Esercizio 1. Si consideri un autocommutatore telefonico operante ad attesa. Si assuma che:

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1 ESERCITZIONE

2 Esercizio Si consideri un autocommutatore telefonico operante ad attesa. Si assuma che: a un fascio di giunzioni all uscita dell autocommutatore sia offerto un traffico poissoniano entrante con intensità media di 25 Erl; tale fascio sia composto da 3 giunzioni; la durata di una conversazione telefonica sia distribuita con legge esponenziale negativa e con valore medio di 3 min. Si determini la probabilità che una chiamata venga accodata

3 Modello M/M/m La probabilità di entrare in coda (cioè di subire un ritardo) è data da: Cm, m k k m m k! m m! m m! m C-ERLNG m 3 Il traffico offerto è pari a 25 Erlang m coefficiente di utilizzazione

4 C 3,25.

5 Esercizio 2 Si consideri un multiplatore dinamico caratterizzato da una capacità uguale a C= Mbit/s e da un buffer di dimensione uguale a Q pacchetti. ssumendo che il processo di arrivo dei pacchetti sia di Poisson con rate λ=5 s - la lunghezza dei pacchetti sia una v.a. con distribuzione esponenziale negativa con valor medio pari a L=5 byte si determini la dimensione della coda affinché la percentuale di traffico perso sia inferiore ad un valore α=.

6 Sistema a coda M/M//K µ λ /µ=l/c Q K=Q+ 2 3 K- K P k P k i dove P i i k k i i i

7 Indicando con =λ/µ il traffico offerto, si ricavano le probabilità limite di stato K k k k K K P k ) ( rifiuto S P blocco K rifiuto P P s o P r K k s o P r K P k s o P r s o r K P k s o r K P k P.].. [ ]./.. [ ] [.].. [.].., [.].. / [ K K i i K i K i i i i i k k P dove P P K K

8 K K K S P ) ( 2 ) ( MIN MIN Q Q 2 2 ) ( ) ( ) ( MIN Q pacchetti log ) ( ) ( log 2 2 Q MIN

9 Esercizio 3 Si consideri una porzione di una rete a commutazione di pacchetto. K 5% Nodo Nodo 2 % C 2 La lunghezza media dei pacchetti è distribuita esponenzialmente con valor medio uguale a L bit. l secondo nodo è inviato il 5% del traffico in uscita dal primo nodo. Il % del traffico in uscita dal secondo nodo è indirizzato ad un terminale di utente, provvisto di un buffer di dimensione finita pari a K pacchetti e di una capacità di smaltimento pari a C bit/s. Supponendo che la gestione delle contese nei nodi sia ad attesa senza perdita, si chiede di: ) Determinare il valore del tempo medio di servizio dei due nodi (che assumiamo essere uguale) in modo che il ritardo medio di attraversamento degli stessi sia inferiore a sec. 2) Determinare il valore di K tale che la probabilità di perdita nel terminale sia minore di.

10 Ipotesi indispensabile: processi di servizio statisticamente indipendenti, instradamento casuale e il tempo di servizio v.a. esponenziale Processo di Poisson equivalente con tasso tot = + 2 tot2 =( + 2 )/2 (Teorema di Burke) I due nodi sono modellabili come code M/M / / tot tot tot tot T T T T

11 tot tot tot Risolvendo l equazione troviamo due soluzioni. Sceglieremo quella che fornisce un coefficiente di utilizzazione <. Es. tot =, = T.446 T 2.834s..6s.

12 Per le ipotesi fatte, in ingresso al terminale d utente si ha un processo di Poisson con tasso medio pari a (Teorema di Burke) Per il sistema in esame (coda M/M//K+), la probabilità di perdita è pari a P K+ 2 2 utente o o o o o K o o o o K o o K o K o K o K o o K perdita utente utente o i o K o o i K P P P lg lg,

13 Esercizio 4 Si considerino N sorgenti di traffico dati. Ognuna emette traffico poissoniano con ritmo binario medio pari a bit/s e lunghezza dei pacchetti con distribuzione esponenziale negativa di media L. Il traffico prodotto è inoltrato verso un multiplatore con capacità di smaltimento complessiva pari a C. Si considerino due tecniche di multiplazione, con N* < C: Multiplazione statica: ad ogni utente è assegnato un buffer di dimensione infinita ed una capacità pari a C/N Multiplazione dinamica: tutta la capacità è dinamicamente condivisa tra tutte le sorgenti, che utilizzano un unico buffer di dimensione infinita

14 Lo studente valuti e discuta la prestazioni delle due soluzioni in termini di coefficiente di utilizzazione della capacità C e del tempo medio di sistema T Mux statico C B Mux dinamico C

15 ssunzioni: flussi statisticamente indipendenti Gestione delle code di tipo FIFO - N code M/M/ coefficiente di utilizzazione: tempo medio di sistema: B - coda M/M/ coefficiente di utilizzazione: tempo medio di sistema: NL C C NL T ( ) N C L NL C T N ( )

