Teoria della rappresentazione dei grafici

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1 Teoria della rappresentazione dei grafici Un grafico è un appropriata rappresentazione di dati al fine di dare un immediata comprensione dell andamento che essi rappresentano e per poter ricavare informazioni quantitative sul fenomeno che i dati stessi rappresentano. Facciamo un esempio. Se misuriamo la corrente (Ampere) che scorre in un resistore in funzione della tensione (Volt) che si manifesta ai sui capi, otteniamo una serie di coppie di valori (V x, I x ) che se rappresentati su un diagramma cartesiano V-A ( leggi tensione-corrente) ci danno un informazione sulla natura della legge che lega le due variabili elettriche, cioè la legge di Ohm V=R. I. Tale grafico ci permette di ricavare anche informazioni quantitative: ad una data corrente I x che attraversa il resistore corrisponde una ben precisa tensione ai suoi capi, la tensione V x che possiamo ricavare direttamente dal grafico. Come altro esempio possiamo immaginare di voler rappresentare una data funzione matematica, per esempio la funzione f(x)=3x 2 +2x+5. In questo caso, assegnando dei valori alla variabile X ricaviamo il corrispondente valore della funzione. Ossia ricaviamo una serie di coppie [ x,f(x) ] che rappresentate graficamente ci forniscono informazioni sulla natura della funzione (se è una retta, una parabole, un cerchio ) e sulla prevedibilità della funzione stessa, qual è il valore assunto dalla funzione in un dato punto x senza effettuare calcoli, ma leggendolo dal grafico. Dopo questi esempi si comprende che i dati devono essere rappresentati con un preciso criterio al fine di ricavarne informazioni utili e precise. Per fare questo dobbiamo stabilire una precisa corrispondenza tra i nostri dati ed i punti grafici che possiamo rappresentare su un foglio di carta. Come primo passo vediamo come si distribuisce in modo preciso un insieme di dati su una retta (rappresentazione unidimensionale). In matematica il teorema di Talete (o corrispondenze di Talete) ci permette di stabilire una precisa corrispondenza lineare tra i dati reali che dobbiamo rappresentare graficamente ed i punti grafici. Il teorema di Talete afferma che: un fascio di rette parallele individua su due rette trasversali una serie di segmenti proporzionali tra di loro. Osserviamo il disegno riportato di seguito. La retta R rappresenta i valori reali che vogliamo rappresentare sulla retta G, che è la retta delle rappresentazioni grafiche. Supponiamo di avere tre punti X a,x b ed X sulla retta dei punti reali e per i quali passano tre rette parallele che individuano tre punti corrispondenti sulla retta G, cioè Y a, Y b ed Y. Supponiamo che valga la relazione d ordine X a < X < X b e quindi anche Y a < Y < Y b. Sulle due trasversali si individuano una serie di segmenti che sono proporzionali tra di loro. In particolare possiamo scrivere: Nella formula (X-X a ) è la lunghezza del segmento XX a. Scriviamo questa formula sotto forma di frazione e ricaviamo il valore di Y. Dopo qualche calcolo, si ottiene: Questa formula ci permette di rappresentare graficamente i dati. Infatti si vede che al punto reale X a, che è il minimo dei dati da rappresentare, corrisponde i punto grafico Y a, che è il minimo punto sul nostro grafico (basta sostituire alla X il valore X a ). Allo stesso modo, il dato reale X b, che è il punto di massimo, corrisponde Y b che è il punto grafico massimo. Per fissare le idee, facciamo un semplice esempio. Supponiamo di aver fatto delle misure e quindi di dover rappresentare su una retta il seguente insieme di valori. { 12 ; -7,3 ; -1 ; 4,9 ; 13,7 } La prima cosa da fare è determinare i punti di minimo e massimo. Nel nostro caso si ha Min=-7,3 e Max=13,7. Questi corrispondono ai valori X a e X b. Supponiamo di voler rappresentare questi valori su un segmento lungo 97mm, per cui Y a =0 e Y b =97. Di ciascun valore X riportato sopra calcoliamo il corrispondente valore Y sul grafico. E cioè, rispettivamente, si ha: { 89mm ; 0mm ; 29mm ; 56mm ; 97mm } Pag. 1

