Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza. Esercitazioni

Transcript

1 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza Esercitazioni

2 Lezione 1 SCATTERING A. Andreazza - a.a. 2015/16

3 Lezione 1 1. Calcolare velocità e quantità di moto di una particella α con E=5 MeV 2. Calcolare la massima deflessione di una particella α con E=5 MeV in una collisione con un elettrone 3. Calcolare la deflessione di una particelle α da 5 MeV nel modello atomico di Thomson (assumendo densità di carica uniforme ed ignorando gli elettroni contenuti nell atomo): 1. Calcolare la deflessione assumendo che la particella passi ad una distanza pari al raggio atomico 2. Stimare se la particella α ha abbastanza energia da penetrare all interno dell atomo 3. Come dipende la deflessione in funzione del parametro di impatto b, assumendo che lo scattering avvenga solo contro la carica contenuta nella sfera di raggio b. 3

4 Lezione 1 4. Usando la relazione integrale: ( ) = 4π ZZ α # σ θ > θ 1! " 4!c E α $ & % calcolare la sezione d urto totale per particelle α da 10 MeV su nuclei di Pb per parametri di impatto b minori di 10-14, 10-12, m. Confrontare con il valore πb Calcolare il tasso atteso per scattering Rutherford di per particelle α da 10 MeV su nuclei di Pb. Assumere un flusso di 10 6 α/s su un foglio di 1 mm di spessore ed un rivelatore di dimensione 1 cm 1 cm posto a 1 m dal punto di interazione. Usare θ=π/2 e θ=5. 2 ( 1 * ) sin 2 θ , 4

5 Lezione 1 6. Date due particelle di massa m 1 e m 2, che si trovino in uno stato in cui l energia del sistema del centro di massa è s: Dimostrare che nel sistema del centro di massa queste particelle hanno momento: p 1 * = p 2 * = ( s (m 1 + m 2 ) 2 )( s (m 1 m 2 ) 2 ) 2 s Mentre le energie sono rispettivamente: E 1 * = s + m 1 2 m s E 2 * = s + m 2 2 m s 5

6 Lezione 2 PROPRIETÀ DEI NUCLEI A. Andreazza - a.a. 2015/16

7 Lezione 2 1. Calcolare il peso atomico dell atomo di idrogeno e confrontarlo con il valore tabulato in AMDC: o nella chart dei nuclidi: 2. Il protone è stato scoperte nella reazione: α+ 9 Be 12 C+n con α da 5.3 MeV. Calcolare: 1. la distanza di minimo approccio della particella α al Be 2. l energia attesa del neutrone uscente 7

8 Lezione 2 3. Si considerino protoni in un campo magnetico di 5 T: Calcolare la differenza di ΔE energia tra i due livelli con diverso valore di S z La polarizzazione: (N -N )/(N +N ), sapendo che la polarizzazione di un livello è proporzionale a exp(-e/kt) (si prenda T=20 C) se si applica un campo di frequenza tale che ħω=δe questo può indurre transizioni tra i due stati (Risonanza Magnetica Nucleare). Calcolare il valore della frequenza f corrispondente. 4. Nell esperimento di Hofstadter, si calcolino: energia dell elettrone uscente e lunghezza d onda del momento trasferito per: E=150 MeV, 300 MeV, 500 MeV e θ=45, 90, 135 l energia massima dell elettrone uscente a 90, nel caso in cui un elettrone incidente da 500 MeV generi il processo: e + p e + p + π 0 dove il π 0 è una particella neutra di massa 135 MeV 8

9 Lezione 3 MODELLI NUCLEARI A. Andreazza - a.a. 2015/16

10 Elenchi delle masse Un tabulato con masse (AME2012) e proprietà (Nubase2012) dei nuclei noti è scaricabile dal sito dell AMDC: 10

11 Lezione 3 1. La stima di a 3 della formula di Bethe-Weizsäcker si può determinare dalla differenza di energia di legame di nuclei specchio ovvero coppie di nuclei con N e Z simmetrici. Si considerino gli elementi con A=9, 19, 29, 39, e si stimi il valore di a 3 dalla differenza di energia di legame tra i nuclei con Z=(A+1)/2 e Z=(A-1)/2 Si provi il calcolo analogo per A=10, 20, 30 e 40 e Z=A/2±1 11

