REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE

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1 REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE Nell'aalisi della variaza a due a più criteri di classificazie s csiderati ctempraeamete più fattri, cme i vari trattameti e blcchi c le lr iterazii, ma relativi sempre alla medesima ed uica variabile Quad si csidera due più variabili quatitative ltre alle precedeti aalisi su gua di esse, si pss esamiare ache il tip e l'itesità delle relazii che sussist tra lr Nel cas i cui per gi idividu si rilevi cgiutamete due variabili, è pssibile verificare se esse varia simultaeamete e quale relazie matematica sussiste tra queste due variabili. Allra è pssibile ricrrere all'aalisi della regressie e a quella della crrelazie, di rma csiderate tra lr alterative - aalisi della regressie : per sviluppare u mdell statistic che può essere usat per prevedere i valri di ua variabile, detta dipedete più raramete predetta ed idividuata cme l'effett, sulla base dei valri dell'altra variabile, detta idipedete esplicativa, idividuata cme la causa - aalisi della crrelazie : per misurare l'itesità dell'assciazie tra due variabili quatitative, di rma legate direttamete da causa-effett, facilmete mediate da alme ua terza variabile, ma che cmuque varia cgiutamete Quad per ciascua uità di u campie di ua pplazie si rileva due caratteristiche, si ha ua DISTRIBUZIONE DOPPIA e i dati pss essere riprtati i frma tabellare grafica : uità carattere carattere cap.6 - pag. 1 (aa 000)

2 se il umer di dati è ridtt, la distribuzie dppia può riguardare ua tabella che riprta tutte le variabili relative ad gi uità d idividu misurat se il umer di dati è grade, si ricrre ad ua sitesi tabellare chiamata DISTRIBUZIONE DOPPIA DI FREQUENZE i cui si suddivid le uità del cllettiv i classi per i due caratteri ( i e j ) e pi - si riprta la prima () ella TESTATA - si riprta la secda () ella COLONNA MADRE - si cta le uità che ha ctestualmete etrambe le MODALITÀ ( ij ) i... Ttali 1 a 11 a 1 a a 1 i... a 1 N 1 a 1 a a 3... a i... a N 3 a 31 a 3 a a 3 i... a 3 N j a j1 a j a j3... a ji... a j N j m a m1 a m a m3 a mi a m N m Ttali M 1 M M 3... M i... M T I ttali delle righe e delle cle rappreseta due distribuzii semplici e s dette DISTRIBUZIONI MARGINALI della distribuzie dppia Le frequeze riprtate i ua cla i ua riga s dette DISTRIBUZIONI PARZIALI della dppia distribuzie : ad esempi, ell schema tabellare qui spra s preseti due distribuzii margiali e 10 distribuzii parziali (5 per riga e 5 per cla) Ua distribuzie dppia può essere rappresetata graficamete c : ISTOGRAMMI : si riprta le frequeze dei raggruppameti i classi cme elle distribuzii di cteggi c dati qualitativi (tabelle m ) DIAGRAMMI DI DISPERSIONE : si riprta le sigle cppie di misure sservate csiderad gi cppia della distribuzie cme crdiate cartesiae di u put del pia, sicché : - è pssibile rappresetare gi distribuzie dppia el pia cartesia - si ttiee ua NUVOLA DI PUNTI, che descrive i md visiv la relazie tra le due variabili cap.6 - pag. (aa 000)

3 ESEMPIO L studi e la classificazie tassmica di specie di Macrbitidi si fda sia su aspetti qualitativi sia sui rapprti tra gli arti e di lr segmeti e, di rma, si ha ua bassa variabilità itraspecifica e ua frte variabilità iterspecie Per 45 aimali della stess grupp Macrbitus hufeladi, ma c frti dubbi sull'attribuzie della specie a causa delle difficltà di classificazie dvute alla cmpreseza di givai ed adulti, s state misurate al micrscpi le dimesii (i µm) di parti dell scheletr, tra cui le dimesii di prima e secda placca aimali prima placca secda placca Per evitare pagie di umeri di difficile iterpretazie, l'elevat umer di sservazii impe il ricrs ad ua rappresetazie più sitetica, tteuta c ua tabella Per gi cppia di valri diversi della prima variabile (testata) e della secda variabile (cla madre), si frma le distribuzii di frequeza, c mdalità aalghe a quelle della statistica uivariata dimesie prima placca ttali dime sie secda placca ttali cap.6 - pag. 3 (aa 000)

