Rappresentazione dell'informazione

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1 Rappresentazione dell'informazione Moreno Marzolla Dipartimento di Informatica Scienza e Ingegneria (DISI) Università di Bologna

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3 Logica binaria 3

4 I moderni calcolatori elettronici rappresentano ogni tipo di informazione mediante sequenze di bit In realtà devono gestire informazioni di tipo non necessariamente binario Numeri (interi, reali) Testi (sequenze di caratteri) Suoni, immagini, video Come rappresentiamo questi tipi di informazioni in un calcolatore elettronico? 4

5 Rappresentazione di numeri non negativi Una sequenza di N bit può rappresentare un intero non negativo in base 2 Esempio: quanto vale ? pesi cifre binarie Risposta: = Si sommano i pesi corrispondenti alle cifre binarie 1 Con N bit possiamo rappresentare tutti gli interi appartenenti all'insieme {0, 2N - 1} 5

6 Conversione decimale binario Si può procedere così Si divide il numero decimale ripetutamente per 2. I resti della divisione danno le cifre della rappresentazione binaria, a partire dalla cifra meno significativa Es: come si scrive 7410 in binario? 74 / 2 37 / 2 18 / 2 9/2 4/2 2/2 1/2 = = = = = = = resto resto resto resto resto resto resto 0 Cifra più a destra Cifra più a sinistra

7 Conversione decimale base B Si può procedere così Si divide il numero decimale ripetutamente per B I resti della divisione danno le cifre della rappresentazione in base B, a partire dalla cifra meno significativa Esempio: in base 16 abbiamo le cifre 0, 9, A, F Come si scrive in base 16? 157 / 16 = 9 9 / 16 = 0 resto resto 13 (D) 9 (9) = 9D16 7

8 ...e i numeri negativi? Si utilizza la rappresentazione in complemento a due Con N bit, il valore intero x viene codificato in binario allo stesso modo di 2N + x Nota: 010 (decimale) in complemento a due si scrive C (una stringa di N zeri) 8

9 Esempio Supponiamo di avere N = 4 bit, e di voler codificare il numero x = 6 2N + x = = in binario si scrive Abbiamo a disposizione solo 4 bit, quindi scartiamo quello più a sinistra: rimane 01102C La rappresentazione in complemento a 2 di 6 10 coincide con la normale rappresentazione binaria Questo vale per tutti i numeri positivi 9

10 Esempio Rappresentiamo x = -7 con N = 4 bit in compl. a due 2N + x = 24 7 = in binario si scrive quindi -710 = 10012C Osservazione 1 Con N bit è possibile rappresentare in complemento a due i valori interi compresi tra -(2N-1) e 2N-1-1 (estremi inclusi) Con N = 8 bit [-128, 127] Con N = 16 bit [-32768, 32767] Con N = 32 bit [ , ] Osservazione 2 I numeri negativi (in complemento a due) hanno sempre il primo bit a sinistra 1; i numeri positivi hanno 0 10

11 Valori rappresentabili Data una stringa di N bit, quanti (e quali) numeri si possono rappresentare in complemento a due? Es: N = 4 Comp. a due Decimale Comp. a due Decimale

12 Conversione complemento a 2 decimale Si procede come per la conversione binario decimale, con la differenza che il peso della cifra più a sinistra è -2N-1 anziché 2N-1 Esempio: quanto vale C? pesi -128 cifre binarie Risposta: =

13 Somma in complemento a due Si usano le stesse regole della somma binaria "normale" Calcolare in compl. a due con N = 4 bit 510 = 01012C -7 si rappresenta come 24-7 = 16-7 = 910 = 10012C Sommando 01012C C si ottiene 11102C Il primo bit a sinistra vale uno, quindi è un valore negativo Infatti 11102C = = -2 14

14 Esercizio per casa Determinare la rappresentazione in complemento a due con N = 4 bit dei numeri A = -310 e B = -510 Calcolare la somma (A + B) sommando le rappresentazioni in complemento a due di A e B ottenute al punto precedente La somma così calcolata corrisponde al valore corretto A + B = -8? 15

15 Errore di overflow Se x e y sono due numeri con segno diverso in complemento a due con N bit Il valore (x + y) sarà ancora rappresentabile con N bit in complemento a due Infatti: supponiamo che x sia positivo e y negativo 0 x 2N N-1 y 0 da cui (sommando membro a membro): -2N-1 x + y 2N-1-1 Quindi: se x e y sono due numeri con segno diverso in complemento a due con N bit, la loro somma non può generare overflow 16

