ESERCIZI D ESAME A.A , E (CON SOLUZIONI)

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1 ESERCIZI D ESME.. 5-6, 6-7 E 7-8 CON SOLUZIONI

2 ESME SCRIO DEL 9 Giugno 6 NOME E COGNOME: Maricola: ESERCIZIO Puni Un cono oogeneo di assa M= Kg e raggio alla base R=.5 può ruoare inorno ad un asse fisso ericale z passane per il erice e perpendicolare alla base. l epo = al cono engono applicae due forze parallele F di odulo pari a N, giaceni nel piano della circonferenza di base e angeni ad essa coe indicao in figura. Supponendo il corpo inizialene fero al epo = si chiede di:. Deerinare il oeno d inerzia del cono rispeo all asse z.. Deerinare la elocià angolare al epo =5 s; 3. Deerinare il laoro copio dalle forze ra l isane iniziale ed il epo =5 s; 4. Verificare il eorea dell energia cineica ra l isane iniziale ed il epo =5 s z Risulai: Iz= [ ] = [ ] ; W= [ ] ESERCIZIO Puni F R Un puno aeriale di assa =.5 Kg coprie una olla di cosane elasica =5 N/. d un cero isane il corpo iene lasciao libero di uoersi su un piano scabro orizzonale di lunghezza l=. con coefficiene di ario dinaico µ d =.5. Dopo il rao orizzonale scabro è presene una guida circolare liscia di raggio R=.4. Deerinare di quano il corpo dee copriere la olla perché esso si sacchi nel puno della guida circolare liscia. h F R Risulai: Δx= [ ] Esercizio 3 Puni 8 Enunciare e diosrare il eorea dell energia cineica per il puno aeriale.

3 ESME SCRIO DEL 4 Giugno 6 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un puno aeriale di assa =4 Kg si uoe soo l azione di una forza F daa da con in secondi: F 4 xˆ yˆ [ N] Sapendo che al epo = s il puno si roa nell origine del sisea di riferieno con elocià nulla deerinare:.l accelerazione del puno in funzione del epo.. La elocià del puno in funzione del epo. 3. Il laoro copiuo dalla forza ra gli isani = s e = s. 4. Verificare il eorea dell energia cineica ra gli isani = s e = s. Risulai: a = [ ] ; = [ ] ; W = [ ] Esercizio Puni Un disco oogeneo di assa M= g e raggio R=. si roa inizialene in quiee su un piano orizzonale liscio. l epo = il disco iene colpio da due puni aeriali di assa =4 g e =3 g e elocià = /s direa coe in figura. Sapendo che i due corpi riangono conficcai nel disco deerinare:. La elocià V c del cenro di assa del sisea dopo l uro;. La elocià angolare dopo l uro; 3. Il odulo della elocià del puno quando il disco ha copiuo un quaro di giro; 4. Sudiare il oo del sisea nel caso paricolare in cui = =4 g. O R Risulai: V c = [ ] ; = [ ]; = [ ] Esercizio 3 Puni 8 Scriere e diosrare la relazione di Mayer ra calore specifico olare a pressione cosane e olue cosane. 3

4 ESME SCRIO DEL 9 Luglio 6 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un puno aeriale di assa =.5 Kg, inizialene fero, si uoe su un piano inclinao =3 scabro µ=.3 a parire da una quoa h=5 c. Subio dopo il piano inclinao il puno si uoe su un rao di piano orizzonale liscio e si conficca nell esreo di un asa di lunghezza l=3 c e assa M= Kg che può ruoare inorno ad un asse poso ad una disanza d=5 c da un suo esreo. Deerinare:. Il epo ipiegao dal puno per percorrere il piano inclinao;. La elocià del puno subio pria e subio dopo l uro con l asa; 3. La elocià angolare dell asa dopo l uro. 4. La assia quoa h raggiuna dal puno aeriale dopo l uro con l asa. M h Risulai: = [ ] ; = [ ] ; = [ ] ; = [ ] h= [ ] Esercizio Puni Due corpi della sessa sosanza e di assa pari a M = g e M = g sono posi a conao. Inizialene essi si roano, rispeiaene, alle eperaure =8 K e = K. Sapendo che il calore specifico dei due corpi dipende dalla eperaura secondo la relazione: c essendo una cosane pari a x - J Kg - K -3. Si calcoli:. La eperaura finale di equilibrio dei due corpi;. La ariazione di enropia dei sisea cosiuio dai due corpi. Esercizio 3 Puni 8 Enunciare e diosrare il eorea di Konig sull energia cineica. 4

5 ESME SCRIO DEL 7 Seebre 6 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Una sbarrea oogenea di assa = Kg e lunghezza l=6 c può ruoare inorno ad un asse orizzonale passane per uno dei suoi esrei O in figura. La sbarrea è collegaa a due olle di cosani elasiche K = N/ e K = N/ in due puni posi in corrispondenza del cenro e dell esreo della sbarrea opposo ad O coe in figura. Le due olle sono a riposo quando la sbarrea è in posizione orizzonale. Deerinare:. L angolo forao dalla sbarrea con l orizzonale quando il sisea è in equilibrio. l epo = la sbarrea iene poraa in posizione orizzonale e, da fera, lasciaa libera di uoersi. Deerinare:. L equazione differenziale del oo; 3. Il periodo delle piccole oscillazioni 4. La legge oraria sepre nel caso delle piccole oscillazioni. O K g Risulai: eq = [ ] ; = [ ] ; = Esercizio Puni Una paricella di assa =.5 g si roa all isane = s, con elocià nulla, nel puno indiiduao dal raggio eore: r 5xˆ yˆ 6zˆ Successiaene gli iene applicaa una forza funzione del epo : F xˆ zˆ. ll isane = 3 s la 3 paricella ne ura un alra di assa doppia la cui elocià è daa da: xˆ 3zˆ 4 Deerinare:. Le coordinae del puno P in cui aiene l uro;. La elocià della paricella dopo l uro nell ipoesi di uro copleaene anelasico. Risulai: P= [ ] ; = [ ] ; Esercizio 3 Puni 8 Diosrare che per un gas perfeo l energia inerna dipende solo dalla eperaura e ricaarne l espressione. 5