2 Riportiamo questi valori su una retta graduata (in millimetri). Otteniamo: Da quest immagine si vede la giusta distribuzione dei valori reali sull asse grafico. Si osservi come il minimo dei dati coincide con l inizio del grafico e il massimo dei dati coincide con il punto di massima lunghezza del segmento. La teoria esposta ci permette di rappresentare dei dati in una dimensione, appunto sulla retta. Nel caso di rappresentazioni bidimensionali, sul piano, dobbiamo applicare il metodo due volte: una volta per l asse X ed un altra volta per l asse Y. Solo in questo modo possiamo essere certi di eseguire una rappresentazione dei dati che sia corretta e precisa. Alcune osservazioni. 1) In genere sia per l asse delle ascisse che per l asse delle ordinate si deve prendere una stessa unità di misura. Ciò viene fatto prendendo uno stesso segmento e dividendolo in uno stesso numero di parti. 2) Se un gruppo di dati, quello da rappresentare sull asse X o sull asse Y, è numericamente molto alto, tipo oppure , conviene determinare un fattore numerico che ci permette di ottenere numeri più piccoli. Nell esempio appena fatto conviene dividere tutti i numeri per ed eseguire i relativi calcoli di rappresentazione. In questo caso vicino all asse di rappresentazione si riporta il fattore di divisione 1/ ) Se l insieme dei dati da rappresentare sono numeri relativi, positivi e negativi, nella rappresentazione grafica si deve sempre indicare la posizione dello zero. Pag. 2

3 Gli istogrammi Questi tipi di grafici sono usati per rappresentare non i dati veri e propri ma delle fasce o raggruppamenti di dati. Per fissare le idee, supponiamo di avere a disposizione un insieme di 1478 dati che dobbiamo rappresentare in un grafico. In questo caso i dati non possono essere rappresentati graficamente per le ovvie difficoltà di rappresentazione: è complesso e faticoso riportare 1478 dati su un grafico. Conviene raggruppare tutti i dati in modo che ogni gruppo contenga dei dati più o meno dello stesso ordine di grandezza. In questo modo si rappresenteranno le frequenze con cui i dati cadono nei vari gruppi. Per frequenza intendiamo il numero dei dati che cadono in un dato raggruppamento che se rapportati all intero campione diventano frequenze relative. Nel nostro esempio, supponiamo che i dati siano numeri compresi tra 0 e 100. In questo caso individuiamo 10 raggruppamenti o fasce: la fascia 1 contiene i numeri tra 0 e 10; la fascia 2 contiene i dati compresi tra 11 e 20; ecc. ecc. Osserviamo la tabella riportata di seguito, sono riportate le frequenze con cui i dati cadono nelle varie fasce: sono queste frequenze i dati che rappresentiamo in un istogramma. Costruiamo l istogramma. Su un foglio riportiamo un segmento (base o ascissa) più o meno lungo a piacere e dividiamolo in un numero di parti pari al numero di raggruppamenti fatti. Nel nostro esempio 10 parti. Ogni parte rappresenta la base di un rettangolo la cui altezza è proprio il numero espresso dalla frequenza trovata di ogni fascia, o della frequenza relativa. Qui di seguito è riportato sia la tabella dei dati da rappresentare che il relativo istogramma. Spesso sulla sommità del rettangolo che rappresenta la frequenza dei dati per quel raggruppamento è riportato il valore percentuale che quel raggruppamento rappresenta. Il primo raggruppamento rappresenta l 8 %, poiché sono 8 dati su 100 che cadono nel primo raggruppamento; il secondo raggruppamento rappresenta il 2 %. Gli aerogrammi (diagrammi a torta ) Questi diagrammi sono usati quando si hanno pochi numeri da rappresentare e si vuole vedere graficamente il