16 Esercizio 5 Si consideri la rete a pacchetto mostrata in figura. Siano C=6 kbit/s la capacità del ramo tra N e N2, C2=C3=2 Mbit/s le capacità dei rami N- N3 e N3-N2 e C4=6kbit/s la capacità del ramo tra N2 e B. Si assuma che il flusso di pacchetti prodotto dal terminale verso il terminale B sia schematizzabile con un processo di Poisson con frequenza media di 5 pkt/s. I pacchetti abbiano lunghezze distribuite con legge esponenziale negativa di valor medio pari a 2 bit. I pacchetti sono instradati da N in maniera casuale e senza memoria verso N2 con probabilità r,e verso N3 con probabilità -r. Calcolare il valore di r per cui il ritardo medio di trasferimento da a B sia uguale per entrambi i percorsi possibili. N r C N2 C4 B C2 -r C3 N3

17 B r C/L C2/L C4/L (-r) (-r) C3/L r L C r T / ) ( / ) ( r L C r T T ) / 2( ) ( / 2 r L C r L C L L C C r T T T

18 Esercizio 6 Si consideri un server DHCP operante in una sottorete avente netmask Dalla sottorete è possibile accedere ad Internet mediante un solo router separato dal server DHCP. Si determini la probabilità che il server DHCP non possa soddisfare una richiesta di indirizzo IP se il tempo medio di uso dell indirizzo stesso sia uguale a due ore e la frequenza media delle richieste sia uguale a 4 richieste/ora. Si giustifichino le scelte del modello statistico utilizzato

19 Modello M/M/m/m m=2 (6-server + router + broadcast + rete), o =8 Erl Grafico della formula B di Erlang. Il parametro m rappresenta in numero di serventi

20 Esercizio 7 Si desidera determinare il numero di operatori al servizio di un centralino privato per telefonia. Le specifiche di questa determinazione sono: ) nel 5 % dei casi nell ora di punta le chiamate devono accodarsi; 2) il numero medio di chiamate entranti nell ora di punta sia uguale a 5; 3) ciascun operatore impieghi un tempo medio di 36 s per effettuare la connessione che gli viene richiesta. Discutere anche il modello utilizzato per rispondere al quesito.

21 Modello M/M/m m m m! P coda m m k m m k! m! k 5 chiam.39 chiam ora sec 5 Erl m=6

22 Esercizio 8 Due terminali per dati accedono ad una rete di telecomunicazioni per mezzo di una linea condivisa. Si assume che: - i due terminali abbiano sempre informazione da trasmettere ma solo uno per volta possa farlo; - il terminale B passi dallo stato di inattività a quello di trasmissione con frequenza media B ; - quando il terminale B si trova nello stato di trasmissione, un opportuno meccanismo protocollare lo forzi a tornare nello stato di inattività con frequenza media (consentendo così all altro di trasmettere); - indipendentemente da quale dei due terminali sia attivo, allo scopo di gestire i conflitti di accesso alla linea dei terminali, la linea possa entrare in uno stato in cui nessuna informazione utile è trasmessa; si entra in tale stato con frequenza media E, e se ne esce con frequenza media globale uguale a E ; - i tempi di permanenza in tutti gli stati sopra descritti abbiano distribuzione esponenziale negativa. Si chiede: a) determinare la portata media normalizzata del terminale ed il suo tempo medio di attività; b) La relazione che deve intercorrere tra B e affinché ai due terminali sia garantita un uguale possibilità di accesso alla linea.

23 2 3 4 terminale linea on off on off on on off off B B E E E E ) ) P P b P a P P P P P P P P P P P P P B E B E E E B E E B

24 Esercizio 9 Un canale di uscita da un nodo operante a pacchetto ha capacità incognita C. Si ipotizza che: ) a questo canale venga inoltrata una frazione media del flusso di ingresso al nodo; 2) tale flusso sia poissoniano di frequenza media ; 3) la lunghezza dei pacchetti sia distribuita con legge esponenziale negativa e con media L. Si dimensioni la capacità C in modo tale che il 95-esimo percentile del tempo di attesa nel buffer di uscita sia uguale a 84.2 ms. Per questa determinazione si assuma =5 pacchetti/s; =.; L= byte. È richiesta una discussione del modello utilizzato per rispondere al quesito.

25 Modello M/M/ Pr w wr r w r W ln r W

26 Esercizio Una rete a commutazione di pacchetto è costituita da 4 nodi. l primo nodo è offerto un traffico con frequenza media = pacch/s. Il traffico uscente dal nodo viene indirizzato con probabilità r al nodo 2 e con probabilità (-r) al nodo 3. Il traffico uscente da entrambi i nodi 2 e 3 viene indirizzato al nodo 4. l nodo 3 è offerto anche un traffico con frequenza media 3 =4 pacch/s. Si assume che i 4 nodi possano servire mediamente i pacch/s (i=,2,3,4) con =2, 2 =8, 3 =2 e 4 =2 pacch/s. Si chiede di: ) determinare i valori di r tali che il processo di rete sia ergodico; 2) determinare il valore di r tale che il tempo mediamente impiegato per trasferire un pacchetto dal nodo al nodo 4 non cambi sia che esso passi attraverso il nodo 2, sia che esso passi attraverso il nodo 3.

