Sistema statistico nazionale Istituto nazionale di statistica. Riponderazione. Note metodologiche. A cura di: Stefano Falorsi.

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1 Sistema statistico nazionale Istituto nazionale i statistica Riponerazione Note metoologiche 2005 A cura i: Stefano Falorsi.

2 Inice 1. STIMATORI DI PONDERAZIONE VINCOLATA Premessa Caratteristiche generali egli stimatori i ponerazione vincolata Scelta ella funzione i istanza STIMATORE DI REGRESSIONE GENERALIZZATA Premessa Moello a livello i unità elementari Simbologia e prima formulazione ello stimatore i regressione generalizzata Espressioni alternative ello stimatore i regressione generalizzata Alcune consierazioni sul ruolo el moello Livello el moello Introuzione al problema Campionamento a grappoli Disegni i campionamento a ue o più stai Gruppo i riferimento el moello Moello a livello i unità elementare Moello a livello i grappolo Tipo i moello BIBLIOGRAFIA

3 1. STIMATORI DI PONDERAZIONE VINCOLATA 1.1. Premessa Il presente capitolo è finalizzato a illustrare le principali caratteristiche logiche e algebriche egli stimatori i ponerazione vincolata (calibration estimators nella letteratura in lingua anglosassone sull argomento, Deville e Särnal, 1992 ). Tale classe i stimatori si fona sull utilizzazione i variabili ausiliarie, per le quali sono noti i totali riferiti alla popolazione oggetto inagine. In tale contesto, i pesi finali si ottengono come soluzione i un problema i minimo vincolato che può essere così schematizzato: (i) le incognite a eterminare sono i pesi finali; (ii) il sistema i vincoli assicura il rispetto ella conizione i uguaglianza tra i totali noti (elle variabili ausiliarie) e le corrisponenti stime campionarie, calcolate sulla base ei pesi finali; (iii) la funzione obbiettivo è una funzione i istanza tra i pesi finali incogniti e i pesi iretti, ottenuti come reciproco elle probabilità inclusione elle unità campionarie. In sostanza la soluzione el suetto problema i minimo vincolato conuce a un insieme i pesi finali che consente i rispettare il sistema i vincoli e che contemporaneamente moifica il meno possibile, sulla base ella funzione i istanza prescelta, l insieme ei pesi iretti. Tutti gli stimatori aottati nella pratica elle inagini campionarie su larga scala sono casi particolari ello stimatore i ponerazione vincolata, ottenuti efineno in moo opportuno la funzione i istanza impiegata. Nel caso in cui si utilizza la funzione i istanza eucliea, lo stimatore i ponerazione vincolata che si ottiene è uguale a quello i regressione generalizzata. Per quanto concerne gli altri stimatori i ponerazione vincolata, usualmente utilizzati nella pratica elle inagini campionarie (erivanti a funzioni i istanza per le quali sono verificate conizioni i regolarità piuttosto generali, Deville e Särnal, 1992 ), è possibile imostrare la loro tenenza asintotica allo stimatore i regressione generalizzata. Quest ultima caratteristica riveste una notevole importanza sia al 2

4 punto i vista pratico che al punto i vista teorico in quanto, nelle inagini su larga scala basate su campioni i notevole ampiezza, tutti gli stimatori i ponerazione vincolata assumono le meesime proprietà ello stimatore i regressione generalizzata, ossia: la correttezza asintotica; la correttezza ell espressione linearizzata ello stimatore; l esistenza i un espressione esplicita ella varianza e i uno stimatore consistente i tale varianza. Una importante caratteristica ello stimatore i regressione generalizzata è quella i poter esplicitare il moello lineare, sottostante allo stimatore, che lega le variabili ausiliarie con le variabili i interesse. Tale possibilità è estesa anche a tutti gli stimatori ponerazione vincolata che convergono asintoticamente allo stimatore i regressione generalizzata. Infatti, per molti egli stimatori appartenenti alla suetta classe non è possibile esplicitare chiaramente il moello sottostante e ha, quini, senso riferirsi al moello lineare el corrisponente stimatore i regressione generalizzata. Con riferimento a un ato stimatore i regressione generalizzata, l esplicitazione el moello lineare, implica necessariamente la efinizione ei tre seguenti elementi fonamentali i: gruppo i riferimento el moello, livello el moello e tipo i moello. Nel paragrafo 2, che è eicata alla escrizione egli stimatori i regressione generalizzata, viene svolta una trattazione approfonita ei suetti elementi; nel presente paragrafo, tuttavia, essi vengono introotti con riferimento alla classe più generale egli stimatori i ponerazione vincolata. I tre elementi in parola assumono comunque egli aspetti leggermente iversi a quelli relativi allo stimatore i regressione generalizzata; la principale ifferenza, in tale contesto, consiste nel fatto che per la loro efinizione si eve far riferimento al problema i minimo vincolato sottostante alla costruzione egli stimatori i ponerazione vincolata; in tale ottica, sembra più logico parlare i: (i) gruppo i riferimento ello stimatore, (ii) livello ello stimatore, e (iii) tipo ello stimatore; questi ultimi concetti saranno brevemente illustrati nel seguito. Si ice gruppo i riferimento ello stimatore un sottoinsieme (o sottopopolazione) ella popolazione oggetto inagine con riferimento al quale: 3

5 sono noti i totali ella popolazione i una o più variabili ausiliarie; viene efinito il problema i minimo vincolato sottostante lo stimatore. I gruppi rappresentano una partizione completa ella popolazione. Il concetto i livello ello stimatore è relativo al tipo i unità utilizzata nella formulazione el problema i minimo vincolato. Se le unità sulle quali è efinito il problema sono costituite ai singoli elementi ella popolazione, lo stimatore è efinito al livello i unità elementari; in tal caso, le variabili i interesse e quelle ausiliarie si riferiscono ai singoli elementi ella popolazione. Se invece, le unità su cui è efinito il problema i minimo vincolato sono costituite a gruppi o cluster i singoli elementi ella popolazione, lo stimatore è efinito al livello i cluster, in tal caso le variabili i interesse e quelle ausiliarie, si riferiscono a cluster i elementi ella popolazione. Per quanto riguara il concetto i tipo i stimatore, esso viene essenzialmente efinito al numero e al tipo i variabili ausiliarie specificate nel problema i minimo vincolato Caratteristiche generali egli stimatori i ponerazione vincolata Sia U una popolazione finita i N elementi, che inichiamo come U 1,...,,..., N, e sia s un campione casuale i n elementi estratto a U, che inichiamo come s 1,...,,..., n, meiante un isegno i campionamento che genera l universo ei campioni S (ossia l insieme i tutti i possibili campioni estraibili meiante il isegno in parola) e assegna al generico campione s la probabilità p(s) i essere estratto, ove p( s) 1. Con riferimento alla s S generica unità U, inichiamo quini con: p( s), la probabilità s S( ) i inclusione nel campione ellunità, ove S() enota il sottoinsieme i S caratterizzato ai campioni contenenti l unità in oggetto; y, il valore assunto alla 4

