ANALISI DELLE PRESTAZIONI DI UN MANIPOLATORE PARALLELO PER IL PICK-AND-PLACE TRAMITE INDICI CINEMATICI E DINAMICI UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

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1 UNIVERSIÀ DEGLI SUDI DI PADOVA FACOLÀ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCARONICA ESI DI LAUREA MAGISRALE ANALISI DELLE PRESAZIONI DI UN MANIPOLAORE PARALLELO PER IL PICK-AND-PLACE RAMIE INDICI CINEMAICI E DINAMICI Relatore: Ch.mo Prof. GIOVANNI BOSCHEI Laureano: LUCA VIRZÌ Matricola 66-IMC ANNO ACCADEMICO 9-

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3 Sommario La principale caratteristica che istingue i manipolatori paralleli a uelli seriali è la possiilità i isporre i motori a telaio e i alleggerire, uini, la struttura meccanica in movimento; ne consegue la capacità i ottenere elevate accelerazioni sull organo terminale. In uesto elaorato, si stuiano le prestazioni i Quattro, root parallelo a uattro grai i liertà (tre i traslazione e uno i rotazione attorno all asse verticale) prootto all Aept echnology Inc., a oggi il più veloce nella categoria ell imallaggio. Le prestazioni saranno valutate tramite inici cinematici e inamici che, teneno conto ella irezione i movimento analizzata (verticale o orizzontale), iniviuano le zone ello spazio i lavoro in cui il manipolatore garantisce le maggiori prestazioni riguaro a spostamenti lineari. I risultati ottenuti saranno rapportati a ei cicli stanar i pick-an-place per iniviuare le aree in cui il tempo necessario al compimento el movimento sia il minore, con conseguente aumento ella velocità prouttiva.

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5 Inice Elenco elle figure... 9 Elenco elle taelle... Introuzione... Capitolo : Manipolatori paralleli e Aept Quattro Confronto tra manipolatori seriali e paralleli Applicazioni ei manipolatori paralleli Aept Quattro Struttura meccanica Moello geometrico semplificato..... Convenzione sui segni elle rotazioni.... Cinematica i posizione Cinematica i posizione inversa Cinematica i posizione iretta ermini correttivi el moello geometrico... 9 Capitolo : Matrice Jacoiana Determinazione ella matrice Jacoiana A a serve la matrice Jacoiana Matrice Jacoiana ell Aept Quattro Determinazione ella matrice J Determinazione ella matrice J Analisi cinematica i velocità Analisi cinematica i accelerazione Determinazione ella erivata ella matrice J Determinazione ella erivata ella matrice J... 5

6 Capitolo : Inici cinematici.... Inici i prestazione..... Manipolailità..... Numero i conizionamento..... Isotropia cinematica.... Separazione ei contriuti e normalizzazione ella Jacoiana..... Divisione ei contriuti traslazionali e rotazionali Normalizzazione ella matrice Jacoiana...5. Inice i manipolailità riferito alla traslazione per l Aept Quattro...5. Inici cinematici irezionali Inici cinematici irezionali valutano gli autovalori...8 Capitolo : Matrice i inerzia generalizzata riotta all en effector (GIMRE) General Inertia Matri...5. Isotropia inamica e suo significato geometrico...5. Determinazione ella GIMRE per un manipolatore parallelo...5. Determinazione ella GIMRE per l Aept Quattro erne i riferimento ensori i inerzia Matrici Jacoiane Scomposizione ella GIMRE Inice i isotropia inamica Risultati a simulazione Separazione ei contriuti traslazionali...7 Capitolo 5: Moello inamico Moello inamico inverso e iretto Metoo i Newton-Eulero Parametri e assunzioni per efinire il moello inamico Moello inamico ell Aept Quattro Contriuto ella parte attiva Contriuto ella piattaforma moile e el carico Somma ei contriuti Forza applicata ai motori Forza centrifuga e i Coriolis...8 6

7 5.. Forza i gravità Capacità i prourre accelerazione Movimento verticale Movimento orizzontale Capitolo 6: Prove sperimentali Movimento orizzontale Movimento verticale Aept Cycle... 9 Capitolo 7: Conclusioni Confronto tra inici e prove sperimentali Sviluppi futuri Ringraziamenti... Biliografia... Appenice A

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9 Elenco elle figure. Esempio i manipolatore seriale SCARA, con schematizzazione el suo spazio i lavoro Esempi i manipolatori paralleli Elementi titutivi ell Aept Quattro Spazio i lavoro ell Aept Quattro Particolare el raccio superiore ell Aept Quattro....6 Particolare ell accoppiamento i forza el raccio inferiore....7 Particolare ella piattaforma moile ell Aept Quattro e el sistema i rotazione....8 Rappresentazione MALAB el moello geometrico semplificato e terna i riferimento a telaio....9 Riassunto elle semplificazioni geometriche.... Convenzione ei segni per le variaili i giunto.... Convenzione sui segni ella rotazione ella piattaforma moile.... Determinazione el punto B i come intersezione ei racci superiore e inferiore Moello geometrico con correzione riguarante il punto i collegamento el link.... Inserimento el sistema assoluto Aept nel moello geometrico....5 Nuovo moello geometrico comprenente le tre correzioni e particolare ell en effector.... Ciclo i pick-an-place Inice i manipolailità riferito alla traslazione Inice selettivo: movimento orizzontale Inice selettivo: movimento verticale Inici selettivi calcolati con gli autovalori Notazione utilizzata: ientificazione ei link Notazione utilizzata: ientificazione elle terne i riferimento erne i riferimento riferite a ciascun componente e ingranimento elle terne ei link Matrici i rotazione per il raccio : caso Matrici i rotazione per il raccio : caso Matrici i rotazione per il raccio : caso Matrici i rotazione per il raccio : caso Inice i isotropia inamica Inice IM z Semplificazione inamica el link Semplificazione inamica ella piattaforma moile articolata

10 5. Coppia generata alla gravità per il raccio Anamento el moulo ella forza non lineare Anamento el moulo ella forza i gravità riportata all organo terminale Inice inamico i massa riferito a una traslazione generica Inice inamico i massa riferito a una traslazione lungo z (piano -z) Coefficiente alfa z per spostamenti verticali Coefficiente alfa per spostamenti orizzontali Inice alfa per il piano orizzontale z -8 mm, con corrisponente grafico sperimentale ei tempi Inice alfa per il piano orizzontale z -9 mm, con corrisponente grafico sperimentale ei tempi Inice alfa per il piano orizzontale z - mm, con corrisponente grafico sperimentale ei tempi Inice alfa z per il piano verticale, con corrisponente grafico sperimentale ei tempi Particolare el canale centrale ottenuto sperimentalmente Inice alfa z per il piano orizzontale z - mm, con corrisponente grafico sperimentale ei tempi... 9