27 Esercizio Da una centrale telefonica si diramano lungo una data direttrice di traffico un insieme di fasci PCM primari. Nell introdurre la segnalazione su canale comune, si dedica un unico circuito a 64 kbit/s al supporto del Canale di Segnalazione (CdS) per la direttrice considerata, mentre tutti i rimanenti circuiti della direttrice sono dedicati allo smaltimento del traffico telefonico. Si supponga che il coefficiente di utilizzazione medio del CdS non possa superare.5, che ogni circuito telefonico offra al CdS un carico medio pari a.2 Erl e che il CdS sia gestito con un criterio di assegnazione a banda media. Quanto vale il numero massimo di fasci PCM che possono comporre la direttrice? Discutere e valutare il beneficio dovuto all introduzione della segnalazione a canale comune in termini di traffico telefonico smaltito dalla direttrice considerata. N.B. Si consideri lo standard Europeo, secondo il quale i circuiti telefonici per ogni fascio PCM sono 3.

28 Esercizio 2 Si consideri una multiplazione con asse dei tempi suddiviso in Intervalli Temporali (IT) e trame. ssumendo che il massimo ritardo di riempimento sia 2 ms e che il ritmo binario naturale di sorgente sia 64 kbit/s, determinare la massima dimensione possibile del carico utile (payload) dell IT. ssumendo che il sub-canale di base ( payload/trama) abbia capacità pari a 52 kbit/s e che il canale multiplato abbia capacità pari a Mbit/s, che per ogni IT vi siano 32 bit di extra-informazione e che 28 ulteriori bit di extra-informazione siano previsti per ogni trama, si determini il numero di IT per trama e l efficienza della trama stessa (=bit utili per trama/bit totali per trama).

29 Esercizio 3 Per fronteggiare i guasti di un insieme di N=4 centrali sono disponibili m=2 squadre di riparatori. I guasti avvengono indipendentemente nelle diverse centrali; in ognuna di esse, i guasti si verificano con legge esponenziale negativa di frequenza media. I tempi di ripristino sono indipendenti tra loro e hanno distribuzione esponenziale negativa con valor medio uguale a /µ. Si chiede di: ) identificare un modello del fenomeno di guasto e ripristino delle centrali; 2) discutere come si modifica il modello di cui in ), se una delle centrali è usata come riserva fredda e diventa attiva non appena una qualunque delle altre tre si guasta. 3) In entrambi i casi precedenti si determini la probabilità stazionaria che il servizio sia totalmente operativo.

30 Esercizio 4 Si consideri un multiplatore il cui canale di uscita abbia capacità di trasferimento uguale a 5 Mbit/s, cui siano offerti tentativi di chiamata da parte di tributari con ritmo binario di picco uguale a Mbit/s e grado di intermittenza 5. Si vogliono confrontare due soluzioni: a) multiplazione statica; b) multiplazione dinamica con asse dei tempi indiviso. Nel caso a) si utilizza un criterio di preassegnazione della capacità a banda di picco. Nel caso b) il criterio di pre-assegnazione della capacità è a banda media, con il vincolo che la portata media normalizzata del canale multiplato non superi.7. Si facciano inoltre le seguenti ipotesi: ) il trattamento dei tentativi di chiamata sia in ogni caso a perdita; 2) l arrivo dei tentativi di chiamata sia poissoniano con frequenza media di 8 ch/min; 3) la durata media delle chiamate sia di 3 s. Calcolare la probabilità di rifiuto che si ottiene nelle soluzioni a) e b).

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33 Esercizio 5 In un nodo a commutazione di pacchetto entra un flusso di pacchetti che è descrivibile mediante un processo di Poisson di frequenza media (pacc/s). Si indichi con il valor medio del tempo di elaborazione di un pacchetto; r i la frazione del flusso entrante nel nodo che è instradata verso l uscita i-esima; L la lunghezza media (in bit) dei pacchetti; C la capacità di trasferimento (in bit/s) di ogni ramo uscente dal nodo. Si supponga che: a) i pacchetti emessi dal nodo siano rivelati errati a destinazione (e sia quindi necessario riemetterli) con probabilità p; b) i tempi di riscontro siano trascurabili rispetto al valor medio del tempo di emissione di un pacchetto; c) nel nodo non si verifichi perdita di pacchetti. Nelle condizioni descritte, si chiede di: ) identificare un modello del nodo in base alle sole ipotesi specificate nel testo e con riferimento alla relazione tra ingresso e uscita i-esima; 2) determinare il coefficiente di utilizzazione del ramo i-esimo. 3) con una opportuna aggiunta di ipotesi al modello ivi identificato, calcolare il tempo medio di attraversamento del nodo da parte di un pacchetto che pervenga a destinazione in modo corretto.

34 Esercizio 6 In un centralino privato sono previsti due posti operatore. Il flusso di chiamate trattato dagli operatori è schematizzabile con un processo di Poisson di frequenza media =2 ch/min; i tempi necessari ad un operatore per trattare una chiamata sono variabili aleatorie i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa e valor medio =3 s. Le chiamate che non possono essere trattate immediatamente sono messe in attesa, fino ad un massimo di 2. Ulteriori chiamate offerte vengono rifiutate (trovano occupato ). Si chiede di: ) identificare un modello markoviano del processo di chiamata sopra descritto; 2) calcolare il valor medio del tempo di attesa di una chiamata.

35 Esercizio 7 Un ufficio è collegato alla rete telefonica pubblica mediante una sola linea. La linea è utilizzata da: un apparecchio telefonico, un fax e un PC; le frequenze medie di presentazione di richieste di connessione individuali sono rispettivamente T, F e P, mentre le frequenze medie di terminazione delle rispettive connessioni sono T, F e P. Considerando solo il traffico uscente, si chiede di: ) identificare un modello della linea, evidenziando le eventuali ipotesi assunte; 2) calcolare la probabilità che una richiesta di servizio offerta dall apparecchio telefonico non possa essere accolta.