6 ESME SCRIO Seebre 6 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un proieile di assa = g iene lanciao con elocià orizzonale =5 /s conro una banderuola reangolare di larghezza l, lunghezza l l=5 c e assa M= 6=6 g, inizialene fera, che può ruoare senza ario inorno ad un asse ericale coe indicao in figura. Sapendo che il proieile ura la banderuola esaaene nel cenro C e i riane conficcao deerinare:. Il oeno d inerzia della banderuola rispeo all asse; l. La elocià del proieile subio dopo l uro; 3. La elocià angolare della banderuola subio dopo l uro; 4. L ipulso odulo, direzione e erso eserciao dall asse durane l uro. C Risulai: I = [ ] ; = [ ] = [ ] ; J= [ ] l Esercizio Puni Un puno aeriale di assa si uoe nel piano XOY secondo la seguene legge oraria: r cos xˆ sen yˆ Essendo il epo e e cosani reali posiie. Deerinare:. La raieoria del puno;. La forza agene su di esso; 3. Il laoro copiuo dalla forza ra il puno P, e Q -,. 4. Verificare il eorea dell energia cineica ra i due puni P e Q. Esercizio 3 Puni 8 Si illusrino i due enunciai del II principio della erodinaica e si diosri che essi sono ra loro equialeni. 6

7 ESME SCRIO 5//6 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un puno aeriale di assa si uoe nello spazio con elocià: sen xˆ cos yˆ zˆ Doe è una cosane reale e posiia. Sapendo che al epo = il puno aeriale si roa nell origine:. Diosrare che il oo è unifore e deerinarne la elocià;. Descriere la raieoria del puno; 3. Calcolare la forza agene sul puno; 4. Diosrare che la forza non copie laoro. Risulai: = [ ] ; F= [ ] Esercizio Puni Due oli di gas perfeo biaoico copiono il ciclo reersibile indicao in figura in cui: - è una rasforazione isobara, -C isocora e C- isoera. Sapendo che in il gas occupa un olue di V =.5 l alla pressione di P =.5 bar e che il olue in V è pari al doppio del olue in calcolare:. Pressione, olue e eperaura nei puni, e C;. La ariazione di energia inerna del gas in ogni rasforazione; 3. Il calore scabiao in ogni rasforazione; 4. Il rendieno del ciclo. P C V Risulai: Pa, Va, a = [ ] ; [ ] ; [ ] ; Pb,Vb,b= [ ]; [ ] [ ] ; Pc,Vc,c= [ ]; [ ] [ ] ; ΔUab= [ ]; Δubc= [ ]; Δuca= [ ]; Qab= [ ]; Qbc= [ ]; Qca= [ ]; η= [ ] Esercizio 3 Puni 8 Ricaare il eorea delle elocià relaie si diano per noe le forule di Poisson. 7

8 ESME SCRIO 6 Gennaio 7 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un disco oogeneo di assa M=.5 Kg e raggio R=.4 può roolare senza srisciare su un piano inclinao di un angolo =45. Il cenro del disco è connesso ad una olla di cosane elasica =5 N/ e, raie una fune inesensibile e di assa rascurabile, ad un corpo, assiilabile ad un puno aeriale, di assa =M/, disposo coe in figura. Il coefficiene di ario dinaico è pari a µ d =. e quello saico è pari a µ s =.3 sia per il disco che per il puno aeriale. Inizialene il sisea è in equilibrio. Successiaene il disco iene allonanao dalla posizione di equilibrio e lasciao libero di uoersi. Deerinare:. La deforazione Δx della olla in condizioni di equilibrio. Deerinare inolre se la olla è esa o copressa.. Diosrare che dopo che il cenro C del disco iene allonanao dalla posizione di equilibrio il sisea inizia ad oscillare di oo aronico e calcolarne il periodo. 3. In un cero isane di epo iene agliaa la fune. Calcolare il nuoo periodo di oscillazione del disco. Risulai: Δx = [ ] ; = [ ] Esercizio Puni Un puno aeriale, inizialene fero, di assa =.4 Kg iene lasciao cadere lungo un piano liscio inclinao di un angolo α=45, a parire da un alezza h=.6. Dopo il piano inclinao il puno percorre un rao orizzonale liscio di lunghezza d=.8 pria di copriere una olla di cosane elasica = 5 N/ di assa rascurabile, inizialene a riposo. Deerinare:. La elocià del puno aeriale alla fine del piano inclinao;. La assia copressione della olla; 3. Il epo ipiegao per ornare nella posizione iniziale. Risulai: = [ ] ; Δx= [ ] ; s = [ ] Esercizio 3 Puni 8 Ricaare il eorea delle accelerazioni relaie si dia per noo il eorea delle elocià relaie. 8

9 ESME SCRIO Febbraio 7 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un puno aeriale di assa = Kg iene lanciao ericalene erso l alo con elocià V = /s. Sapendo che il puno risene della forza peso e di una forza di ario iscoso F=- essendo = Kg/s una cosane reale posiia e la elocià deerinare: 4. Il epo s ipiegao dal puno aeriale per raggiungere la assia quoa rispeo alla posizione iniziale; 5. La assia quoa raggiuna dal puno aeriale; 6. Il laoro copiuo dalla forza di ario iscoso nel epo s. Risulai: h = [ ] ; = [ ] ; w= [ ] Esercizio Puni Un asa soile, rigida ed oogenea di lunghezza l=.5 e assa M=.4 Kg può ruoare senza ario inorno al suo esreo O. d un cero puno l asa iene lasciaa cadere, da fera, a parire dalla configurazione per cui =45. In corrispondenza della ericale l esreo libero dell asa ura, in odo copleaene elasico, un puno aeriale di assa in odo che dopo l uro l asa riane fera in posizione ericale. Il puno aeriale si uoe quindi su un piano orizzonale scabro µd=.4 pria di ferarsi dopo aer percorso una cera disanza d. Si deerini:. La elocià angolare dell asa pria dell uro;. La assa del puno aeriale; 3. La elocià del puno aeriale subio dopo l uro; 4. La disanza percorsa sul piano scabro dal puno aeriale. Risulai: ω = [ ] ; = [ ] ; = [ ]; d= [ ] Esercizio 3 Puni 8 Si rappreseni sul piano di Clapeyron il Ciclo di Carno per un gas ideale e se ne calcoli il rendieno in funzione delle eperaure assia e inia raggiune nel ciclo. 9

