Laboratorio di trattamento numerico dei dati sperimentali

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1 Laboratorio di trattamento numerico dei dati sperimentali Maurizio Tomasi turno A Giovedì 14 Novembre 017

2 Avvertenza sulle slide Al termine di ogni lezione di solito rivedo le slide per inserire chiarimenti alla luce dei problemi emersi durante la lezione. Se siete soliti salvare queste slide in una vostra cartella, ricordatevi di aggiornarle ogni tanto o comunque almeno una volta prima di preparare l'esame.

3 Suggerimenti per lo svolgimento di esercizi

4 Esercizio 9.0: metodo della media Il metodo della media per il calcolo di u è un numero casuale uniforme su [a, b], allora i a b g(x) sfrutta il fatto che se lim n b a n n i=1 g(u ) = i b a g(x) dx.

5 Esercizio 9.0: metodo hit or miss Il metodo hit or miss vale se g(x) > 0 x [a, b]. Consiste nell'estrarre una serie di coppie di numeri casuali (x i, y i) uniformi nell'intervallo [0, a] [0, M], con M = sup f(g); l'area è data da b a g(x) dx (b a) M, n se n è il numero di coppie per cui vale y < g(x ), e n il numero di coppie totali. Nota: si capisce il funzionamento del metodo se si suppone g(x) = M e si nota che (b a) M è l'area del rettangolo delimitato da g(x). n hit x [a,b] hit i i

6 Esempio 100 punti

7 Potete creare un plot simile al precedente usando Python: import matplotlib.pylab as plt import numpy as np # Generate the data rand_x = np.sort(np.random.uniform(0, np.pi, size=100)) rand_y = np.random.uniform(0, 1, size=rand_x.size) mask = rand_y < np.sin(rand_x) # Create the plot x = np.linspace(0.0, np.pi, 100) plt.plot(x, np.sin(x), ' ', label='$g(x)$') plt.scatter(rand_x[mask], rand_y[mask], color='blue', label='hits') plt.scatter(rand_x[~mask], rand_y[~mask], color='red', label='misses') plt.legend() plt.show()

8 Esercizio 9.0 Per svolgere l'esercizio, potete creare una classe che calcoli l'integrale secondo i dettagli forniti nel testo dell'esercizio, oppure definire semplicemente una funzione: double integrate_mean(double fn(double), double a, double b, int n) { // Implement the calculation here } Nel caso del metodo hit or miss, la funzione dovrà accettare come parametro anche il valore di M che non è necessario sia esattamente il sup, qualsiasi valore non inferiore ad esso va bene.

9 Esercizio 9.1 L'esercizio richiede di studiare l'errore nel calcolo dell'integrale π 0 sin x dx =, quindi conviene definire un paio di costanti all'inizio del programma: const double pi = ; const double exact_value =.0; esiste la costante M_PI che contiene il valore di π, ma non è una soluzione portabile perché funziona solo con alcune versioni del GCC.

10 Esercizio 9.1 Per svolgere l'esercizio, dovete implementare un ciclo for doppio: for(outer = 100; outer <= 10000; outer += 100) { // Calculate the same integral 1000 times double sum = 0.0; double squared_sum = 0.0; for(inner = 0; inner < 1000; inner++) { // We are interested in the error only double cur_val = fabs(integrate(..., outer) exact_value); sum += cur_val; squared_sum += std::pow(cur_val,.0); } } // Print the RMS of the errors std::cout << outer << " " << squared_sum / outer std::pow(sum / outer, ) << "\n";

11 Esercizio 9.1 Il programma richiede di fare molti calcoli. Vi consiglio di scrivere il codice seguendo questi passaggi: 1. Limitatevi a far variare outer tra 100 e 1000, in modo da avere pochi step;. Una volta verificato il funzionamento corretto del programma, usate il flag O nella compilazione: CXXFLAGS = g O # In the Makefile 3. Solo a questo punto cambiate il ciclo for in modo che outer arrivi fino al valore richiesto e ricompilate tutto da capo cancellate i file *.o.

12 Esercizio 9.1 Se l'errore ε segue la legge ε = KN, allora vuol dire che, ponendo x = log N e y = log ε, si ottiene ε log ε log ε y Quindi su scala bilogaritmica la legge ε = KN è una retta con intercetta log K e pendenza α. α = KN α = log( KN α ) = log K + α log N = log K + αx. α

13 Esercizio 9.1 Avvertenza importante: in questo esercizio e nei successivi si userà talvolta la relazione σ = x x. In programmi veri questa relazione è da evitare in modo assoluto, perché è numericamente molto instabile. Usatela solo se suggerito dall'esercizio come in questo caso. Considerate infatti il caso in cui x = 10 + ϵ, con ϵ 1: >> import numpy as np >> x = 1e9 + np.random.normal(0.0, 0.001, size=10000) >> print(np.mean(x**) np.mean(x)**, "\t", np.std(x)) i 9 i i

14 Esercizio 9.3 Il testo ha un errore di battitura: Ripetere l'esercizio 9., calcolando però il potenziale

15 Esercizio 9.4 Il programma richiede di simulare l'esperimento di Cauchy. Scala graduata angolare 60 Cannocchiale Collimatore Fascio non deflesso (θ 0 ) Sorgente luminosa

16 Formule 1/3 Siccome le formule sul sito potrebbero non essere leggibili, le riporto ingrandite in queste slide. La formula di Cauchy è la seguente: B n(λ) = A +, λ L'indice di rifrazione si calcola a partire dalle misure degli angoli di deviazione minima: δ (λ ) m 1 δ (λ ) m = θ (λ ) θ, m 1 0 = θ (λ ) θ. m 0

