I modelli di proiezione della mortalità. Linee evolutive e profili attuariali

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1 I modelli di proiezione della mortalità. Linee evolutive e profili attuariali Ermanno Pitacco Università degli Studi di Trieste 1 SOMMARIO La preistoria ( ) I primi modelli ( ) Alcuni recenti contributi Attuali orientamenti 2 La preistoria l astronomo svedese H. Gyldén presenta alla Swedish Assurance Association una proiezione basata su perequazione lineare del tasso generale di mortalità della popolazione svedese, osservato nel periodo (probabilmente il primo caso di approccio dinamico all analisi della mortalità) T. Richardt propone una proiezione basata su perequazione lineare dei valori attuariali ä 60 e ä 65, calcolati in base a tavole di mortalità norvegesi NB In entrambi i casi proiezioni di valori sintetici, non funzioni dell età 1

2 3 La preistoria th International Congress of Actuaries, Berlino; tema: Mortality table for annuitants th International Congress of Actuaries, Amsterdam; tema: The course, since 1800, of the mortality of assured persons (consolidamento dell approccio dinamico) A. Lindstedt propone un modello di estrapolazione lineare del profilo di mortalità q x (y), per ogni età x (probabilmente il primo modello di proiezione della mortalità specifica) 4 I primi modelli E. Blaschke propone un modello di proiezione basato sulla legge di Makeham µ x (y) = γ(y) + α(y) β(y) x con α(y), β(y), γ(y) stimate in corrispondenza a tavole (di contemporanei ) (il primo modello di proiezione basato su una legge di mortalità) 1924 Modello di proiezione dell Institute of Actuaries q x (y) = a x + b x c x y (modello esponenziale) 2

3 I primi modelli 5 In particolare (con y anno corrente): q x (y) = q x (y ) r x y-y (r x = fattore annuo di variazione della mortalità) q x (y) = q x (y ) [λ x + (1 - λ x ) r y-y ] (λ x 0) (q x (y )λ x = mortalità limite ad età x) q x (y) = q x (y ) a (y-y )/(x+b) (proposto da C.V. Sachs, 1929) I primi modelli A.R. Davidson e A.R. Reid propongono un ulteriore modello basato sulla legge di Makeham µ x (y) = δ(τ) + ϕ(τ) ψ(τ) x con τ = y-x (= anno di nascita); approccio per generazioni H. Cramér e H. Wold: confronto tra proiezione per contemporanei e per generazioni ; applicazione alla popolazione svedese Kermack, McKendrick, McKinlay propongono la struttura µ x (y) = Q(x) R(τ) 3

4 7 Alcuni recenti contributi 1949 A.H. Pollard: proiezione per cause di decesso (basata su dati australiani) 1952 J. Bourgeois-Pichat: definizione della tavola ottimale (mortalità minima ) proiezione: interpolazione tra tavola attuale e tavola ottimale costruzione delle prime tavole modello U.N. Idea base: riassumere una tavola di mortalità mediante alcuni markers; ad esempio: e 0, e x0, punto di Lexis, x1 q 0 NB Riassunto alternativo a quello fornito dai parametri di una legge di mortalità proiezioni basate sull analisi dell evoluzione temporale di alcuni markers (previsioni della mortalità in Paesi emergenti) 8 Alcuni recenti contributi Metodo relazionale di W. Brass basato sull ipotesi di relazione lineare tra i logit delle funzioni di sopravvivenza Λ x = ½ ln[(1 S(x) / S(x)] probabilmente il primo modello operante su una trasformata della funzione di sopravvivenza, diversa dalle classiche funzioni (intensità, odds, ecc.) possibile uso in proiezioni: Λ x (t k+1 ) = a k + b k Λ x (t k ) proiezioni mediante estrapolazioni dei trend di a k e b k 4

5 9 Alcuni recenti contributi 1979 e seg. modello di L. Petrioli e M. Berti definizione della funzione di resistenza (trasformata della funzione di sopravvivenza) r(x) = [S(x) / (ω - x)] / [(1 S(x)) / x] perequata con r(x) = x α (ω - x) β exp(ax 2 + Bx + C) costruzione di tavole modello mediante combinazioni dei cinque parametri, sulla base dei valori di alcuni markers in termini di r(x) in particolare: scelta di una tavola limite per il 2050, da cui un modello di proiezione basato su decrescita esponenziale delle probabilità annue di decesso produzione della tavola generazione 48 e quindi della tavola ANIA RG48 10 Attuali orientamenti 1980 Legge di mortalità di L. Heligman e J.H. Pollard: q x /p x = A (x+b)c + D e -E(ln x ln F)2 + G H x (ricalca il modello di Thiele per l intensità di mortalità) 1988 D.O. Forfar e D.M. Smith: proiezioni basate sul modello di Heligman e Pollard; parametri funzioni dell anno di calendario y: A(y), B(y), 5

6 Attuali orientamenti L. Carter e L. Lee propongono un nuovo metodo di proiezione modello basato sul tasso centrale di mortalità m x modello sottostante il metodo LC ln m x (y) = a x + b x k y + e x,y stima di a x, b x, k y in base a mortalità osservata modellizzazione di k y come serie temporale, es. passeggiata aleatoria con drift previsione dei tassi centrali di mortalità (da t n ): m x (t n +s) = exp(a ^ ^ x + b x k t n+s ) = ^ = m x (t n ) exp[(b x (k t n+s - k ^ tn )] s = 1, 2, Attuali orientamenti 12 Il metodo LC fornisce stime intervallari (non solo puntuali) per le grandezze proiettate Le osservazioni sono realizzazioni di un processo stocastico: il metodo LC tiene conto del rischio di processo (non del rischio di parametro o di modello ) vita attesa PROIEZIONE OSSERVAZIONE anno di calendario 6

7 Attuali orientamenti 13 Notevole influenza del metodo LC sulla ricerca in corso: generalizzazioni ed applicazioni A. Renshaw, S. Haberman: uso di fattori di riduzione, approccio GLM M. Denuit ed al.: applicazioni a tavole europee Conclusioni 14 Approccio statico approccio dinamico: uno degli aspetti dell evoluzione demografica dei modelli attuariali per assicurazioni di persone deterministici stocastici basati su tavole di mortalitàbasati su leggi discreti continui ad una causa d uscita a più cause d uscita multistato ipotesi di omogeneità ipotesi di eterogeneità statici dinamici 7

8 Conclusioni Lavoro di ricerca ed applicativo, concernente matematica attuariale calcolo delle probabilità demografia statistica medica Molti risultati alcuni ignorati per decenni risultati in demografia ignorati da attuari e viceversa Molto lavoro da fare in particolare riguardante il rischio di scarti sistematici (rischi di parametro e di modello ) Bibliografia essenziale W. Brass (1974), Mortality models and their uses in demography, Transactions of the Faculty of Actuaries, 33: H. Cramér, H. Wold (1935), Mortality variations in Sweden: a study in graduation and forecasting, Skandinavisk Aktuarietidskrift, 18: D.O. Forfar, D.M. Smith (1988), The changing shape of English Life Tables, Transactions of the Faculty of Actuaries, 40: R. Lee (2000), The Lee-Carter method for forecasting mortality, with various extensions and applications, North American Actuarial Journal, 4 (1):