10 ESME SCRIO 5 Febbraio 7 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un uoo di assa M=6 Kg con in ano una palla di assa = Kg, è in piedi ai bordi di un disco di raggio R= e assa M che può ruoare senza ario inorno ad un asse ericale passane per il suo cenro. ll isane di epo =, l uoo lancia la palla con elocià = /s direa angenzialene al bordo del disco. Deerinare nell ipoesi che l uoo sia approssiabile coe un puno aeriale di assa M:. La elocià angolare con cui inizia a ruoare il disco;. La elocià dell uoo iediaaene dopo il lancio della palla; Negli isani successii al lancio della palla sull asse di roazione del disco inizia ad agire un oeno frenane di odulo cosane e pari a.5 N e direo lungo l asse di roazione. Deerinare: 3. Il nuero di giri copiui dal disco pria di ferarsi; 4. Il laoro copiuo dal oeno frenane. Risulai: = [ ] ; = [ ] ; N= [ ];W= [ ] Esercizio Puni Due oli di gas perfeo onoaoico subiscono una rasforazione erodinaica reersibile dallo sao Va= l, Pa= bar allo sao corrispondene al olue Vb= l. Sapendo che la rasforazione è descria da: PV essendo una cosane reale e posiia, deerinare:. La ariazione di energia inerna ΔU ;. Il calore scabiao dal gas Q ; 3. La ariazione di enropia del gas ΔS ; Risulai: ΔU = [ ] ; Q = [ ] ; ΔS = [ ] Esercizio 3 Puni 8 Il oo di un sisea di puni aeriali aiene in aniera ale che il cenro di assa rianga fero. Rispondere alle segueni doande, giusificando la risposa:. Quano ale la quanià di oo del sisea di puni?. L energia cineica del sisea di puni è, in generale, nulla? 3. Fare un esepio di oo di queso ipo.

11 ESME SCRIO 7 Marzo 7 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un agone ferroiario di assa M, si uoe con elocià cosane V. ll isane = una raoggia inizia a scaricare sul agone sabbia ad una elocià cosane pari λ Kg/s. Si deerini:. Se il oo del agone per > aiene ancora a elocià cosane, giusificando la risposa.. Si deerini l andaeno nel epo della elocià del agone. 3. Si deerini l andaeno nel epo dell accelerazione del agone. Risulai: = [ ] ; a= [ ] Esercizio Puni Un blocco di assa M=3 g è collegao raie una olla di cosane elasica K= N/ ad una paree ericale. Il blocco può uoersi sul piano orizzonale con un coefficiene di ario dinaico µd=.3. In un cero isane di epo il blocco iene colpio, in odo copleaene anelasico, da un proieile di assa = g che si uoe con elocià =5 /s. La olla è inizialene in posizione di riposo. Deerinare:. La elocià del bloccheo subio dopo l uro con il proieile.. La assia copressione della olla. 3. Il laoro copiuo dalla forza di ario ra l isane dell uro e il puno di assia copressione. Risulai: = [ ] ; Δx= [ ] ; W= [ ] Esercizio 3 Puni 8 Si rappreseni sul piano di Clapeyron il ciclo di Sirling per un gas perfeo e se ne calcoli il rendieno in funzione delle eperaure assia e inia raggiune nel ciclo.

12 ESME SCRIO DEL 7 Giugno 7 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un sisea è cosiuio da un disco rigido ed oogeneo di assa M= Kg e raggio R=.5 che può ruoare inorno ad un asse ericale passane per il suo cenro e da due puni aeriali, incolai alla superficie del disco, ciascuno di assa =. Kg inizialene disposi lungo il bordo del disco. d un cero isane di epo al sisea inizialene in quiee iene applicao un oeno = 5 N direo lungo l asse di roazione per un epo = 5 s. Si calcoli:. Il oeno d inerzia del sisea rispeo all asse di roazione;. La elocià angolare del sisea al epo =5 s; d un cero isane di epo i due blocchei engono poi sposai ad una disanza d=. dall asse di roazione. Si calcoli 3. La elocià angolare del sisea. 4. La ariazione di energia eccanica ra il epo =5 s ed =7 s. Risulai: I= [ ] ; = [ ] = [ ]; ΔE = [ ] Esercizio Puni Daa la forza: con nuero reale posiio:. Deerinare le diensioni di ;. Deerinare per quali alori di la forza è conseraia; 3. Il laoro copiuo dalla forza in funzione di per sposare un puno aeriale dall origine al puno di coordinae P 3,,. Risulai: []= ; = [ ] W= [ ] Esercizio 3 Puni 8 Si enunci e si diosri il eorea di Carno.

13 ESME SCRIO DEL Giugno 7 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un puno aeriale di assa si può uoere sulla superficie liscia di un carrello. Il puno aeriale è connesso ad una olla di sosane elasica coe indicao in figura. Inizialene il carrello si uoe di oo reilineo unifore con elocià direa lungo l asse x, e il puno è fisso rispeo alla superficie del carrello e ende la olla di una quanià x. l epo il puno iene lascio libero di uoersi. Deerinare:. L equazione del oo del puno aeriale nel sisea di riferieno solidale con il carrello. La elocià del puno aeriale nel sisea di riferieno fisso del laboraorio l epo = / dell asse x. Deerinare: il carrello inizia a uoersi con accelerazione cosane a direa nel erso posiio 3. L equazione del oo del puno aeriale per > nel sisea solidale al carrello 4. La legge oraria del oo nel sisea solidale al carrello per > Esercizio Puni Il ciclo erodinaico rappresenao in figura consise di due rasforazioni adiabaiche reersibili e due isocore pure reersibili. Sapendo che il olue in D è pari al doppio del olue in. si ricai il rendieno del ciclo. Il gas è un gas perfeo onoaoico. Risulai: [η]= Esercizio 3 Puni 8 Si enunci e si diosri il eorea dell energia cineica per il puno aeriale. 3

