La strategia di campionamento 1

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1 La strategia i campionamento. Descrizione el isegno i campionamento Nelle pagine ce seguono si illustrano gli obiettivi conoscitivi e gli aspetti più significativi ella strategia i campionamento ell inagine sugli alunni con isabilità nelle scuole primarie e seconarie i I grao ell anno scolastico 202/203. La popolazione i interesse ell inagine in oggetto, ossia l insieme elle unità statistice intorno alle quali si intene investigare, è costituita agli stuenti con isabilità presenti nelle scuole nell anno scolastico 202/203. I omini i riferimento elle stime sono: l intero territorio nazionale; tre ripartizioni geografice (Nor, Centro e Meriione; ue orini scolastici, primarie e seconarie i I grao; le moalità ottenute all incrocio tra la ripartizione e l orine scolastico. Il isegno i campionamento è a ue stai i selezione con stratificazione elle unità i primo staio. Le unità i primo staio sono le scuole, stratificate per regione geografica e orine scolastico. Le unità i secono staio sono gli alunni con isabilità. La numerosità campionaria i primo e i secono staio è stata efinita teneno conto sia i esigenze organizzative e i costo, sia egli errori i campionamento attesi elle principali stime i interesse a livello ei omini i sopra menzionati. La imensione complessiva el campione i scuole è stata fissata a 3002 unità, mentre la imensione el campione i alunni a intervistare è stata fissata a L arcivio i selezione per l inagine è costituito alla lista elle scuole primarie e seconarie i I grao in cui è presente almeno un alunno con isabilità; tale arcivio è stato fornito al Ministero ell Istruzione e contiene per ogni scuola il numero i alunni con isabilità. Le scuole sono state stratificate nei omini ottenuti come incrocio ella regione e ell orine scolastico. La imensione complessiva el campione i scuole è stata istribuita tra gli strati ottenuti all incrocio elle variabili orine scolastico e regione in moo a garantire ce gli errori i campionamento attesi elle principali stime riferite ai iversi omini i interesse non superassero prefissati livelli. Da ciascuno strato è stato selezionato un campione i scuole meiante selezione casuale con probabilità proporzionale alla imensione espressa in termini i alunni con isabilità. Per ciascuna scuola inclusa nel campione sono stati selezionati, a cura ella stessa scuola, 5 alunni con isabilità; qualora nella scuola ne fossero presenti meno i 5, sono stati intervistati tutti gli alunni con isabilità presenti. Nella fase i rilevazione si sono verificate numerose caute i scuole campione, portano il campione realizzato a a 2.435, per un totale i alunni intervistati. 2. Proceimento per il calcolo elle stime Le stime prootte all'inagine sono principalmente stime i frequenze assolute e relative. Il principio su cui è basato ogni metoo i campionaria è ce le unità appartenenti al campione rappresentino ance le unità ella popolazione ce non sono incluse nel campione. Questo principio viene realizzato attribueno a ogni unità campionaria un peso ce enota il numero i unità ella popolazione rappresentate alla unità meesima. Se, a esempio, a una unità campionaria viene attribuito un peso pari a 30, vuol ire ce questa unità rappresenta se stessa e altre 29 unità ella popolazione ce non sono state incluse nel campione. A cura i Clauia De Vitiis e Monica Russo

2 Al fine i renere più ciara la successiva esposizione, introuciamo le seguenti notazioni simbolice. Sia: inice i ominio i ; i inice i scuola; j inice i alunno con isabilità; inice i strato (regione geografica per orine scolastico; M numero totale i alunni con isabilità nello strato ; Mi numero totale i alunni con isabilità nella scuola i appartenente allo strato ; mi numero i alunni con isabilità campione nella scuola i appartenente allo strato ; N numero totale i scuole nello strato ; n numero i scuole campione nello strato ; H numero totale i strati nel ominio ; x generica variabile oggetto i inagine; X valore osservato ella variabile x sul j-mo alunno ella scuola i appartenente allo strato. Ipotizziamo i voler re, con riferimento a un generico ominio, il totale i popolazione espresso alla seguente relazione: H N M i X. ( X i j La el totale ( si ottiene in generale meiante la seguente formula: H r n r m i X W, (2 i j i ove: W è il peso finale assegnato all iniviuo j, r n e r m sono rispettivamente il numero i scuole e il numero i alunni con isabilità campione risponenti appartenenti allo strato. I pesi finali a attribuire agli iniviui campione sono stati calcolati in base a uno tore post-stratificato, ce utilizza la conoscenza i totali noti i popolazione isponibili a fonti esterne all inagine. Tali totali sono il numero i alunni con isabilità a livello i strato, ottenuto al concatenamento elle moalità elle variabili regione geografica e orine scolastico, e sono stati esunti all arcivio aggiornato fornito al Ministero ell Istruzione. La poststratificazione garantisce ce sussista l uguaglianza tra tali totali noti e le corrisponenti stime campionarie. La proceura i costruzione ei pesi è stata così articolata: si è eterminato un peso base (o peso iretto, D, uguale per tutti gli iniviui j appartenenti alla meesima scuola i ello strato. Tale peso è ottenuto al prootto el peso i riporto all universo i primo staio ato all inverso ella probabilità i inclusione ella scuola i moltiplicato per il peso i riporto all universo i secono staio ottenuto al reciproco ella probabilità i inclusione ell iniviuo j conizionata all inclusione nel campione ella scuola i a cui l iniviuo j appartiene. In simboli: Mi mi D i ji n, M M i

