Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Statistica. Antonio Azzollini Anno accademico 2016/2017

Transcript

1 Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Statistica Antonio Azzollini Anno accademico 2016/2017

2 Rappresentazione dei dati I dati raccolti in tabelle possono essere rappresentati attraverso grafici che offrono il vantaggio di una descrizione visiva del fenomeno che si sta analizzando.

3 Rappresentazione dei dati I dati raccolti in tabelle possono essere rappresentati attraverso grafici che offrono il vantaggio di una descrizione visiva del fenomeno che si sta analizzando. Vediamo una situazione in cui il diagramma cartesiano si presenta adatto a rispondere a specifici quesiti.

4 Diagramma cartesiano Mostriamo un esempio di distribuzione statistica (*) di due distinti caratteri Atleta Peso (Kg) Altezza (cm) Mario Paolo Luca Giorgio Sandro Francesco Alberto Oreste Bruno Ettore Domanda: è possibile ipotizzare che il peso e l altezza degli atleti siano legati da una relazione lineare?

5 Diagramma cartesiano Mostriamo un esempio di distribuzione statistica (*) di due distinti caratteri Atleta Peso (Kg) Altezza (cm) Mario Paolo Luca Giorgio Sandro Francesco Alberto Oreste Bruno Ettore Domanda: è possibile ipotizzare che il peso e l altezza degli atleti siano legati da una relazione lineare? (*) Si dice distribuzione statistica una rappresentazione di come le modalità di uno (distribuzione semplice) o più caratteri (distribuzione multipla) si presentano attribuite alle unità statistiche del collettivo.

6 Diagramma cartesiano Ettore Alberto Giorgio Altezza (cm) Oreste Luca Mario Francesco Bruno Sandro Paolo Peso (Kg) Disponiamo su un asse le modalità del carattere peso e sull'altro quelle del carattere altezza

7 Diagramma cartesiano Ettore Alberto Giorgio Altezza (cm) Oreste Luca Mario Francesco Bruno Sandro Paolo Peso (Kg) Cerchiamo di individuare una retta che intercetti (o approssimi) il più alto numero possibile di punti.

8 Diagramma cartesiano Osserviamo che tutti i nostri tentativi lasciano esterni e distanti dalla retta troppi punti.

9 Diagramma cartesiano Osserviamo che tutti i nostri tentativi lasciano esterni e distanti dalla retta troppi punti. Ne deduciamo che non c'è una relazione lineare tra i due caratteri.

10 Diagramma cartesiano Osserviamo che tutti i nostri tentativi lasciano esterni e distanti dalla retta troppi punti. Ne deduciamo che non c'è una relazione lineare tra i due caratteri. Questo discorso verrà ripreso più avanti quando si introdurrà il concetto di correlazione statistica.

11 Diagramma polare Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Venerdì 50 Lunedì Usato per particolari serie storiche con carattere di ciclicità Assenze Martedì Giovedì Mercoledì

12 Istogramma & diagramma a torta Mostriamo un modo per rappresentare efficacemente le frequenze relative

13 Istogramma & diagramma a torta Mostriamo un modo per rappresentare efficacemente le frequenze relative Consideriamo la tabella Città Disoccupati per abitanti Atlanta 7,300 Boston 5,400 Chicago 6,700 Los Angeles 8,800 New York 8,200 Washington 8,900 Totale 45,300

14 Istogramma & diagramma a torta Mostriamo un modo per rappresentare efficacemente le frequenze relative Consideriamo la tabella Città Disoccupati per abitanti Atlanta 7,300 Boston 5,400 Chicago 6,700 Los Angeles 8,800 New York 8,200 Washington 8,900 Totale 45,300 Sul totale di disoccupati osservati, la tabella precedente mostra la distribuzione di frequenze assolute ripartite sulle diverse modalità costituite dalle città considerate.