14 ESME SCRIO DEL Luglio 7 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un puno aeriale di assa = Kg si uoe su un piano orizzonale. l epo = la sua elocià è pari a = /s direa nel erso posiio dell asse x, coe in figura. l epo = iene applicaa al puno aeriale una forza ericale F direa nel erso negaio dell asse y. Deerinare:. Nel caso in cui il piano sia liscio la elocià al epo = s;. Nel caso il cui il piano sia scabro con µ d =.3 dopo quano epo si fera il corpo se la forza F ha odulo pari a 5 N. 3. Nel caso in cui il piano sia scabro con µ d =.3 dopo quano epo si fera il corpo se il odulo della forza F aria nel epo con la legge F=, essendo il epo e =5 N/s. 4. Si calcoli la poenza siluppaa dalla forza di ario in funzione del epo. Esercizio Puni Una puleggia di assa M= Kg ha la sruura indicaa in figura ed è foraa da un disco di raggio R=4 c e da quaro aree uoe di fora circolare ciascuna di raggio r=r/4 il cui cenro disa d=r/ dal cenro del disco. La puleggia può ruoare inorno ad un asse orizzonale fisso passane per il suo cenro. l disco è aola una fune inesensibile e di assa rascurabile alla cui esreià è appesa una assa = g. l epo = il corpo inizialene fero iene lasciao libero di uoersi. Si deerini:. Il oeno d inerzia della puleggia rispeo all asse di roazione;. La ensione della fune; 3. La elocià angolare della puleggia in funzione del epo; 4. Si calcoli la elocià angolare della ruoa quando il corpo è sceso di una quoa h. Esercizio 3 Puni 8 Si ricai l espressione della ariazione di enropia per un gas ideale. 4

15 ESME SCRIO DEL 9 Seebre 7 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Due puni aeriali di assa =.4 Kg e M=.6 Kg sono collegai ra loro coe in figura. La olla ha cosane elasica = 8 N/ e il piano è inclinao di un angolo = 3. Nell ipoesi che la fune che collega i due puni aeriali sia inesensibile e di assa rascurabile, che ui i piani siano lisci e che la puleggia abbia assa e diensioni rascurabili, deerinare:. Di quano è deforaa la olla in condizioni di equilibrio; Se il corpo di assa M iene sposao dalla posizione di equilibrio di x e quindi lasciao libero di uoersi, da fero, si deerini:. L equazione del oo dei due corpi; 3. Il periodo del oo; 4. La legge oraria del oo. Esercizio Puni Una girandola, che può essere scheaizzaa coe foraa da due ase uguali di lunghezza l l= c e assa ciascuna M= g, unie nel cenro coe in figura, è libera di ruoare inorno ad un asse orizzonale passane per il suo cenro ed è inizialene fera. l epo = gli iene applicao un oeno cosane M =. N direo lungo l asse di roazione fino all isane = 5 s. Per > sulla girandola inizia ad agire esclusiaene un oeno frenane direo sepre lungo l asse di roazione il cui odulo è pari a M=-, essendo =5 Ns. Si deerini:. Il oeno d inerzia della girandola rispeo all asse di roazione;. La elocià angolare della girandola al epo = 5s; 3. La legge oraria del oo per > 4. Il nuero di giri effeuai dalla girandola pria di ferarsi. Esercizio 3 Puni 8 Si ricai la relazione che lega la ariazione di energia inerna di un gas perfeo dalla eperaura. 5

16 ESME SCRIO DEL 8 Oobre 7 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un corpo di assa 3 = Kg è poso su un piano orizzonale ed è connesso a due alri corpi di assa = Kg ed =3 Kg ediane della funi inesensibili e di assa rascurabile araerso delle carrucole lisce e di assa rascurabile così coe indicao in figura. L angolo è pari a 45. Si deerini:. Supponendo ui i piani lisci l accelerazione del corpo di assa 3 ;. In quese condizioni piano liscio quale relazione dee sussisere ra le asse ed perché si abbia equilibrio; 3. Il alore del coefficiene di ario saico inio che ci dee essere ra il piano e ciascuno dei re blocchi perché si abbia equilibrio per i alori indicai delle re asse, ed 3. Esercizio Puni Un disco oogeneo di assa M=.5 Kg e raggio R=.5, ruoa inorno ad un asse ericale passane per il suo cenro in aniera ale che risuli: 3 rad Deerinare:. L andaeno della elocià angolare in funzione del epo;. L accelerazione angolare; 3. Il oeno agene sul disco; 4. Il laoro copiuo dal oeno ra l insane iniziale e l isane =5 s. Esercizio 3 Puni 8 Si ricai la relazione che lega la eperaura e il olue di un gas perfeo nel corso di una rasforazione adiabaica reersibile. 6

17 ESME SCRIO 9 Gennaio 8 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un puno aeriale di assa = g coprie di una quanià Δx=5 c una olla di cosane elasica = N/. Il puno iene quindi lasciao libero di uoersi su un piano orizzonale liscio finché non ura, in odo copleaene anelasico, un corpo di ass, inizialene fero. Dopo l uro i due corpi procedono, aaccai, su una guida circolare liscia di raggio R= c. E noo che i due corpi si saccano nel puno indicao in figura. Si deerini:. La elocià con cui il corpo colpisce il corpo di assa. La elocià dei due corpi in 3. La assa del corpo 4. L accelerazione cenripea lungo la guida circolare in funzione dell angolo. Risulai: = [ ] ; = [ ]; a c = [ ] ; = [ ] Esercizio Puni Un riangolo isoscele oogeneo di assa M= Kg, alezza h=.4 e angolo alla base pari a /6 è appeso ad una paree raie un chiodo passane per il suo erice coe in Figura. d un cero isane di epo il corpo iene sposao dalla posizione ericale e quindi lasciao libero di uoersi. Si deerini:. La posizione del cenro di assa del riangolo. Il oeno d inerzia del riangolo rispeo all asse passane per il suo erice ed orogonale alla superficie del riangolo 3. L equazione differenziale del oo 4. Il periodo nell ipoesi delle piccole oscillazioni. Risulai: Y c = [ ] ; I= [ ] ; = [ ] Esercizio 3 Puni 8 Si enunci e diosri il eorea di Huygens-Seiner sul oeno d inerzia. 7