4 DIMENSIONE SECONDA PLACCA DIMENSIONE PRIMA PLACCA DIMENSIONE SECONDA PLACCA DIMENSIONE 8 PRIMA PLACCA Quad le caselle s trppe per essere riprtate i ua tabella di dimesii medie, si ricrre al raggruppamet i classi di ua sla di etrambe le variabili Quad i dati s espressi i ua scala ctiua, cviee dare ua rappresetazie grafica mediate DIAGRAMMA DI DISPERSIONE : - i dati di gi idividu s riprtati su u diagramma bidimesiale ed idicati da u put, le cui crdiate crrispd ai valri sull'asse delle ascisse e ai valri sull'asse delle rdiate - più ricrreze s espresse da puti di dimesii maggiri idividui pes () altezza () ALTEZZA PESO cap.6 - pag. 4 (aa 000)

5 MODELLI DI REGRESSIONE Il diagramma di dispersie frisce ua descrizie visiva espressa i md sggettiv, per quat precisa, della relazie esistete tra le due variabili La fuzie matematica che la può esprimere i md ggettiv è detta EQUAZIONE DI REGRESSIONE FUNZIONE DI REGRESSIONE della variabile sulla variabile Il termie REGRESSIONE fu itrdtt vers la metà dell'ttcet da Galt ei sui studi di eugeica i cui si prefisse di verificare se la statura dei geitri ifluisse sulla statura dei figli e se questa crrispdeza ptesse essere tradtta i ua legge matematica Galt cfrtò ache l'altezza dei padri c quella dei figli vetei e sservò che padri mlt alti ha figli alti, ma più vicii alla media dei lr geitri; parimeti egli sservò che i padri più bassi ha figli maschi bassi, ma u pò più alti, piu vicii alla media del grupp, rispett ai lr geitri (se egli avesse sservat l'altezza dei padri i rapprt ai figli avrebbe ugualmete trvat che i figli più bassi e quelli più alti ha geitri c u'altezza più vicia alla media dei geitri) Galt fu clpit da quest feme, è affermò che la statura tede a regredire da valri estremi vers la media; acque csì il termie, che dal su sigificat rigiari di "ritrare idietr" assuse quella della fuzie che esprime matematicamete la relazie esistete tra la variabile attesa ( predetta terica) e la variabile empirica ( attuale) La frma più geerale di ua equazie di regressie è = a + b + c + d dve il secd membr è u plimi iter di L'apprssimazie della curva terica ai dati sperimetali è tat maggire quat più elevat è il umer di termii del plimi : - è frequete il cas di terie che spiega cme, all'aumetare della variabile idipedete, si abbia ua dimiuzie u aumet della variabile dipedete - è rar il cas i cui si può defiire ua teria bilgica ambietale che spieghi ua relazie più cmplessa (curva di terz rdie di rdie superire) cap.6 - pag. 5 (aa 000)

6 relazie lieare psitiva relazie lieare egativa relazii quadratiche relazie cubica essua relazie cap.6 - pag. 6 (aa 000)

7 REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE La frma di relazie matematica più semplice tra due variabili è la regressie lieare semplice, rappresetata dalla retta di regressie ˆ i = a + b i dve : $ i i a b valre stimat di per l'sservazie i-esima valre empiric di per l'sservazie i-esima itercetta della retta di regressie cefficiete aglare della retta di regressie i $ i a (itercetta) L'uica reale icgita è il valre del cefficiete aglare b, essed l'itercetta a stimata da b e dai valri medi di e di a = b Per calclare la retta che megli apprssima la distribuzie dei puti, si può partire csiderad che gi put sservat i si discsta dalla retta di ua certa quatità i detta errre RESIDUO i = a + b i + i Ogi valre ε i può essere psitiv egativ: - psitiv quad il put sperimetale è spra la retta - egativ quad il put sperimetale è stt la retta cap.6 - pag. 7 (aa 000)