16 Errore di overflow Se x e y hanno lo stesso segno, può verificarsi overflow. Esempio con N = 4 bit valori rappresentabili in complemento a due: (-2)10 + (-8)10 Riporto C C = Riporto C -2-8 = 6?!?!? C C = C = -7?!?!? 17

17 Quando si verifica overflow? Quando entrambe le seguenti condizioni sono vere Gli operandi hanno lo stesso segno Il segno della somma è diverso da quello degli operandi C C = C C = C C 18

18 Rappresentazione di numeri reali Come rappresentiamo un numero reale ( con la virgola ), come ad es. 34,76510? Usiamo la notazione scientifica normalizzata: 34,765 = 3, , = 7, Osserviamo che 3,4765 =

19 Rappresentazione di numeri reali Lo stesso si può applicare anche per la base 2 1,1012 = = 1, Possiamo scrivere un numero reale diverso da zero in base 2 come ±1, m m m... 2 e e e... Dove: mmm.. sono le cifre della parte frazionaria della mantissa eee... rappresenta l'esponente Non si usa la rappresentazione in complemento a due, bensì la notazione con bias, vedi lucido seguente 20

20 Rappresentazione di numeri reali Solitamente si usa un numero fisso di cifre per la mantissa e per l'esponente Es: standard IEEE 754 singola precisione: 32 bit totali così suddivisi 1 bit 8 bit 23 bit s eeeeeeee Segno 0 = positivo 1 = negativo mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm Esponente si converte in intero senza segno e si sottrae 127 Mantissa normalizzata dopo la virgola (prima della virgola si assume 1) 21

21 Esempio Mantissa: 1,10112 = Esponente: = = -310 Segno: Valore: = -0,

22 Riepilogo Rappresentazione in base 2 Interi positivi Interi positivi e negativi (complemento a due) Valori reali Che dire di altri tipi di informazione? Caratteri alfanumerici Suoni Immagini... Le istruzioni eseguite dalla CPU 24

23 Codifica dei caratteri Quanti simboli dobbiamo rappresentare? La codifica ASCII usa 7 bit per codificare 2 7 = 128 caratteri diversi 26 lettere minuscole 26 lettere maiuscole 10 numeri (0 9) simboli vari (%, $,...) alcuni caratteri di controllo (Return, Canc, Insert...) Dato che i calcolatori moderni lavorano con Byte di 8 bit, si usa la codifica ASCII estesa (extended ASCII) che usa 8 bit per carattere La codifica UNICODE usa 8, 16 o 32 bit Con 32 bit si possono identificare 232 = simboli diversi 25

24 ASCII = American Standard Code for Information Interchange "ASCII-Table-wide" by ASCII-Table.svg: ZZT32derivative work: LanoxxthShaddow - ASCII-Table.svg. Licensed under Public Domain via Wikimedia Commons - dell'informazione 26 wide.svg#/media/file:ascii-table-wide.svg

25 Da ricordare Le lettere minuscole hanno codici consecutivi Le lettere maiuscole hanno codici consecutivi 'a' = 97, 'b' = 98, 'c' = 99,... 'A' = 65, 'B' = 66, 'C' = 67,... I numeri hanno codici consecutivi '0' = 48, '1' = 49, '2' = 50,... 27

26 Codifica di immagini Le immagini non sono formate da sequenze di oggetti ben definiti come i numeri e i testi Per poterle rappresentare bisogna prima discretizzarle Cioè trasformarle in un insieme di parti discrete che possono essere codificate con sequenze di bit Consideriamo prima immagini fisse (foto etc ) 28

27 Immagini bitmap L immagina viene scomposta in una griglia di elementi detti pixel (da picture element) Immagine originale Rappresentazione bitmap 29

28 Immagini bitmap Ciascun pixel di una immagine in bianco e nero può essere rappresentato da un singolo bit Ad es., 0 = bianco, 1 = nero

29 Immagini bitmap Immagini a toni di grigio Un Byte per pixel (0=bianco, 255=nero, gli altri valori rappresentano toni intermedi di grigio) Immagini a colori: più bit (es., 3 Byte) per pixel 1 Byte per la componente Rossa (0 255) 1 Byte per la componente Verde (0 255) 1 Byte per la componente Blu (0 255)

30 Immagini vettoriali L'immagine è descritta mediante primitive geometriche (linee, cerchi, poligoni...) di cui si specificano i parametri By Tonchino - Own work, CC BY-SA 3.0, 32