15 Istogramma & diagramma a torta Città Disoccupati per abitanti Atlanta 7,300 Boston 5,400 Chicago 6,700 Los Angeles 8,800 New York 8,200 Washington 8,900 Totale 45,300 Dispongo sulle ascisse le modalità, sulle ordinate le frequenze assolute Atlanta Boston Chicago Los Angeles New York Washington

16 Istogramma & diagramma a torta Utilizzo il diagramma a torta: la torta rappresenta il tutto. C i a s c u n o s p i c c h i o rappresenta in area la porzione percentuale data dalla frequenza relativa. Atlanta Chicago New York 20% 18% 16% 12% 19% 15% Boston Los Angeles Washington Legenda Diagramma a torta Frequenze relative % (approssimate all'intero più vicino) Atlanta Boston Chicago Los Angeles New York Washington

17

18 Il preside di una scuola deve preparare un rapporto sul numero di ore a settimana che gli studenti trascorrono a studiare. Seleziona pertanto un campione di 30 studenti e chiede a ciascuno di loro questa informazione.

19 Il preside di una scuola deve preparare un rapporto sul numero di ore a settimana che gli studenti trascorrono a studiare. Seleziona pertanto un campione di 30 studenti e chiede a ciascuno di loro questa informazione. Ottiene la seguente distribuzione: 15,0; 23,7; 19,7; 15,4; 18,3; 23,0; 14,2; 20,8; 13,5; 20,7; 17,4; 18,6; 12,9; 20,3; 13,7; 21,4; 18,3; 29,8; 17,1; 18,9; 10,3; 26,1; 15,7; 14,0; 17,8; 33,8; 23,2; 12,9; 27,1; 16,6.

20 Il diagramma cartesiano è adatto a fornire una rappresentazione significativa di questa distribuzione statistica?

21 Poniamo sull'asse delle ascisse le unità statistiche (gli studenti del campione) e su quello delle ordinate la modalità (le ore di studio) 15,0; 23,7; 19,7; 15,4; 18,3; 23,0; 14,2; 20,8; 13,5; 20,7; 17,4; 18,6; 12,9; 20,3; 13,7; 21,4; 18,3; 29,8; 17,1; 18,9; 10,3; 26,1; 15,7; 14,0; 17,8; 33,8; 23,2; 12,9; 27,1; 16,6.

22 Poniamo sull'asse delle ascisse le unità statistiche (gli studenti del campione) e su quello delle ordinate la modalità (le ore di studio) 15,0; 23,7; 19,7; 15,4; 18,3; 23,0; 14,2; 20,8; 13,5; 20,7; 17,4; 18,6; 12,9; 20,3; 13,7; 21,4; 18,3; 29,8; 17,1; 18,9; 10,3; 26,1; 15,7; 14,0; 17,8; 33,8; 23,2; 12,9; 27,1; 16,6. Sull'asse delle ascisse riportiamo dunque i numeri da 1 a 30 e su quello delle ordinate i numeri compresi fra il minimo 10,3 ed il massimo 33,8.

23 Poniamo sull'asse delle ascisse le unità statistiche (gli studenti del campione) e su quello delle ordinate la modalità (le ore di studio) 15,0; 23,7; 19,7; 15,4; 18,3; 23,0; 14,2; 20,8; 13,5; 20,7; 17,4; 18,6; 12,9; 20,3; 13,7; 21,4; 18,3; 29,8; 17,1; 18,9; 10,3; 26,1; 15,7; 14,0; 17,8; 33,8; 23,2; 12,9; 27,1; 16,6. Sull'asse delle ascisse riportiamo dunque i numeri da 1 a 30 e su quello delle ordinate i numeri compresi fra il minimo 10,3 ed il massimo 33,8. Il numero di elementi del campione si dice taglia. Nello specifico la taglia del campione è 30.