6 variabile i interesse y; 1 j J 1,..., j,..., J i J variabili ausiliarie.,...,,...,, il valore assunto al vettore Si vuole stimare il totale Y ella variabile y, ato alla seguente espressione: Y (1) y U sulla base elle seguenti informazioni: per ciascun elemento el campione s si ispone elle J+1 osservazioni y, ; risultano conosciuti i J valori el vettore X ( X1,..., X j,..., XJ ) ei totali elle J variabili ausiliarie, in cui X j j (j=1,...,j). (2) U Uno stimatore el totale Y appartenente alla classe egli stimatori i ponerazione vincolata, può essere espresso meiante la seguente relazione ~ YPV y yw, (3) s s in cui: 1 (per = 1,...,n) inica il peso iretto, w enota il peso finale associato a tale unità, esseno il correttore el peso iretto. L insieme ei pesi finali w ; 1,..., n è ottenuto come soluzione i un problema i minimo vincolato in cui la funzione obbiettivo è ata a 1 1 La (4) è equivalente a minimizzare il valore atteso sotto il isegno i campionamento ella funzione obiettivo, in quanto la (4) è valia per ciascun campione s estratto nello spazio campionario. 5

7 min G w ; (4) s e i vincoli sono espressi al sistema i J equazioni w s X, (5) ove con G w ; si è inicata una funzione i istanza tra il peso iretto e il peso finale w, ovvero una funzione efinita sulla variabile w in cui rappresenta una costante nota (o parametro) ella funzione stessa. Il nostro obbiettivo è, quini, quello i iniviuare un insieme i pesi finali w ; 1,..., n che consenta i rispettare il sistema i vincoli (5) e che contemporaneamente moifichi il meno possibile, sulla base ella funzione i istanza prescelta, l insieme ei pesi iretti ; 1,...,n. Affinché il problema i minimo vincolato, efinito alla (4) e alla (5), ammetta una soluzione e che tale soluzione sia unica la funzione i istanza G w ; eve soisfare le seguenti conizioni i regolarità: (a) per ogni fissato > 0 esiste un intervallo I( ), contenente, in cui G w ; sia strettamente convessa, ifferenziabile rispetto a w e non negativa, e si abbia inoltre G ; 0 ; (b) la erivata prima i G w g w ; G w ; w nellintervallo I( ). Da ciò eriva che g w ;, inicata con, eve essere una funzione continua e biunivoca funzione strettamente crescente i w e inoltre g ; nell intervallo I( ) è una, 0. Inoltre, poiché 6

8 la funzione è strettamente crescente e continua, esiste la funzione inversa, g 1 ( ), ovvero una funzione per la quale vale w g 1 g w ;. (6) Al fine i ottenere il vettore w = (w 1,..., w..., w n ) soluzione el problema i minimo vincolato (4) e (5), si efinisce la seguente funzione i Lagrange L, w G, w w X s s in cui ( 1,..., j,..., J ) è il vettore ei moltiplicatori i Lagrange. Si risolve, quini, il sistema omogeneo i (n + J) equazioni nelle (n+j) incognite (w, ) L, w w L, w j g w ; 0 per 1,..., n w j X j 0 per j 1,..., J s (7) Sulla base ella (6) è possibile scrivere le prime n equazioni el sistema (7) nel seguente moo 1 1 g ( g ( w ; )) g, a cui eriva w g 1. (8) 7

9 Poiché, come risulta alla relazione (3), l obbiettivo è quello i ottenere un espressione el peso finale come prootto el peso iretto per un coefficiente i correzione, è possibile sulla base ella (8) iniviuare il coefficiente in oggetto meiante i seguenti semplici passaggi w g 1, a cui eriva 1 g 1. - Poneno quini F 1 1 g w F (9), si ottiene ovviamente L espressione (9) assume una notevole importanza in quanto a essa si esume che il peso finale w ella generica unità -esima (=1,...,n) si ottiene moltiplicano il peso iretto per un coefficiente i correzione scalare F, funzione ella variabile u combinazione lineare el vettore i variabili ausiliarie e ei J valori incogniti el vettore. La (9) non è ancora una relazione operativa in quanto non sono noti i valori numerici el vettore ; a tal fine introuciamo la (9) nelle ultime J equazioni el sistema (7) otteneno in tal moo un sistema i J equazioni nelle J incognite,...,,..., 1 j J j F ( ) X j per (j=1,...,j), s 8

10 esprimibile in termini vettoriali come s F ( ) X, (10) s che è equivalente a X - F ( ) s s s s. Infine, inicano con: F ( ) 1. (11) ( ) F ( ) 1, (12) s è possibile riscrivere il sistema (11) nel seguente moo ( ) X s (13) la cui j-esima (j=1,...,j) equazione, che inichiamo j ( ), è ata a s F ( ) 1 X. (14) j j s j 9

11 Una soluzione numerica 2 al sistema (13) può essere ottenuta in moo iterativo meiante il metoo i Newton. Per illustrare tale metoo, inichiamo con (=1,2,...) la generica iterazione e con = ( 1,,..., j,,..., J, ) i valori i relativi all iterazione. I passi ell algoritmo sono i seguenti: 1. si pone il valore iniziale i, che inichiamo come 0, pari a 0 = 0, ove 0 inica un vettore i imensione J i cui elementi sono tutti pari a zero; 2. i valori alle successive iterazioni ( =1,2,...) sono ati a: 1 ( ) ~ 1 X - X - ( 1), (15) 1 in cui: X ~ s ; ( 1 ) è il vettore i cui J valori sono ottenuti poneno nella (12) 1 ; ( ) è una matrice simmetrica 1 i imensione (J J), il cui generico elemento, a ji ( 1 ) sulla riga j-esima e sulla colonna i-esima è la erivata prima i j ( ) rispetto a i, calcolata poneno = 1 ; 3. Si itera il passo 2 finché non viene verificata almeno una elle ue conizioni i seguito riportate: Ma j j, 1 j, j, 1 = MAX, (17) (16) 2 Altre soluzioni per specifiche funzioni i istanza sono riportate nel lavoro i Singh e Mohl (1996 ). 10