8 La retta miglire per rappresetare la distribuzie dei puti el diagramma di dispersie è quella stimata c il METODO DEI MINIMI QUADRATI (V. PAGINA A FINE CAPITOLO) Idicad c i i valri sservati ( empirici) e c $ i i crrispdeti valri stimati sulla retta, c u metd aalg al calcl della deviaza si stima la miglire retta iterplate, ciè quella che miimizza la smma dei quadrati degli scarti dei valri sservati i rispett a quelli stimati $ i ( i ˆ i ) i=1 Essed i = i (a + b i ) per il pricipi dei miimi quadrati si stima a e b i md che i = ( i (a + b i )) = miim Eguagliad a zer le derivate parziali rispett ad a e a b, si trva che b è uguale al rapprt della cdeviaza c la deviaza di b = Cdev xy Dev x La CODEVIANZA : - stima cme e varia cgiutamete, rispett al lr valre medi - è defiita cme la smmatria dei prdtti degli scarti di rispett alla sua media e di rispett alla sua media : Cdev xy = (( ) ( )) - si può esprimere c ua frmula empirica per u calcl più rapid cap.6 - pag. 8 (aa 000)

9 Cdev xy = (x y) x y cap.6 - pag. 9 (aa 000)

10 I cclusie, il cefficiete aglare b è calclat dalle cppie dei dati sperimetali e cme b = (( ) ( )) ( ) ppure c l equivalete frmula rapida empirica b = x (x y) x ( x) y L itercetta a si calcla cme a = b e pi si prcede alla rappresetazie grafica, ricrdad che : - la retta passa sempre dal baricetr del grafic, idividuat dal put d'ictr delle due medie campiarie e - è sufficiete calclare il valre di $ crrispdete ad u qualsiasi valre di per tracciare la retta che passa per quest put calclat e per il put d'ictr tra le due medie ESEMPIO Per sette givai è stat misurat il pes () e l'altezza (), all scp di stimare la retta che defiisce la relazie media tra le due variabili idividui pes () altezza () variabile idipedete (DETERMINISTICA) : altezza variabile dipedete (STOCASTICA) : pes ( ) = = 104 = 445 = = 7 cap.6 - pag. 10 (aa 000)

11 x (x y ) b = x ( x ) y = = 0,796 a = b = 63,571 0, = 73, ALTEZZA PESO VALORE PREDITTIVO DELL'ANALISI DELLA REGRESSIONE La semplice rappresetazie grafica dei valri sservati e della retta di regressie frisce alcue idicazii imprtati per l'iterpretazie delle relazii esisteti tra le due variabili Il valre del cefficiete aglare idica quat aumeta i media la variabile dipedete all'aumet di ua uità della variabile idipedete Se si cambia la scala della variabile idipedete predittiva (per esempi l'altezza misurata i mm i m e più i cm) lasciad ivariata quella della variabile dipedete predetta, muta prprzialmete ache il valre del cefficiete aglare b cap.6 - pag. 11 (aa 000)

12 Nell'aalisi della regressie : - è frequete, specialmete egli utilizzi predittivi, il ricrs al temp cme variabile idipedete - viee spess dimeticat che qualsiasi previsie stima di derivata dalla retta è valida sl etr il camp di variazie della variabile idipedete - è dimstrat che la relazie esistete tra le due variabili sia dell stess tip ache per valri miri maggiri di quelli sperimetali rilevati SIGNIFICATIVITÀ' DELLA RETTA DI REGRESSIONE Il metd dei miimi quadrati permette di avere sempre la retta che megli si adatta ai dati rilevati, idipedetemete dalla lr dispersie itr alla retta Tuttavia la retta ptrebbe idicare : - sia l'esisteza di ua relazie reale tra le due variabili, se il valre di b è alt e la dispersie dei puti itr ad essa è ridtt - sia di ua relazie iesistete sigificativa, se i puti itr ad essa s dispersi i md differete rispett alla media (A) reale cambiamet di al variare di cap.6 - pag. 1 (aa 000)