11 Elenco elle taelle 6. empi mei i percorrenza ello Stanar Aept Cycle centrato in mm empi mei i percorrenza ello Stanar Aept Cycle centrato in 75 mm empi mei i percorrenza ello Stanar Aept Cycle con partenza a mm empi mei i percorrenza ello Stanar Aept Cycle con partenza a 75 mm empi mei i percorrenza ell Etene Aept Cycle centrato in mm... 95

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13 Introuzione Nello stuio i un manipolatore parallelo, l analisi non può riursi alle sole consierazioni cinematiche, come spesso accae per i root seriali. È necessario eterminare un moello inamico il più preciso possiile, ata la prerogativa i uesti root i garantire elevate velocità e accelerazioni. La presenza i catene chiuse e le interazioni tra i iversi link cinematici renono l analisi inamica un prolema i non immeiata soluzione. Nel primo capitolo i uesto elaorato, opo un elenco i vantaggi e svantaggi riferiti all utilizzo i manipolatori paralleli al posto i uelli seriali, si escrive il moello geometrico ell Aept Quattro utilizzato per l implementazione via software. Si risolve, inoltre, la cinematica i posizione inversa. Nel secono capitolo, sono riportati i calcoli per ottenere la matrice Jacoiana el manipolatore in esame, la cui eterminazione permette i impostare i prolemi cinematici i velocità e i accelerazione e i iniviuare le conizioni i golarità. Segue un capitolo, il terzo, in cui si escrivono egli inici cinematici ipenenti alla Jacoiana e si calcolano per l Aept Quattro, con lo scopo i eterminare le aree ello spazio i lavoro ove il manipolatore può lavorare più facilmente e velocemente al punto i vista ella sola cinematica. Nel uarto capitolo, invece, sono presenti le prime consierazioni inamiche; in particolare, è calcolata la matrice inerzia generalizzata riferita all en effector, alla uale è possiile efinire l inice i isotropia inamica. Per eseguire un analisi più precisa, però, è necessario efinire un moello più completo, che tenga conto i tutti i contriuti che entrano in gioco al punto i vista elle forze generalizzate. Nel capitolo cinue, allora, si etermina il moello inamico ell Aept Quattro, sulla ase el uale si cercheranno le zone ello spazio i lavoro in cui il root presenta la maggiore capacità i accelerare il proprio organo terminale. Nel capitolo sei sono riportati i risultati i alcune prove sperimentali effettuate con il manipolatore per iniviuare le reali zone che garantiscano massima accelerazione i trascinamento. Nel capitolo sette, infine, si confrontano i risultati ottenuti tramite gli inici con uelli elle prove sperimentali, con lo scopo i eterminare ove il manipolatore compia i cicli i pick-an-place in moo più veloce e in che maniera gli inici evienzino ueste aree. In appenice A è riportato il coice MALAB utilizzato per le simulazioni.

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15 CAPIOLO MANIPOLAORI PARALLELI E ADEP QUARO Con il termine root (al ceco Ròota, lavoro pesante o lavoro forzato ) inustriale s intene un manipolatore a più grai i liertà, governato automaticamente, riprogrammaile, multiscopo, che può essere fisso sul posto o moile per utilizzo in applicazioni i automazioni inustriali (norma ISO R/87) progettato per trasportare materiali, parti, utensili o ispositivi eicati, secono movimenti variaili programmati. Si possono riconoscere, in generale, uattro parti funzionali che caratterizzano un ualsiasi manipolatore: struttura meccanica: gli elementi o link che lo compongono e i tipi i accoppiamento tra i essi, cui si aggiunge l en effector o organo terminale, ifferente in ase alla funzione a assolvere; attuatori: i motori, nella maggior parte ei casi elettrici, con i relativi motoriuttori tra alero e asse attuato; un link collegato irettamente a un motore o motoriuttore prene il nome i link attivo; sensori: gli encoer posti sul motore, inispensaili per l iniviuazione ella posizione i un giunto attivo; elettronica i controllo: il controllore, la cui progettazione incie sulle prestazioni e sulla precisione el manipolatore in termini i accuratezza e ripetiilità. I root inustriali possono essere ivisi in ue grani categorie: macchine seriali e parallele. I manipolatori seriali sono caratterizzati a seuenze i link e relativi accoppiamenti cinematici. Ogni link è mosso a un attuatore a esso collegato; il primo e l ultimo link non sono connessi tra loro. Esempi i moerni root seriali sono il manipolatore SCARA (figura.) e il raccio antropomorfo. I manipolatori paralleli o PKM (Parallel Kinematic Machines), invece, presentano elle strutture meccaniche chiuse; sono composti a n catene cinematiche uguali tra loro, che collegano il telaio (piattaforma fissa) a una piattaforma moile. Il grosso vantaggio i uesti manipolatori è che i motori sono posti sulla ase, riuceno nettamente la uantità i masse sospese e in movimento con conseguenti vantaggi per uanto concerne la inamica. Con il termine accuratezza s intene la ifferenza tra le coorinate richieste e uelle effettivamente raggiunte uano il manipolatore si porta per la prima volta in un punto; con il termine ripetiilità, invece, ci si riferisce alla capacità i ritornare in un punto in cui il manipolatore è già stato. 5

16 Figura.: esempio i manipolatore seriale SCARA, con schematizzazione el suo spazio i lavoro. Si parla i manipolatori paralleli rionanti uano il numero i grai i liertà ell organo terminale è minore el numero i link attivi; si parla i manipolatori paralleli non rionanti uano il numero i movimenti permessi all en effector uguaglia uello egli attuatori, []. Come si può veere in figura., esempi i PKM sono la piattaforma i Stewart (-DOF) e il moello Quattro ell Aept ecnhology [6], manipolatore sottoposto a un approfonita analisi cinematica e inamica nel corso i uesto elaorato. Figura.: esempi i manipolatori paralleli: (a) piattaforma i Stewart, () Aept Quattro. Esiste un ulteriore categoria i root inustriali, uella ei manipolatori irii, composti a catene cinematiche consecutive, come i manipolatori seriali, con l aggiunta, però, i anelli chiusi, per aumentare la soliità ella struttura e spostare i motori a telaio.. Confronto tra manipolatori seriali e paralleli Negli ultimi vent anni, il possiile utilizzo i root paralleli in amito inustriale, per operazioni i packaging, pick-an-place, ecc., ha estato un grane interesse nell amito ella ricerca. Questi 6