12 ove è una costante piccola a piacere scelta nell intervallo (0, 1), e MAX inica il numero massimo i iterazioni ammesse, oltre il quale si giuica che lalgoritmo non converga. Meiante la (16) si interrompe il processo iterativo quano tra literazione e literazione preceente (-1) la maggiore ifferenza relativa sui valori ei j (j=1,...,j) è minore i un valore piccolo a piacere. La conizione (17) viene introotta al fine i interrompere le iterazioni quano il processo non converge. A conclusione i questo paragrafo riteniamo utile riassumere i passi analitici e operativi necessari alla costruzione i uno stimatore i ponerazione vincolata: 1. per ciascuna unità el campione si calcolano i pesi iretti, (=1,...,n), 2. si sceglie la funzione i istanza G w 3. si efinisce la funzione g w G w ; ; s s s ; ; s 1 ;, ottenuta come erivata prima i 4. all equazione g ( w ; ) 0 si etermina la funzione inversa w s g ; 1 5. si ottiene l espressione funzionale F correttore s el peso iretto; 6. si eterminano i valori i, risolveno il sistema ( ) X secono il metoo i Newton; g 1 el s 7. si calcolano i valori numerici i correttori s (=1,...,n) sostitueno i valori i nelle espressioni funzionali F ; 8. si eterminano i pesi finali meiante il prootto ws s ;, 11

13 12 9. è possibile, quini, calcolare lo stimatore i ponerazione vincolata ~ Y y w PV s s Scelta ella funzione i istanza In questo paragrafo vengono esplicitati i passi analitici e operativi sopra escritti, necessari alla costruzione i uno stimatore i ponerazione vincolata, con riferimento alle più importanti funzioni i istanza utilizzate nelle inagini campionarie su larga scala. Nella seguente tabella vengono consierate alcune elle più importanti funzioni i istanza note nella letteratura specialistica sull argomento. Tabella 1 - Funzioni i istanza Nome Espressione Lineare 2 ) (w Lineare troncata altrimenti U w L se ) (w 2 Esponenziale w w ln w Logit U -1 w M - ln w U - L 1- L - w ln L w Chi-quarato moificato 2 1 w 2 w Minima entropia w w ln - Hellinger 2 1 w 2

14 Le funzioni i istanza appena consierate soisfano le proprietà i regolarità escritte nel preceente paragrafo e sono tutte asintoticamente equivalenti alla funzione i istanza lineare. Per quanto riguara la scelta ella funzione i istanza, nelle inagini su larga scala, essa è eterminata sia all intervallo i variazione ei pesi finali che all esistenza i una soluzione, qualora il sistema ei vincoli sia congruente. A tale proposito vale la pena osservare che: l utilizzazione ella funzione i istanza lineare può conurre alla eterminazione i alcuni pesi negativi, in quanto l intervallo i variazione ammesso per i pesi finali è el tipo (-, ) ; le funzioni i istanza esponenziale, chi-quarato moificato, minima entropia e hellinger, garantiscono l ottenimento i pesi finali tutti positivi; la funzione i istanza esponenziale può conure alla eterminazione i pesi finali estremamente alti in confronto ai corrisponenti pesi iretti, in quanto l intervallo i variazione ammesso per i pesi finali è ( 0, ) ; le funzioni logit e lineare troncata hanno l importante proprietà i conurre alla eterminazione i pesi finali tutti inclusi nell intervallo (L, U ), ove L e U sono parametri elle funzioni che possono essere specificati irettamente all utente. In tal moo, a ifferenza ella funzione i istanza esponenziale, è possibile evitare l ottenimento i pesi finali estremamente alti pur manteneno le proprietà asintotiche i convergenza allo stimatore i regressione generalizzata; le funzioni i istanza lineare e esponenziale, hanno l importante proprietà i conurre certamente a una soluzione qualora il sistema ei vincoli sia congruente. Al fine i non appesantire la trattazione seguente verranno escritte in ettaglio solamente le funzioni i istanza lineare, esponenziale e logit troncata che si ritengono utili a risolvere la maggior parte ei problemi i stima che si 13

15 incontrano nelle inagini concrete su larga scala 3 (Singh e Mohl, 1996). Le ragioni i tale scelta risieono nel fatto che tali funzioni rivestono un importanza particolare rispetto alle altre; infatti, le funzioni lineare e esponenziale, a ifferenza elle altre, garantiscono l ottenimento i una soluzione al sistema i minimo vincolato qualora il sistema ei vincoli sia congruente; inoltre la funzione i istanza logit permette i restringere il campo i variabilità ei pesi finali efineno opportunamente i parametri L e U. Distanza eucliea La funzione i istanza è espressa a G w s ; w q s 2, (18) in cui 1/q inica un peso non correlato a assegnato allunità -esima. Nella maggior parte elle applicazioni si utilizza il peso uniforme 1/q =1, ma in alcuni casi può essere conveniente utilizzare pesi 1/q variabili 4. a La funzione g w s ;, ottenuta come erivata prima ella (18) è ata 2 g ( w s; ) ( w s ). (19) q 3 Nei lavori i Deville e Särnal (1992) e i Singh e Mohl (1996 ) vengono introotte altre funzioni i istanza. In questa see limitiamo però l esposizione unicamente i tre metoi aottati nelle inagini Istat e utili a risolvere la maggior parte ei problemi i stima che si pongono nelle inagini su larga scala. 4 Nel lavoro i Aleaner (1987), si imostra lutilità ell aozione ei pesi 1/q variabili, per risolvere particolari problemi i sottocopertura. 14

16 (7) come Sulla base ella (19) è possibile scrivere le prime n equazioni el sistema 2 ( ws), per =1,...,n q la cui soluzione esplicita è w s (1 + 1 q g 1 ) ( ), 2 a cui si evince che F ( ) (1 + 1 q ) 2 (20) incognite Meiante le formule (12) e (13) si ottiene il sistema i J equazioni in J 1 q ~ 2 X X s a cui si ha 1 ~ q 2 X X. s -1 Introuceno l espressione esplicita i nella (20) si ottiene 15

17 1 + 1 q 2 ~ X X F ( ) q s che è equivalente a -1 F ( ~ ) 1+ ( X - X) 1 1 q q 2 2 s (21) la (9). il generico peso finale w s (per =1,...,n) viene infine eterminato meiante Distanza logaritmica La funzione i istanza è espressa a G w s; w s q w s ln w s, (22) in cui il simbolo ln inica il logaritmo naturale in base e. a La funzione g w s ;, ottenuta come erivata prima ella (22) è ata 1 w s g ( w s; ) ln. (23) q (7) come Sulla base ella (23) è possibile scrivere le prime n equazioni el sistema 16

18 1 q w s ln, per =1,...,n la cui soluzione esplicita è w ep( q ), s a cui si evince che F ( ) ep ( q ) (24) Sostitueno la (24) nella (12) si ottiene ( ) ep( q ) 1, (25) s e quini il sistema (13) i J equazioni in J incognite può essere riscritto come ep( q ) 1 ~ X X. (26) s Tale sistema, i tipo non lineare, può essere risolto meiante il metoo i Newton escritto nella (15). Dalla (25) si ha quini che: ( ) 1 = q ep( q ) s il cui generico elemento generico elemento a ji ( 1 ) sulla riga j-esima e sulla colonna i-esima ella matrice è espresso come 17

