meccanica delle vibrazioni laurea magistrale ingegneria meccanica parte 1 elementi base

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1 E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso meccanica delle vibrazioni laurea magistrale ingegneria meccanica parte 1 elementi base!!

2 Elementi fondamentali E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso Massa : dove si immagazzina l energia potenziale o l inerzia Smorzatore : dove si dissipa l energia (normalmente trasformata da meccanica a termica) Rigidezza : dove si immagazzina l energia elastica Forzanti : ciò che causa le vibrazioni (interne: condizioni iniziali/contorno, esterne, forze e momenti)..ideali! una proprietà alla volta e solo quella! m=0 c=0 k=150kn/m

3 Elementi fondamentali e grandezze E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso

4 Massa - Inerzia [kg], [kgm 2 ] E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso Ricordarsi tutti i GDL (DOF)! E c = 1 2 m!x2..abituatevi a considerare analizzare risolvere sistemi con TRASLAZIONI e ROTAZIONI! 1 DOF E c = 1 2 m!x m!y J! θ 2 3 DOF

5 Smorzatore - meccanismi dissipativi [Ns/m], [Ns/rad] E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso Diversi modelli matematici che rappresentano vari meccanismi dissipativi.. derivano equazioni del moto più o meno complesse! Viscoso f d = c!x es. ammortizzatori veicolo (olio/gas) Coulumbiano f d = µmgsign(!x) es. smorzatori attrito edilizia / lavatrici Strutturale/isteretico opposizione fase con vel es. cricche, dislocazioni, giochi fase con vel/prop spost f d = jhx

6 Smorzamento E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso Fluidodinamico f d = d!x 2 es. moto nei fluidi Frazionale es. gomme / elastomeri feltri f d = ja r x t r Magnetrorealogico / combinati es. ammortizzatori

7 Rigidezza - meccanismi elastici [N/m], [N/rad] E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso Lineari (caratteristica) f s = kx f s = kθ Non Lineari, Bilineari, Progressive (Hardening, Softening),

8 Rigidezza E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso Equivalenza sistemi di molle! Molle in serie Molle in parallelo 1 k e = 1 k k k r k e = k 1 + k k r..da sapere come si arriva qui!..abituatevi a considerare analizzare risolvere sistemi con TRASLAZIONI e ROTAZIONI!

9 Forzanti a=sin(2*pi*1.3*t); Armoniche semplici E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso es. squilibrio residuo Armoniche complesse es. combustione Impulsive es. impatto, esplosione a=sin(2*pi*0.4*t)+0.09*sin(2*pi*2.7*t)+0.05*sin(2*pi*5.1*t); a=[zeros(1,100) ones(1,3) zeros(1,898)]; a=[zeros(1,100) 1-t(1:100) zeros(1,801)];

10 Forzanti E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso Random es. rugosità asfalto Operazionali a=rand(1,size(t,2)); a=randn(1,size(t,2)); a=randn(1,100); a=[a a a a a a a a a]; es. vento, funzionamento impianto, traffico veicolare, pedoni,

11 Linearizzazione E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso Vibrazioni del pendolo I sistemi reali NON sono lineari!, prima o poi il legame tra le grandezze non è proporzionale!..si linearizza per semplificare le equazioni del moto! ma c = T mgcosθ ma t = mgsenθ per piccoli spostamenti ml θ! 2 = T mgcosθ ml!! θ = mgsenθ!! θ + senθ θ g L senθ = 0 Moto Circolare:!! θ + a c = L!θ 2 a t = L!! θ divido per m, e riordino equazione esatta g L θ = 0 equazione approssimata

12 Linearizzazione Vibrazioni fune tesa E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso θ L T = T o + δ AE L m p(t) δ L Consideriamo la tensione di una fune di sezione A, lunghezza L, modulo di Young E, soggetta ad un allungamento δ δ = ( L 2 + u 2 ) 1/2 L m!! u + 2T sinθ = p Eq. di equilibrio massa m, sinθ = m!! u + 2 T 0 + u ( L 2 + u 2 ) 1/2 AE L L 2 + u 2 sostituendo: ( ) 1/2 L u ( L 2 + u 2 ) 1/2 = p equazione esatta

13 Linearizzazione Vibrazioni fune tesa..se considero l ipotesi di piccoli spostamenti u << L e riordino l equazione.. E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso u!! + 2T 0 ml u = 1 m p equazione approssimata lineare..se approssimo l allungamento con un espansione (spostamenti un po più grandi) e riordino l equazione.. δ = L u!! + 2T 0 ml u + 2 u L AE ml 3 L = u 3 = 1 2L 1 m u 2 p equazione approssimata cubica +u 3..hardening -u 3.. softening..more later on.. Sistemi non lineari

14 Linearizzazione E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso spostamenti....espansioni in serie di Taylor / Maclaurin..integrazione numerica..more later on.. Integrazione numerica

15 Linearizzazione x(t) p(t) y(t) q(t) α x(t) + βy( t) α p(t) + βq(t) E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso il principio di sovrapposizione degli effetti..vale il teorema di Maxwell/reciprocità Nel Corso di MDV si considerano sistemi a parametri costanti nel tempo! sistemi LTI Materiali Magneto / Elettro reologici Massa variabile

16 Coordinate E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso Minimo numero di informazioni in grado di descrivere completamente lo stato del sistema.. (ed in maniera più semplice possibile!) x 1 (t) x 2 (t) x 1 (t) x 2 (t) x 1 (t) x 2 (t)..more later on.. Coordinate Accoppiate Coordinate Modali

17 Coordinate E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso Sistemi Continui..semplificare! Sistemi MDOF Sistemi SDOF..MDV

18 Coordinate E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso Sistemi Continui..semplificare! Sistemi MDOF Sistemi SDOF

19 E vietato ogni utilizzo diverso da quello inerente la preparazione dell esame del corso