17 manipolatori hanno la capacità i risponere al crescente isogno i automazione nei processi inustriali, con lo scopo i riurre al minimo gli errori i posizione e orientazione ell organo terminale e i tempi i ciclo ([], [], []). E ene, uini, passare in rassegna uelli che sono i vantaggi e gli svantaggi legati all utilizzo i manipolatori paralleli al posto i uelli seriali. Lo spostamento egli attuatori a telaio nelle PKM permette i avere un inerzia enormemente minore al punto i vista elle masse in movimento. Come conseguenza, è possiile snellire la struttura ei link truenoli in materiali più leggeri (fira i caronio), ma garanteno la meesima rigiezza i una struttura seriale, poiché il carico è ripartito su più catene cinematiche. utto uesto permette i raggiungere velocità e accelerazioni maggiori, a parità i attuazione, e, uini, i riurre il tempo i percorrenza i un percorso stailito ([], []). Una caratteristica negativa ei manipolatori paralleli è l elevato rapporto tra ingomro ella struttura e effettivo spazio i lavoro el root, rispetto a uello elle macchine seriali. In uesto elaorato, l analisi elle prestazioni ell Aept Quattro sarà orientata principalmente alle operazioni i pick-an-place; a tal proposito, lo svantaggio appena escritto riguaro all ingomro non è ì importante. Un root seriale che movimenta oggetti presenta, in generale, un ampio spazio i lavoro con una zona morta corrisponente alla colonna centrale, ove è presente la struttura el root stesso (si vea la figura.); uesto non permette l esecuzione i movimenti lineari passanti per il centro ello spazio i lavoro, []. Per un manipolatore parallelo che, come nel caso el Quattro, è montato sulla parte superiore ella cella i lavoro, uesto prolema non si presenta.. Applicazioni ei manipolatori paralleli I manipolatori paralleli hanno trovato molti campi i utilizzo e tuttora rappresentano le più valie scelte uano sono richieste elevate prestazioni cinematiche e inamiche e un alto stanar i precisione. Le categorie in cui i root paralleli hanno trovato maggior impiego sono riportate i seguito: movimentazione e trasporto: sono uelle applicazioni, come la pallettizzazione, il confezionamento elle merci, lo scarico e il carico i nastri trasportatori, che preveono lo spostamento a parte el root i semilavorati o prootti finiti; lavorazione: a secona ell organo terminale che viene montato sulla piattaforma moile el manipolatore, si riescono a compiere vari processi (salatura, taglio laser o a getto acua, verniciatura, fresatura, incollaggio) tipici ei root seriali; assemlaggio e montaggio: i gruppo meccanici e elettrici, i schee elettroniche, ecc.; misura e ispezione: a esempio le operazioni i rilevamento profili, collauo imensionale e iniviuazione i ifetti i lavoro. Lo spazio i lavoro i un manipolatore è efinito come la regione escritta all en effector uano ai giunti el manipolatore si fanno compiere tutti i moti possiili; è un sottoinsieme ello spazio raggiungiile il uale racchiue tutti i punti ello spazio che l organo terminale può raggiungere con almeno un orientazione. 7

18 . Aept Quattro L Aept Quattro (figura.) è un manipolatore parallelo che presenta uattro racci ientici (- RUU) ciascuno tituito a ue link: uello più vicino al telaio sarà chiamato raccio superiore o link, l altro prenerà il nome i raccio inferiore o link el raccio i-esimo. Questo root, prootto all Aept echnology [6] al 7, nasce in amito accaemico ([]). Rappresenta l ultima evoluzione ella famiglia ei DELA-Root ([], [], []), con la peculiarità i otare l en effector i grai i liertà, per la realizzazione i moti a elevate velocità e accelerazioni. La particolare struttura ella piattaforma moile garantisce la rotazione ell en effector attorno al suo asse verticale. Figura.: elementi titutivi ell Aept Quattro. L Aept Quattro si presta a movimentazioni veloci i prootti leggeri nel campo alimentare e farmaceutico; presenta una limitazione i carico massimo pari a 6 kg. Le sue prestazioni in termini i velocità e accelerazione sono le migliori nella categoria ell imallaggio; al ata-sheet ([6]) el manipolatore si riporta che la massima velocità lineare raggiungiile è pari a m/s, mentre la massima accelerazione lineare è i 5 m/s. Nella figura., è riportata la rappresentazione ello spazio i lavoro el manipolatore, [6]. La versione ell Aept Quattro su cui si asano le consierazioni i uesto elaorato è la s65h, moello isponiile nel laoratorio i rootica el Dipartimento i ecniche e Gestione elle imprese, see istaccata i Vicenza ella facoltà ingegneria ell Università i Paova. 8

19 Figura.: spazio i lavoro ell Aept Quattro... Struttura meccanica Il collegamento a telaio i Quattro, come spesso capita per le macchine parallele, avviene sulla parte superiore el manipolatore, ove sono presenti i uattro attuatori, protetti a calotte in alluminio. Il root in esame presenta una struttura simmetrica e ciascuna elle uattro catene cinematiche, che collegano il telaio alla piattaforma moile, è tituita, come etto, a una parte superiore e a una inferiore. BRACCIO SUPERIORE Il link i ciascun raccio el root è una manovella in fira i caronio collegata, tramite motoriuttore, al corrisponente motore fisso a telaio, come si può veere alla figura.5. Il movimento che la manovella può compiere è uello i rotazione sul piano ortogonale all alero el motore; consierano come centro l estremità collegata al telaio, il luogo ei punti ove l altra estremità può isporsi è un arco i circonferenza. Di seguito sono riportati alcuni ati riguaranti ciascun raccio superiore: Lunghezza: Raggio: r 75 mm. r 8 mm. Distanza tra punto a telaio e attacco el link : 76 mm. Massa: m,5 kg, m,85 kg se si consiera anche il peso elle 8 viti i collegamento. 9

20 Posizione el centro i massa rispetto al centro i rotazione: lg mm. Rotazione consentita: verso il asso, 5 verso l alto. N.B.: i ati riguaranti la massa sono stati richiesti irettamente alla itta prouttrice, poiché lo smontaggio el pezzo avree reso necessaria una nuova calirazione ei motori. Figura.5: particolare el raccio superiore ell Aept Quattro. BRACCIO INFERIORE Il link i ciascun raccio el root è tituito a una coppie i ielle, sempre in fira i caronio, collegate al link tramite giunti sferici e tenute unite tra loro a accoppiamenti i forza tra sfera e calotta per mezzo i molle (figura.6). Le ue ielle, collegate inferiormente alla piattaforma moile, si muovono nello spazio; una volta stailita la posizione el corrisponente link, il luogo ei punti in cui l estremità collegata alla piattaforma può posizionarsi è una calotta sferica, il cui centro è rappresentato all altra estremità. Di seguito sono riportati alcuni ati riguaranti ciascun raccio inferiore: Lunghezza: Raggio: Massa gola asta: c 85 mm. r c 6,75 mm. m c, kg. Posizione el centro i massa rispetto all estremità superiore: lg c/. Il particolare tipo i accoppiamento iniisce la rotazione attorno all asse centrale ella coppia i ielle e fa in moo che la piattaforma moile mantenga una posizione orizzontale nel piano -y, assumeno z come asse verticale.