19 a ji ( 1 ) q ji ep( q ). s Inichiamo, quini, con il vettore i J valori numerici, soluzione el sistema (26), ottenuti meiante il metoo i Newton. Sostitueno i valori così ottenuti nell espressione (24) è possibile calcolare il valore numerico F ( ) ep ( q ) per ciascuna unità =1,...,n. Sostitueno infine tali valori nella (9) è possibile calcolare l insieme ei pesi finali w s (per =1,...,n). Distanza logit o logaritmica limitata La funzione i istanza è espressa a w s Gw s; L Aq w s L U w U w s s ln ln 1 L Aq U 1, (27) ove L e U sono ue costanti tali che L 1 U e (U L) A (U 1)(1 L) a La funzione g w s ;, ottenuta come erivata prima ella (27) è ata w s L U w s 1 g ( w s; ) ln ln. (28) Aq 1 L U 1 18

20 (7) come Sulla base ella (28) è possibile scrivere le prime n equazioni el sistema 1 Aq w s L U w s ln ln 1 L U 1, per =1,...,n la cui soluzione esplicita rispetto al peso finale è ata a w L ( U 1) U ( 1 L ) ep( Aq ) s, ( U 1) ( 1 L) ep( Aq ) a cui si evince che F L ( U 1) U ( 1 L ) ep( Aq ) ( U 1) ( 1 L) ep( Aq ) ( ) (29) Sostitueno la (29) nella (12) si ottiene ( ) s L( U 1) U( 1 L) ep( Aq ) 1, (30) ( U 1) ( 1 L) ep( Aq ) come e quini il sistema (13) i J equazioni in J incognite può essere riscritto ~ ep( q ) X X. (26) s Tale sistema, i tipo non lineare, può essere risolto meiante il metoo i Newton escritto nella (15). Dalla (30) si ha quini che: 19

21 ( ) 1 = q ep( q ) s il cui elemento generico elemento a ji ( 1 ) sulla riga j-esima e sulla colonna i-esima ella matrice è espresso come a ji ( 1 ) q ji ep( q ). s Inichiamo, quini, con * il vettore i J valori numerici, soluzione el sistema (26), ottenuti meiante il metoo i Newton. Sostitueno i valori così ottenuti nell espressione (24) è possibile calcolare il valore numerico F ( ) ep(q ) per ciascuna unità (=1,...,n). Sostitueno infine tali valori nella (9) è possibile calcolare l insieme ei pesi finali w s (per =1,...,n). Le funzioni i istanza eucliea e logaritmica troncata hanno la esierabile proprietà i portare sempre a una soluzione qualora il sistema ei vincoli sia congruente; si imostra (Deville an Särnal, 1992, p.p 379) che, per campioni sufficientemente grani, le suette funzioni conucono a stimatori aventi approssimativamente la stessa varianza; pertanto al fine i pervenire a una scelta tra i esse è necessario analizzare lintervallo ei valori che i coefficienti i correzione F ( ) assumono nei ue casi. La (18) è la funzione i istanza che conuce allo stimatore i regressione generalizzato (Särnal, Swensson e Wretman, 1992; Isai an Fuller, 1982). Lo stimatore in oggetto viene aottato per lottenimento elle stime ellinagine canaese sulle Forze i Lavoro e è stato applicato in ambito ISTAT per il calcolo elle stime ellinagine sulle conizioni i salute ella popolazione e sul ricorso ai servizi sanitari (ISTAT, 1991). Essa porta a coefficienti i correzione che possono variare nellintervallo (-, ) e quini conurre anche a pesi finali negativi, i quali potrebbero essere non accettabili in alcune applicazioni. 20

22 La (19) è la funzione i istanza che viene utilizzata per lottenimento elle stime i massima verosimiglianza ei moelli log-lineari (Darroch an Ratcliff, 1972) e è stata aottata in ambito ISTAT per il calcolo ei pesi finali ellinagine multiscopo sulle Famiglie (ISTAT,1993). Essa porta a coefficenti i correzione che possono variare nellintervallo (0, ) e conuce quini a pesi finali sempre positivi. Tuttavia, in alcuni casi non favorevoli, i pesi finali possono presentare valori estremamente grani rispetto ai corrisponenti pesi base, risultano pertanto non accettabili in quanto la loro applicazione per lottenimento i stime riferite a varie sottopopolazioni in ifferenti omini i stuio può conurre a valori non realistici elle stime stesse. La funzione i istanza logaritmica troncata conuce a pesi finali compresi nellintervallo (L, U ); questa caratteristica importante permette in primo luogo i ottenere pesi finali sempre positivi poneno L 0. Tale funzione i istanza rappresenta, in effetti, una funzione i istanza i tipo generalizzato in quanto al variare ei parametri L e U prescelti all utente è possibile approssimare le soluzioni ottenute in base alle altre funzioni i istanza. Sceglieno un valore i L negativo e molto grane in valore assoluto e un valore i U molto grane (a esempio, L=-1.000, U=1000), la soluzione trovata approssima quella ata alla funzione i istanza lineare; con un valore i L positivo e molto piccolo e un valore i U molto grane (a esempio L=0,0001, U=1000) si approssima la soluzione ata alla funzione i istanza logaritmica. 21

23 2. STIMATORE DI REGRESSIONE GENERALIZZATA 2.1. Premessa Il presente capitolo è finalizzato a illustrare le principali caratteristiche logiche e algebriche ello stimatore i regressione generalizzata, che si fona sull utilizzazione i variabili ausiliarie per le quali si conoscono i totali riferiti alla popolazione oggetto inagine. Ai fini ella costruzione ello stimatore, si aopera l informazione ausiliaria isponibile ipotizzano un moello i regressione che lega le variabili ausiliarie, che costituiscono le variabili esplicative el moello, alle variabili interesse. Una elle caratteristiche più interessanti ello stimatore in oggetto, è quella i poter utilizzare moelli regressivi con caratteristiche ifferenti; come veremo meglio in seguito, ciò significa qualificare il moello regressivo in termini ei tre elementi fonamentali i: gruppo i riferimento el moello, livello el moello, tipo i moello 5. Si ice gruppo i riferimento el moello un sottoinsieme (o sottopopolazione) ella popolazione oggetto inagine con riferimento al quale: sono noti i totali ella popolazione i una o più variabili ausiliarie; viene costruito il moello i regressione sottostante lo stimatore. I gruppi rappresentano, quini, una partizione ella popolazione i riferimento e per ciascuno i essi si efinisce uno specifico moello i regressione. Da quanto etto risulta chiaro che, nella efinizione el moello lineare, si possono utilizzare ifferenti specificazioni ei gruppi i riferimento el moello. E possibile, infatti, efinire i gruppi sia sulla base ella partizione più fine (ossia la partizione che contiene più gruppi) rispetto alla quale sono noti i totali elle variabili ausiliarie, che sulla base i aggregazioni efinite a partire alla 5 I tre elementi fonamentali che caratterizzano il moello i regressione corrisponono ai concetti i moel group, moel level e moel type, introotti nellarticolo i Estevao, Hiiroglou e Särnal (1995 ). 22