13 (B) cas icert (C) c è alcua regressie cap.6 - pag. 13 (aa 000)

14 Il cefficiete aglare b della retta di regressie, che determia la quatità di variazie di per gi uità aggiutiva di, è calclat da sservazii sperimetali Ma ciò che iteressa al ricercatre è la relazie esistete ella pplazie, e sebbee il valre di b sia differete da zer, è dett che ella pplazie al variare di si abbia ua variazie di La sigificatività del cefficiete di regressie ella pplazie (β) può essere saggiata mediate la verifica dell'h 0 : β = 0 Accettad H 0 si assume che il valre reale del cefficiete aglare sia β = 0 --> al variare di, resta cstate e uguale al valre dell'itercetta a --> esiste alcu legame tra e Rifiutad H 0, si accetta H 1 --> al variare di si ha ua crrispdete variazie sistematica di U metd per la verifica della sigificatività della retta calclata è il test F, che si basa sulla scmpsizie delle deviaze i $ i i (A) i $ i i $ i $ i (B) cap.6 - pag. 14 (aa 000)

15 La smma dei quadrati delle distaze tra i tre puti, $ e defiisc le tre deviaze: deviaza ttale, deviaza della regressie deviaza dvuta alla regressie, deviaza d'errre deviaza dalla regressie residui: Deviaza ttale = ( ) Deviaza della regressie = ( $ ) Deviaza d' errre = ( $ ) c gdl -1 (A) c gdl 1 (B, parte iferire) c gdl - (B, parte superire) Queste frmule richied calcli lughi e da risultati apprssimati quad i valri delle tre s arrtdati, per cui si utilizza le frmule segueti : Deviaza ttale = ( ) Deviaza dalla regressie = Cdev xy Dev x x y ricrdad che Cd( xy, ) = ( x y) Devx = Deviaza d'errre (per differeza) ( ) Deviaza d' errre = Deviaza ttale Deviaza della regressie Dal rapprt della deviaza dvuta alla regressie e quella d'errre c i rispettivi gdl si stima la variaza dvuta alla regressie e la variaza d'errre il cui rapprt determia il valre del test F c 1 e - gdl F (1, 1) = Variaza dalla regressie Variaza d' errre Se l F calclat è iferire a quell tabulat per la prbabilità prefissata e i gdl crrispdeti, si accetta H 0 ( esiste regressie lieare statisticamete sigificativa) Se l F calclat supera quell tabulat si rifiuta l'h 0 e si accetta H 1 (la regressie lieare tra le due variabili è sigificativa) cap.6 - pag. 15 (aa 000)