36 Esercizio 8 Si consideri il sistema in figura, composto da tre sottosistemi. I sottosistemi e B svolgono le stesse funzioni e possono sostituirsi l uno all altro in caso di guasto di uno dei due, senza interrompere il servizio offerto dal sistema nel suo insieme. Si supponga che: a) le frequenze medie di guasto dei sottosistemi siano rispettivamente, B e C ; b) i processi di guasto dei sottosistemi siano poissoniani e indipendenti l uno dall altro; c) il sistema sia servito da un solo riparatore che opera con tempi di servizio indipendenti tra loro, a distribuzione esponenziale negativa e valore medio uguale a /; d) in caso di guasto della macchina C, il riparatore abbandoni ogni eventuale attività in corso e passi a riparare la macchina C; e) un sottosistema guasto non possa subire altri guasti fino a che non sia di nuovo funzionante. ssumendo = B =, si chiede di: ) identificare un modello markoviano del processo di guasto e ripristino del sistema; 2) determinare l indisponibilità del sistema, definita come frazione media del tempo per cui il sistema è fuori servizio in condizioni di equilibrio statistico. B C

37 Esercizio 9 Si consideri un nodo di commutazione N di una rete a commutazione di circuito, in cui le informazioni di segnalazione siano trasferite con modalità a canale comune secondo il sistema di segnalazione n. 7. Si supponga che i messaggi di segnalazione relativi a due linee di traffico entranti, denominate e 2, siano trasferiti attraverso un determinato ramo R della rete di segnalazione a canale comune uscente dal nodo N. Si assuma che: a) i traffici offerti dalle linee e 2 siano di poisson, indipendenti e con intensità medie = Erl e 2 =87 Erl rispettivamente; b) ogni tentativo di chiamata dia luogo ad un singolo messaggio di segnalazione; c) le lunghezze dei messaggi si possano ritenere variabili aleatorie indipendenti ed equidistribuite con legge esponenziale negativa e valore medio L=28 byte; d) la durata media delle chiamate sia 3 min; e) le contese di utilizzazione dei messaggi di segnalazione siano trattate ad attesa pura. Si chiede di: ) identificare un modello del ramo R utilizzato per il trasferimento dei messaggi di segnalazione originanti dal nodo N e relativi a chiamate delle linee e 2; 2) determinare la minima capacità di trasferimento del ramo R richiesta affinché il 99% dei messaggi di segnalazione subisca un ritardo minore di 75 ms all interno del nodo N.

38 Per il sistema a coda M/M/ r s Pr s r s r T ln r / T w

39 Esercizio 2 Una rete a pacchetto è composta da tre nodi, collegati a due a due con rami bidirezionali, tutti di capacità C bit/s. Nel nodo i- esimo (i =,2,3) pervengono dall'esterno pacchetti con arrivi poissoniani e indirizzamento casuale, in accordo alla seguente matrice dei traffici di relazione (pacch./s): I pacchetti hanno lunghezza distribuita con legge esponenziale negativa e valore medio bit. La regola di instradamento sceglie il cammino diretto. Si chiede di: ) identificare un possibile modello della rete atto a studiarne i fenomeni di traffico; 2) determinare il valore minimo di C tale da garantire nella rete un regime di equilibrio statistico.

40 Esercizio 2 Un centralino privato comprende un posto operatore e apparecchi telefonici derivati. ll operatore arrivano mediamente 8 chiamate nell ora di punta secondo un processo di arrivi poissoniano. Il trattamento di una chiamata da parte dell operatore richiede un tempo con distribuzione esponenziale negativa e valore medio uguale a. Le contese sono sempre risolte ad attesa. Il 9% delle chiamate sono inoltrate a uno dei derivati, in modo equiprobabile. La durata di una chiamata diretta verso un derivato ha distribuzione esponenziale negativa e valore medio 8 s. Si chiede di: ) determinare il valore di in modo che il tempo di attesa medio per avere risposta dall operatore sia 3 s. 2) calcolare l intensità media del traffico offerto ad ogni derivato nell ora di punta.

41 Esercizio 22 Un sistema di comunicazione di dati comprende N DTE (terminali operanti a pacchetto). Ognuno di questi accede a una WN. L accesso alla WN avviene attraverso un nodo (NP) a cui sono connessi i terminali suddetti. Si assuma che: a) il rilegamento tra ogni DTE e l'np sia attuato con una linea individuale di capacità C bit/s; b) i DTE generino pacchetti di lunghezza distribuita con legge esponenziale negativa e con valor medio uguale a L; c) la generazione dei pacchetti nei DTE avvenga secondo un processo di Poisson di parametro. Si desidera analizzare la parte del sistema relativa all accesso alla WN. questo scopo si suppone ulteriormente che: d) una frazione media r dei pacchetti generati da ciascun DTE è indirizzata verso l'np; e) ogni DTE dispone di spazio di memorizzazione sufficiente per contenere i pacchetti in attesa di essere inoltrati all'np; f) l'np dispone di un buffer di dimensioni sufficientemente elevate da evitare fenomeni di trabocco; g) i canali uscenti dall'np verso la WN sono m ad accessibilità completa e ciascuno ha capacità eguale a F bit/s. Si chiede di: ) individuare un modello rappresentativo della parte di sistema descritta; 2) determinare il valore minimo di m compatibile con la condizione di equilibrio statistico del modello di cui in ); a tale scopo si assumano N=2, =2 pacch/s, r=.5, L=5 bytes, F=28.8 kbit/s.