24 Poniamo sull'asse delle ascisse le unità statistiche (gli studenti del campione) e su quello delle ordinate la modalità (le ore di studio) 40 15,0; 23,7; 19,7; 15,4; 18,3; 23,0; 14,2; 20,8; 13,5; 20,7; 17,4; 18,6; 12,9; 20,3; 13,7; 21,4; 18,3; 29,8; 17,1; 18,9; 10,3; 26,1; 15,7; 14,0; 17,8; 33,8; 23,2; 12,9; 27,1; 16, Un diagramma cartesiano non sarebbe significativo!

25 Per variabili (ossia caratteri quantitativi) continue come nel nostro esempio, una opportuna rappresentazione grafica si ottiene attraverso un preliminare raggruppamento in classi finalizzato alla costruzione di un Istogramma.

26 Per variabili (ossia caratteri quantitativi) continue come nel nostro esempio, una opportuna rappresentazione grafica si ottiene attraverso un preliminare raggruppamento in classi finalizzato alla costruzione di un Istogramma. Le classi di modalità andranno riportate sull'asse delle ascisse.

27 Per variabili (ossia caratteri quantitativi) continue come nel nostro esempio, una opportuna rappresentazione grafica si ottiene attraverso un preliminare raggruppamento in classi finalizzato alla costruzione di un Istogramma. Le classi di modalità andranno riportate sull'asse delle ascisse E sull'asse delle ordinate?

28 Costruzione

29 Costruzione 1 Passo: stabilire il campo di variazione massimo - minimo 33,8-10,3=23,5

30 Costruzione 1 Passo: stabilire il campo di variazione massimo - minimo 33,8-10,3=23,5 2 Passo: determinare le classi di modalità i) Numero di classi

31 Costruzione 1 Passo: stabilire il campo di variazione massimo - minimo 33,8-10,3=23,5 2 Passo: determinare le classi di modalità i) Numero di classi ii) Ampiezza delle classi

32 Costruzione 1 Passo: stabilire il campo di variazione massimo - minimo 33,8-10,3=23,5 2 Passo: determinare le classi di modalità i) Numero di classi ii) Ampiezza delle classi Regola empirica: 30 =5,47 6 taglia

33 Costruzione 1 Passo: stabilire il campo di variazione massimo - minimo 33,8-10,3=23,5 2 Passo: determinare le classi di modalità i) Numero di classi ii) Ampiezza delle classi Regola empirica: 30 =5,47 6 taglia h= 23,5 6 =3,91 4

34 Costruzione 1 Passo: stabilire il campo di variazione massimo - minimo 33,8-10,3=23,5 2 Passo: determinare le classi di modalità i) Numero di classi ii) Ampiezza delle classi Regola empirica: 30 =5,47 6 taglia h= 23,5 6 =3,91 4 Dunque raggruppiamo le modalità in 6 classi di ampiezza 4

35 Costruzione 2 Passo: determinare le classi di modalità Problema: come determino gli estremi delle 6 classi?

36 Costruzione 2 Passo: determinare le classi di modalità Problema: come determino gli estremi delle 6 classi? 6 classi di ampiezza 4: lunghezza totale = 6x4=24

37 Costruzione 2 Passo: determinare le classi di modalità Problema: come determino gli estremi delle 6 classi? 6 classi di ampiezza 4: lunghezza totale = 6x4=24 Campo di variazione = 23,5

38 Costruzione 2 Passo: determinare le classi di modalità Confrontando le due diverse lunghezze, si capisce che per pareggiarle occorre aggiungere ai due estremi del segmento rosso due segmenti di lunghezza pari alla semidifferenza delle lunghezze.