24 partizione più fine. Un caso particolare si ha quano lintera popolazione efinisce lunico gruppo i riferimento el moello. Il concetto i livello el moello è relativo al tipo i unità utilizzata nella formulazione el moello. Se le unità sulle quali è efinito il moello i regressione sono costituite ai singoli elementi ella popolazione, il moello è efinito al livello i unità elementari; in tal caso, le variabili i interesse e quelle ausiliarie si riferiscono ai singoli elementi ella popolazione. Se invece, le unità su cui è efinito il moello sono costituite a gruppi o cluster i singoli elementi ella popolazione, il moello è efinito al livello i cluster; le variabili i interesse e quelle ausiliarie, si riferiscono, quini, a cluster i elementi ella popolazione. Per i isegni i campionamento casuale semplice e a uno staio in cui si selezionano irettamente le singole unità ella popolazione, il moello eve essere necessariamente efinito al livello i elemento; questo, a esempio, è il caso elle inagini ISTAT sulle imprese in cui il moello è efinito al livello i impresa e i totali noti, riferiti a ciascun gruppo i riferimento el moello, sono costituiti, in genere, al numero i imprese e al numero totale i aetti appartenenti a tali imprese. Per i isegni a uno staio in cui si estraggono cluster i unità ella popolazione e per i isegni i campionamento a ue o più stai i selezione il moello può essere efinito sia al livello i elemento che al livello i cluster i elementi. Nei moelli efiniti al livello i elemento i totali noti evono riferirsi a gruppi i singoli elementi mentre nei moelli al livello i cluster i elementi i totali noti evono riferirsi a gruppi i cluster. Per quanto riguara il concetto i tipo i moello, esso viene essenzialmente efinito al numero e al tipo i variabili ausiliarie specificate nel moello e permette i efinire i principali stimatori utilizzati in pratica nelle inagini campionarie. Per illustrare le caratteristiche egli stimatori i regressione generalizzata, introuciamo livelli crescenti i complessità: a tal fine, nel successivo paragrafo 2.2 viene introotto lo stimatore i regressione generalizzata con riferimento al caso più semplice i moello efinito al livello i elemento e i un unico gruppo i riferimento el moello, costituito a tutta la popolazione. Successivamente, nel paragrafo 2.3, opo aver approfonito il concetto i livello el moello, viene 23

25 introotto il moello i regressione al livello i cluster. Nel paragrafo 2.4 è sviluppato il tema el gruppo i riferimento el moello; infine, nel paragrafo 2.5 viene svolta una trattazione più approfonita el concetto i tipo i moello Moello a livello i unità elementari Simbologia e prima formulazione ello stimatore i regressione generalizzata Sia U una popolazione finita i N unità elementari, che inichiamo come U 1,...,,..., N, e sia s un campione casuale i n elementi, che inichiamo come s 1,...,,..., n, estratto a U meiante un isegno i campionamento che genera l universo ei campioni S (ossia l insieme i tutti i possibili campioni estraibili meiante il isegno in parola) e assegna al generico campione s la probabilità p(s) i essere estratto, ove p(s) 1. Con riferimento alla ss generica unità U, inichiamo quini con: p(s), la probabilità ss() i inclusione nel campione ellunità, ove S() enota il sottoinsieme i S caratterizzato ai campioni contenenti l unità in oggetto; y, il valore assunto alla variabile i interesse y;,...,,..., 1,..., j,..., J i J variabili ausiliarie. vettore 1 j J, il valore assunto al Si vuole stimare il totale Y ella variabile y, ato alla seguente espressione: Y y (1) U sulla base elle seguenti informazioni: 24

26 per ciascun elemento el campione s si ispone elle J+1 osservazioni, y ; risultano conosciuti i J valori el vettore X (X1,..., X j,..., XJ ) ei totali elle J variabili ausiliarie, in cui X j j (j=1,...,j). (2) U E utile chiarire che le J variabili ausiliarie vengono iniviuate cercano, nellinsieme elle variabili per le quali sono noti i totali al livello i popolazione, le variabili maggiormente correlate con la variabile y i interesse; in tal moo, il vettore i variabili ausiliarie fornisce informazioni sulla variabile y i cui si può tenere conto nella fase i costruzione ello stimatore. Introuciamo, quini, un moello i regressione lineare, che inichiamo con, per spiegare la forma ella nuvola i punti efinita sugli N elementi ella popolazione finita U y, 1,..., j,..., J : 1,..., N. (3) Il moello si basa sulle seguenti assunzioni: i) i valori y 1,..., y,..., yn assunti alla variabile y per le N unità ella popolazione sono consierati come realizzazioni i N variabili casuali inipenenti; ii) stocastico; vettore le variabili ausiliarie sono trattate come costanti note i tipo non iii) la relazione che lega la generica variabile casuale (=1,...,N) è la seguente y con il y β ε, (=1...,N) (4) 25

27 in cui β 1,...,β j,..., βj è il vettore ei J coefficienti i regressione incogniti e è una variabile casuale per la quale il valore atteso, la varianza e la covarianza sotto il moello sono efiniti rispettivamente a E ( ) 0, 2 Var ξ (ε ) cσ, Cov (, l ) 0 per l ; (5) esseno c ( per U) elle costanti note. iv) alle preceenti relazioni (4) e (5) risultano, quini, efiniti anche i momenti, sotto il moello, ella generica variabile casuale y (=1,...,N) E 2 y, Var y c, Cov (y, yl ) 0 per l. (6) Per quanto riguara la varianza ei resiui,, facciamo notare che nella formulazione aottata, riportata nella (5), è richiesta unicamente la conoscenza (o la stima) elle costanti c ma non quella el parametro 2, in quanto tale parametro si semplifica nella risoluzione el problema i regressione. Esempi i efinizione elle costanti c sono: il caso i omoscheasticità ei resiui in cui si pone c =1 (per s); oppure il caso in cui si ispone i un unica variabile ausiliaria valori i e la variabilità i y tene a aumentare all aumentare ei 1 1, in tale situazione ha senso, quini, porre c f ( ) (per s). Ciò premesso, si supponga i aver effettuato un censimento i tutte le N unità ella popolazione U e i isporre, quini, i tutti i valori ella nuvola i punti (3), si supponga, inoltre, che la nuvola i punti osservata si aatti piuttosto bene al moello appena introotto. E possibile utilizzare, allora, la nuvola i punti 1 26