42 Esercizio 23 Si consideri una relazione di traffico (,B) di una rete a circuito. Si suppone che la relazione (,B) abbia a disposizione tre possibili instradamenti alternativi. L instradamento x è costituito dalla sequenza di mx rami di rete (x=,2,3). Ogni ramo dispone di 3 giunzioni dedicate in modo esclusivo alla relazione (,B). Il traffico offerto dalla relazione è originato da 6 utenti ed ha intensità media complessiva pari a 6 Erl. ssumendo che i nodi di rete siano non bloccanti, si chiede di: ) esplicitare eventuali ipotesi necessarie alla derivazione di un modello markoviano del fenomeno di congestione della relazione; 2) valutare la probabilità di congestione di chiamata della relazione (,B).

43 Grafico della formula B di Erlang. Il parametro m rappresenta in numero di serventi

44 Esercizio 24 Nella rete in figura, i nodi, 2, B e B2 hanno tempi di buon funzionamento (MUT) distribuiti con legge esponenziale negativa con valore medio T=3 giorni. Il tempo di riparazione ha anch esso distribuzione esponenziale negativa con valore medio = giorno. E disponibile una squadra di riparatori per i nodi e 2 e un altra squadra per i nodi B e B2. Supponendo i rami della rete ideali (non soggetti a guasti), si chiede di: ) identificare un modello markoviano del processo di guasto e ripristino della rete; 2) calcolare l indisponibilità del collegamento tra i terminali T e TB. B T TB 2 B2

45 Esercizio 25 Un multiplatore a pacchetto ha una capacità di trasferimento uguale a C. Per alleviare la congestione e ridurre i ritardi di trasferimento, quando il numero dei pacchetti memorizzati nel multiplatore in attesa di essere emessi supera S, si attiva instantaneamente il modo di emissione veloce, che consiste nel trasmettere solo metà di ciascun pacchetto. Tale modalità veloce è abbandonata, ritornando ad emettere i pacchetti per intero, non appena il numero di quelli in attesa diviene inferiore o uguale a S. Si suppone che: a) i pacchetti arrivino al multiplatore secondo un processo di Poisson di parametro ; b) le loro lunghezze (intere) siano variabili aleatorie con distribuzione esponenziale negativa e valore medio L bit; c) la memoria del multiplatore sia infinita. Si chiede di ) identificare un modello markoviano del multiplatore descritto, specificandone il diagramma a stati; 2) calcolare la frazione media di bit scartati dal multiplatore in accordo all algoritmo sopra descritto.

46 Esercizio 26 Con riferimento ad un modo di trasferimento che offra un servizio con connessione e che adotti uno schema di multiplazione con suddivisione dell asse dei tempi in intervalli temporali organizzati in trame, si consideri un flusso di chiamate offerte con frequenza media = chiamate/min. Siano e B rispettivamente la durata media di una chiamata e la capacità di trasferimento da essa richiesta. Le chiamate possono essere di tre tipi, con le seguenti caratteristiche: a) =2 s; b) = min; c) =5 min. La probabilità che una generica chiamata appartenga a uno dei tre tipi è.5,.4 e. rispettivamente. Si chiede di: ) calcolare il valore medio del traffico offerto dal flusso considerato assumendo che B= sub-canale di base; 2) ripetere il punto ), nell ipotesi ulteriore che il parametro B assuma valori diversi per i diversi tipi di chiamata; si supponga infatti che per le chiamate a), b) e c) richiedano rispettivamente B= sub-canale di base, B=2 sub-canali di base, B= subcanali di base.

47 Esercizio 27 Si consideri un fornitore di servizi Internet (ISP) cui sia possibile accedere mediante rete telefonica attraverso un fascio di m giunzioni. La durata media delle connessioni di accesso all ISP è 8 min e il numero medio dei tentativi di chiamata nell ora di punta è 9. Nell ambito di ogni connessione sono trasferiti pacchetti IP di lunghezza media 28 byte il cui processo di arrivo può essere schematizzato secondo un processo di Poisson di frequenza media pacchetti/s. Si chiede di: ) specificare in base a quale valore di traffico offerto si può dimensionare m; 2) calcolare il numero medio di bit/s che sono offerti all ISP, se il grado di perdita del fascio di giunzioni è.2.

48 Esercizio 28 Un multiplatore dinamico riceve pacchetti offerti secondo un processo di Poisson con frequenza media. I pacchetti hanno lunghezze indipendenti tra loro, distribuite con legge esponenziale negativa e valore medio L bit. La capacità di trasferimento del canale multiplato è C bit/s. In un generico istante al multiplatore arriva un pacchetto di lunghezza D ad alta priorità, nel senso che esso scavalca tutta l eventuale fila di pacchetti in attesa di emissione nel multiplatore, ma non interrompe l emissione di un pacchetto, se questa è in corso. Si chiede di ) identificare un modello del multiplatore, specificandone i limiti di applicabilità; 2) calcolare il ritardo medio di attraversamento del multiplatore da parte del pacchetto ad alta priorità.