21 Figura.6: particolare ell accoppiamento i forza el raccio inferiore. PIAAFORMA ARICOLAA MOBILE La piattaforma moile el manipolatore in esame (figura.7) ha una forma che può essere riconotta a un uarato, su ciascun vertice el uale sono collegati i racci inferiori. È in grao i muoversi nelle tre irezioni cartesiane e, come etto, mantiene sempre una posizione parallela al piano i ase. Per uanto riguara la rotazione, è presente una particolare struttura composta a ue ruote, con rapporto i riuzione :, collegate a una cinghia i trasmissione. L organo terminale, collegato alla ruota più piccola, è in grao i ruotare i ±8, in seguito a una rotazione ella ruota maggiore i ±5. L en effector, i conseguenza, non è collocato esattamente al centro ella piattaforma, ma presenta un offset pari a 75 mm rispetto al centro i simmetria. Di seguito sono riportati alcuni ati riguaranti la piattaforma moile: Lunghezza i un lato: Massa totale: 5 mm. m p,6 kg. Figura.7: particolare ella piattaforma moile ell Aept Quattro e el sistema i rotazione.

22 .. Moello geometrico semplificato Per lo stuio cinematico e l analisi inamica, è necessario semplificare la geometria el manipolatore appena escritto, con lo scopo i facilitare la efinizione el moello analitico a implementare via software. Nella figura seguente (.8), è rappresentata graficamente la struttura semplificata el root con la terna i riferimento posta a telaio. Figura.8: rappresentazione MALAB el moello geometrico semplificato e terna i riferimento a telaio. La parte a telaio è stata riotta a uattro segmenti perpenicolari tra loro i lunghezza pari a 75 mm; uesto valore sarà inicato, in seguito, alla lettera a. Per semplificare i calcoli, non si è consierato il sistema i riferimento proposto alla itta, ma uno in cui gli assi e y giacciono su ue i uesti segmenti, appartenenti rispettivamente al raccio e al raccio. Se si volesse riportare il tutto alla terna proposta a Aept, asteree ruotare il sistema i riferimento i -5, con conseguente aeguamento elle coorinate ei punti. Per uanto concerne i link ei uattro racci, si può veere come siano stati riotti a un unico segmento, parallelo alle ielle e passante per il centro el uarilatero che esse formano. La piattaforma moile, invece, è stata trattata come un puro uarato senza consierare i segmenti i raccoro che si possono trascurare, se non si analizzano gli stress interni egli elementi strutturali el root []. La figura.9 riassume le semplificazioni appena elencate. Il centro ella terna i riferimento rappresenta l origine O (,, ). Consierano l i-esimo raccio, l estremità el link collegata all attuatore iniviua il punto A i, mentre l altra estremità, intersezione con il link, B i. Il punto i collegamento tra link e piattaforma moile è enominato C i (figura.8).

23 Figura.9: riassunto elle semplificazioni geometriche: (a) a telaio, () link el raccio (è lo stesso per gli altri racci), (c) piattaforma moile. Di seguito sono riportate le coorinate ei punti sopra elencati, in funzione elle lunghezze ei racci, elle coorinate lineari (, y e z ) e rotazionali ( ) el centro ella piattaforma moile e egli angoli i inclinazione ell i-esimo link rispetto al piano -y: ( ) a A ( ) ( ) ( ) a B ( ) a A ( ) ( ) ( ) a B ( ) a A ( ) ( ) ( ) ( ) a B ( ) a A ( ) ( ) ( ) ( ) a B z y C z y C z y C z y C. Determiniamo anche le coorinate ei punti mei, M e M, ei link i collegamento tra gli estremi C, C e C, C ella piattaforma:

24 M M y y z z... Convenzione sui segni elle rotazioni Dopo aver stailito una terna i riferimento assoluta a telaio, è ene efinire anche il segno elle rotazioni elle variaili i giunto ( i ) e ell organo terminale ( ). Una rotazione el raccio superiore verso il asso genera un angolo inclinazione positivo rispetto al piano orizzontale; una rotazione verso l alto, invece, arà luogo a un angolo al valore negativo (figura.). Figura.: convenzione ei segni per le variaili i giunto. La figura. mostra la convenzione aottata per uanto riguara la piattaforma moile; una rotazione in senso antiorario è legata a un valore i positivo, una rotazione in senso orario, viceversa, a un valore i negativo. < > Figura.: convenzione sui segni ella rotazione ella piattaforma moile.

25 . Cinematica i posizione L analisi cinematica i posizione i un manipolatore stuia la isposizione ei link che compongono il root in ase ai vincoli e agli accoppiamenti con i uali essi sono collegati, senza consierare le forze e coppie che compaiono urante una movimentazione. Si parla i analisi cinematica i posizione iretta uano, note le variaili i giunto i e, uini, le posizioni egli attuatori, si eterminano le coorinate cartesiane ell en effector (valori i, y e z ) e la sua posizione angolare ( ). Si parla i analisi cinematica i posizione inversa, all'opposto, uano si eterminano le posizioni ei giunti attuati, a partire alle coorinate ell en effector. A ifferenza ei manipolatori seriali, l analisi cinematica iretta i una PKM presenta iverse ifficoltà e un moello matematico la cui risoluzione può avvenire solo per via numerico-iterativa; l analisi cinematica inversa, invece, è i norma più semplice e può essere spesso risolta, come nel caso ell Aept Quattro, per via analitico-geometrica ([], [], [7]). Si inicheranno con il vettore elle variaili i giunto e con uello elle coorinate liere che eterminano posizione e orientazione ell en effector; entrami hanno imensione. La risoluzione ella cinematica i posizione inizia con la efinizione i una funzione F n- imensionale, ove n è il numero i grai i liertà el manipolatore, ([],[7],[]). Le euazioni i congruenza che essa contiene ipenono agli elementi i e ; ciascuna elle n euazioni è riferita a un golo raccio e è risolviile in moo inipenente alle altre. { } { } y z F(, ) (.) Nella efinizione ell euazione (.), inica il vettore nullo n-imensionale. N.B.: come prima approssimazione, i valori el vettore sono riferiti al punto centrale ella piattaforma moile e non alle reali coorinate ell organo terminale... Cinematica i posizione inversa Si conoscano le coorinate ell organo terminale; lo scopo ell analisi cinematica i posizione inversa è uello i eterminare le variaili i giunto attraverso le euazioni i chiusura i (.). Data la struttura ell Aept Quattro, è possiile analizzare golarmente ciascun raccio. Nota, infatti, la posizione ella piattaforma, si risale alla gola variaile i giunto, cercano l intersezione tra l arco i circonferenza rappresentante le possiili posizioni ell estremità non fissata a telaio el raccio superiore e il luogo ei punti raggiungiili all estremità non fissata alla piattaforma el raccio inferiore (figura.). 5