rapporto quantitativo esistente tra i dati. Supponiamo di avere il seguente campione di dati: 30 ; 70 ; 85 ; 43 ; 105 In questo caso la rappresentazione viene fatta dividendo un cerchio (la torta!) in parti tali da mantenere il rapporto percentuale dei dati. Il rapporto percentuale dei dati si calcola sommando tutti i dati e dividendo ciascun dato per questa somma. La somma dei dati è 333, come si può verificare. Il rapporto percentuale del primo dato è (30/333)x100=9%. Allo stesso modo, per il secondo dato, (70/333)x100=21%. Il rapporto percentuale di tutti i dati è il seguente: 9% ; 21% ; 26% ; 13% ; 31% La rappresentazione di queste percentuali si ottiene dividendo l area del cerchio nelle stesse percentuali. Oppure si calcolano gli angoli al centro del cerchio che corrispondono alle stesse percentuali. Per il primo dato da rappresentare, cioè 30, e cioè 9% si ha un angolo pari a: 360 x9/100=32. Per il secondo dato: 70 21% 360 x21/100=75. In definitiva otteniamo i seguenti angoli: 32 ; 75 ; 74 ; 47 ; 132 Chiaramente resta ora il problema di rappresentare questi angoli nel cerchio. I casi sono due: a) si può usare un goniometro e si tracciano consecutivamente tutti gli angoli; b) si individuano gli angoli con una precisione più o meno accettabile, dato che sappiamo tracciare angoli di 90, 45, 22.5 e 11. Ciascuna area individuata deve essere colorata o tratteggiata in modo da renderla ben distinta dalle altre aree. Si veda il grafico riportato a lato. All interno delle aree così individuate, in genere, vanno indicati i valori dei dati che esse Pag. 3

4 rappresentano, non va assolutamente indicato il valore dell anglo che tracciato e tanto meno il valore percentuale che l area rappresenta. Rappresentazioni in scala logaritmica. Spesso nasce la necessità di dover rappresentare in un grafico un insieme di dati numeri molto diversi tra loro per dimensione numerica. Per intenderci, se volessimo rappresentare la banda passante di un filtro audio dobbiamo poter riportare in un grafico sia numeri piccoli del tipo 10 Hz, 100 Hz, sia numeri relativamente più grandi, del tipo Hz, Hz. Di conseguenza si comprende la difficoltà di riportare in un grafico numeri molto diversi tra loro per grandezza numerica e, quindi, male si prestano ad essere trattati con un metodo proporzionale descritto in precedenza. In questi casi si opera un espediente tecnico : invece di riportare nel grafico i valori dei dati da rappresentare si riportano i logaritmi di dati stessi. In questo modo, per esempio, dovendo riportare il numero 100 ed il numero riporteremo nel grafico i valori log(100), che è 2, e log(30000), che vale 4.4, cioè numeri più o meno simili per grandezza. Questo tipo di espediente tecnico ci permette di comprimere i nostri dati per poterli rappresentare in un unico grafico. Dal grafico che segue si vede come una scala lineare, valori piccoli e molto grandi, può essere compressa in una scala logaritmica. I riferimenti segnati sulla scala log() sono gli esponenti del 10. Il logaritmo è una funzione che viene introdotta nel corso di matematica. Qui ci limiteremo solo alla sua applicazione pratica. Dato un numero positivo, per esempio 12700, il logaritmo di questo numero è log(12700) = , ottenuto con una banalissima calcolatrice scientifica tascabile. Questo numero significa che se facciamo viene giusto Questi sono i logaritmi decimali, decimali perché 10 è la base della potenza. Sulle calcolatrici è riportato anche un altro tipo di logaritmo indicato con ln (oppure lg), che sta per logaritmo naturale o in base e (e=numero di Nepero=2.7182). In seguito ci riferiremo solo ai logaritmi decimali. Dopo questa considerazione si comprende che in luogo di rappresentare i dati stessi possiamo considerare di rappresentare i loro logaritmi, visto che con una semplice trasformazione matematica si può