28 ella popolazione per stimare, meiante il metoo ei minimi quarati ponerati il vettore ei coefficienti i regressione el moello. Utilizzano la teoria stanar ella regressione generalizzata, si ha che il miglior stimatore lineare non istorto ei coefficienti, sotto il moello, è ato a 1 y B B1,..., B j,..., BJ. (7) U c U c Il vettore 6 ei coefficienti B è, ovviamente, una caratteristica incognita ella popolazione. E possibile, tuttavia, stimare B, meiante i ati rilevati al campione s. La relazione (7) si presenta come il prootto i totali ella popolazione; e una sua stima asintoticamente corretta può essere ottenuta, stimano correttamente ciascun totale meiante lo stimatore i Horvitz- Thompson. Siano, infatti y T 1 e T2 (8) U c U c le ue matrici che formano il secono membro ella (7), e siano rispettivamente j j j y t1jj e t 2j, (je j =1,..., J) (9) U c U c i generici elementi che formano tali matrici. Una stima corretta elle matrici (8) è ata pertanto a 6 La stima (7) è erivata meiante il metoo ei minimi quarati, che, come è noto porta a efinire il migliore stimatore lineare corretto. 27

29 ~ 1 ~ y 1 T 1 e T2 (10) s c s c i cui generici elementi sono espressi come stime ei totali (9) rispettivamente a ~ j j ~ j y t1jj e t2j, (je j = 1,..., J) (11) s c s c In sintesi, quini, una stima asintoticamente corretta 7 ella (7) è ata a: 1 ~ 1~ y B ~ B ~ 1,...,B ~ j,...,b ~ J T1 T 2. (12) s c s c Per poter calcolare B ~ meiante la (12), tutte le quantità inicate nella formula stessa evono essere note. Devono essere conosciuti, in particolare, i valori a assegnare alle quantità c (per s). Aveno attribuito un valore alle costanti c (per s), ata la nuvola i punti osservata per il campione s y, 1,..., j,..., J : 1,...,s (13) laattamento el moello meiante i ati campionari rilevati porta a calcolare la stima ei coefficienti i regressione, B ~, el moello attraverso la relazione (12). Sulla base i B ~ e possibile, quini, calcolare: 7 La stima è solo asintoticamente corretta in quanto il valore atteso ell inversa i una matrice a elementi casuali è iverso all inversa el valore atteso ella matrice stessa. In formule ciò è espresso a 1 1 E(T ~ E(T ~ ) T, ) T ~

30 a) con riferimento alle N unità ella popolazione, i valori interpolati y~ 1,..., y~,..., ~ y N, relativi ai corrisponenti valori y 1,..., y,..., yn, meiante la relazione y~ ~ J = B ~ B j j per ( =1,..., N) (14) j=1 b) con riferimento alle n unità el campione i resiui e ~ y y~ y B per ( =1,..., n). (15) Ciò premesso, il totale i interesse Y può, quini, essere riscritto meiante la seguente espressione Y y y~ y y~ y~ e (16) U U U U U Le quantità appena introotte sono alla base ello stimatore i regressione generalizzata, allanalisi ella (16) si osserva, infatti, che lultima relazione opo il segno i uguaglianza è costituita alla somma i ue totali: il primo è una quantità nota, in quanto il valore i y~ può essere efinito per tutte le unità ella popolazione; il secono, invece, rappresenta una quantità incognita; non è possibile, infatti, calcolare i resiui e per tutte le unità ella popolazione ma solo per quelle appartenenti al campione osservato. Sostitueno, quini, nella (16) lo stimatore corretto i Horvitz-Thompson i tale totale incognito, si ottiene lo stimatore i regressione generalizzata el totale Y, ato alla seguente espressione e Y ~ REG y~ U s. (17) 29

31 Dalla (17) risulta che lo stimatore i regressione generalizzata può essere espresso meiante la somma i ue totali. Il primo è la somma egli N valori ella popolazione stimati in base alla relazione (14) e contiene linformazione ausiliaria isponibile al livello ei totali noti, X (X 1,..., X j,..., X J ), ella popolazione. Il totale y~ può essere, infatti, riscritto meiante il seguente U passaggio: U ~ ~ ~ y~ B B X B U U (18) Il secono totale contenuto nella (17), è un termine i aggiustamento calcolato come somma pesata, con i pesi iretti campionari 1, egli n ei resiui e e contiene linformazione ausiliaria isponibile al livello elle singole unità campionarie, tale totale può essere, infatti, riscritto meiante il seguente passaggio ~ ~ y B e (19) π s s y s s ~ B ~ Y ~ X B ~, in cui Y ~ e X ~ totali noti, ottenute rispettivamente come inicano le stime i Horvitz-Thompson ei corrisponenti Y ~ y ~, X s s 30

32 Insereno le preceenti formule (18) e (19) nella (17) è possibile, infine, esprimere lo stimatore i regressione generalizzato secono lespressione più usuale Y ~ REG ~ Y ~ ( X X ~ ) B (20) alla quale risulta che tale stimatore è ottenuto come somma ello stimatore i Horvitz-Thompson el totale Y più un termine i aggiustamento regressivo che ipene alle ifferenze tra totali noti e corrisponenti stime campionarie i Horvitz-Thompson, ponerate con i rispettivi coefficienti i regressione stimati. Per calcolare lo stimatore i regressione generalizzata in base all espressione (20) è necessario conoscere i totali elle variabili ausiliarie X (X1,..., X j,..., XJ ) e i valori ella variabile i interesse e elle variabili ausiliarie y,,...,,..., 1 j J : 1,...,s per le n unità campionate. Pertanto, non è necessario conoscere i valori elle variabili ausiliarie per le unità ella popolazione non campionate 8. Una fonamentale proprietà egli stimatori in parola è che la stima i regressione generalizzata ei totali elle variabili ausiliarie coincie con i valori conosciuti egli stessi. Infatti, sostitueno nella (20) le variabili ausiliarie alle variabili interesse y, si ha ~ X REG ~ ~ X ( X X ~ ) B, in cui introuceno l espressione esplicita i B ~ ata alla (12) si ottiene: 8 Questo è il caso elle inagini in cui sono isponibili unicamente i totali elle variabili ausiliarie mentre i singoli valori vengono rilevati con l inagine campionaria. In tale caso, ovviamente, le variabili meiante le quali vengono costruiti i totali noti e le variabili rilevate sulle singole unità evono avere la meesima efinizione concettuale e essere riferite allo stesso perioo temporale. E chiaro che l allontanamento a tale conizione introuce nella stima fattori istorsivi. 31