3 in cui: è la probabilità i inclusione ell iniviuo j, i è la probabilità i inclusione nel campione ella scuola i e al fatto ce la scuola i è stata inclusa nel campione; j i è la probabilità i inclusione ell iniviuo j conizionata 2 si è efinito il fattore correttivo ella mancata risposta totale 2, R i, anc esso uguale per tutti gli iniviui j appartenenti alla meesima scuola i ello strato. Tale fattore è efinito come reciproco ella probabilità i risposta ell iniviuo j ella scuola i nello strato, ottenuta al prootto ella probabilità i risponere ella scuola i nello strato a cui j appartiene per la probabilità ce l iniviuo j rispona conizionata al fatto ce la scuola i a risposto. Ossia: in cui: r n r mi R i i ji, n m è la probabilità i risposta ell iniviuo j ella scuola i appartenente allo strato, i è la probabilità i risponere ella scuola i nello strato e j i è la probabilità ce l iniviuo j rispona visto ce la scuola i a cui esso appartiene a risposto; 3 si è calcolato il fattore correttivo per la coerenza elle stime, ce a la finalità i far coinciere le stime campionarie ei totali i strato con i corrispettivi totali noti M : i M M C ; r n r m Mˆ D R i j 4 si è ottenuto il peso finale ell iniviuo j appartenente alla scuola i nello strato moltiplicano il peso iretto D per i ue fattori correttivi R i e C : W D R i C. Una volta assegnato a ogni iniviuo il coefficiente i riporto all universo, è stato possibile ottenere le stime i interesse ei parametri i popolazione el tipo ( come inicato nella (2. E utile sottolineare ce lo tore appena illustrato rientra nella classe egli tori i ponerazione vincolata, ce è il metoo i stanar per la maggior parte elle inagini ISTAT sulle imprese e sulle famiglie. Tale classe i tori viene utilizzata quano si ispone i informazioni espresse in forma i totali noti i variabili ausiliarie legate alle variabili i interesse. 2 Il fattore correttivo così calcolato tiene conto ella mancata risposta totale sia elle scuole sia egli alunni.

4 3. Valutazione el livello i precisione elle stime 3. Calcolo ella varianza campionaria Le principali statistice i interesse per valutare la variabilità campionaria elle stime prootte all'inagine sono l'errore i campionamento assoluto e l'errore i campionamento. La ell'errore i campionamento assoluto i espressione: ˆ ( La ell'errore i campionamento i La ella varianza i è efinita alla seguente Vˆ ar(. (3 ˆ ( è ata a: ˆ. (4 (, inicata nella (3 come Vˆ ar(, è stata calcolata utilizzano il metoo i linearizzazione i Wooruff, ce consente i ottenere un espressione approssimata ella varianza campionaria nel caso i tori, come quello qui utilizzato, ce non sono funzione lineare ei ati campionari. Gli errori campionari espressi alla (3 e alla (4 consentono i valutare il grao i precisione elle stime; inoltre, l errore assoluto permette i costruire un intervallo i confienza, nel quale con una certa probabilità si trova il parametro oggetto i : Pr kˆ ( X kˆ ( P. (5 Nella (5 il valore i k ipene al valore fissato per la probabilità P (a esempio, per P=0,95 si a k=, Presentazione sintetica egli errori campionari A ogni è associato un errore campionario ; pertanto, per consentire un uso corretto elle stime fornite all inagine, sarebbe necessario fornire, per ogni pubblicata, ance il corrisponente errore i campionamento. Tuttavia, non è possibile soisfare questa esigenza i informazione, sia per motivi i tempi e i costi i elaborazione sia percé le tavole ella pubblicazione risulterebbero eccessivamente appesantite e i non agevole consultazione per l utente finale; inoltre, non sarebbero in ogni caso isponibili gli errori elle stime non pubblicate. Per questi motivi, generalmente, si ricorre a una presentazione sintetica egli errori relativi, basata sul metoo ei moelli regressivi. Tale metoo consiste nella eterminazione i una funzione matematica ce mette in relazione ciascuna con la el proprio errore. Il moello utilizzato per le stime i frequenze assolute è il seguente: ( ˆ log 2 ( a b log(, (6 in cui i parametri a e b sono ti meiante il metoo ei minimi quarati.