49 Esercizio 29 Un nodo di una rete a pacchetto è connesso ad un altro nodo B da due rami, e 2, di capacità C e C2 pacchetti/s rispettivamente (C>C2). lla relazione di traffico -B è offerto un flusso di pacchetti rappresentabile con un processo di Poisson di parametro (<C2). Si assume che: a) le lunghezze dei pacchetti sono aleatorie con distribuzione esponenziale negativa; b) si possono trascurare i ritardi dovuti ad elaborazione dei pacchetti nei nodi e di propagazione sui rami; c) i pacchetti inviati da a B siano instradati con probabilità sul ramo e con probabilità sul ramo 2; d) l instradamento sia senza memoria. Si chiede di: ) individuare un modello per la valutazione dei ritardi di trasferimento dei pacchetti da a B e discuterne i limiti di applicabilità; 2) scegliere il valore ottimo di con il criterio di minimizzare il valore medio del tempo di trasferimento da a B.

50 Esercizio 3 Una sorgente vocale è codificata secondo uno schema (ad es. DPCM) con rivelazione delle pause. Il flusso binario risultante presenta quindi alternanza di tratti attivi e di tratti inattivi (silenzi). I tratti attivi hanno ritmo binario uguale a 32 kbit/s e durate medie TON= s mentre i silenzi hanno ritmo binario nullo e durate medie TOFF=.66 s. Si chiede di calcolare: ) il coefficiente di attività e il ritmo binario medio della sorgente codificata; 2) la probabilità che il ritmo binario risultante dalla multiplazione di 6 sorgenti come quella descritta superi il valore 28 kbit/s, con l ipotesi che le sorgenti siano indipendenti tra loro.

51 Esercizio 3 In una rete a circuito, la relazione di traffico dal nodo al nodo B è instradata su due vie alternative: quella diretta da a B e una via indiretta che arriva da a B transitando per un nodo intermedio C. Ciascun nodo è soggetto indipendentemente a un processo di guasto, con tempi di buon funzionamento esponenziali negativi di valore medio MUT. Esiste un unica squadra di intervento per riparazioni, che ripristina il buon funzionamento del nodo con tempi a distribuzione esponenziale negativa e valore medio /µ. In caso di guasti multipli, la squadra di intervento privilegia sempre uno dei nodi o B. Si chiede di: ) identificare un modello per la descrizione dello stato di connettività della relazione di traffico -B; 2) esprimere in funzione delle probabilità limite di stato del modello individuato in ) l indisponibilità della relazione -B, ovvero la frazione media di tempo per cui la relazione stessa non è connessa.

52 Esercizio 32 Una rete a pacchetto con N nodi è dimensionata in modo tale che i buffer a monte di ogni ramo uscente dal nodo contengano in media P=5 pacchetti. Ogni nodo è connesso con un ramo ad una frazione =. dei nodi della rete, con il vincolo di non superare un numero massimo di M=64 rami di uscita. d ogni nodo sono offerti in media = pacchetti al secondo dall esterno della rete. Si può supporre che tutti i pacchetti siano consegnati a destinazione. Si chiede di: ) calcolare il ritardo medio di attraversamento della rete per N= nodi; 2) tracciare l andamento del ritardo medio di attraversamento della rete in funzione di N;

53 Esercizio 33 Si consideri un core router Intserv che riceve, mediante il protocollo RSVP, delle richieste di allocazione di connessioni per servizi VoIP. Si assuma che ogni flusso necessiti di una quantità nulla di memoria e di una quantità di banda pari a 32 kbit/s. Si assuma che ogni porta sia full-duplex con una banda disponibile per il servizio pari a 7 kbit/sec. Si consideri che il numero medio di richieste di connessione pervenute da ogni porta nell ora di punta sia pari a 3, e che mediamente le chiamate si distribuiscono in modo uniforme sulle porte di uscita. Le durate di conversazione siano distribuite con legge esponenziale negativa e con valor medio pari a 3 min. Si calcoli: - il numero massimo di chiamate in ingresso allocabili in ogni porta del router; - la probabilità media di rifiuto nell ora di punta. Si giustifichino le scelte del modello statistico utilizzato

54 Grafico della formula B di Erlang. Il parametro m rappresenta in numero di serventi

55 Esercizio 34 In uno switch MPLS di tipo LER, l instradamento da una porta che connette lo switch con un dominio esterno verso una delle possibili LSP avviene secondo un meccanismo schematizzabile come privo di memoria e casuale. Sia r i la probabilità che un pacchetto sia indirizzato verso l LSP i, i=,,n. I pacchetti arrivano all LER secondo un processo di Poisson di parametro e hanno lunghezze variabili con distribuzione esponenziale negativa di valore medio L. Si chiede di: - descrivere un modello dell LER in questione; - chiarire quale relazione deve sussistere tra i parametri significativi del modello descritto al punto precedente affinché il numero medio di pacchetti all interno dell LER si mantenga finito; - determinare una relazione per calcolare la capacità di trasferimento da assegnare a ciascuna LSP affinché i tempi medi di attraversamento dell LER siano uguali per ciascuna di queste.