39 Costruzione 2 Passo: determinare le classi di modalità Confrontando le due diverse lunghezze, si capisce che per pareggiarle occorre aggiungere ai due estremi del segmento rosso due segmenti di lunghezza pari alla semidifferenza delle lunghezze 6 classi di ampiezza 4: lunghezza totale = 6x4=24 Campo di variazione = 23,5

40 Costruzione 2 Passo: determinare le classi di modalità Confrontando le due diverse lunghezze, si capisce che per pareggiarle occorre aggiungere ai due estremi del segmento rosso due segmenti di lunghezza pari alla semidifferenza delle lunghezze d=(24-23,5)/2 d=(24-23,5)/2

41 Costruzione 2 Passo: determinare le classi di modalità L'estremo inferiore della prima classe di modalità si ottiene nel seguente modo: min-d = 10,3-0,25 = 10,05 10 per arrotondamento

42 Costruzione 2 Passo: determinare le classi di modalità L'estremo inferiore della prima classe di modalità si ottiene nel seguente modo: min-d = 10,3-0,25 = 10,05 10 per arrotondamento L'estremo superiore della prima classe si ottiene aggiungendo l'ampiezza: = 14

43 Costruzione 2 Passo: determinare le classi di modalità L'estremo inferiore della prima classe di modalità si ottiene nel seguente modo: min-d = 10,3-0,25 = 10,05 10 per arrotondamento L'estremo superiore della prima classe si ottiene aggiungendo l'ampiezza: = 14 Prima classe: [10;14)

44 Costruzione 2 Passo: determinare le classi di modalità Le altre 5 classi si ottengono attraverso i successivi 5 intervalli di ampiezza h = 4: 2^a classe: [14;18) 3^a classe: [18;22) 4^a classe: [22;26) 5^a classe: [26;30) 6^a classe: [30;34]

45 Costruzione 3 Passo: Contare quanti elementi cadono in ciascuna classe Per far questo, innanzitutto ordiniamo i dati in ordine crescente 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8.

46 Costruzione 3 Passo: Contare quanti elementi cadono in ciascuna classe Poi ripartiamo le modalità secondo il raggruppamento effettuato 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8.

47 Costruzione 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Distribuzione di frequenza assoluta [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34] Distribuzione di frequenza relativa 0,17=5/30 [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34]

48 Distribuzione di frequenza assoluta [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34] L'area totale dipende dalla taglia del campione e dalla ampiezza delle classi!!! Distribuzione di frequenza relativa [10;14) [14;18) [18;22)[22;26) [26;30) [30;34] La somma delle aree dei rettangoli è: 4*5+4*9+ +4*1= 4* ( )=4*30 La somma delle aree dei rettangoli è: 4*0,17+4*0,3+ +4*0,03= 4* ( 0,17+0,3+ +0,03)=4 L'area totale dipende dalla ampiezza delle classi!!!

49 OSSERVAZIONE:

50 OSSERVAZIONE: IL PROFILO DEI DUE DIAGRAMMI NON E' CAMBIATO!

51 Diagramma delle frequenze relative Si chiama diagramma delle frequenze relative un diagramma cartesiano costruito con i punti medi delle classi di modalità e le frequenze relative. (10.14) (14.18) (18.22) (22.26) (26.30) (30.34) (10,14) (14,18) (18,22) (22,26) (26,30) (30,34) Modello teorico

52 Effetto dell'aumento delle classi Criticità: al crescere del numero delle classi la frequenze relative si abbassano e laddove non sono nulle, si avvicinano al valore 1/30 (fanno eccezione la classe contenente la modalità 12,9 e quella contenente la modalità 18,3: perchè?) [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34] 0 [12;14) [16;18) [20;22) [24;26) [28;30) [32;34] (12;13) (15;16) [18;19) (21;22) (24;25) (27;28) (30;31) [33,34] 0 [13;13,5) [16,5;17) [20;20,5) [23,5;24) [27;27,5) [30,5;31)

53 Regola empirica In una distribuzione di frequenza, le frequenze assolute non devono essere tutte troppo piccole! (12;12,5) (14,5;15) (17;17,5) (19,5;20) (22;22,5) (24,5;25) [27;27,5) (29,5;30) (32;32,5) Linea guida: mai considerare raggruppamenti con frequenze assolute tutte al di sotto di 5!