12 Lezione 3 2. Verifichiamo la necessità di un termine di pairing: Partendo da 200 Pb, fino a 206 Pb, calcolare l energia di legame di un neutrone aggiuntivo: Q n ( A Z X) = " m A Z X # ( ) + m n m( A+1 Z X) $ % c 2 Verificare dalle tabelle di Nubase lo spin dello stato fondamentale dei vari nuclei della catena. Stimare l energia di legame dovuta all accoppiamento di due nucleoni aggiuntivi. 12

13 Lezione 3 3. Modello a gas di Fermi: Il numero n di stati quantici disponibili per nucleoni confinati in un volume V da una buca di potenziale di profondità V 0 e con momento minore di p, è dato da: ( ) n = 2 V 4 π 3 p3 ( 2π! ) 3 Nello stato fondamentale nel nucleo, tutti i livelli fino a un certo valore di momento p F sono occupati: determinare l espressione di p F per neutroni e protoni L energia di Fermi E F =V 0 +p F2 /2m deve essere identica per n e p: esprimere la differenza di profondità della buca per i due tipi di nucleoni per nuclei stabili in cui Z N. 13

14 Lezione 3 4. What would you expect for the spin and parity of the ground states of 23 Na, 35 Cl and 41 Ca on the basis of the single-particle shell model? Do these predictions agree with experimental values? What about the magnetic moments of these nuclei? (Es. 3.5 Das-Ferbel) 5. Per 203 Tl (Z=81) si osserva che IP=1/2+, contro la previsione del modello a shell 11/2-. Lo stesso per 207 Pb (N=125): 1/2+ osservato control 13/2+ atteso. Tenendo conto che l energia di pairing cresce con l, qual è la configurazione dei livelli? 6. Si considerino i nuclei dispari-dispari 16N(2-), 12B(1+), 34P (1+), 28Al(3+). Costruendo dei diagrammi vettoriali di jp+jn e poi jn(p)=ln(p)+sn(p), stimare la configurazione preferita ddeli spin e predire IP di 26 Na e 28 Na. 14

15 DECADIMENTI RADIOATTIVI A. Andreazza - a.a. 2015/16

16 Lezione 4 1. Data la legge dei decadimenti radioattivi: dn/dt=-λn dove λ è la probabilità di decadimento per unità di tempo: dimostrare che τ=1/λ è effettivamente il tempo di decadimento medio t calcolare la varianza di t: (t- t ) 2 2. Approssimativamente 1 g di C ha un attività di 0.25 Bq: stimare quanti atomi di 14 C contiene se 1 g di C estratto da un reperto egizio presenta un attività di Ci. Sapendo che il tempo di dimezzamento del 14 C è di 5730 anni, datare il reperto egizio. Che incertezza si ottiene se la misura di attività dura 1 h? (Esercizio 5.4 del Das-Ferbel) 16

17 Lezione 4 3. Trovare un espressione approssimata dello spettro di energia per decadimenti in tre corpi: nei due casi limite in cui Q m e c 2 e in cui Q m e c 2 Per entrambi stimare T e e mostrare che vale Q/3 nel primo cado e Q/2 nel secondo. (Esercizio 9.8 del Krane) 4. Completare i seguenti processi: 1 λ dλ p e (T e + m e c 2 )(Q T e ) 2 dt e ν + 3 He 6 He 6 Li + e + e + 8 B ν + 12 C 40 K ν + 40 K ν + (Esercizio 9.9 del Krane) 17

18 Lezione 4 5. Calcolare il Q-valore del decadimento 224 Ra 220 Rn+α e, sapendo che il tempo di dimezzamento è di 3.66 giorni, calcolare il fattore di Gamow. Stimare il tempo di dimezzamento per i possibili decadimenti 224 Ra 212 Pb+ 12 C e 224 Ra 210 Pb+ 14 C (Esercizio 8.7 del Krane) 6. Decadimento α del 244 Cm (Esercizio 8.21 del Krane) Questo decadimento popola lo stato fondamentale del 240 Pu con rapporto di decadimento del 76.6% ed uno stato eccitato a MeV, con rapporto di decadimento calcolare Q valore, energia e momento dell α ed energia cinetica del nucleo di Pu. Stimare il rapporto dei due modi di decadimento e confrontarlo con quello osservato. 18

19 FISSIONE E FUSIONE NUCLEARE A. Andreazza - a.a. 2015/16

20 Lezione 8 Esercizio 1 Le reazioni nucleari avvengono nella parte centrale del Sole: R<0.2 R In tale regione è contenuta circa 1/3 delle massa solare M. Assumendo il Sole composto al 100% di 1 H, dare una stima della reattività: σv per il processo 1 H+ 1 H 2 H+e + +ν