18 ESME SCRIO 7 Febbraio 8 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un puno aeriale di assa = Kg si uoe su un piano con la seguene legge oraria: Essendo il epo e e cosani reali. Sapendo che al epo = s il puno si roa nel puno P8, si deerini:. Il alore delle due cosani e. L angolo forao con l orizzonale dalla raieoria del puno quando esso si roa in P8, 3. Il laoro copiuo dalla forza agene sul puno ra il epo = s e = s 4. Si erifichi il eorea dell energia cineica ra i due isani di epo = s e = s. Esercizio Puni Una sbarrea oogenea di assa M=3g e lunghezza l= c si uoe, su un piano liscio, di oo puraene raslaorio con elocià cosane V = /s. d un cero isane di epo la sbarrea iene colpia da due puni aeriali di assa = g e =5 g che si uoono con la sessa elocià = /s coe indicao in figura. I puni riangono quindi conficcai nella sbarrea. Si deerini:. La posizione del cenro di assa del sisea dopo l uro;. La elocià del cenro di assa del sisea dopo l uro; 3. La elocià angolare del sisea subio dopo l uro specificandone il erso. 4. Quano dorebbe alere la elocià perché il cenro di assa del sisea sbarrea+puni sia fero dopo l uro. Esercizio 3 Puni 8 Si calcolo il oeno d inerzia di una sbarrea oogenea di assa e lunghezza l rispeo ad un asse passane per uno dei suoi esrei. 8

19 ESME SCRIO 6 Febbraio 8 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un puno aeriale di assa =.5 Kg coprie di x= c una olla cosane elasica K= N/. Inizialene il puno si roa, fero, ad una quoa h=.6 lungo un piano liscio, inclinao di α rispeo all orizzonale. Dopo aer percorso il piano inclinao, il puno percorre un rao orizzonale di lunghezza d=.3, scabro con coefficiene di ario dinaico µ d =.3. Successiaene il puno risale un alro piano, liscio ed inclinao sepre di un angolo α fino ad una quoa z, ferandosi. Si deerini:. La elocià del puno alla base del prio piano inclinao;. Il laoro copiuo dalla forza di ario lungo il piano orizzonale scabro; 3. La elocià del puno alla fine del piano orizzonale; 4. La quoa z raggiuna dal puno aeriale sul secondo piano inclinao. Esercizio Puni Un disco oogeneo di raggio R=.6 e assa M= Kg è disposo su un piano orizzonale liscio ed è legao coe in figura ad un filo di lunghezza L=R, inesensibile e di assa rascurabile. Il filo è fissao ad un puno O fisso. Il sisea disco+filo ruoa con elocià = rad/s in senso aniorario inorno ad un asse passane per O e orogonale al piano. ui gli arii sono nulli. Si deerini:. Il oeno d inerzia del disco rispeo al puno O;. La ensione del filo; 3. L energia cineica del disco; 4. Il oeno angolare L del disco in odulo, direzione e erso. Si sabilisca se e se si perché il oeno angolare si consera. Esercizio 3 Puni 8 Si diosri che la forza peso è una forza conseraia e si ricai l espressione dell energia poenziale ad essa associaa. 9

20 ESME SCRIO 5 Marzo 8 NOME E COGNOME: Maricola: Esercizio Puni Un puno aeriale di assa = Kg si uoe, inizialene, di oo reilineo unifore lungo l asse x con elocià essendo = /s. l epo = sul corpo inizia ad agire una forza essendo una cosane reale pari a N/s e il epo. Si deerini:. La quanià di oo del corpo al epo = s. La quanià di oo del puno aeriale al epo = 5 s 3. Il laoro copiuo dalla forza ra il epo = e = 5s 4. Si erifichi il eorea dell energia cineica ra e 5 s. Esercizio Puni Un puno aeriale di assa =.5 Kg si roa su un piano inclinao ad una quoa h= coe in figura. Il corpo, inizialene fero, iene lasciao libero di uoersi ed ura una sbarrea di assa M= Kg e lunghezza l=.6 che può ruoare inorno ad un suo esreo O. La sbarrea è inizialene in quiee in posizione ericale. Nell uro il puno aeriale riane conficcao nella sbarrea. Dopo l uro il sisea sbarrea+puno aeriale ruoa inorno ad O bloccandosi in posizione orizzonale dopo aer copresso una olla di cosane elasica = 5 N/ inizialene in posizione di riposo. Si rascurino ui gli arii. Si deerini:. La elocià con cui il puno aeriale ura la sbarrea;. La elocià angolare del sisea sbarrea+puno aeriale subio dopo l uro 3. La elocià del cenro di assa dopo l uro; 4. La copressione della olla. Esercizio 3 Puni 8 Si calcoli il oeno d inerzia di un anello oogeneo di raggio R e assa M.

21 SOLUZIONE DELLE PROVE D ESME

22 SOLUZIONI PPELLO DEL 9/6/6 ESERCIZIO Il oeno d inerzia I z si può calcolare considerando dei dischi eleenari con cenro lungo l asse di roazione coe indicao in Figura. Risula quindi: z V r r h r h 4 Iz diz d dv r dz r dz h Corpo M V R dz C Dalla siiliudine di VO e VC deria che: r h z h r Quindi: z h 4 4 3MR M 3M I z R h z dz.75 Kg essendo 4 h O V R h E M F F M E z r F rfẑ cosane rad I 3MR 3MR Calcolo del laoro: z f / s F rad 3MR W E F M z d RF J 3M W E I z f I z I z f F 3M J CVD ESERCIZIO W diss E x F dr gl x gl Lungo la guida circolare, la II legge di Newon proieaa lungo la direzione norale alla guida si scrie: N g cos R La condizione di disacco in si scrie N = e = da cui : gr Dalla conserazione dell energia eccanica lungo la guida si oiene: E, Quindi: E x 5gR, gr gl x 5gR gl /.68 4gR 5gR a x gl