5 Nella inagine in oggetto è stato to un moello i tipo (6 per ciascuno ei seguenti omini i interesse: D. totale Italia; D2. ripartizioni geografice; D3. orine scolastico; D4. ripartizione geografica per orine scolastico. Per calcolare il livello i precisione elle stime prootte all inagine è stato utilizzato un software generalizzato, messo a punto all Istat, ce consente i calcolare gli errori campionari e gli intervalli i confienza e permette, inoltre, i costruire moelli regressivi el tipo (6 per la presentazione sintetica egli errori i campionamento. Il prospetto riporta i valori ei coefficienti a e b e ell inice i eterminazione R 2 el moello utilizzato per l interpolazione egli errori campionari elle stime riferite ai omini D-D4. Sulla base elle informazioni contenute in tale prospetto, è possibile calcolare l errore i una eterminata i frequenza assoluta nel moo i seguito escritto. Dalla (6, meiante semplici passaggi, si ricava: ˆ ( exp(a b log(, (7 se, per esempio, la generica si riferisce alla ripartizione Nor, è possibile introurre nella (7 i valori ei parametri a e b (a=3,723, b=-,07359 riportati nella corrisponente riga el prospetto 2 e ricavare il corrisponente errore. Una volta calcolato l errore, è possibile costruire l intervallo i confienza al 95 come:,96 ˆ( ;,96 ˆ(. Allo scopo i facilitare il calcolo egli errori campionari, nel prospetto 2 sono riportati i valori interpolati egli errori i campionamento relativi i alcune stime i frequenze relative percentuali nei vari omini i. Le informazioni contenute in tale prospetto consentono i calcolare l errore i una generica i frequenza assoluta meiante ue proceimenti ce risultano i facile applicazione, ance se conucono a risultati meno precisi i quelli ottenibili applicano irettamente la formula (7. Il primo metoo consiste nell approssimare l errore ella i interesse con quello, riportato nei prospetti, corrisponente al livello i ce più vi si avvicina. Il secono metoo, più preciso el primo, si basa sull uso i una formula i interpolazione lineare per il calcolo egli errori i stime non comprese tra i valori forniti nei prospetti. In tal caso, l errore campionario ella si ricava meiante l espressione: ˆ( ˆ( k k k k ˆ( (, k k ˆ( ove ˆ( k k e k sono i valori elle stime entro i quali è compresa la sono i corrisponenti errori relativi. k, mentre ˆ( e

6 Prospetto Valori ei coefficienti a e b e ell inice i eterminazione R² ( el moello per l interpolazione egli errori campionari elle stime i frequenze i variabili qualitative per totale Italia, ripartizione geografica, orine scolastico e incrocio i ripartizione geografica e orine scolastico (Dati provvisori DOMINIO DI STIMA a b R² NORD PRIMARIE 3, ,24 9,9 SECONDARIE DI I GRADO 3,9270 -, ,0 TOTALE NORD 3,723 -, , CENTRO PRIMARIE 3, ,5846 9,9 SECONDARIE DI I GRADO 3, , ,6 TOTALE CENTRO 3, ,635 93,7 SUD E ISOLE PRIMARIE 4,722 -,6025 9,4 SECONDARIE DI I GRADO 4, , ,8 TOTALE SUD E ISOLE 3,5595 -, ,6 ITALIA PRIMARIE 3, , ,2 SECONDARIE DI I GRADO 3,6983 -, ,7 TOTALE ITALIA 3, , ,9 Prospetto 2 - Valori interpolati egli errori campionari relativi percentuali elle stime i frequenze (percentuali e assolute i variabili qualitative per totale Italia, ripartizione geografica, orine scolastico e incrocio i ripartizione geografica e orine scolastico (Dati provvisori Stima ( Italia Nor Centro Su e Isole Primarie Seconarie i I grao 0, , , , , , ,.447, , , ,5 80 5, ,8 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0

7 Prospetto 2 (segue - Valori interpolati egli errori campionari relativi percentuali elle stime i frequenze (percentuali e assolute i variabili qualitative per totale Italia, ripartizione geografica, orine scolastico e incrocio i ripartizione geografica e orine scolastico. (Dati provvisori Stima ( Nor Primarie Nor Seconarie i I grao Centro Primarie Centro Seconarie i I grao Su e Isole Primarie Su e Isole Seconarie i I grao 0, , 47 4,8 8 46, ,6 4 45,5 2 48, , , ,9 9 33, , ,5 2,5 93 6, , , , , , 5.827,2.472, , ,.45 2,0.9 2, , ,7.69 8,.87 8, , , , , ,4.78 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9.37 3, , , , , , , , , , , , ,.87 3,3