21 Lezione 8 Esercizio 2 (Esercizio 5.2 Das-Ferbel) Calculate the energy released when 1 g of 235 U fissions into 148 La and 87 Br. Compare this to the energy released in fusing deuterium and tritium nuclei in 1 g of tritiated water with 1 g of deuterated water (i.e., T 2 O and D 2 O). Per confronto la combustione di 1 g di metano produce 55 kj. Esercizio 3 Si consideri un processo in cui un n percorre na distanza λ tra un interazione e l altra, ed ad ogni interazione è riemesso isotropicamente. Dimostrare che dopo k collisioni, il valor medio del quadrato della distanza l percorsa è l 2 =kλ 2 21

22 Lezione 8 Esercizio 3 Si consideri un processo in cui un n percorre na distanza λ tra un interazione e l altra, ed ad ogni interazione è riemesso isotropicamente. Dimostrare che dopo k collisioni, il valor medio del quadrato della distanza l percorsa è l 2 =kλ 2 22

23 Lezione 8 Esercizio 4 Stimare il flusso di neutrini solari sulla terra sapendo che vengono prodotti 2 neutrini per un ciclo 4 1 H 4 He liberando 26 MeV di energia. Stimare il flusso di anti-neutrini a 50 km da un reattore nucleare da 36 GW, sapendo che ogni fissione libera 200 MeV di energia e produce 6 anti-neutrini. 23

24 Lezione 8 Esercizio 5 Dopo una una collisione elastica con 12 C, un neutrone può uscire con l energia distribuita uniformemente tra 0.716E iniziale <E finale <E iniziale. Calcolare valor medio e deviazione standard del logarimo del rapporto tra l energia dopo 100 collisioni e quella iniziale. 24

25 Lezione 8 Esercizio 3 Usando le sezioni d urto in tabella, ed assumendo che, se si usa acqua come moderatore, un neutrone abbia una probabilità del 47% di essere catturato in acqua, calcolare la frazione di 235 U richiesta per avere un reattore critico. Oggi la frazione di 235 U è dello 0.7%, ma in passato era maggiore: calcolare quando era sufficiente perché l U naturale potesse essere critico. σ [b] 235 U 238 U σ tot σ fiss σ(n,γ) Un reattore naturale, che ha operato anni fa è stato effettivamente scoperto a Oklo in Gabon 25

26 INTERAZIONE RADIAZIONE E MATERIA A. Andreazza - a.a. 2015/16

27 Lezione 9 Esercizio 1 Verificare che l equazione è consistente con quella ricavata nella discussione dell esperimento di Chadwick, se si pone m 1 =M e m 2 =m e T max = 2γ 2 β 2 m e c γm e / M + (m e / M ) 2 ( ) 2m T max = T 2 2m 1 +T 1 1 m 1 + m 2 ( ) 2 + 2T 1 m 2 27

28 Lezione 9 Esercizio 2 Calcolare (de/dx) min in Si, Fe, Pb, usando la formula di Bethe-Bloch de d(xρ) = 4πr 2 e m e c 2 Z N A A z 2 1 β 2 2 ln 2γ 2 β 2 m e c 2 T max I 2 β 2 δ(γβ) 2 sapendo che I~10Z ev e (βγ) min =3. Confrontare con i valori tabulati 28

29 Lezione 9 Esercizio 3 Usando le tavole di range in trovare il range in Si di p ed α da 5 MeV e verificare la legge di scala R( E ) = m z 2 F E m, Z Cosa succede per e da 5 MeV? 29

30 Lezione 9 Esercizio 4 Calcolare X 0 per H, O e H 2 O usando la formula: X o = 716.4A g Z ( Z +1)ln 287 / Z cm 2 Confrontare con i valori tabulati e verificarne l accuratezza. 30

31 Lezione 9 Esercizio 5 Stimare il range in Fe di un p da 50 GeV se perdesse energia solo per collisione con elettroni. Qual è invece l evento più probabile? Stimare il range di elettrone da 50 GeV: che processi bisogna considerare? 31

32 Lezione 9 Esercizio 6 Calcolare l energia di soglia di un fotone per produrre coppie: 1. in collisioni contro un nucleo 2. in collisioni contro un elettrone 32

33 Lezione 9 Esercizio 7 Calcolare la sezione d urto asintotica per produzione di coppie in Pb. In unità di lunghezza, quanto spazio percorre un fotone prima di convertire? 33