56 Esercizio 35 Si consideri un architettura di servizio per applicazioni multimediali costituita da tre server, come mostrato in figura: Server html DB 2 DB2 3 L erogazione del servizio avviene contattando il server html, che a sua volta potrà consultare i due DB secondo le probabilità indicate in figura. Si determini il tempo medio di erogazione del servizio nell ipotesi che il processo degli arrivi al server html sia di Poisson con tasso medio, tempo di trattamento delle richieste mutuamente indipendente e distribuito secondo un esponenziale negativo, e instradamento casuale e senza memoria.

57 Esercizio 36 Si consideri un server in rete che distribuisce su richiesta, mediante un applicazione dedicata, e ad un numero imprecisato di utenti, informazioni sulla posizione dei ristoranti in una città. Si assuma che quando un utente effettua una richiesta, questa debba contenere anche l indicazione della via cittadina nella quale l utente si trova, e che il server risponda indicando un ristorante nelle vicinanze. Si assuma che: gli utenti siano soddisfatti dell indicazione ricevuta con probabilità p=,8; gli utenti non soddisfatti generano immediatamente un altra richiesta nell ora di punta giungano al server mediamente 24 richieste distribuite uniformemente in tale intervallo temporale; il server elabori una sola richiesta alla volta il tempo di elaborazione di una richiesta da parte del server sia aleatorio, senza memoria, con media uguale a,2 secondi. Si consideri trascurabile la probabilità che una richiesta non sia accettata Si chiede di calcolare la probabilità che il server sia occupato ed il tempo medio di attesa di una richiesta nel server stesso. Si giustifichino le scelte del modello statistico utilizzato

58 Esercizio 37 L amministratore di una rete IP offre il servizio di telefonia su IP (VoIP) e adotta una politica di gestione del traffico end-to-end (da un nodo di ingresso a un nodo di uscita B) basata sul meccanismo MPLS. Gli LSP sono gestiti dinamicamente in funzione della domanda di servizio e ciascun LSP ha una capacità massima di 28 Kbps. ssumendo che il tasso di arrivo delle chiamate è pari a λ=.3 s -, la durata delle chiamate è distribuita esponenzialmente con valor medio pari a /µ= s., e la banda consumata da ciascuna chiamata è pari a 32 Kbps la quantità di risorse disponibili dal nodo al nodo B è pari a.9 Mbps si determini il numero medio di LSP attivi in condizioni di equilibrio

59 Sistema a coda M/M/m/m 9 m Il numero medio di chiamate in rete è pari a N ( Pm ) Probabilità di rifiuto No Legge di Little!! P m m o m! m j o j j! FORMUL B DI ERLNG

60 m=28 =λ/µ=3 Erl P m.5 Probabilità di rifiuto o =5.6 o = o =3.2 o = o = o = Numero di serventi m N 3(.5) 25.5

61 Un LSP può trasportare un numero massimo di chiamate pari a 28/32=4. Il numero di LSP attivi a regime è pari a K N 4 7

62 Esercizio 38 Un operatore di telefonia gestisce un numero N max di linee telefoniche e assume una politica di tariffazione dinamica nel tempo. In particolare il costo di una chiamata Q è funzione della domanda di servizio e cresce linearmente a partire da.8 Euro/s., quando il sistema è vuoto, fino a.8 Euro/s., quando il sistema è pieno. ssumendo che: il prezzo che un utente è disponibile a pagare per il servizio sia una v.a. (U) distribuita uniformemente tra. Euro/s. e. Euro/s. il tasso di arrivo delle chiamate sia costante e pari a λ=.5 s -. la durata delle chiamate sia una v.a. distribuita esponenzialmente con valor medio pari a /µ=2 min. N max =5 si determinino: () la probabilità che il servizio non venga fornito a causa di un prezzo troppo elevato (2) la probabilità che il servizio non venga fornito perché il sistema è occupato (3) Il numero medio di chiamate nel sistema

63 U: massimo prezzo accettato : tasso di smaltimento delle chiamate : tasso di arrivo delle chiamate Il prezzo del servizio è accettato? Coda con arrivi scoraggiati Prezzo funzione del numero N(t) di chiamate nel sistema P k P k i dove P i i k k i i i

64 i Q U i i du u P g ) ( u P U (u). /.9. i Q U i du u P g ) ( 5 i.8 4 i.96 3 i.74 2 i.52 i.3 i i Q i 5 i 4 i.4 3 i.28 2 i.53 i.77 i g i Costo della chiamata al secondo 5 i 4 i.2 3 i.4 2 i.265 i.385 i.5 i

65 La probabilità che una chiamata non venga soddisfatta perché il sistema è occupato è nulla; Q 5 è infatti maggiore del massimo prezzo che un utente è disposto a pagare (e quindi la P[ r.s.o./i=5]= e non ci sono perdite nel sistema a coda) bbiamo tutte le informazioni necessarie per caratterizzare il sistema a regime Le probabilità di stato risultano pari a P.24 P.43 P 2.33 P 3.35 P 4.46 P 5.7

