CENTRO DI MASSA. il punto geometrico le cui coordinate, in un dato sistema di riferimento, sono date da:

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2 CENTRO DI MASSA il punto geometrico le cui coordinate, in un dato sistema di riferimento, sono date da: dove M = m 1 + m m N è la massa totale del sistema e le quantità r i sono i raggi vettori dei punti materiali rispetto al sistema di riferimento usato.

3 CENTRO DI MASSA

4 MOTO DI UN CORPO RIGIDO Sfruttando l ipotesi di rigidità, possiamo studiare il moto di un corpo rigido come il moto di un sistema di riferimento ad esso solidale. x 0 S 0 y 0 z 1 z 0 x 1 P y 1 S 1

5 TRASLAZIONE Il caso unidimensionale (traslazione dei sistemi di riferimento e moto dei corpi nella stessa direzione) Il caso BIdimensionale (traslazione dei sistemi di riferimento e moto dei corpi nel piano) Il caso TRIdimensionale (traslazione dei sistemi di riferimento e moto dei corpi nello spazio)

6 TRASLAZIONE UNIDIMENSIONALE

7 TRASLAZIONE UNIDIMENSIONALE Mara e Carlo stanno viaggiando nello stesso pullman. Mara vede Carlo fermo rispetto a se stessa e rispetto al pullman e lo stesso è per Carlo.

8 TRASLAZIONE UNIDIMENSIONALE Mara e Carlo stanno viaggiando nello stesso pullman. Mara vede Carlo fermo rispetto a se stessa e rispetto al pullman e lo stesso è per Carlo. Un osservatore che vede passare il pullman attribuisce a Mara e Carlo la stessa velocità del pullman (50 km/h)

9 Mara lancia ora a Carlo un dolce a 15 km/h. Un osservatrice che cammina in bicicletta nella stessa direzione del pullman a 10 km/h dirà che Mara e Carlo hanno una velocità pari a 50-10=40 km/h mentre il dolce ha la velocità di =55 km/h

10 Poiché tutto avviene in un unica direzione le grandezze in gioco possono essere trattate come grandezze scalari. Se si indica con x a la posizione del corpo in movimento (biscottino, Mara o Carlo) rispetto ad un sistema di riferimento fisso (detto anche assoluto), con x r la stessa posizione ma rispetto al sistema di riferimento in moto, cioè solidale con il pullman, (detto sistema relativo) e con x o la posizione del sistema relativo rispetto a quello assoluto si ha: x o UNIDIMENSIONALE x a x r x a v a x r = + derivando = + v r x o v o Derivando ancora a a a r = + a o

11 a a a r = + a o Si osservi che l accelerazione osservata nel sistema di riferimento relativo è diversa da quella osservata nel sistema assoluto. Si può infatti ricavare facilmente a r - a o = + a a Nei due sistemi di riferimento si osserveranno variazioni diverse della velocità. Da tutto ciò nascono le così dette forze fittizie.

12 SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO Per conoscere come un articolazione si e mossa da un punto P1 espresso nel sistema di riferimento S1 verso un punto P2, espresso nel sistema di riferimento S2, e necessario poter relazionare matematicamente i punti del sistema di riferimentos1 con quelli di S2.

13 SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO

14 ASSI CARTESIANI

15 SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO P P S 0 S1

16 ROTAZIONI Si consideri un corpo rigido O: questi e completamente descritto in termini di posizione ed orientamento rispetto ad una generica terna di riferimento S 1 (x 1 y 1 z 1 ), ove i 1, j 1 e k 1 sono i versori degli assi della terna. Per O passa anche il sistema di riferimento S 0 (x 0 y 0 z 0 ) di versori {i 0 ; j 0 ; k 0 }. Si vogliono relazionare le coordinate del punto p1, espresso in S1, con le coordinate dello stesso punto espresso nel sistema S 0

17 ROTAZIONI p 0 = p 0x i 0 + p 0y j 0 + p 0z k 0 p1 = p 1x i 1 + p 1y j 1 + p 1z k 1 (A) (B)

18 ROTAZIONI Siccome p 0 e p 1 sono rappresentazioni dello stesso vettore, p 0x = p 0 i 0 = p 1 i 0 (C) Sostituendo la (B) in (C) si ottiene: p 0x = p 1x i 1 i 0 + p 1y j 1 i 0 + p 1z k 1 i 0 e analogamente... p 0y = p 1x i 1 j 0 + p 1y j 1 j 0 + p 1z k 1 j 0 p 0z = p 1x i 1 k 0 + p 1y j 1 k 0 + p 1z k 1 k 0

19 QUI ARRIVA IL BELLO

20 REGOLA DELLA MANO DESTRA Serve, sostanzialmente, per stabilire il segno dell' angolo in base al quale e effettuata la rotazione.

21 ROTAZIONE INTORNO AD UN ASSE

22 ROTAZIONI SUGLI ALTRI ASSI

23 SIGNIFICATO GEOMETRICO Fornisce l orientamento di una terna di coordinate rispetto ad un altra. I vettori colonna sono i coseni direttori degli assi della terna ruotata rispetto alla terna di riferimento. Rappresenta una trasformazione di coordinate che mette in relazione le coordinate di un punto in due terne differenti con origine comune p = Rp. Inoltre in virtù della proprietà di ortogonalità della matrice R, la trasformazione inversa si scrive p = R T p La matrice di rotazione R rappresenta l operatore che permette di ruotare un vettore (nella stessa terna), di un angolo prefissato, attorno ad un generico asse di rotazione nello spazio.

24 Rotazioni successive rispetto alla terna corrente Siano O xyz, O x y z e O x y z tre terne, che per il momento supponiamo coincidenti. Ruotiamo contemporaneamente i due sistemi O x y z e O x y z dell angolo. La matrice di rotazione che esprime questa rotazione sarà: cos( ) sen( ) 0 R 1 sen( ') cos( ) Ruotiamo adesso il sistema O x y z dell angolo, rispetto alla terna corrente O -x y z. La rotazione del sistema O x y z rispetto alla terna O x y z si esprime con la relazione: cos( ) sen( ) 1 R 2 sen( ) cos( )

25 ROTAZIONI SUCCESSIVE La rotazione complessiva è espressa come successione di rotazioni parziali, ciascuna delle quali è definita rispetto alla rotazione precedente. La terna rispetto alla quale avviene la rotazione in atto è definita terna corrente. In conclusione, la composizione di rotazioni successive rispetto alla terna corrente si ottiene per moltiplicazione da sinistra verso destra le matrici delle singole rotazioni, nell ordine della rotazione.

26 COMPOSIZIONE DI ROTAZIONI

27 ORDINE DELLE ROTAZIONI La composizione di rotazioni successive rispetto alla terna corrente si ottiene per moltiplicazione da sinistra verso destra le matrici delle singole rotazioni, nell ordine della rotazione.

28 IN FORMA MATRICIALE

29 TRASLAZIONE

30 ROTO-TRASLAZIONE