26 Figura.: eterminazione el punto B i come intersezione ei racci superiore e inferiore. Dal punto i vista analitico, per ogni catena cinematica si ovrà risolvere un sistema ella forma seguente: ( Ai Bi ) ( y Ai ybi ) ( z Ai z Bi ) ( Ci Bi ) ( yci ybi ) ( zci z Bi ) c (.) La prima euazione si riuce all espressione i una circonferenza perché, secono il raccio che si consiera, le coorinate o y i A i e B i sono nulle. Si procee con lo svolgimento el sistema (.) per le uattro catene cinematiche el root che si sta analizzano. BRACCIO La manovella el raccio si muove nel piano -z, per cui il sistema risultante è il seguente: ( A B ) ( z B ) ( ) ( y ) ( z z ) C B C C B c (.) Come incognite el sistema si consierano le coorinate i B (uniche ipenenti irettamente a ), teneno conto che y B è sempre nulla; una volta eterminate, si potrà risalire al valore ella variaile i giunto corrisponente. Sottraeno la prima euazione i (.) alla secona si ottiene: 6 ( ) y z z z c C A B C A C C C B,

27 7 a cui è possiile ricavare il valore i z B in funzione i B : C B B z f s z con A C C C A C f c z y s (.) Si sostituisce, ora, il valore trovato alla prima relazione el sistema (.), otteneno un euazione i secono grao nella variaile B, le cui soluzioni sono:, f z RAD f s z C A C B ± (.5) con ( ) ( ) s z f z f s z RAD A C C A C. (.6) Se RAD assume valore negativo, il manipolatore si trova in una conizione i golarità per cui la posizione ell organo terminale inicata alle coorinate non è raggiungiile. Nel caso opposto, si troveranno ue valori per B : come si può veere alla figura (.), la scelta corretta è uella i tenere il valore i B maggiore. Si ricavano, ora, eno e seno ell angolo eguagliano i valori ricavati all espressione generale elle coorinate i B, riportata nel paragrafo... Applicano la funzione arcotangente si ottiene il risultato ella variaile i giunto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), atg z a z a B B B B. (.7) BRACCIO La manovella el raccio si muove nel piano y-z, per cui il sistema risultante è il seguente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c z z y y z y y B C B C C B B A (.8) Come incognite el sistema si consierano le coorinate i B (uniche ipenenti irettamente a ), teneno conto che B è sempre nulla; una volta eterminate, si potrà risalire al valore ella variaile i giunto corrisponente. Sottraeno la prima euazione i (.8) alla secona si ottiene: ( ) c z z z y y y y y B C C C A C B A C,

28 a cui è possiile ricavare il valore i z B in funzione i y B : z B s y z B con C f s f y C C y y A A y C z C c (.9). Si sostituisce, ora, il valore trovato alla prima relazione el sistema (.8), otteneno un euazione i secono grao nella variaile y B, le cui soluzioni sono: y B, s f zc y A ± RAD (.) z f C s f s. (.) C con RAD ( ) ( ) z y A zc f zc y A Se RAD assume valore negativo, il manipolatore si trova in una conizione i golarità per cui la posizione ell organo terminale inicata alle coorinate non è raggiungiile. Nel caso opposto, si troveranno ue valori per y B : la scelta corretta è uella i tenere il valore i y B maggiore. Si ricavano, ora, eno e seno ell angolo eguagliano i valori ricavati all espressione generale elle coorinate i B riportata nel paragrafo... Applicano la funzione arcotangente si ottiene il risultato ella variaile i giunto: 8 y z B B a ( ) ( ) ( ) ( ) y B a z B atg ( ( ),( )). (.) BRACCIO Il ragionamento e il proceimento a seguire per trovare il valore i sono gli stessi riportati per il raccio, con l unica ifferenza che, nella scelta tra i ue valori i B, si opterà per uello con il numeratore minore, ata la simmetria. Determinati B e z B, si ricavano eno e seno ell angolo eguagliano i valori ottenuti all espressione generale elle coorinate i B, riportata nel paragrafo... Applicano la funzione arcotangente si ottiene il risultato ella variaile i giunto. z B B ( a ( )) ( ) ( ) ( ) B a z B atg ( ( ), ( )). (.) BRACCIO Il ragionamento e il proceimento a seguire per trovare il valore i sono gli stessi riportati per il raccio, con l unica ifferenza che, nella scelta tra i ue valori i y B, si opterà per uello con il numeratore minore, ata la simmetria. Determinati y B e z B, si ricavano eno e seno ell angolo

29 eguagliano i valori ottenuti all espressione generale elle coorinate i B, riportata nel paragrafo... Applicano la funzione arcotangente si ottiene il risultato ella variaile i giunto. y z B B ( a ( )) ( ) ( ) ( ) y B a z B atg ( ( ), ( )). (.) Il prolema cinematico inverso i posizione ha soluzione se e solo se i valori i RAD, RAD, RAD e RAD sono contemporaneamente maggiori o uguali a zero, altrimenti la posizione inicata per l organo terminale si trova fuori allo spazio raggiungiile, ano luogo a una conizione i golarità... Cinematica i posizione iretta Sia noto il vettore elle variaili i giunto ; lo scopo ell analisi cinematica i posizione iretta è uello i eterminare le coorinate i posizione e orientazione ell en effector attraverso le euazioni i chiusura i (.). Per un root parallelo, la risoluzione i uesto tipo i prolema presenta, nella maggior parte ei casi e ì anche per il Quattro, numerose ifficoltà legate alla non linearità elle relazioni inverse otteniili al sistema (.). La via analitica non è sempre anale o percorriile e potreero esistere soluzioni multiple a parità i vettore ([], [7]); il proceimento a seguire è uello i tipo numerico o iterativo []. Questo non si sposa, tra le altre e, con la necessità el sistema i controllo real-time i effettuare i propri calcoli in tempi con scaenze ristrette. Sono, comunue, presenti in letteratura iversi approcci per la risoluzione ella cinematica i posizione iretta, [7]. Per uanto riguara uesta tesi, l analisi iretta non è trattata poiché esula agli oiettivi finali ell elaorato..5 ermini correttivi el moello geometrico Il moello geometrico escritto nel paragrafo.. e utilizzato per la cinematica i posizione presenta alcune semplificazioni rispetto alla reale struttura ell Aept Quattro. Si sono introotti, uini, ei termini correttivi che avvicinino il più possiile il moello alla realtà senza moificare i calcoli svolti fino a uesto punto.. VARIABILI DI GIUNO Il link ell i-esimo raccio non è collegato al centro el rispettivo link, ma alla parte inferiore ell estremità inicata con il nome B i (figura.5). Nei calcoli effettuati, si è tenuto conto i uesto particolare. Nella prima euazione i (.), infatti, il raggio ella circonferenza consierata è posto pari a, valore riportato nel paragrafo.. e ricavato come:, r r ove r rappresenta la lunghezza el link cilinrico e r il suo raggio. Il valore i i che si ottiene è riferito all inclinazione rispetto al piano -y el segmento che unisce A i all estremità superiore el 9