23 3 SOLUZIONI PPELLO 4/6/6 ESERCIZIO ESERCIZIO Durane l uro si conserano sia la quanià di oo che il oeno angolare. s M M c c ˆ 4. Deeriniao la posizione del CM del sisea aendo assuno coe origine il cenro del disco: d M R M R R y c. Scriendo la legge di conserazione del oeno angolare rispeo al cenro di assa del sisea si ha: 3 ' d R M d R d R I I I L d R d R L Da cui si oiene: La roazioneaienein sensoorario s rad d R M d R d R d R.46 In generale: r c che per una roazione pari a / diena: s d R y d R x c c 5 4. ˆ ˆ Se = si oiene: = e il oo del disco dopo l uro è puraene raslaorio. ŷ 3 xˆ F a o y y y o x x x d a d a d d a ŷ xˆ 3 J d d y x y x d F dr F W 36 ˆ ˆ ˆ ˆ CVD J E W K

24 SOLUZIONI PPELLO 9/7/6 ESERCIZIO La legge di Newon lungo il piano inclinao fornisce: Fa gsen a N g cos essendof a N si ha: F a g cos Da cui si oiene: a g sen cos Il oo è uniforeene accelerao e quindi: / l h l a. 9s a g sen sen cos gh sen cos V a.7 / s sen llo sesso risulao si poea anche perenire applicando: W diss E h gh Fal g cos sen Da qui si oiene facilene la elocià del corpo pria dell uro con la sbarrea: V sen cos gh sen Dalla conserazione del oeno angolare si ha: l d l d I Ml l M d l d ' Poiché il puno riane conficcao nell asa si ha: V l d. 39 s Dopo l uro sul sisea agiscono solo forze conseraie. E quindi possibile applicare il eorea di conserazione dell energia eccanica. Meodo E E,, essendo la posizione corrispondene alla assia quoa. rad s 4

25 E, ' Id l Mg [ I d l l d ] Mg l l E, Ep, M Ep, g l d cos Mg[ d cos ] Iponendo: E, E, [ I d l d ] Si oiene: cos da cui si ha: l [ g l d Mg d] [ Id l d ] h l d cos l d 8.54 c l [ g l d Mg d Essendo: I d Ml l M d Meodo considerando il sisea dei due corpi coe un unico corpo rigido In queso caso è possibile calcolare la posizione del cenro di assa del sisea coe aendo scelo l origine nel puno di inersezione ra l asa e l asse di roazione: y c h c l M d l d la cui ariazione di quoa è daa da: M l M d l d cos M Quindi la conserazione dell energia si scrie: [ Id l d ] M dhc risulao roao in precedenza. l [ M d l d] g cos da cui si ricaa lo sesso ESERCIZIO Il calore Q assorbio dal corpo e il calore Q ceduo dal corpo possono essere scrii coe: e M 3 3 Q Mc d M d M d e e 3 e e 5

26 e M 3 3 Q M c d M d M d e 3 e e Iponendo che sisea isolao: Q Q si ha: M 3 3 M e e da cui si ricaa: 3 3 M M 3 e M M K S S S essendo e e e dq Mc d d M S M M d e e e e e dq M c d d M S M M d e e M M S e e [ M M e M M ]. Oiaene è S essendo il processo irreersibile. J K E La condizione di equilibrio si scrie: M quindi: SOLUZIONI PPELLO 7/9/6 o ESERCIZIO l l l y cos cos cos sen g y yl a essendo si oiene : y l sen g arcsen 3. l 4 L equazione del oo può essere oenua in due odi: 6

27 7 s I l I l o o La soluzione generale dell equazione differenziale è: l g sen e paricolar oogenea

28 ESERCIZIO SOLUZIONI PPELLO /9/6 ESERCIZIO dx Calcolo del oeno d inerzia: x I l 3 l x d x d x l s dx ls x dx ls 3 M V l 3 Ml ls l s Da cui segue: Ml I =.5 Kg/ 3 Dalla conserazione della coponene lungo l asse di roazione del oeno angolare si ha: l l o I a poiché il proieile riane conficcao nella banderuola si ha: l 8

29 Da cui si ricaa con seplici passaggi che: l Ml 9l rad / s e l =5.6 /s Il laoro della forza è dao da: 9

30 3 SOLUZIONI PPELLO 5//6 ESERCIZIO 4 4 cos sen z y x che è cosane e quindi il oo è unifore z z sen d y y d sen x x o cos cos da cui si ricaa che: z y x La raieoria è un elica cilindrica la cui proiezione sul piano XY è una circonferenza di raggio /ω. y sen x d d a F ˆ ˆ cos

31 Si noi che la forza non ha coponene lungo z essendo il oo reilineo unifore lungo ques asse. Per rispondere all ulio quesio basa osserare che l energia cineica è cosane essendo cosane il odulo della elocià. Quindi dal eorea dell energia cineica consegue che: W E CVD ESERCIZIO P V nr 3.5 K PV nr P V nr 7 K P c nr V C C nr V.75bar 5 U ncv Rn 56. J U C ncv C 56. J U ac Isoera Q ncv P V V J QC U C 56. J V QC WC PdV nr ln J V C C W Q Q Q Q C Q C.88 SOLUZIONI PPELLO 6//7 ESERCIZIO Per il puno aeriale in condizioni di equilibrio, a= si ha: F a gsen N g cos essendof a N si ha: g sen cos s 3

32 Sul disco si ha: x Mgsen N Mgcos E M C Fa R Fa Da qui si oiene: x g sen M g s cos.5c Essendo Δx< la olla è copressa. Quando il sisea iene allonanao dalla condizione di equilibrio risula: Per il puno aeriale: F a gsen a N g cos essendof a N si ha: g sen cos a d Sul disco inece risula scegliendo l origine in corrispondenza della posizione di equilibrio della olla: x Mgsen Fa Ma N Mgcos E a a M C Fa R I I essendo oo di puro roolaeno R R Da cui si oiene: a x Mgsen I R Ma da cui si ricaa che: che è l equazione di un oo aronico. 3 M Da cui. 5s La condizione liie quando iene agliaa la fune si oiene iponendo = per cui 3M. 44 s 3

