AVVISO. 2) elastico: rappresenta la capacità di un corpo di deformarsi accumulando energia potenziale;

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1 AVVISO La seguene pare, relaiva alla odellizzazione dei carichi eccanici, è saa redaa da due lodevoli sudeni. Non ho ancora pouo copleare la revisione e il copleaeno con alcuni uleriori deagli. Nonosane queso, su richiesa di alcuni di voi, la rendo counque disponibile in ree, ringraziando una vola ancora gli Auori. E' la versione inonsa, forniai dagli sudeni. Consideraela preliinare, assiilabile a degli appuni presi a lezione, alla quale seguirà, non appena prona, la versione definiiva. prof. M.Ziglioo I.7 - Modellizzazione dei sisei eccanici La eccaronica è la prova che a livello indusriale eccanica ed eleronica sono sreaene inerdipendeni. Per odellizzare a livello aeaico un sisea eccanico coplesso si può far riferieno a 3 blocchi eleenari: inerziale: rappresena la capacià di un corpo di opporsi alle variazioni di velocià; si fonda sul rapporo causaeffeo: per corpi che raslano la causa è una forza f e l effeo è una velocià lineare v; per corpi che ruoano la causa è una coppia τ e l effeo è una velocià angolare ω: dv f = M τ = J elasico: rappresena la capacià di un corpo di deforarsi accuulando energia poenziale; f = K τ = K ( x x ( ϑ ϑ La forza f rappresena la reazione di ipo elasico della olla e τ è la coppia elasica di una olla orsionale. K è il coefficiene di rigidià orsionale. 3 ario viscoso: iene cono degli effei dissipaivi che si hanno ogni vola che un corpo si uove in un fluido. f = B τ = B ( v v ( ω ω con B coefficiene di ario viscoso. Analogia ra un sisea eccanico e un sisea elerico Si dice che due sisei sono analoghi quando sono governai da equazioni foralene ideniche anche se riguardani fenoeni fisici diversi. Per quano riguarda i sisei eccanici-elerici si può far riferieno all analogia proposa da Maxwell: coppia τ ensione v velocià ω correne i su quese analogie di base si fondano le alre, ad esepio: infai: ϑ + ( = ϑ( 0 + ω( q( = q( 0 i( 0 0 posizione ϑ carica q Per un sisea eccanico inerziale vale la relazione: di τ = J v = L per cui sarà valida anche l analogia ra: inerzia J induanza L

2 Per un sisea elasico vale la relazione: τ = K ( ϑ ϑ v = ( q q per cui sarà valida anche l analogia ra: C rigidià orsionale K reciproco della capacià C Per un sisea soggeo ad ario viscoso vale la relazione: τ = B ω ω v = R i per cui sarà valida anche l analogia ra: ( ( i ario viscoso B resisenza R Il passaggio successivo è odellizzare un sisea eccanico e applicare le analogie. Esepio: B r ω ϑ ϑ L τ ϑ K ϑ L ϑ L M J J L τ L τ L τ : coppia del oore; J : inerzia del oore e dell albero; ϑ : posizione angolare iniziale dell albero; K : rigidià orsionale dell albero; ϑ L : posizione angolare finale dell albero; J L : inerzia del carico; τ L : coppia cosane generaa dal carico; B r : coefficiene di ario viscoso delle pale. Si possono scrivere le segueni equazioni di bilancio eccanico: τ = J + K ( ϑ ϑ L dove i erini a desra del segno di uguaglianza cosiuiscono la coppia resisene per il oore; K L ϑ ϑ = J + τ + B ω ( L L L r L dove il erine a sinisra del segno di uguaglianza ora rappresena la coppia orice; per il erine di origine viscosa si considera il fluido fero. Da quese equazioni si possono ricavare le rispeive equazioni del circuio elerico analogo: di v = L + ( i il C C ( L L L L i i = L dil + v + Ri Si può disegnare lo schea elerico relaivo:

3 Circuio elerico relaivo all'equazione Circuio elerico relaivo all'equazione Circuio elerico copleo analogo al sisea eccanico Si vuole ora vedere coe un azionaeno elerico reagisce alla variazione di uno o più paraeri. L azionaeno ha il seguene schea copleo (con R si indicano i regolaori, con l aserisco le grandezze di riferieno e con M il oore: Per valuare la variazione di alcuni paraeri relaivi al sisea eccanico dell esepio, sarà sufficiene sosiuire i coponeni dell analogo circuio elerico (condensaori, resisenze, ecc. piuoso che sosiuire i coponeni eccanici corrispondeni (albero, pale, ecc.. Ciò copora un noevole rispario econoico in sede di prove di laboraorio. C è solo un liie legao alla faibilià praica: i valori del sisea eccanico possono radursi in valori di coponeni elerici difficili da reperire. Esepio nuerico

4 Dai del problea: τ no = N B = 3.3 Ns/rad J = kg/ J L = 0.8 kg/ τ no K = = = N / rad ϑ π /80 Per le analogie appena vise si ricavano le caraerisiche dei coponeni del circuio elerico equivalene: v = V v L = 5 V L = 93 H L L = 80 H C = 586 µf R = 3.3 Ω Il valore della capacià del condensaore è olo ala per cui serviranno oli condensaori in parallelo. Il valore della resisenza è olo piccolo: le resisenze dei cavi del circuio possono sposare di qualche decio di oh la resisenza globale, quindi è necessaria ola aenzione per un calcolo preciso. Un gradino di coppia applicao al sisea eccanico produce un andaeno della velocià analogo all evoluzione della correne i L che si può regisrare nel circuio elerico. Equazioni per il calcolo dell inerzia equivalene Se il carico non ruoa, bisogna rovare una conversione da oo roaorio ad assiale per calcolare un inerzia equivalene. Esepio pignone-creagliera creagliera ω τ pignone Al ruoare del pignone, la creagliera rasla: si ipoizza un sisea privo di perdie; ua l energia eccanica del pignone viene rasferia alla creagliera. f c : forza di cui risene l uensile onao sul casello quando deve scavare il pezzo (forza resisene. La creagliera si sposa di: x( = rϑ (, con velocià v( = rω ( e accelerazione a( = rα ( con ϑ roazione del pignone, ω velocià angolare e α accelerazione angolare. Il bilancio delle poenze fornisce: - oore e pignone:

5 τ τ ω oore con J ( = f v = f rω ( = τ + J da cui : τ = f r coppia rasferia al pignone. coppia dovua all'inerzia di oore e pignone - creagliera: dv τ = M + fc r = Mr + fcr coppia di reazione della creagliera; Uguagliando le due equazioni si oiene: τ oore con J eq = d ( J + Mr ( J + Mr = ω + f r = J c eq + f c r Quindi con i conribui di J eq e f c è possibile calcolare la coppia orice e diensionare il oore. Esepio vie-adrevie Il oo roaorio dell albero del oore fa girare la vie che a sua vola fa avanzare o indiereggiare la adrevie. adrevie vie L = passo vie (avanzaeno lineare della adrevie per un giro copleo della vie, per cui vale la proporzione: L : π = x( : ϑ ( da cui: x L π =. ( ϑ ( In queso caso quindi velocià e accelerazione valgono rispeivaene: v a ( = ω ( π π ( = α (

6 rappresena un raggio equivalene in analogia con l esepio precedene; è quindi possibile uilizzare le sesse π equazioni sosiuendo r =. π Si oerrà un inerzia equivalene pari a: eq = J + M. J π