 1 Si consideri questa equazione differenziale: y + 2y + 2y = x. Quale delle seguenti funzioni ne è una soluzione? Si giustifichi la risposta. a) y = e x (senx + cosx) + x c) y = e x (senx + cosx) + 1 (x 1) d) 2 b) y = 2e x + x y = 2e 2x + x Caso a): y = 2sen(x) + 1 y = 2sen(x) 2cos(x) e x e x Sostituendo nell equazione: 2sen(x) 2cos(x) e x +2 ( 2sen(x) e x + 1 ) + 2(e x (senx + cosx) + x ) = = 2e x (senx cosx 2senx + senx + cosx) x = 2 + 2x x La a) non è soluzione. Caso b): y = 2e x + 1 Sostituendo nell equazione: y = 2e x La b) non è soluzione. 2e x + 2( 2e x + 1) + 2(2e x + x) x Caso c): y = 2sen(x) + 1 e x 2 Sostituendo nell equazione: y = 2sen(x) 2cos(x) e x 2sen(x) 2cos(x) e x +2 ( 2sen(x) e x ) + 2 (e x (senx + cosx) x 1 2 ) = = 2e x (senx cosx 2senx + senx + cosx) x 1 = x La soluzione è la c). Verifichiamo che la d) non è soluzione dell equazione: y = 2e 2x + x, y = 4e 2x + 1, y = 8e 2x Sostituendo nell equazione: 8e 2x + 2( 4e 2x + 1) + 2(2e 2x + x) = 2 + 2(2e 2x + x) x La d) non è soluzione. Suppletiva Quesiti 1/ 1

15 QUESITO 2 Data la funzione così definita in R: f(x) = x e x 1, determinarne minimi, massimi ed eventuali asintoti. Risulta f(x)< se x<, f(x)= se x=, f(x)> se x>. Inoltre la f può essere espressa nella forma seguente: x e x +1, se x > 1 f(x) = { x e x 1, se x < 1 1, se x = 1 La funzione è continua su tutto R. Analizziamo la derivata prima: Se x > 1: f (x) = e x +1 + x( x 2 e x +1 ) = e x +1 (1 x ) se 1 x, x 1, quindi se x>1 f (x) <, quindi la funzione è decrescente. Se x < 1: f (x) = e x 1 + x(x 2 e x 1 ) = e x 1 (1 + x ) se 1 + x, x 1 per 1, quindi se x<1 f (x) per 1 x < 1; pertanto, quando x<1 si ha: < x < 1 la funzione è crescente, se x < 1 la funzione è decrescente. Quindi x = 1 è punto di minimo relativo. Notiamo che in x=1 risulta: f (1) = 4, f + (1) = 2: quindi in x=1 abbiamo un punto angoloso. Globalmente abbiamo la seguente situazione: x < 1 : funzione decrescente (e negativa) 1 < x < 1 : funzione crescente (negativa fino a zero, positiva da zero a 1) x > 1 funzione decrescente (e positiva) La funzione ha quindi un minimo relativo (e assoluto) per x = 1 con ordinata Suppletiva Quesiti 2/ 1

16 y = 1 e 4 ed un massimo assoluto per x = 1, con ordinata y = 1. Vediamo se ci sono asintoti. Essendo la funzione continua non possono esserci asintoti verticali. Vediamo se ci sono asintoti obliqui e/o orizzontali: lim x x e x 1 = y =. lim x + x e x 1 = lim x x + e x = l asintoto orizzontale y =. lim x x ex = : quindi per x abbiamo l asintoto orizzontale lim x + Proponiamo, anche se non richiesto, il grafico della funzione: x e x = + : quindi per x + abbiamo QUESITO Determinare la velocità di variazione dello spigolo di un cubo, sapendo che il volume del cubo è pari a.1 m e sta diminuendo alla velocità di 12 cm sec. Indicando con V il volume del cubo e con L il suo spigolo abbiamo: V = L. Il volume V varia nel tempo secondo una legge del tipo: V = V v t, essendo V il volume iniziale e v la velocità costante, quindi: Da V = L segue L = V = V = 1 dm 1.2 dm sec t = t = V(t) = t, pertanto la variazione dello spigolo è: dl dt = L (t) = d ( t) = 1 dt (1 1.2 t) 2 ( 1.2)) =.4 = velocità di variazione dello spigolo del cubo (1 1.2 t) 2 Suppletiva Quesiti / 1