33 ESERCIZIO Dalla conserazione dell energia eccanica lungo il piano inclinao si ha che: gh gh 3. 4 s nalogaene per deerinare la assia copressione della olla si può scriere essendo il piano liscio: gh gh x x. 3 Per rispondere all ulio quesio occorre sudiare le leggi orarie del oo nei diersi rai, Lungo il piano inclinao il odo è uniforeene accelerao con accelerazione: h h a g sen e quindi x x gsen gsen. 86s sen sen g d d Lungo il rao reilineo il oo è reilineo unifore con elocià per cui. 3s gh Il oo quando il puno aeriale è a conao con la olla è un oo aronico seplice di periodo s Quindi il epo richieso è:. s 3 SOLUZIONI ESME //7 ESERCIZIO La II Legge di Newon si scrie, nel caso in esae, proieaa lungo la direzione del oo: d g che è un equazione differenziale del prio ordine a ariabili separabili per cui: d d d g d g g e g Il epo s si oiene iponendo che: =s= oero 33

34 s s g e g da cui si ricaa che: ln. 8s g Per calcolare la assia quoa raggiuna si osseri che essa corrisponde alla disanza percorsa dal puno aeriale nel epo =s: h s o dy s d s g e gd [ g e s g s ] da cui: h g e S g S uaia dalla si ossera che: s s g e g g e g e quindi si ricaa che: h o gs 6. Per calcolare il laoro della forza di ario iscoso osseriao che: W E E, s E, gh s 4. J ESERCIZIO Essendo i incoli lisci è possibile scriere, nel oo dell asa, la conserazione dell energia eccanica: l l Ml l cos Mg I Mg essendo I 3 Quindi di oiene: 3g cos l rad 4.5 s Nell uro si consera sia il oeno angolare rispeo al polo O essendo nullo il oeno rispeo a queso polo delle forze eserne ageni che l energia cineica essendo l uro elasico. Quindi si può scriere: 34

35 I I l da cui si ricaa in odo seplice che: M.3 Kg 3 l 3gl cos. s Lungo il piano scabro è possibile scriere che: 3l cos E Wdiss d gd d. 54 SOLUZIONI ESME 6//7 ESERCIZIO Si consera la coponene del oeno angolare lungo l asse di roazione: d I z R MR R I MR R. s Si può scriere che: z 3MR rad. s W E I MR MR. J da cui si ha: diss 8 3MR 3MR e quindi N ESERCIZIO Dall equazione di sao dei gas perfei si ha che: P V nr 6. K Inolre: P V V PV PV P P. bar V e quindi 3 K nr 5 Per un gas perfeo: U nc nc J Il laoro scabiao nel ciclo si può scriere coe: 35

36 dv W pdv dv PV 5 J V V V V Dal prio principio della erodinaica si ha quindi che: Q U W 48. 3J La ariazione di enropia si calcola coe: Q nc pdv nc nr V S d d dv ncv ln nrln V V re J K In un sisea di puni aeriali ale la relazione: ESERCIZIO 3 P N i N i i i i MV CM essendo M la assa oale del sisea Ma essendo per ipoesi V si ha P CM N Per quano concerne l energia cineica si ha: E ii in generale. D alronde per il eorea di Konig sull energia si ha: i E E N ' i i MVCM i N ' i i che in generale è non nulla. i nel caso in esae essendo V CM = si ha: Un esepio è il oo di un sisea rigido di puni aeriali che ruoa con elocià angolare, inorno ad un asse fisso passane per il cenro di assa. In queso caso infai: V CM e E I 36

37 SOLUZIONI ESME 7/3/7 ESERCIZIO La assa del carro aria nel epo con la legge lineare: M dp Ricordiao anche che la II legge di Newon si scrie coe: F che proieaa lungo la direzione del d dpx oo indicaa con x diena: Fx essendo nulle le forze ageni lungo l asse x. Quindi: d essendo M si ha: P x d M d d M d d M d d d M o d d Da cui si oiene con seplici passaggi che: M M Quindi il oo aiene con elocià ariabile decrescene e quindi non è più un oo unifore. d om Oiaene a d M ESERCIZIO Nell uro si consera la quanià di oo: M. 5 M s W E a x M dgx x. 7 Wa d M gx. 83J SOLUZIONI ESME 7/6/7 ESERCIZIO Il oeno d inerzia del sisea si scrie per < : 37

38 I MR R.35 Kg inolre: quindi essendo il oo uniforeene accelerao: 7.4rad / s I I Per effeo dello sposaeno cabia il oeno d inerzia del sisea che diena: I ' MR d.66 Kg Nello sposaeno si consera il oeno angolare lungo l asse di roazione quindi: ' ' I L L I I 93.9 rad / s ' I ' E E I I 68 J [F]=[N]=[ML - ] Nel caso specifico per K si oiene: ESERCIZIO Per deerinare per quali alori di la forza è conseraia calcoliaone il roore: quindi la forza è conseraia per qualsiasi alore di Essendo la forza conseraia il laoro da essa copiuo è indipendene dal percorso seguio per andare dall origine,, al puno P3,,. Perano possiao scegliere coe percorso quello che a dall origine O,, al puno 3,, lungo l asse x, poi da 3,, lungo un rao parallelo all asse y fino a 3,, e quindi da lungo un rao parallelo all asse z fino al puno P 3,,. Quindi: 38

39 39 SOLUZIONI ESME /6/7 ESERCIZIO ESERCIZIO C D C C D C C nc nc Q Q Q Q Q Q W Ma C C D D V V V V da cui si oiene C D e C C V V da cui si ricaa che:.37 3 /

40 SOLUZIONI ESME /7/7 ESERCIZIO Nel caso in cui il piano è liscio non agiscono forze lungo l asse x, perano il odo è reilineo unifore con elocià = /s. Nel caso in cui il piano è scabro la legge di Newon proieaa lungo l asse x si scrie: d F g Fa a d N a d F g a a 3.69 s Il oo è quindi uniforeene decelerao e si ha allora: f. 7s a d g Nel caso in cui sia F= la legge di Newon proieaa lungo l asse x pora a scriere: a che non è più cosane. Da cui si ricaa che: d d g d d g d che: d d g la cui soluzione è f =.37 s d P F d g d g ESERCIZIO d g quindi iponendo che = si ha d Essendo il oeno d inerzia una grandezza addiia, Il oeno d inerzia della puleggia si può scriere coe differenza ra il oeno d inerzia di raggio R e quello di quaro dischi di pari spessore e raggio R/4: applicando il eorea di Seiner si roa che al disco forao. E inolre noo che essendo D la assa del disco pieno. essendo la assa corrispondene D alronde è possibile scriere che e a essendo noa la assa della puleggia ed il suo olue si può scriere: da cui si ricaa per le relazioni roae pria che: da cui si ricaa che =.8 Kg 4