33 32 REG ) ~ ( ~ ~ X X X X s 1 s c c (21) ) ~ ( ~ X X X X Espressioni alternative ello stimatore i regressione generalizzata Espressione in termini ei pesi Un espressione alternativa ello stimatore i regressione generalizzata è ata a s s REG w y y Y ~, (22) in cui si è enotato con: w, il peso finale, 1, il peso iretto anche etto peso base, 1 s c c ) ~ ( 1 X X, il fattore correttivo el peso base. (23) La (22) permette i esprimere lo stimatore i regressione generalizzata come una somma ponerata, con i pesi (etti pesi finali), ei ati campionari n 1 y,..., y,..., y. Tale espressione è formalmente simile a quella ello stimatore i Horvitz - Thompson che, come è noto, è espresso come somma pesata, con i pesi base, ei ati campionari. Occorre, tuttavia, far notare che tra i ue stimatori esiste una ifferenza sostanziale in quanto: i pesi iretti

34 ipenono unicamente alle unità estratte nel campione e non ipenono ai valori elle variabili ausiliarie osservate nel campione; mentre i fattori e quini i pesi finali, ipenono: i) ai totali noti elle variabili ausiliarie, ii) ai valori assunti alle variabili ausiliarie nel campione estratto; iii) alla variabilità ella variabile oggetto i inagine. Un aspetto importante el vettore ei pesi finali pesi finali w, è quello che tali pesi possono assumere anche valori negativi; ciò può causare problemi logici in quanto il peso è strettamente connesso alla rappresentatività i un unità inicano quante unità non campionate ella popolazione sono rappresentate all unità inclusa nel campione; i conseguenza, è molto problematico attribuire una rappresentatività a un unità che presenta un peso negativo. Inoltre la presenza i pesi negativi può causare l effetto i efinire valori negativi alle stime i totali i variabili che assumono valori sempre positivi o nulli. Una interessante proprietà el vettore ei pesi finali pesi finali w ( per s) è che tale vettore rene minima la funzione i istanza eucliea tra linsieme ei pesi iretti e quello ei pesi finali. Infatti, come viene esplicitato nel paragrafo 1 è possibile esprimere lo stimatore i regressione generalizzato come uno stimatore ella classe egli stimatori i ponerazione vincolata in quanto fattori possono essere ottenuti come soluzione el seguente problema i minimo vincolato: min G, w min q 2 in cui i vincoli sono ati a: s γ X. Da tale sistema si ottiene 33

35 -1 1+ ~ X X s γ Espressione utile per il calcolo ella varianza Le espressioni alternative (17), (20) e (22) ello stimatore i regressione generalizzata sopra introotte permettono i illustrare ifferenti aspetti e caratteristiche ello stimatore stesso. Tuttavia è importante aggiungere a esse un ultima espressione che sarà utile per erivare agevolmente la formula ella varianza ello stimatore. A tal fine, si introucono le seguenti quantità * y * * B, e y y per ( =1,..., N), (24) in cui B è calcolato meiante la (7); le quantità * y rappresentano i valori teorici i y assunti alle unità ella popolazione, ottenuti interpolano nuvola i punti (3) costituita agli N elementi ella popolazione finita U attraverso la retta ei minimi quarati ponerati e gli * e rappresentano i resiui calcolati alla retta ei minimi quarati in parola. Utilizzano le preceenti quantità è possibile moificare l espressione (22) ello stimatore i regressione generalizzata, nel seguente moo * * * * (y e ) y e Y ~ REG (25) s s s Sulla base elle relazioni (24) e (21) è possibile riscrivere il primo aeno a secono membro ella (25) come s y * s B X B = U B y U *. (26) 34

36 a Sostitueno la (26) nella (25) si ottiene, infine, l espressione cercata, ata * * y Y ~ REG y U s. (27) Alcune consierazioni sul ruolo el moello E importante svolgere alcune consierazioni circa il ruolo el moello nella costruzione ello stimatore i regressione generalizzata.. Non è possibile, tuttavia, are una imostrazione formale elle proprietà enunciate poiché non è stata introotta, ancora, la formula ella varianza ello stimatore. Lo stimatore è istorto ma è asintoticamente corretto, si ha quini, che per campioni sufficientemente grani (come quelli che caratterizzano le inagini effettuate all Istituto Nazionale i Statistica) si può assumere che lo stimatore sia corretto, inoltre lo stimatore è consistente nel senso che la sua varianza tene a annullarsi al crescere ella imensione campionaria. Le proprietà appena introotte permettono i meglio comprenere la funzione giocata al moello, infatti esso ha essenzialmente la finalità i escrivere la nuvola i punti ella popolazione finita. Si suppone, infatti, che il moello costituisca una elle possibili spiegazioni ella forma ella nuvola i punti; non viene mai fatta, tuttavia, lipotesi che la popolazione sia stata realmente generata sulla base el moello in questione. Lintrouzione el moello è, quini, necessaria unicamente per efinire una appropriata espressione i B ~ a inserire nella formula ello stimatore i regressione. Lefficienza ello stimatore in parola, in confronto a quella ello stimatore i Horvitz -Thompson, è funzione inversa ei resiui * e, e quini ipene al grao i aattamento ella nuvola i punti ella popolazione alla retta i regressione. 35

37 La proprietà i consistenza sotto il isegno elle stime ottenute meiante lo stimatore i regressione generalizzata e la valiità ella formula ella varianza non ipenono, tuttavia, al fatto se il moello sia valio oppure no. Da ciò eriva, in particolare, che linferenza prootta è assistita allintrouzione i un moello ma non è ipenente a esso in quanto tale (nella letteratura in lingua anglosassone, con riferimento ai ue concetti appena introotti, si usano rispettivamente i termini: moel assiste e moel base) Livello el moello Introuzione al problema Nel preceente paragrafo abbiamo trattato il caso in cui il moello lineare alla base ello stimatore i regressione generalizzata è efinito al livello i unità elementare, ovvero il caso in cui le variabili interesse e quelle ausiliarie si riferiscono ai singoli elementi ella popolazione oggetto inagine e i totali noti si ottengono come somma elle variabili ausiliarie sugli elementi ella popolazione; tale tipo i moello è, ovviamente, l unico che può essere utilizzato per i isegni a uno staio in cui si selezionano irettamente le singole unità ella popolazione. Per i isegni a uno staio a grappoli - in cui si selezionano grappoli (o cluster) i singoli elementi, per i isegni a più stai, è possibile efinire sia moelli al livello i elemento che moelli a livello i grappolo. In tal caso le variabili interesse e quelle ausiliarie si riferiscono a grappoli i elementi e i totali si ottengono come somma, sulla popolazione ei grappoli, elle variabili ausiliarie relative ai grappoli. Per meglio illustrare tale aspetto consieriamo gli esempi i seguito riportati. Esempio 1 La popolazione oggetto i inagine è costituita agli iniviui; si effettua un piano i campionamento a ue stai in cui si selezionano al primo staio i 36