17 1 QUESITO 4 Posto, per n N, A n = x n e x dx, stabilire il valore di A 1 e dimostrare che, per ogni n >, si ha A n = e n A n 1. Integrando per parti abbiamo: 1 A 1 = xe x dx = [x e x e x ] 1 = 1 Dimostriamo, per via diretta, che, per ogni n >, si ha A n = e n A n 1. Integrando per parti abbiamo: 1 A n = x n e x dx 1 = [x n e x ] 1 n x n 1 e x dx = e na n 1 QUESITO 5 I lati di un triangolo ABC misurano: AB = 5 cm, BC = 6 cm, CA = 5 cm. Preso a caso un punto P all'interno del triangolo, qual è la probabilità che P sia più vicino al vertice B che al vertice A? Tracciato l asse del lato AB ed indicata con E l intersezione con il lato BC, osserviamo che i punti del semipiano di origine DE che contengono B sono più vicini a B che ad A, quindi la probabilità richiesta è data da: p = Area(BDE) Area(ABC) Essendo AF=4 cm, l area di ABC è: Area(ABC) = 4 cm 2 = 12 cm 2. Per trovare l area di BDE cerchiamo DE dopo aver notato che BDE è simile a BFA: Suppletiva Quesiti 4/ 1

18 DE: AF = BD: BF, DE = AF BD BF = = 1 cm Quindi: Area(BDE) = BD DE 2 = cm 2 = 25 6 cm2 Pertanto: p = Area(BDE) 25 = 6 = 25 Area(ABC) %. QUESITO 6 I punti A(; 4; 1), B(6; ; 2), C(; ; ), D(; 1; 2) sono vertici di un quadrilatero ABCD. Si dimostri che tale quadrilatero è un parallelogramma e si controlli se esso è un rettangolo. Per dimostrare che ABCD è un parallelogramma è sufficiente dimostrare chela retta BC è parallela ad AD ed AB è parallela a CD. Retta CD: a = =, b = 1 = 1, c = 2 = 1 Cerchiamo i parametri direttori delle rette. Retta AB: a = 6 =, b = 4 = 1, c = 2 1 = 1 Retta AD: a = =, b = 4 1 =, c = 1 2 = 1 Retta BC: a = 6 =, b = =, c = 2 = 1 Riepilogando: retta AB: (; -1; 1), retta CD: (; -1; 1). Quindi AB è parallela a CD. Retta BC: (; ; -1), retta AD: (; ; -1). Quindi BC è parallela ad AD. ABCD è un parallelogramma. Per stabilire se il parallelogramma è un rettangolo è necessario (e sufficiente) verificare se due lati consecutivi sono perpendicolari. Verifichiamo se AB è perpendicolare a BC, ricordando che la condizione di perpendicolarità richiede che la somma dei prodotti dei parametri direttori sia nulla: ABCD è non è un rettangolo. ()() + ( 1)() + (1)( 1) = 9 1 = 5 Suppletiva Quesiti 5/ 1

19 QUESITO 7 Determinare la distanza tra il punto P(2; 1; 1) la retta: x + y = z + 1 { z = y + 1 La distanza richiesta può essere trovata cercando il piano per P perpendicolare alla retta data, cercando l intersezione H tra il piano suddetto e la retta data e calcolando la distanza PH. Per scrivere l equazione del piano in questione ci servono i parametri direttori della retta data, che conviene riscrivere in forma parametrica (poniamo y = t): x = z + 1 y = 1 t + 1 t = 2 2t { y = t z = 1 t Una terna di parametri direttori della retta (uguali a quelli del piano ad essa perpendicolare) sono: ( 2; 1; 1). Il piano per P(2; 1; 1) perpendicolare alla retta ha equazione: a(x x ) + b(y y ) + c(z z ) = 2(x 2) + 1(y 1) 1(z 1) = 2x + y z + 4 =, 2x y + z 4 = Cerchiamo l intersezione H fra la retta data ed il piano per P ad essa perpendicolare: 2(2 2t) (t) + (1 t) 4 =, 6t + 1 =, t = 1 6 Quindi H ha coordinate: x = 2 2t = 2 1 = 5 H: y = t = 1 6 H = ( 5 ; 1 6 ; 5 6 ) { z = 1 t = 1 1 = Calcoliamo ora la distanza di P(2; 1; 1) da H = ( 5 ; 1 ; 5 ), che è la distanza richiesta: 6 6 PH = (2 5 2 ) + ( ) + ( ) = = 6 = 5 6 Suppletiva Quesiti 6/ 1