16 Se β = 0, la variaza dvuta alla regressie e quella della regressie d'errre s stime idipedeti e viziate della variabilità dei dati Se β 0, la variaza d'errre è ua stima viziata della variabilità dei dati, metre la variaza dvuta alla regressie è stima di ua gradezza maggire Di csegueza, il rapprt tra le variaze c rispettivamete 1 e - gdl è da riteersi utile alla verifica dell'iptesi β = 0 Rifiutare H 0 : - sigifica che esiste relazie tra le due variabili, ma slamete che esiste ua relazie di tip lieare - sigifica che ptrebbe esistere ua relazie di tip differete, cme quella curviliea di secd grad di grad superire La TRASFORMAZIONE di u di etrambi gli assi è spess sufficiete per ricdurre ua relazie di tip curvilie a quella lieare la crescita espeziale di ua pplazie el temp, geerata da tassi cstati, diviee lieare c la trasfrmazie lgaritmica del temp, di rma riprtat sull'asse delle ascisse la relazie curviliea tra lughezza e pes di idividui della stessa specie diviee lieare c la trasfrmazie mediate radice cubica del pes, crrelat liearmete al vlume l'aalisi statistica permette qualsiasi tip di trasfrmazie che determii ua relazie lieare tra due variabili ESEMPIO C le misure di pes ed altezza rilevati su 7 idividui è stata calclata la retta di regressie $ = 73, , 796 Dp aver cstruit il diagramma di dispersie delle 7 cppie di sservazii è stata rappresetata la retta : - è quella che passa più vici ai puti, ma quella che rede miima la smma dei quadrati delle distaze tra la retta e i puti - ua retta c tale prprietà può essere sempre calclata per qualsiasi grupp di dati - è dett che tale retta sia rappresetativa idice della reale esisteza di u rapprt lieare tra le due serie di dati cap.6 - pag. 16 (aa 000)

17 Pertat, c le teciche dell'ifereza, ccrre verificare : - se la retta può essere assuta cme rappresetativa di u rapprt lieare tra le due variabili - se è crrett affermare che, ella pplazie dei sggetti dalla quale è stat estratt il campie, ad ua variazie i altezza crrispde u cambiamet lieare el pes - se, mediate test F, H 0 : β = 0 ppure H 1 : β 0 ( ) = = 104 = = 445 = 8693 Deviaza ttale = = ,85 = 403, 715 Deviaza della regr. = ( ) = ( ) = = 31, Deviaza d' errre = 403,715 31,618 = 8,097 Tabella riassutiva Deviaze gdl Variaze ttale 403, ,6 regressie 31, ,4 errre 8, , 6 F ( 1, 5 ) = = 19, 59 16, 4 - i valri critici riprtati elle tavle degli F per 1 e 5 gdl s: 6,61 per α = 0,05 e 16,6 per α = 0,01 - il valre calclat è superire a quell tabulat per α=0,01 - c p < 0,01 (di cmmettere u errre di I^ tip, si rifiuta H 0 : esiste u rapprt lieare tra le variazii i altezza e quelle i pes La stima della sigificatività della retta verifica dell'esisteza di ua relazie lieare tra le due variabili può essere cdtta ache c il test t, c risultati equivaleti al test F cap.6 - pag. 17 (aa 000)

18 Aalgamete all'aalisi della variaza ad u e a due criteri di classificazie, il t c - gdl ( = di sservazii cppie di dati) è t = F ( - ) ( 1, - ) Il test t è : fdat su calcli didatticamete me evideti di quelli del test F, ma ffre il vataggi di pter essere applicat sia i test uilaterali (β > 0? ppure β > 0?) che i test bilaterali (β 0?) fdat sul rapprt tra il valre del cefficete aglare b (che rappreseta la rispsta media di ai diversi valri di etr il su itervall di variazie) ed il su errre stadard s b t (-) = b b S b dve β : valre attes Nella verifica della sigificatività della regressie si ha β = 0 ma la frmula può essere utilizzata per verificare la sigificatività dell scstamet da qualuque valre attes U test relativamete frequete csiste el verificare se b si discsta sigificativamete da 1, quad è attes che all'aumetare di ua uità di si abbia u crrispdete aumet di ua uità ache el valre di, qualuque sia le uità di misura delle due variabili Il valre di S b è determiat dalla radice quadrata del rapprt tra la dispersie dei dati sperimetali itr alla retta $ e la deviaza ttale di s b = s b dve: s b = Variaza d' errre della retta Deviaza ttale della = s e ( i ) La variaza d'errre di b ( s b ) dimiuisce, e quidi il su grad di precisie cresce, all'aumetare della deviaza degli La variaza d'errre della retta s e chiamata ache ERRORE STANDARD DELLA STIMA è data da s ( e = i ˆ i ) cap.6 - pag. 18 (aa 000)