38 comuni e al secono staio le famiglie e si osservano le variabili oggetto i inagine su tutti gli iniviui appartenenti alle famiglie campione. Le variabili ausiliarie, riferite agli iniviui, sono il sesso e l età; i totali noti sono efiniti alla istribuzione ella popolazione per sesso e età. Nella situazione appena escritta gli iniviui sono le unità elementari e le famiglie costituiscono grappoli i unità. Esempio 2 La popolazione oggetto i inagine è costituita alle unità locali; si aotta un piano i campionamento a uno staio a grappoli in cui si selezionano le imprese e si osservano le variabili oggetto i inagine su tutte le unità locali appartenenti alle imprese campione. Le variabili ausiliarie, sono i ati fiscali ell impresa e non è possibile isporre i tali ati a livello i singola unità locale. I totali noti sono costituiti ai totali ei ati fiscali sulla popolazione elle imprese. Nella situazione appena escritta le unità locali sono le unità elementari e le imprese sono grappoli i unità. Nel campionamento a grappolo è possibile evienziare ue situazioni istinte relativamente alla isponibilità elle informazioni ausiliarie: a) le informazioni ausiliarie sono isponibili a livello i elemento (vei esempio 1); b) le informazioni ausiliarie sono isponibili solamente al livello i grappolo mentre non sono note tali informazioni per ciascun elemento appartenente al grappolo (vei esempio 2). Nella situazione a) è possibile efinire sia un moello a livello i elemento sia un moello a livello i grappolo aggregano le informazioni ausiliarie elle unità elementari el grappolo; viceversa nella situazione b) è possibile efinire solo un moello a livello i grappolo. Nel caso in cui si aottino isegni a più stai i campionamento (come nell esempio 1), a secona ella isponibilità ell informazione ausiliaria, è 37

39 possibile efinire il livello el moello in moo ifferente: a esempio è possibile iniviuare: (i) un moello a livello i elemento; (ii) un moello a livello i unità primaria; (iii) un moello a livello i grappoli i unità elementari selezionati all ultimo staio i campionamento; (iv) un moello a più livelli i riferimento. A esempio a livello i elemento e a livello i unità primaria. Per illustrare il moello a più livelli, ripreniamo l esempio 1, e ipotizziamo i conoscere la zona altimetrica per comune. In tale situazione è possibile efinire un moello a più livelli utilizzano l informazione ausiliaria riferita agli iniviui e quella relativa ai comuni. Nel seguente paragrafo illustreremo come viene efinito il moello a livello i grappolo, mentre nel paragrafo escriveremo il caso el moello a livello i unità primaria Campionamento a grappoli Consieriamo una popolazione U i N elementi ripartita in inichiamo con: i l inice i grappolo; 1,..., i,..., grappoli; N I grappoli e U I N I la popolazione ei N il numero elle unità elementari el grappolo i-esimo; l inice i unità elementare (=1,..., N ). Supponiamo i avere estratto a campione casuale meiante il seguente schema: (i) si seleziona un campione 1,..., i,..., U I un s I n I i n I grappoli meiante il isegno i campionamento che genera l universo ei campioni S I e assegna al generico campione (ove p(si ) 1); S s I I s I la probabilità pi (si ) i essere estratto 38

40 (ii) i conseguenza, inicano con S I (i) il sottoinsieme i S I formato ai campioni contenenti il grappolo i-esimo la probabilità inclusione i tale grappolo è ata a si S(i) p (s ) ; I I (iii) tutte le unità elementari ei grappoli selezionati vengono incluse nel campione; tale circostanza etermina il fatto che la probabilità inclusione elle unità elementari coincie con quella ei grappoli i appartenenza; pertanto, la probabilità i inclusione appartenente al grappolo i è ata a i=1,..., N I ). ell unità elementare (per =1,...,N, e per Faceno riferimento al -esimo elemento el grappolo i (per =1,...,N, e per i=1,..., N I ) inichiamo quini con con y il valore ella variabile interesse y e il valore assunto al vettore i J variabili ausiliarie; consierano, quini, il grappolo 9 nel suo complesso si ha: N N y y e. 1 1 Moello a livello i grappolo Per stimare, il totale Y ella variabile interesse y efinito a N I N N I Y y y, (28) i1 1 i1 utilizziamo il seguente moello a livello i grappolo y I per (i=1,..., N I ) (29) 9 E chiaro che nella situazione b), illustrata nel preceente paragrafo 2.3.1, è possibile efinire unicamente il valore elle variabili ausiliarie a livello i grappolo e non il valore per ciascuno egli elementi el grappolo. 39

41 I I1,..., Ij,..., IJ è il vettore ei J coefficienti i regressione ove incogniti e è una variabile casuale per la quale il valore atteso, la varianza e la covarianza sotto il moello sono efiniti rispettivamente a E ( ) 0, 2 Var ( ) c, Cov (, ) 0 per i i ; (30) esseno c (per i=1,..., N I ) elle costanti note. Sotto il moello appena introotto lo stimatore i regressione generalizzata è ato a Y ~ REG n I i1 n I i1 n I i1 y y w w N y 1, (31) in cui si è enotato con: w, il peso finale, 1, n ~ I 1 ( XI XI ) i1 c 1 c il peso iretto, il fattore correttivo el peso base, esseno 40

42 N I n ~ I X I, X I. i1 i1 Definire un moello a livello i grappolo comporta, quini, il fatto i assegnare il peso finale el grappolo anche a tutte le unità elementari a esso appartenenti. Moello a livello i unità elementare Nel caso in cui sia noto il valore el vettore elle variabili ausiliarie per ciascun elemento i ogni grappolo - come nel caso ell esempio 1 el par è possibile efinire in alternativa a quanto appena illustrato un moello al livello i elemento, analogo a quello efinito alle relazioni (4) e (5) el paragrafo y I (32) ove I è il vettore ei coefficienti i regressione incogniti e è una variabile casuale per la quale il valore atteso, la varianza e la covarianza sotto il moello sono efiniti rispettivamente a E ( ) 0, 2 Var ( ) c, Cov (, ) 0 per i i ; (33) esseno c elle costanti note. In base al moello appena introotto è quini possibile erivare lo stimatore i regressione generalizzato come illustrato nel paragrafo 2 n I N n I N Y ~ REG y y w, (34) i1 1 i1 1 in cui si è enotato con 41