34 Lezione 9 Esercizio 8 Dimostrare la relazione per l energia del fotone dopo uno scattering Compton: E 1 = + E0 1 ( E0 / me )( 1 cosθ ) Se E 0 <<m e il fotone fa scattering praticamente elastico: calcolare la sezione d urto totale. 34

35 LEZIONE 10 A. Andreazza - a.a. 2015/16

36 Lezione 10 Esercizio 1 Deteminare gli autovalori della matrice: e descrivere qualitativamente il comporta- mento del sistema nei diversi range di L/f. 1 L f L2 f 2 L f 2 2L + L2 f 1+ L f 36

37 Lezione 10 Esercizio 2 Nell anello di LEP/LHC, di circonferenze 26 km, circolavano fasci di elettroni e positroni di energia 100 GeV. Sapendo che la corrente per fascio era 6 ma, stimare la potenza dissipata dai fasci per radiazione di sincrotrone. Assumendo che l efficienza di trasferimento di energia ai fasci sia del 10%, qual era il consumo di energia richiesto dal funzionamento di LEP 37

38 Lezione 10 Esercizio 3 A LHC, di circonferenza 26 km, si fanno collisioni tra fasci a 13 TeV di energia nel centro di massa. Se costruissimo un acceleratore per fare collisioni su bersaglio fisso a 13 TeV nel centro di massa, che energia dovrebbero avere i fasci. Se per questo acceleratore usassimo gli stessi magneti di LHC, che sono i migliori che sappiamo costruire, che raggio avrebbe? 38

39 Lezione 10 Esercizio 4 Durante un Fill di un collisore, la luminosità diminuisce perché particelle vengono rimosse dal fascio con un tasso dato dalla sezione d urto totale σ tot. Calcolare l andamento della luminosità in funzione del tempo, assumento che il numero di particelle sia identico per i bunch di entrambi i fasci. 39

40 Lezione 10 Esercizio 5 Esistono collisori e+e- con energie del centro di massa sul picco di una risonanza a 10 GeV. In alcuni casi si desidera che il sistema del centro di massa abbia un piccolo boost e si tengono le energie dei due fasci asimmetriche. Calcolare che relazione devono avere tra di loro le energie dei due fasci. 40

41 Lezione 11 MUONI E PIONI A. Andreazza - a.a. 2015/16

42 Esercizio: la scoperta del µ La scoperta del µ Calcolare la perdita di energia (e conseguente cambiamento di momento) per elettroni, muoni e protoni con p=500 MeV in 1 cm di Pt. 42

43 Esercizio: µ al livello del mare µ in atmosfera Sapendo che lo spessore dell atmosfera è circa 1000 g/cm 2, calcolare l energia minima di un muone che attraversa l intera amosfera. A tale energia, quanto spazio percorre prima di decadere? Provare a svolgere l esercizio anche nel sistema di quiete del muone. 43

44 Lezione 11 L esperimento di Ledermann, Schwarz e Steinberger Particella simile a π, ma massa MeV BeV=GeV 1. Calcolare l energia di soglia della reazione: ν + n µ + p 2. E la soglia per avere un µ con momento di 300 MeV/c 3. Che energia dovrebbe avere un π per dare uno spettro in momento rettangolare come quello sovrapposto alla figura 4. Quanto spazio percorre prima di decadere? 5. Quanto acciaio serve per assorbire i muoni del decadimento? 44

45 Lezione 11 Esercizio 4 La temperatura attuale dell universo è 2.7 K. Calcolare l energia tipica di fotoni a questa temperatura. Calcolare l energia di soglia che deve avere un protone per indurre la reazione p+γ Δ + per collisione con questi fotoni. La presenza della risonanza Δ, con la sua grande sezione d urto, introduce un limite massimo all energia dei raggi cosmici provenienti da sorgenti lontane (il cosiddetto Greisen-Zatsepin-Kuzmin cut-off). 45

46 Lezione 11 Esercizio 5 Usando l invarianza per spin isotopico, stimare: BR(Δ + π + n) BR(Δ + π 0 p), BR(Δ 0 π 0 n) BR(Δ 0 π p), BR(N + π + n) BR(N + π 0 p), BR(N 0 π 0 n) BR(N 0 π p), BR(η π + π π 0 ) Perché non si può usare lo stesso sistema per stimare? BR(η π 0 π 0 π 0 ) 46

47 LA STRANEZZA A. Andreazza - a.a. 2015/16

48 Lezione 12 P + θ P - P + = 340 ± 100 MeV P - = 350 ± 150 MeV θ = 66.6 o θ P +T P + P V P n P nt P V = 600. ± 300 MeV P + = 770. ± 100 MeV θ = o Esercizio 1 Calcolare la massa invariante delle particelle che decade assumendo che le particelle prodotte siano note: cariche: p, µ, π ± neutre: n, ν, π 0 Verificare se alcune delle combinazioni possono corrispondere a masse già note.