17 Formule /3 L'indice di rifrazione si stima con la formula δ m(λ)+α sin n(λ) =. sin α

18 Formule 3/3 I parametri A e B possono essere stimati dalle formule seguenti: A B λ n (λ ) λ 1 n (λ ) =, λ λ 1 n (λ ) n (λ 1) = 1 1 = λ λ 1 n (λ ) n (λ 1) = λ1λ. λ λ 1

19 Avvertenza Nelle formule compare l'espressione λ λ, che può creare problemi numerici in quei casi in cui λ1 λ λ 1. Non è questo il caso. Supponiamo che λ = λ (1 + ε), con ε 1. L'espressione diventa 1 Se ad esempio λ = 10 e λ = λ ( ), allora λ λ1 = λ 1(1 + ε) λ 1 = = λ1ε( + ε) 1 1 λ λ = ( + 10 )

20 Avvertenza Se facciamo un esperimento con Python che usa numeri floating point a 64 bit esattamente come il tipo double del C++, vediamo che c'è un problema: >>> x = 1e1 >>> eps = 1e 9 >>> y = x * (1 + eps) >>> y** x** Il risultato ha un errore dello 0.1%, che a seconda delle applicazioni potrebbe non essere piccolo.

21 Avvertenza Si può migliorare la stima usando la formula come dimostra il nostro esempio: >>> (y + x) * (y x) λ λ = (λ + λ )(λ λ ) 1 1 Ora l'errore è %.

22 Esercizio 9.4 Torniamo all'esercizio. Per svolgerlo, il programma deve effettuare le seguenti operazioni: 1. A partire dai valori di A e di B, deve calcolare il valore atteso di θ e θ usando le formule mostrate in precedenza.. A questo punto deve simulare la misura di θ e θ, estraendo coppie di numeri casuali con distribuzione Gaussiana centrata in θ e θ e con sigma σ. 3. Per ciascuno dei valori deve stimare A e B: non essendo θ e θ più esattamente uguali a quelli ottenuti nel punto 1 e, 1 1 θ anche la stima di A e B sarà diversa. 1 1

23 Creazione istogrammi Il testo dell'esercizio richiede di creare l'istogramma dei dati e di analizzarlo, suggerendo l'uso della classe THF di ROOT. Per chi è interessato, mostro brevemente come usare Python per fare lo stesso tipo di analisi. Per fare ciò, dovete salvare in un file di testo i valori delle simulazioni. Questa è una buona cosa da fare anche se usate ROOT: in caso di risultati strani potete aprire il file dei numeri e guardarci dentro per capire dove sta il problema.

24 Python sui computer di laboratorio La versione di default di Python sui computer del laboratorio è molto vecchia.6 e non supporta il linguaggio Python3. È possibile installare nella propria home, senza bisogno di essere amministratore, Anaconda 3, oppure la versione più leggera Miniconda 3 che consiglio, scaricabile dal sito

25 Configurare Miniconda Una volta scaricato il programma di installazione Miniconda3 latest Linux x86_64.sh, basta eseguirlo da terminale: sh Miniconda3 latest Linux x86_64.sh Quando Miniconda è installato, chiudete il terminale e riapritelo. A questo punto Miniconda sarà configurato. Installate i pacchetti per il calcolo scientifico: conda install numpy scipy matplotlib jupyter ipython

26 Studio di distribuzioni con Python Installate la libreria per fare i «corner plot»: pip install corner A questo punto siete pronti per fare l'analisi dei dati.

27 Formato dei dati salvati su disco Supponiamo che il programma C++ salvi i risultati dei esperimenti così: for(int i = 0; i < 10000; ++i) { std::cout << std::scientific << sim.theta0 << " " << sim.theta1 << " " << sim.theta << " " << sim.n1 << " " << sim.n << " " << sim.a << " " << sim.b << "\n"; } producendo quindi un output che inizia così: e e e e e e e e e e e e e e e+0

28 Caricare i dati con Python Avviate IPython così: ipython matplotlib ed eseguite questi comandi: import numpy as np from corner import corner # Change with the filename you've actually used! data = np.loadtxt('cauchy.dat') I dati del file saranno caricati in una matrice il file C++ ha scritto infatti 7 colonne.

29 Visualizzare i dati con Python Per accedere ai dati della colonna n esima, in Python basta scrivere data[:, n]. La scrittura data[:, (n, m)] ritorna una matrice che contiene solo le colonne n ed m. Potete creare quindi un corner plot delle variabili n ed n col comando 1 corner(data[:, (3, 4)], labels=('$n_1$', '$n_$')) la scrittura $n_1$ vi permette di usare comandi LaTeX per scrivere simboli matematici.

30 Esempio di corner plot

31 Studio di corner plot Un corner plot non deve essere limitato solo a due colonne. Il comando corner(data) crea un corner plot usando tutte le 7 colonne. Il vantaggio di Python rispetto a ROOT è evidente: si può generare un corner plot dopo l' per analizzare correlazioni impreviste,

32 Salvare il grafico Se volete salvare il grafico, potete usare i comandi della finestra che vi compare a video, oppure scrivere uno script come il seguente: #!/usr/bin/env python3 import matplotlib matplotlib.use('agg') # Do not open a window for plots import matplotlib.pylab as plt import numpy as np from corner import corner data = np.loadtxt('cauchy.dat') corner(data[:, (3, 4)], labels=('$n_1$', '$n_$')) plt.savefig('n1_n_corner_plot.png') plt.clf() # Start a new figure corner(data[:, (5, 6)], labels=('$a$', '$B$')) plt.savefig('a_b_corner_plot.png')