19 dve la deviaza d'errre (al umeratre) è tteuta i md rapid per differeza dp il calcl della deviaza ttale e di quella dvuta alla regressie s e = Deviaza ttale di - Deviaza dalla regressie Per la deviaza dvuta alla regressie s state prpste ache altre frmule che permett calcli più rapidi U metd al quale si ricrre c frequeza utilizza parte dei calcli ecessari alla stima della retta Deviaza dalla regressie = i a i - b ( i i ) ESEMPIO C le stesse 7 misure di pes ed altezza degli esercizi precedeti, si vule stimare la sigificatività della regressie mediate il test t I quest cas : - si ptrebbe ricrrere ad u test uilaterale (verificare slamete se il pes aumeti, ppure dimiuisca, i md sigificativ al crescere dell'altezza) H : β = 0; H : β > 0 ppureh : β < si dvrebbe ricrrere ad u test bilaterale (verificare l'esisteza di ua relazie lieare tra le due variabili seza idicare il seg) Ricrdad che si ha b = 0, 796 Variaza d' errre= 16,4 = 7 Deviaza di = , 4 S b = 510 s b = 0, 1794 t = 0, , 1794 = 4,437 F 15, = 19, 59 crrispde a t 5 = 19, 59 = 4,46 La pedeza della retta è l'ifrmazie più imprtate sulla relazie tra e : frisce la quatità di variazie media di per uità di variazie di cap.6 - pag. 19 (aa 000)

20 Il test di sigificatività rispde slamete al quesit se essa si discsta da 0 cap.6 - pag. 0 (aa 000)

21 U cas che ricrre c frequeza è quad e s il risultat di due metdi differeti per stimare la stessa quatità di ua sstaza, per cui al valre ull di dvrebbe crrispdere u valre ull ache per - per = 0 si dvrebbe avere ua rispsta media che si discsta sigificativamete da = 0 - la sigificatività dell'itercetta (H 0 : α = 0) può essere verificata sia c u test uilaterale che c u test bilaterale t a = α s ( ) a c S a errre stadard dell'itercetta a stimat cme s a 1 = se ( + ( ) ) i Se è pssibile rifiutare H 0 relativa a b (la retta campiaria può essere assuta cme sigificativa di ua relazie lieare tra le due variabili), può essere richiesta la csceza della variaza s e della deviazie stadard s della media, che s s s = e e s = se ESEMPIO Utilizzad i dati degli esempi precedeti, si stimi la sigificatività di a C a = 73, 357 var. err. : s e = 16,101 = 7 dev. : 510 = errre stadard di a s a = 16, = 30,599 - t t = 73, =,, 397 iferire sia a t 5, 05. (,571) che a t 5, 005. (4,03) --> l'itercetta a è sigificativamete diversa da zer é all'1% é al 5% cap.6 - pag. 1 (aa 000)

22 LIMITI DI CONFIDENZA DI RETTA E INTERCETTA Per verificare l'esisteza di ua relazie lieare tra le variabili u altr metd, equivalete al test t, è calclare ua stima per itervalli di cfideza di β: si rifiuta H 0 se il valre attes (di slit, ma bbligatriamete cme el test per la media, β = 0) è cmpres ell'itervall di cfideza stima per l'itervall di cfideza di β: b ± t s (, α ) stima per l'itervall di cfideza di α : a ± t s dve s a è l'errre stadard dell'itercetta α b (, α ) a ESEMPIO Ricrred agli stessi dati degli esercizi i cui s stati calclati la retta e la sua sigificatività, si ha b = 0, 796; s = 0, 1794; t =, 571; t = 4, 03 a b = 73, 357 s = 30, 599 a 5, 0, 05 5, 0005, Stima dell' itervall di cfideza per il cefficiete aglare β c p = 95% 0, 796, 571 0, 1794 β 0, 796 +, 571 0, , 335 β 1, 57 c p = 99% 0, 796 4, 03 0, 1794 β 0, , 03 0, , 77 β Sima dell'itervall di cfideza per l'itercetta α c p = 95% 73, 357, , 599 α 73, 357 +, , , 07 α 5, 313 c p = 99% 73, 357 4, 03 30, 599 α 73, , 03 30, , 73 α 50, 018 cap.6 - pag. (aa 000)