49 Lezione 12 Esercizio 2 Verificare le energie di soglia per i seguenti processi ed identificare quelli proibiti dalla conservazione di numero quantici. Processo Soglia π N Λ K 0.76 GeV π N ΣK 0.90 GeV π N N K K 1.36 GeV π N ΞK K 2.23 GeV Processo Soglia N N Λ Λ 0.77 GeV N N ΣΣ 1.16 GeV N N Λ K N 1.57 GeV N N ΣK N 1.80 GeV N N N N K K 2.50 GeV N N ΞK K N 3.74 GeV 49

50 Lezione 12 Esercizio 3 Calcolare la sezione d urto di produzione di particelle strane assumendo: che il tasso di produzione osservato negli esperimenti al Pic du Midi fosse dn/dt~1 evento al giorno che il flusso di p di energia >1.5 GeV nei raggi cosmici all altezza del rivelatore sia Φ~0.1 m -2 s -1 che la produzione avvenga nel contenitore di alluminio che contiene la camera a nebbia: spessore 2 mm, sezione 10 cm 10 cm 50

51 Lezione 12 Esercizio 4 In base alla struttura a quark degli adroni, i decadimenti deboli con leptoni nello stato finale posso essere spiegati con il processo elementare: s u + l +ν l ed il suo coniugato di carica. Quali di questi processi sono permessi e quali vietati: K + π 0 + l + +ν l K 0 π + l + +ν l K 0 π + l + +ν l K π 0 + l + +ν l K + π 0 + l +ν l K 0 π + + l +ν l K 0 π + + l +ν l K π 0 + l +ν l 51

52 Lezione 12 Esercizio 5 Il K* (m=892 MeV) è uno stato eccitato del K con numeri quantici I(J P )=½(1 ) e decade per interazione forte in Kπ. Usando la simmetria di isospin calcolare i seguenti rapporti di probabilità di decadimento: BR(K *+ π 0 + K + ) BR(K *0 π + K + ) BR(K *+ π + + K 0 ) BR(K *0 π 0 + K 0 ) Si può spiegare intuitivamente questo risultato usando il modello a quark? 52

53 Lezione 12 Esercizio 6 Dati gli operatori F i =½λ i, dove le λ i, sono i generatori si SU(3): Verificare che V 1 =F 4, V 2 =F 5 e V 3 =½(F 3 + 3F 8 ) e U 1 =F 6, U 2 =F 7 e U 3 =½(-F 3 + 3F 8 ) seguono le regole di commutazione del momento angolare. Determinare la forma esplicita V ± =F 4 ±if 5 e U ± =F 6 ±if 7 e verificare le regole di commutazione: [ T 3,V ± ] = ± 1 2 V ± [ Y,V ± ] = ±V ± [ T 3,U ± ] = 1 2 U ± [ Y,U ± ] = ±U ± Cosa succede nella rappresentazione coniugata? 53

54 Lezione 12 Esercizio 7 I decadimenti Σ + e della Λ in Nπ sono dovuti alle interazioni deboli. Dal fatto che: BR(Λ π 0 n) BR(Λ π p) π 0 2 n H W Λ π p H W Λ 1 2 2, BR(Σ + π + n) BR(Σ + π 0 p) π + n H W Σ + 2 π 0 p H W Σ 1, + 2 cosa possiamo dire del valore di isospin di H W Λ e H W Σ +? 54

55 Lezione 12 Esercizio 8 Sfruttando le proprietà degli operatori di innalzamento ed abbassamento indicate in tabella e l analogia con il fatto che i momenti angolari sono additivi: scrivere le funzioni d onda dei quark degli stati: T + π -, V - K 0, V - K + dimostrare che: verificare il risultato usando i dati del PDG: BR K L 0 π e + ν e Γ(K + π 0 e + ν e ) Γ(K 0 π e + ν e ) 1 2 AZIONE DEGLI OPERATORI DI SU(2): ( ) = 40.55%, τ 0 KL = s, BR( K + π 0 e + ν e ) = 5.07%, τ K + = s, I 2 I 3 j, m = j( j +1) j, m j, m = m j, m I + j, m = j( j +1) m(m +1) j, m +1 I j, m = j( j +1) m(m 1) j, m 1 55