31 Immagini bitmap vs vettoriali Le immagini vettoriali possono essere ingrandite a piacere senza perdita di dettaglio I formati vettoriali sono adatti a disegni tecnici, ma non si prestano alla rappresentazione di immagini reali (es., un volto, un paesaggio) By The original uploader was Darth Stabro at English Wikipedia - Transferred from en.wikipedia to Commons by Pbroks13 using CommonsHelper., CC BY-SA 3.0, 33

32 Codifica di immagini La rappresentazione accurata di una immagine bitmap dipende dal numero di pixel (definizione, o risoluzione) dalla codifica del pixel e richiede generalmente molta memoria Risoluzione N. colori Byte Immagine Televisiva (8 bpp) 440 KB Telev. 4K (12 bpp) ~ 12 MB milioni (24 bpp) ~ 430 MB Foto bpp = bit per pixel 34

33 Esercizio Una immagine ha una risoluzione di pixel; ogni pixel può avere un colore scelto tra colori possibili Quanti Byte sono necessari per codificare l'immagine? Ipotizzare che il colore di un pixel sia rappresentato con il minimo numero di bit necessari per rappresentare univocamente un intero tra 0 e Trascurare lo spazio necessario per memorizzare la tavolozza dei colori 35

34 Algoritmi di compressione Per risparmiare memoria si impiegano tecniche di compressione Alcuni formati comunemente usati JPEG (immagini) MP3, FLAC (audio) MP4, H.263 (video) ZIP, RAR, BZ2 (file generici) 36

35 Algoritmi di compressione Algoritmi lossless (senza perdita di informazione): Operano un cambiamento di codifica dei dati che permette di diminuire il numero di bit necessari alla rappresentazione Consentono di ricostruire esattamente la sequenza di dati originali a partire dai dati compressi Esempio: sequenza di 1 milione di caratteri scelti tra A, B, C, D Usando la codifica ASCII: 8 milioni di bit Usando una codifica ad hoc a lunghezza fissa, es. A=00, B=01, C=10, D=11: 2 milioni di bit Supponiamo di sapere che il 90% dei caratteri sono A. Allora usando la codifica a lunghezza variabile A=0, B=100, C=110, D=111 sono richiesti: = bit 37

36 Algoritmi di compressione Algoritmi lossy (con perdita di informazione) Sfruttano le caratteristiche degli oggetti da rappresentare per scartare informazione poco importanti Possono ottenere livelli di compressione elevati, ma non consentono di ricostruire esattamente i dati originali a partire da quelli compressi Alcune informazioni sono eliminate dal processo di compressione L'algoritmo JPEG sfrutta la caratteristica dell occhio umano di essere poco sensibile a lievi cambiamenti di colore in punti contigui, e quindi elimina questi lievi cambiamenti appiattendo il colore dell immagine È possibile specificare mediante alcuni parametri quanto siamo disposti a perdere in qualità nel processo di compressione 38

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38 Codifica di video Il movimento è simulato mostrando immagini fisse in sequenza (24-30 al secondo) che l occhio umano percepisce come un continuo Per risparmiare spazio alcuni metodi di codifica memorizzano solo le differenze fra un fotogramma e l altro 40

39 Codifica di suoni Un generico suono (o segnale analogico) è rappresentato da un'onda continua Tempo 41

40 Codifica di suoni Campionamento Il segnale viene misurato ad istanti discreti Es: 1KHz = 1000 campioni/sec = 1 campione/msec Tempo 42

41 Codifica di suoni Quantizzazione Per ogni campione, il valore assunto dal segnale viene espresso con un numero finito di bit (quantizzazione) Segnale campionato e quantizzato Segnale originale Tempo 43

42 Codifica di suoni L accuratezza della ricostruzione dipende: da quanto sono piccoli gli intervalli di campionamento (intervalli più piccoli qualità migliore) da quanti bit vengono utilizzati per descrivere il suono in ogni campione (più bit qualità migliore) Gli algoritmi lossy di compressione audio sfruttano il fatto che per l orecchio umano suoni a basso volume sovrapposti ad altri di volume maggiore sono poco udibili e possono essere eliminati È quello che accade nello standard MPEG Layer 3 (MP3) 44

43 Idee chiave Rappresentazione binaria di interi Complemento a due Rappresentazione di informazione non numerica Compressione lossless e lossy Campionamento e discretizzazione 45

44 Logica binaria 46