30 link e ifferisce, i una uantità chiamata alp, al valore che assume l angolo consierano l inclinazione ell asse ella manovella. La figura. rappresenta graficamente la correzione effettuata sul moello geometrico. Figura.: moello geometrico con correzione riguarante il punto i collegamento el link e ingranimento riferito al raccio. Il valore i alp si può ricavare a semplici relazioni goniometriche nel moo seguente: r r ( alp) ( alp) r tg( alp) r r alp atg,76. r Il ragionamento sopra riportato è valio sia uano l angolo i è positivo (verso il asso), sia uano assume valore negativo (verso l alto). Di conseguenza, i valori ei reali angoli inclinazione ella manovella sono: r alp ; r alp ; r alp ; r alp. Si eterminano, inoltre, i punti B, B, B e B corrisponenti al centro ella sezione cilinrica ell estremità non vincolata a telaio el link : ( a r ( ) ( )) r r r ( a r ( ) ( )) r r r ( ( a r ( )) ( )) r r r ( ( a r ( )) r ( )) ' B ' B ' B ' B r r. Il sistema i controllo el manipolatore consiera come variaili i giunto gli angoli i già escritti; si è verificato, infatti, che la posizione con inclinazione nulla è uella in cui la congiungente tra il punto i rotazione ella manovella A i e il punto B i è orizzontale.

31 . SISEMA DI RIFERIMENO ASSOLUO ADEP La itta prouttrice el root colloca l origine el sistema i riferimento assoluto a telaio in una posizione più alta i 5 mm rispetto a uella consierata fino aesso. Poiché le reali coorinate ell organo terminale sono espresse in uesto sistema i riferimento, è ene moificare anche nel moello la posizione ella terna assoluta. Se si consiera, poi, che l organo terminale è posto 85 mm più in asso ella uota ella piattaforma, il tutto si può traurre in una traslazione complessiva verso il asso i una uantità, chiamata ase, pari a 9 mm. I punti ientificati in preceenza sono ora riefiniti: A A A A ( ) O ase ( a ase) B ( a ( ) ( ) ase) ( a ase) B ( a ( ) ( ) ase) ( a ase) B ( ( a ( )) ( ) ase) ( a ase) B ( ( a ( )) ( ) ase) C y z ase C C C y z y z y z ase ase ase M M y z y z ( a r ( ) ( ) ) r r r ase ( a r ( ) ( ) ) r r r ase ( ( a r ( )) ( ) ) r r r ase ( ( a r ( )) r ( ) ase) ' B ' B ' B ' r r ase ase B. I calcoli riguaranti la cinematica sono ancora valii, a patto che z continui a rappresentare la istanza ell organo terminale a O, appena riefinito. La figura. mostra la nuova rappresentazione el moello.

32 Figura.: inserimento el sistema assoluto Aept nel moello geometrico. Per evitare prolemi interpretazione, si ecie i inicare con z la istanza ell en effector all origine el nuovo sistema i riferimento, in moo tale che valga la relazione seguente (i valori i z e z sono sempre negativi): z z ase. END EFFECOR Come anticipato in preceenza, il centro ella piattaforma moile non coincie con il punto in cui viene collocato l en effector. Il meccanismo i rotazione introuce, infatti, un offset che ecentra la posizione ell organo terminale i 75 mm, facenolo coinciere con M. Chiamano e y i valori ella reale posizione ell en effector e continuano a inicare con e y le coorinate el centro ella piattaforma, la risoluzione el prolema cinematico è ancora valia. Si stailiscono, uini, le seguenti relazioni: y offset y offset ove offset vale 75 mm. Consierano, poi, che l en effector che sarà collegato alla piattaforma presenta una certa lunghezza che influisce sulla coorinata z, si può stailire la seguente relazione:

33 z z ase ee, ove ee rappresenta la lunghezza ell en effector. E necessario consierare uesta correzione perché il linguaggio i programmazione el manipolatore (Aept V) prevee un comano (OOL RANS) che trasla automaticamente lo spazio i lavoro el manipolatore in funzione ella lunghezza ell organo terminale. Nella figura.5, si riporta la rappresentazione el moello geometrico ell Aept Quattro, comprenente le tre correzioni escritte. Figura.5: nuovo moello geometrico comprenente le tre correzioni e particolare ell en effector.

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35 CAPIOLO MARICE JACOBIANA La matrice Jacoiana (o Jacoiano) i un manipolatore è composta a termini che variano in funzione ella configurazione assunta al root. Questi elementi rappresentano i rapporti i velocità che legano linearmente le erivate temporali elle coorinate generalizzate ell en effector con uelle elle variaili i giunto, secono la relazione seguente (il puntino sopra la variaile inica la erivata temporale): y z { } J { } ove { } { } (.) Ai fini i ottenere le velocità ei giunti attivi e elle coorinate liere, è inifferente utilizzare i valori efiniti in (.) o uelli ottenuti a seguito ell introuzione ei termini correttivi; l operazione i erivazione, infatti, uniforma i valori che ifferiscono solo per elle tanti (come spiegato in seguito, si consiererà un valore i rotazione sempre nullo). Nella sua forma generale, la matrice Jacoiana ha imensione 66 e le coorinate i velocità ell en effector sono composte alle velocità lineari lungo i tre assi cartesiani e a uelle angolari attorno a essi. Se un manipolatore presenta meno i 6 grai i liertà, la Jacoiana può essere espressa in forma riotta e, nel caso i manipolatore non rionante, rimarrà comunue uarata. I grai i liertà ell en effector ell Aept Quattro sono, ì come le variaili i giunto, per cui la matrice J riotta avrà imensione. Si possono iniviuare ue iversi tipi i Jacoiano, secono il moo in cui sono espresse le velocità angolari ell en effector: uello analitico e uello geometrico. Si parla i Jacoiano analitico, uano le tre velocità angolari el vettore sono le erivate egli angoli i orientazione ell organo terminale, espressi meiante una rappresentazione minima. Si parla i Jacoiano geometrico, invece, se gli ultimi tre termini i rappresentano le velocità angolari riferite all en effector, in generale ifferenti alle erivate egli angoli i orientazione. Nel caso ell Aept Quattro, poiché la piattaforma può muoversi solo parallelamente al piano i ase, la velocità angolare ell unica rotazione permessa coincie con la erivata ell angolo i rotazione stesso.. Determinazione ella matrice Jacoiana Per la eterminazione ella matrice Jacoiana, si possono utilizzare ue metoi: 5