passare dagli uni agli altri. Vediamo adesso come realizzare un foglio di carta squadrato in scala logaritmica. Su un foglio di carta si riportino gli assi cartesiani ortogonali. Supponiamo che l ascissa dovrà contenere la scala logaritmica. Sull ascissa si individuano tanti segmenti tutti uguali e con ampiezza a piacere. Ogni segmento così individuato è chiamato decade: prima decade, seconda decade, ecc. ecc.. Ogni segmento deve essere diviso in 10 parti, segnando le suddivisioni fatte con i numeri interi 1,2,3 8,9. Le suddivisioni rispecchiano una distribuzione uniforme. Quello che dobbiamo fare è ridistribuire i segmenti individuati in base alla funzione logaritmo. Per cui dobbiamo riportare linearmente non i numeri 1,2,3,4 ma bensì i rispettivi logaritmi, cioè log(1), log(2), ecc. ecc. contrassegnandoli sempre con lo stesso indice. Dalla tabella riportata qui a lato si vede che il minimo è zero ed il massimo è 1. Pertanto distribuiamo i valori log() rappresentati nella tabella a lato in ciascun segmento individuato all inizio del paragrafo. Ripetiamo la costruzione per almeno 2-3 segmenti tutti uguali. L immagine che segue mostra un foglio squadrato in scala semi-logaritmica, perché la scala logaritmica è applicata all asse X, mentre sull asse Y abbiamo lasciato la scala lineare. Se la scala N Log logaritmica viene applicata sia all asse X che all asse Y allora la rappresentazione si dice che è in scala bi-logaritmica o semplicemente in scala logaritmica. La prima decade rappresenterà i numeri che vanno da 1 a 10. La seconda decade rappresenterà i valori che vanno da 10 a 100, mentre la terza decade rappresenterà i valori che arrivano al massimo a Pag. 4

5 Vediamo adesso come si legge un grafico in scala logaritmica. Osserviamo il grafico riportato qui di seguito. Rappresenta la banda passante di un filtro audio, un tipo di grafico che si trova spesso nei manuali di elettronica. Sull asse delle ascisse sono riportate le frequenze del segnale in Hz in scala logaritmica. Sul grafico sono stati segnati alcuni punti A, B, C, leggiamo le frequenze in questi punti. Il valore da assegnare ad un punto è dato dal prodotto tra la potenza di base 10, elevato al valore del segmento della decade precedente a quella in cui cade il punto, per il fattore relativo all indice di suddivisione della decade. Il punto A è segnato sulla terza linea verticale, corrispondente al 4 segmento decimale per cui il valore è 10 0 *4 = 4 Hz. Il punto B è situato dopo la prima decade in corrispondenza del punto 2, il valore della frequenza è 10 1 *2 = 20 Hz. Il punto C si trova in corrispondenza della suddivisione 9 dopo la prima decade. La frequenza è 10 1 *9 = 90 Hz. Il punto D è alla frequenza 10 2 *7 =700 Hz mentre il punto E si trova alla frequenza 10 3 *3=3000Hz=3 KHz. Si osservi come dal grafico è possibile ottenere informazioni sulle basse frequenze, punti A e B, ed anche contemporaneamente sulle alte frequenza, i punti D ed E. Ovviamente quando leggiamo dal grafico dei valori questi non sono precisi, ma vanno intesi sempre nell ambito di un errore. Ciò è dovuto al fatto che abbiamo eseguito una compressione dei dati a disposizione. Si osservi che sull asse delle ascisse sono state indicate le decadi progressive, ciò non toglie che possono essere indicati direttamente i valori, come si osserva dalla figura qui a lato in cui sull ascissa sono riportati i valori in Hertz. Vediamo come riportare i valori su un diagramma logaritmico. Supponiamo di avere il dato X= Il valore lo si uò scrivere come X=5.7891*10 4. Dovendo fare il log() questo sarà: log(x)=4+log(5.7891). Pertanto sul diuagramma in scala logaritmica segneremo un puntino nella quinta decade in corrispondenza suddivisione contrassegnata da 5 (per defetto) oppure 6 (per eccesso). Pag. 5

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