66 Esercizio 39 Si consideri un condominio con N utenti. Si assuma che il terminale di ciascun utente emetta traffico poissoniano con ritmo binario medio pari a F m bit/s e lunghezza dei pacchetti con distribuzione esponenziale negativa di media L Si considerino le seguenti soluzioni alternative: Ogni utente sottoscriva un abbonamento DSL con capacità in uplink pari a C>F m e buffer infinito Il traffico di ogni utente sia convogliato verso un unico modem DSL (ad esempio tramite collegamenti ethernet diretti verso il modem) con capacità pari a N*C e buffer infinito Si valuti e discutano la prestazioni delle due soluzioni in termini di efficienza di utilizzazione della capacità complessiva del sistema e del tempo medio di attraversamento del sistema T

67 Esercizio 4 Si consideri uno schema di multiplazione ibrida su un canale di 2 Mb/s. In tale schema è previsto che parte della capacità sia organizzata in canali fisici preassegnati individualmente con contese risolte a perdita in senso stretto parte della capacità sia gestita a domanda con contese di utilizzazione risolte ad attesa pura. Si assuma che le chiamate gestite con pre-assegnazione individuale siano caratterizzate da un ritmo binario costante di P=5 Kb/s. Le richieste di nuove chiamate siano caratterizzabili con un processo di Poisson di intesità media di traffico offerto pari ad o = erl; il traffico gestito con modalità a domanda sia costituito da un flusso di unità informative (UI) descrivibile come un processo di Poisson di frequenza media e con lunghezza delle UI distribuita con legge esponenziale negativa di valor medio L=64 byte.

68 Si chiede di individuare il valore di capacità C da dedicare alla multiplazione statica imponendo il vincolo che la probabilità di rifiuto p sia inferiore al 5%; calcolare il valore massimo dell intensità di traffico che può essere smaltito dalla porzione di canale C2=C-C gestita dinamicamente, con un ritardo medio di attesa non superiore a 2 ms; calcolare l utilizzazione media complessiva della linea multiplata risultante dal dimensionamento effettuato ai punti precedenti.

69 Esercizio 4 Sia dato un multiplatore a pacchetto con una linea d uscita di capacità C (Mb/s) in cui le contese di utilizzazione sono risolte a ritardo in senso stretto (buffer infinito). Il multiplatore è caricato dal traffico generato da sorgenti di tipo on-off. Durante i periodi on, la sorgente emette pacchetti di lunghezza costante pari a 52 byte, con tempo medio di interarrivo di 4.96 ms. Durante i periodi off, la sorgente è in silenzio. La durata media dei periodi on è T on =.5 s, mentre la durata media dei periodi off è T off =.5 s. Si chiede: di valutare il valore della capacità C che garantisce un coefficiente di utilizzazione del multiplatore pari a.8; utilizzando il valore di capacità calcolato al punto sopra, si misura un numero medio di pacchetti all interno del multiplatore pari a 25. Quanto vale il tempo medio di permanenza nel sistema T (tempo di attesa + tempo di servizio) di un pacchetto all interno del multiplatore?

70 Esercizio 42 Sia dato un collegamento satellitare per traffico telefonico tra una postazione mobile a bordo di un treno ed una stazione fissa di terra, in cui il satellite fa da puro ripetitore La postazione mobile serve una popolazione di utenti sufficientemente grande da considerarsi infinita. Il traffico telefonico offerto da tale popolazione è pari a 4 erl. La capacità del collegamento satellitare è pari a C=92 Kb/s. La capacità di picco della singola comunicazione telefonica è pari a 32 Kb/s, mentre la sua banda media è pari a F m =6 Kb/s. Si considerino due soluzioni per il modo di trasferimento: a circuito e a pacchetto. Nel primo caso, si assuma una TDM statica senza perdita di bit. Nel secondo caso, si assuma che la stazione mobile utilizzi un pacchettizzatore vocale che invia i pacchetti prodotti alla coda (infinita) del trasmettitore. Il processo di arrivo dei pacchetti a tale coda è Poissoniano, e la lunghezza media dei pacchetti è distribuita in modo esponenziale negativo con valore medio pari a L=8 byte. Il criterio di accettazione chiamata impone che il ritardo massimo (tempo di coda + tempo di trasmissione) sia al massimo 8 ms.

71 Trascurando qualsiasi informazione di controllo aggiuntiva, si determinino le probabilità di blocco di chiamata per la soluzione a circuito ( p,c ) e per la soluzione a pacchetto ( p,p ).

72 Esercizio 43 Una rete a pacchetto viene utilizzata per il trasporto di: sorgenti video, ognuna caratterizzata da un ritmo di picco Pv= Mb/s e attività v =.3; sorgenti dati, ognuna caratterizzata da un ritmo di picco Pd= Kb/s e attività d =.6. Si assuma che per entrambi i tipi di sorgenti il processo di generazione delle unità informative sia Poissoniano, con lunghezza dei pacchetti con distribuzione esponenziale negativa con valore medio pari a bit. La capacità dei rami sia di 5 Mb/s ed implementi un meccanismo per il controllo di ammissione delle sessioni video/dati. Il vincolo è che il massimo ritardo di trasferimento per il traffico video sia pari a.2 ms. Si assuma che i nodi della rete abbiano un buffer infinito.

73 Si chiede di individuare il massimo coefficiente di utilizzazione dei rami della rete per cui il vincolo sul ritardo sia rispettato; il numero massimo di sorgenti che il sistema riesce a servire, rispettando il vincolo sul ritardo e con il vincolo aggiuntivo che il rapporto tra il numero delle sorgenti video e quello delle sorgenti dati sia pari a..