36 erivare rispetto al tempo le relazioni i posizione; utilizzare le proprietà ase per la eterminazione elle velocità i un corpo rigio su ogni link el manipolatore, []. Nel paragrafo., ove si eterminerà la Jacoiana i Quattro, sarà utilizzato il primo metoo. Per iniviuare i goli termini ello Jacoiano, si calcola la erivata temporale elle euazioni i chiusura (.) el manipolatore in analisi. Si ottiene la seguente relazione, ([], [], []): { } J { } J, ove J f i e j J f i. (.) k Le ue matrici J e J sono uarate i imensione n, pari al numero i grai i liertà; J si ottiene erivano la (.) rispetto agli elementi el vettore, mentre J si ottiene faceno lo stesso con il vettore. Seguono, in moo immeiato, le efinizioni ella matrice Jacoiana e ella sua inversa: J J J j k e J J J k j. (.) Nel caso i manipolatore seriale, la matrice Jacoiana ipene solo alle coorinate liere, mentre, per uanto concerne i root paralleli, la matrice J è funzione sia elle coorinate i posizione e orientazione ell en effector, sia elle variaili i giunto, [].. A a serve la matrice Jacoiana La matrice Jacoiana i un manipolatore permette i semplificare alcuni prolemi i analisi per uanto riguara la cinematica e la inamica. Di seguito sono riportate le sue funzioni principali.. RISOLUZIONE DELL ANALISI CINEMAICA DI VELOCIA La matrice Jacoiana rappresenta il legame iretto tra il vettore velocità ell organo terminale e il vettore velocità elle variaili i giunto. Sono fonamentali la relazione (.) e la sua inversa, efinita uano J è invertiile: 6 { } J { }. (.). RISOLUZIONE DELL ANALISI CINEMAICA DI ACCELERAZIONE Nel paragrafo.5 si mostra come la matrice Jacoiana e la sua erivata temporale giochino un ruolo fonamentale nella risoluzione el prolema i accelerazione iretto e inverso.. DEERMINAZIONE DELLE CONFIGURAZIONI SINGOLARI Una configurazione golare è una posizione assunta al manipolatore cui corrispone la perita i un grao i liertà: il root non può essere completamente controllato o perché l organo terminale non può più compiere lieramente tutti i movimenti oppure perché la sua rigiezza ecresce rasticamente, []. In corrisponenza i ueste golarità, inoltre, può capitare che, per portare a

37 termine anche un piccolo movimento, i motori eano fornire elevate coppie e velocità, []. Le conizioni i golarità, in generale, corrisponono a uelle pose el root per le uali il eterminante ella Jacoiana è nullo (in uesta conizione J è golare e, uini, non invertiile). In letteratura, i tipi i golarità sono classificati essenzialmente in ue categorie: golarità seriale e parallela. Queste conizioni possono essere analizzate analiticamente consierano le matrici J e J efinite prima. Si parla i golarità parallela o ella cinematica iretta se si annulla il eterminante i J, i golarità seriale o ella cinematica inversa se si annulla il eterminante i J, []. Per uanto riguara il manipolatore in analisi, è importante notare come le zone i golarità siano presenti solamente nei pressi ella frontiera ello spazio raggiungiile e si possano evitare cercano i non lavorare in punti estremi.. EQUILIBRIO SAICO DEL SISEMA La matrice Jacoiana può essere utilizzata anche in inamica, per stailire le euazioni i euilirio statico el manipolatore. La trasposta ello Jacoiano, infatti, lega irettamente le coppie ei motori (τ) con le forze che si vogliono generare sull organo terminale (F): { } J { F} τ. (.5) La imostrazione i uest uguaglianza eriva irettamente al principio ei lavori virtuali 5.. Matrice Jacoiana ell Aept Quattro Per eterminare gli elementi ella matrice Jacoiana i Quattro, si calcolano le erivate elle euazioni i posizione i ciascun raccio, in particolare ella secona euazione el sistema (.) poiché in essa compaiono termini in funzione sia elle coorinate liere sia elle variaili i giunto. Si riportano i seguito le euazioni i chiusura consierate: BRACCIO : BRACCIO : ( a ( )) y ( z ( )) c y ( a ( )) ( z ( )) c (.7) 5 Dimostrazione i (.5): al principio ei lavori virtuali { τ } { } { F} { } (.6), ove e rappresentano rispettivamente gli spostamenti infinitesimi elle variaili i giunto e ell organo terminale. t J t J. Sostitueno uesto valore i alla Da { } { }, è immeiato ottenere { } { } prima euazione, semplificano e trasponeno, poi, entrami i memri, si ottiene l espressione (.5). 7

38 8 BRACCIO : ( ) ( ) ( ) ( ) c z y a (.8) BRACCIO : ( ) ( ) ( ) ( ) c z a y (.9) N. B.: nelle euazioni (.6), (.7), (.8) e (.9) si sono mantenuti i valori el moello semplificato senza le correzioni riportate nel paragrafo.5. Il risultato che si ottiene è lo stesso i uello che si avree utilizzano i valori corretti perché, in entrami i casi, le relazioni imposte sono analiticamente corrette... Determinazione ella matrice J La matrice J si ricava erivano le uattro euazioni i chiusura rispetto a (prima colonna), rispetto a y (secona colonna), rispetto a z (terza colonna) e rispetto a (uarta colonna). Di seguito, sono riportati i termini ella matrice J, ciascuno caratterizzato a ue peici inicanti la posizione (il primo iniviua la riga, il secono la colonna): [ ] j ij J - RIGA : ( ) ( ) a j, y j, ( ) ( ) z j, ( ) ( ) ( ) a y j ; - RIGA : j, ( ) ( ) a y j, ( ) ( ) z j, ( ) ( ) ( ) a y j ;