41 Le equazioni che regolano il oo del sisea puleggia-corpo sono: da cui si ricaa che e quindi il oo è circolare uniforeene accelerao per cui: Per rispondere all ulio quesio si può applicare la conserazione dell energia eccanica: da cui si ricaa che SOLUZIONI ESME 9/9/7 ESERCIZIO 4

42 ESERCIZIO Il oeno d inerzia di oiene sepliceene soando quello di due ase oogenee di lunghezza l: I M 4l 3 Ml.3 Kg. Per <<5 s il oo è uniforeene accelerao con M accelerazione I. Essendo la girandola inizialene fera si ha che: I e quindi =5=384 rad/s. Per > si ha: d M I I da cui d la cui inegrazione fornisce: I M I e I di ferarsi basa calcolare: d I che è un equazione differenziale a ariabili separabili d I e I e I I d e d M che inegraa consene di ricaare: per calcolare il nuero di giri fai dalla girandola pria N M I M I I li [ ] I e I =53. giri SOLUZIONI ESME DEL 8 Oobre 7 ESERCIZIO La seconda legge della dinaica si scrie, in condizioni di equilibrio, proieaa lungo il piano per ciascuno dei due corpi: gsen a gsen a a 3 g sen da cui essendo a =a =a 3 =a si ricaa che: a. 6 s 3 La condizione perché si possa aere equilibrio è quella per cui a= ossia = e elocià iniziale nulla del sisea. In presenza di ario la seconda legge della dinaica pora a scriere, per i re corpi ed in condizioni di equilibrio a=: 4

43 gsen gsen g s s s 3 g cos g cos sen da cui si oiene s. 6 cos 3 ESERCIZIO d 3 rad d 6 6 rad e 4 3 d s d s 6I 3M M I N 3 3 R W 3MR 3MR E I f i. 9J f 4 f Dalla conserazione dell energia eccanica si ha: SOLUZIONI ESME DEL 9//8 ESERCIZIO =6.7 /s dalla conserazione della quanià di oo nell uro si ha: Dalla proiezione della II legge di Newon lungo la norale alla guida si ha: La condizione di disacco è N= per = oero: da cui =.4 /s Dalla conserazione delle energia eccanica lungo la guida liscia si oiene: = da cui si oiene 43

44 E quindi da cui si oiene da cui si oiene =. Kg Dalla conserazione delle energia eccanica lungo la guida liscia si oiene: da cui si oiene E quindi l accelerazione cenripea lungo la guida è: ESERCIZIO Il CM si roa lungo l alezza h per ragioni di sieria. La disanza dalla base si oiene risolendo: dy Per il calcolo del oeno d inerzia si può considerare il oeno d inerzia della sbarrea eleenare di assa d, spessore dy e lunghezza l=ly indicaa nella figura e indicando con y la disanza dal erice superiore del riangolo. In queso caso per il eorea di Seiner il oeno d inerzia si può scriere coe: b per cui si ha: da cui si oiene: =.4 Kg Si raa di un pendolo fisico. Perano l equazione del oo si ricaa sepliceene scegliendo coe polo per il calcolo dei oeni il erice del riangolo inorno al quale esso ruoa e scriendo: da cui si ricaa l equazione differenziale del oo: che nel caso delle piccole oscillazioni sen diena: 44

45 Per cui =.46 s SOLUZIONI ESME 7//8 ESERCIZIO Perché al epo = s il puno si roi in P8, deono essere soddisfae: da cui si oiene facilene = e = e quindi la legge oraria diena: Da cui e l angolo forao dalla raieoria in p si oiene da: da cui si oiene =arcg /3=33.7 La forza agene sul puno si oiene da: Il laoro si può oenere da: Dal eorea dell energia cineica si ha: che era quano si olea diosrare ESERCIZIO Scegliendo coe origine il cenro della sbarea il CM del sisea si oiene da:. La elocià del CM dopo l uro si ricaa iponendo la conserazione della quanià di oo: da cui si oiene Dalla conserazione del oeno angolare rispeo al CM del sisea si ha: =5.4 rad/s da cui si oiene Perché il CM sia fero dee essere: da cui si oiene 45

46 Dalla conserazione dell energia eccanica si oiene: SOLUZIONI ESME 3//8 ESERCIZIO da cui si oiene Il laoro della forza di ario si oiene da: E quindi: da cui si oiene La quoa z si oiene iponendo la conserazione dell energia eccanica lungo il piano inclinao: da cui si oiene =.6 ESERCIZIO Il oeno d inerzia rispeo al puno O si ricaa dal eorea di Seiner: L equazione cardinale della dinaica si scrie in queso caso proieaa lungo la fune: deria che: essendo O il cenro del disco che coincide con il cenro di assa del sisea. Da qui il cui odulo ale 4.97 Js, è direo perpendicolarene al piano e uscene da esso. Il oeno delle forze eserne ageni sul sisea ensione del filo rispeo al polo O è nullo. Da ciò consegue che il oeno angolare si consera 46

47 SOLUZIONI ESME DEL 5/3/8 ESERCIZIO La quanià di oo iniziale è pari a: Dal eorea dell ipulso è noo che: da cui si oiene facilene che da cui: da cui si oiene che Per il eorea dell energia cineica: ESERCIZIO che era quano si olea diosrare La elocià con cui il puno ura la sbarrea si calcola applicando la conserazione dell energia eccanica. da cui si ricaa Nell uro sbarrea-puno aeriale si consera il oeno angolare per cui: da cui si ricaa che 6.6 rad/s La posizione del cenro di assa coe disanza da O si oiene da: Essendo il oo puraene roaorio inorno ad O si ha che: Dalla conserazione dell energia eccanica si oiene: Da cui si oiene x=.69 47