20 QUESITO 8 Supponiamo che l'intervallo di tempo t (in anni) tra due cadute di fulmini in un'area di 1 m 2 sia dato da una variabile casuale continua con funzione di ripartizione: z.1 s P(t z) =.1 e ds a) Si calcoli la probabilità che, in tale area, i prossimi due fulmini cadano entro non più di 2 anni l uno dall altro. b) Si determini qual è il minimo numero di anni z, tale che sia almeno del 95% la probabilità che i prossimi due fulmini cadano in tale area entro non più di z anni l uno dall altro. a) La probabilità richiesta è data da: P(t 2) = 2.1 e.1 s b) Dobbiamo risolvere la seguente disequazione: z.1 s P(t z) =.1 e ds.95 ds = [ e.1 s ] 2 = e % z.1 s.1 e ds = [ e.1 s ] z = e.1 z , e.1 z.5,.1z ln(.5), z ln(.5), z Il minimo numero di anni z, tale che sia almeno del 95% la probabilità che i prossimi due fulmini cadano in tale area entro non più di z anni l uno dall altro è z = , cioè circa anni. QUESITO 9 Una curva a spirale inizia nel punto A, come indicato in figura, ed è formata congiungendo un numero infinito di semicirconferenze di diametri sempre più piccoli. Il diametro d 1 della prima semicirconferenza è di 8 cm. Il diametro d 2 della seconda è pari ai 5 di d 1. Il diametro d della seconda è pari ai 5 di d 2, e così via: d n+1 = 5 d n per ogni n. Con lo sviluppo della curva, gli estremi delle varie semicirconferenze tendono al cosiddetto occhio E della spirale (ossia l unico punto contenuto in tutti i vari diametri). Qual è la distanza (in linea retta) tra il punto A e il punto E? E qual è la lunghezza del cammino che va da A a E, percorrendo l intera curva? Suppletiva Quesiti 7/ 1

21 I diametri delle semicirconferenze formano una progressione geometrica con primo termine d 1 = 8 e ragione q = 5. Calcoliamo la distanza tra il punto A ed il punto E. Osserviamo la seguente figura in cui sono rappresentate le prime due semicirconferenze, che hanno diametri d 1 = 8 cm e d 2 = 5 8 cm = 48 cm; risulta: AE 1 = d 1 d 2 = 2 cm Aggiungiamo la terza semicirconferenza, che ha diametro d = 5 d 2 = 5 (48) = 28.8 cm. Risulta ora: AE 2 = AE 1 + E 1 E 2 = (d 1 d 2 ) + d = 6.8 cm Suppletiva Quesiti 8/ 1

22 Generalizzando abbiamo: AE n = d 1 d 2 + d d 4 + d 5 d 6 + = d 1 5 d 1 + ( 2 5 ) d 1 ( 5 ) d 1 + = = d 1 ( ( 5 ) ( 5 ) + ( 4 5 ) ) Osserviamo che (1 5 + ( 5 )2 ( 5 ) + ( 5 )4 ) è la somma di infiniti termini di una progressione geometrica con primo termine 1 e ragione q = 5 e risulta: Risulta pertanto: n ( ( 5 ) ( 5 ) + ( 4 5 ) ) = lim 1 1 ( 5 ) n = = 5 8 AE n = d = cm = 5 cm La distanza (in linea retta) tra il punto A e il punto E è di 5 cm. La lunghezza della generica semicirconferenza di diametro d è data da πr = πd 2, quindi: C 1 = π 2 d 1, C 2 = π 2 d 2 = π 2 ( 5 d 1) = 5 C 1,, C n+1 = 5 C n Quindi le semicirconferenze che formano la spirale sono anch esse in progressione geometrica con primo termine C 1 = π 2 d 1 = 4 π e ragione q = 5. La lunghezza L del cammino che va da A ad E lungo le semicirconferenze è uguale alla somma delle infinite semicirconferenze, cioè: π L = C 1 + C C n + = lim (C 1 + C C n ) = lim n n 2 (d 1 + d d n ) = = π 2 lim d 1 1 qn n 1 q = π 2 d 1 q n 1 ( n 1 lim = 4π lim 5 ) n 1 q n 1 = 4π = 1 π = L La lunghezza L del cammino che va da A a E, percorrendo l intera curva è L = 1π cm. Suppletiva Quesiti 9/ 1

23 Si stabilisca il valore del limite: motivando adeguatamente la risposta. QUESITO cos (4x + π lim 11 ) x + 5x sen 2 (x π 7 ) Osserviamo che il numeratore oscilla tra 2-7 e 2+7 (non ammette limite per x + ). Il denominatore, per x +, si comporta come 5x, poiché il termine rimanente è limitato (in particolare fra -1 e ), quindi tende a +. Per il teorema del confronto il limite è quindi uguale a zero. Ricordiamo che, per il teorema del confronto, la funzione f(x) g(x), se una delle due è un infinitesimo e l altra è limitata, tende a zero. Con la collaborazione di Angela Santamaria Suppletiva Quesiti 1/ 1