39 9 - RIGA : ( ) ( ) a j, y j, ( ) ( ) z j, ( ) ( ) ( ) a y j ; - RIGA : j, ( ) ( ) a y j, ( ) ( ) z j, ( ) ( ) ( ) a y j... Determinazione ella matrice J I termini ella matrice J si ottengono erivano le euazioni i chiusura rispetto alle variaili i giunto i. Ciascun raccio ipene irettamente solo alla variaile i giunto a esso associata; le erivate rispetto alle altre variaili sono, uini, nulle. La matrice risultante è, allora, iagonale: ( ),,, j j j j iag J ove: ( ) ( ) ( ) ( ) a z j ; ( ) ( ) ( ) ( ) a z y j ; ( ) ( ) ( ) ( ) a z j ; ( ) ( ) ( ) ( ) a z y j.. Analisi cinematica i velocità Nota la configurazione assunta al manipolatore in termini i variaili i giunto e i coorinate

40 liere ell organo terminale e note anche le velocità ei link attivi, è possiile risalire ai valori i velocità ell en effector tramite la relazione (.). Quello appena escritto rappresenta la risoluzione el prolema i velocità iretto. Il prolema i velocità inverso, invece, si asa sulla conoscenza ella cinematica i posizione e elle velocità ell organo terminale, per ricavare le velocità ei giunti tramite la relazione inversa (.)..5 Analisi cinematica i accelerazione Per ottenere le euazioni che regolano la cinematica i accelerazione, è necessario erivare rispetto al tempo l euazione (.) ei legami i velocità. Si ottiene la seguente relazione 6 : { } J { } J { } J { } J (.) ove compaiono le velocità ell en effector e elle variaili i giunto e le loro accelerazioni efinite come { } { } y. z Sono presenti, inoltre, le erivate elle matrici J e J, intese come le matrici i cui elementi sono le erivate temporali el termine corrisponente; ipeneranno, unue, alle erivate egli elementi ei vettori e. Nei paragrafi.5. e.5., si ricavano ueste matrici per l Aept Quattro. Dall euazione (.), si può già notare come il legame tra le accelerazioni non sia lineare per la presenza i termini ipenenti ai vettori velocità. ANALISI CINEMAICA DI ACCELERAZIONE INVERSA Lo scopo el prolema i accelerazione inverso è uello i ricavare i valori i accelerazione elle variaili i giunto, conosceno le accelerazioni ell en effector oltre alla cinematica i posizione (per eterminare J e J) e i velocità (per eterminare le erivate i J e J e per i termini non lineari). ramite alcuni semplici passaggi matematici e ricorano la (.), è possiile isolare il termine i accelerazione elle variaili i giunto e esprimerlo in funzione ell accelerazione e ella velocità ell organo terminale: { } J { } J ( J J J ) { } (.) Si ientificano un termine i accelerazione i trascinamento e uno ipenente alla velocità (accelerazione centrifuga e i Coriolis). 6 Il oppio puntino inica la erivata secona nel tempo ella variaile.

41 ANALISI CINEMAICA DI ACCELERAZIONE DIREA Lo scopo el prolema i accelerazione iretto è uello i ricavare i valori i accelerazione ell en effector, conosceno le accelerazioni elle variaili i giunto oltre alla cinematica i posizione (per eterminare J e J) e i velocità (per eterminare le erivate i J e J e i termini non lineari). In moo analogo al prolema inverso, sfruttano la (.), si ricava: { } J { } J ( J J J ) { } (.).5. Determinazione ella erivata ella matrice J I termini i J sono ipenenti a e e, uini, al tempo. Per uesto motivo, nel termine i estra i (.), è presente la erivata ella matrice J, i cui termini sono le erivate egli elementi corrisponenti i J. Derivano gli elementi trovati nel paragrafo.., per l Aept Quattro si ottiene: ove - RIGA : J j ( ) j y, j ( z ( ) ), [ ] j y y ( ) ( a ( )) ; - RIGA :, j ij ( ) j, j y ( ), j ( z ( ) ), j y y ( ) ( a ( )) ; - RIGA : ( ) j, ( )

42 y j, ( ) ( ) z j, ( ) y y j ( ) ( ) ( ) a ; - RIGA : j, ( ) y j, ( ) ( ) z j, ( ) y y j ( ) ( ) ( ) a..5. Determinazione ella erivata ella matrice J I termini i J sono ipenenti a e e, uini, al tempo. Per uesto, nel termine i istra i (.), è presente la erivata ella matrice J, i cui termini sono le erivate ei termini corrisponenti i J. Derivano gli elementi trovati nel paragrafo.., per l Aept Quattro si ha: ( ),,, j j j j iag J ove ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a z z j ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a z z y y j ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a z z j ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a z z y y j ( ) ( ).

43 CAPIOLO INDICI CINEMAICI La valutazione elle prestazioni cinematiche i un manipolatore e il confronto con altri root ella stessa categoria possono essere eseguiti attraverso egli inici otteniili alla matrice Jacoiana. ali inici, efiniti fin ai primi anni i esistenza ella rootica ([]), sono riferiti in moo particolare ai manipolatori seriali; non sempre il passaggio alle PKM è immeiato perché la matrice che, generalmente, risulta isponiile è la Jacoiana inversa.. Inici i prestazione Per la progettazione o il controllo i un root parallelo, è richiesta una valutazione el comportamento cinematico ei link che lo compongono. In altre parole, ata una precisa configurazione assunta al manipolatore, si vuole misurare l effetto el movimento ei motori sullo spostamento ell en effector. Gli strumenti più noti e impiegati per consierazioni i uesto tipo sono gli inici cinematici. ra i molti efiniti in letteratura, uelli maggiormente utilizzati sono la manipolailità (su cui si concentreranno le valutazioni riferite all Aept Quattro ) e il numero i conizionamento... Manipolailità µ, L inice i manipolailità, efinito per le macchine seriali a Yoshikawa come et( J J ) uantifica la capacità i trasmissione ella velocità ai motori all organo terminale (sensitività). Nel caso i meccanismi non rionanti, uesto inice può essere calcolato semplicemente come il moulo el eterminante i J. Valori ell inice prossimi allo zero o troppo elevati iniviuano zone in cui il manipolatore incontra una certa ifficoltà a lavorare (tipicamente corrisponono a configurazioni vicine alla frontiera ello spazio i lavoro). Come espresso nel capitolo preceente, per i manipolatori paralleli la matrice ricavaile in moo immeiato è la Jacoiana inversa. Se inichiamo con λ i gli autovalori i una generica matrice uarata, gli autovalori ella sua inversa saranno /λ i. Ricorano che il eterminante è uguale al prootto egli autovalori, si può pervenire a una efinizione ell inice i manipolailità più aatta all analisi i manipolatori paralleli ([], []): µ, (.) et ( J J ) ove si è sfruttato il fatto che l inverso i un prootto i matrici è uguale al prootto con orine scamiato elle matrici i partenza invertite.