23 LIMITI DI CONFIDENZA PER I VALORI MEDI DEGLI STIMATI La retta di regressie può essere utilizzata ache per previsii sul valre medi di, crrispdete ad valre di prescelt E' ua stima putuale del valre medi effettiv del campie; ache i quest cas, può essere applicat il ccett di itervall di cfideza quale stima del valre reale della pplazie L'itervall di cfideza per il valre previst $ l è dat da dve $ 1 ( l ) l ± t(, α ) sb + ( ) i $ l valre previst di per u dat valre di s b errre stadard della retta b dimesie del campie l valre dat di a cui crrispde $ l ( ) deviaza di i La lettura dell'equazie spiega cme l'ampiezza dell'itervall di cfideza dipeda da vari fattri Per ua data prbabilità: aumeta al crescere della variaza d'errre; dimiuisce all'aumetare del umer di cppie di sservazii per l'effett cgiut del valre di t, α e del il rapprt 1/; varia secd i valri di, c valri miimi quad l è vici alla sua media e massimi quad l ha distaza massima, dimiuisce al crescere della deviaza di L'itervall di stima della vera media aritmetica varia cme ua fuzie iperblica della viciaza di alla sua media Quad si fa previsii su valri di mlt distati dalla media, si stima u itervall di cfideza mlt più grade cap.6 - pag. 3 (aa 000)

24 Di csegueza, i limiti della za di cfideza s paralleli alla retta di regressie, ma se e discsta prgressivamete avviciadsi agli estremi del valre di ESEMPIO Csideriam i 7 dati dell'esempi precedete; ella tabella s riprtati gli itervalli di cfideza degli stimati Altezza Pes Valri attesi di c il lr itervall di cfideza (α = 0. 05) (α = 0. 01) , 91 54, , , , , , 58 68, , , , , , 968 7, 38 78, 688 6, 353 7, 38 8, , , , 84 61, , , , 09 58, , , 30 58, , , 87 65, , , , 960 7, , , , , 19 55, , PESO cap.6 - pag. 4 (aa 000)

25 LIMITI DI CONFIDENZA PER SINGOLI VALORI DI STIMATI U'altra esigeza presete ella ricerca è la previsie dell'itervall di cfideza per ua sigla rispsta di L'itervall di cfideza ha ua frma simile a quella del valre medi, ma è mlt più ampi; ha ifatti l scp di stimare u valre idividuale e u parametr I valri stimati di per i sigli valri idividuali di, rispett al valre medi che cdidera tutta la retta, s sggetti ad ua srgete addiziale d'errre, ciè alla dispersie itr alla retta di regressie I limiti della za di cfideza per sigli valri di s paralleli ai limiti della za di cfideza della retta di regressie e s più esteri ai precedeti L'itervall di previsie per u sigl valre di ^i per u dat valre x i è dat da $ 1 ( l ) l ± t(, α ) sb ( ) i E' ua espressie simile alla precedete; l'uica differeza è u 1 smmat all'argmet della radice quadrata Altezza Pes Valri attesi di c il lr itervall di cfideza (α = 0. 05) (α = 0. 01) , 70 54, , , , , , , , 71 50, 56 68, , , 08 7, 38 84, , 31 7, 38 91, , 3 69, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 33 cap.6 - pag. 5 (aa 000)

26 PESO Itervalli di cfideza per gli stimati al 5% (puteggiat) e all'1% (tratteggiat) PESO PESO Itervalli di cfideza delle medie (liee puteggiate) e dei sigli valri di stimat (liee tratteggiate), per α = 0.05 (a siistra) e per α = 0.01 ( a destra) cap.6 - pag. 6 (aa 000)

27 COEFFICENTE DI DETERMINAZIONE Per ua regressie lieare semplice, ma più i geerale per qualsiasi regressie da quella curviliea a quella lieare multipla, il cefficiete di determiazie r è la prprzie di variazie spiegata dalla variabile dipedete sulla variazie ttale: r = Deviaza dalla regressie Deviaza ttale = ( ˆ i ) ( i ) Espress a vlte i percetuale ed idicat i alcui testi c R ppure R serve per misurare quat la variabile idipedete i media preveda la variabile dipedete E' ua misura che ha scpi prevaletemete descrittivi La sua accettabilità è legata ad ifereze statistiche, ma sprattutt agli scpi pratici, specifici dell'us della regressie cme metd per prevedere csced Il su valre è tat più elevat quat più la retta passa vici ai puti, fi a raggiugere 1 (ppure 100 se espessa i percetuale) quad i puti sperimetali s cllcati esattamete sulla retta e quidi gi i può essere predett c precisie ttale, seza alcu margie d'errre, quad sia t il crrispdete valre di i Nell'esempi c le 7 sservazii su pes e altezza, è, r = = 0, , 715 Ciò sigifica che, t il valre dell'altezza, quell del pes è stimat mediate la retta di regressie c ua apprssimazie di circa l'80 per cet; il restate 0, (rapprtat a 1) ppure 0% è determiat dalla variabilità idividuale di scstamet dalla retta cap.6 - pag. 7 (aa 000)

28 IPOTESI PER LA REGRESSIONE E LA CORRELAZIONE Le iptesi ecessarie cdizii di validità per l'aalisi della regressie e della crrelazie, che verra trattata dei seguit, s aalghe a quelle già evideziate per l'aalisi della variaza e del test t di Studet: rmalità, mschedasticità, idipedeza dall'errre La cdizie di rmalità richiede che il valre di sia rmalmete distribuit per gi valre di E' ua iptesi facilmete cmpresibile el cas delle ripetute per l stess valre di Ache l'aalisi della regressie è rbusta, el cas di deviazie dalla rmalità: fi a quad la distribuzie dei valri di per l stess valre di si differezia i md estrem dalla rmale, sia l'ifereza sulla regressie che quella sulla crrelazie s eccessivamete distrte La cdizie di mschedasticità richiede che le variaze delle dispsizii sia cstati per tutti i valri di : i valri di dev variare ell stess md per qualuque valre di Svete succede che all'aumetare delle si abbia u aumet della variaza delle ; cme già espst ell'aalisi della variaza, le trasfrmazii dei dati pss ricstruire questa iptesi ecessaria all'ifereza La cdizie di idipedeza dell'errre richiede che la distaza tra sservat ed previst dalla regressie sia cstate su tutt il camp di variazie della cap.6 - pag. 8 (aa 000)

29 ij ^ ij ^ ij(c) _ A..... r = D r = B r = E r = 0 C r = 0.4 F r = 0.4 cap.6 - pag. 9 (aa 000)

30 Metd dei miimi quadrati - Impiat aalitic Q = (y i - µ) = (y i - β 0 - β 1 x i ) = = (y i + β 0 + β 1 x i - β 0 y i - β 1 y i x i + β 0 β 1 x i ) = = y i + β 0 + β 1 x i - - β 0 y i - β 1 x i y i + β 0 β 1 x i Q β 0 = β 0 + β 1 x i - y i Q β 1 = β 1 x i + β 0 x i - x i y i uguagliad a zer i due risultati si ttiee u sistema di due equazii a due icgite β 0 + β 1 x i = y i β 0 x i + β 1 x i = x i y i dalla prima equazie del sistema si ricava β 0 cme : y β 0 = i - β x i 1 = y - β 1 x e per sstituzie ella secda equazie si ricava β 1 cme : y i - β x i 1 x i + β 1 x i = x i y i β 1 x i - ( x i ) = x i y i - x i y i = cdev (xy) dev (x) cap.6 - pag. 30 (aa 000)