54 Istogramma delle densità Si definisce densità il rapporto fra la frequenza relativa e l ampiezza della classe di modalità 0,17/4=0, [10.14) [14.18) [18.22) [22.26) [26.30) [30.34] Vantaggi: A. Stessa forma dell istogramma costruito con le frequenze assolute B. La somma delle aree dei rettangoli è 1. 4 [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34] =1

55 Alla ricerca di un modello teorico 0.16 Istogramma delle densità h= Istogramma delle densità h= [10;12) [14;16) [18;20) [22;24) [26;28) [30;32) 0 [10;11) [13;14) [16;17) [19,20) [22;23) [25;26) [28;29) [31;32) Al crescere del numero delle classi (decrescere della ampiezza h) il profilo del diagramma non si schiaccia

56 Alla ricerca di un modello teorico Allo scopo di costruire un modello teorico, capace di esprimere le densità di frequenze di intervalli di ampiezza arbitrariamente piccola, i grafici che stiamo costruendo costituiscono una approssimazione.

57 Alla ricerca di un modello teorico Allo scopo di costruire un modello teorico, capace di esprimere le densità di frequenze di intervalli di ampiezza arbitrariamente piccola, i grafici che stiamo costruendo costituiscono una approssimazione. A tale scopo, sarà necessario:

58 Alla ricerca di un modello teorico Allo scopo di costruire un modello teorico, capace di esprimere le densità di frequenze di intervalli di ampiezza arbitrariamente piccola, i grafici che stiamo costruendo costituiscono una approssimazione. A tale scopo, sarà necessario: 1. considerare classi sempre più numerose e di ampiezza sempre minore 2. "riempire i buchi" laddove l'istogramma delle densità presenta densità nulle

59 Alla ricerca di un modello teorico Allo scopo di costruire un modello teorico, capace di esprimere le densità di frequenze di intervalli di ampiezza arbitrariamente piccola, i grafici che stiamo costruendo costituiscono una approssimazione. A tale scopo, sarà necessario: 1. considerare classi sempre più numerose e di ampiezza sempre minore 2. "riempire i buchi" laddove l'istogramma delle densità presenta densità nulle aumentare la taglia

60 Confronti Gli istogrammi di densità permettono di confrontare insiemi di dati diversi Esempio: si vuole confrontare il risultato della prima scuola con quello di un altra in cui i dati sono forniti mediante un campione di 26 studenti. 25,8; 23,2; 10,1; 24,2; 21,0; 22,3; 15,1; 22,4; 28,3; 25,7; 19,8; 21,4; 17,7; 19,3; 18,2; 21,5; 23,3; 24,3; 20,9; 27,0; 22,3; 20,9; 21,1; 25,1; 23,9; 21,1. 12 [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30] Istogramma delle frequenze assolute [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30]

61 Confronti 10 Distribuzione di frequenza assoluta 1^a scuola In generale il confronto non si riesce a fare perché [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34] Distribuzione di frequenza assoluta 2^a scuola A. Si riferiscono a taglie diverse. B. Le classi di modalità hanno ampiezza diversa. C. Gli assi sono tarati diversamente [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30]

62 Confronti Il modo corretto di confrontare i due insiemi di dati è: A. costruire un istogramma delle densità per ciascuna scuola; B. uniformare asse x e asse y Istogramma delle densità 1^a scuola 0.12 Istogramma delle densità 2^a scuola [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30,34] 0 [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26,30) [30;34] Conclusioni: nella II scuola si studia in generale di più anche se nella prima ci sono degli "sgobboni"!

63 Diagramma delle frequenze cumulate Nella scuola del Signor X quale percentuale di studenti intervistati trascorre meno di 15 ore a studiare? Un primo diagramma associa a ciascun elemento del campione la percentuale di dati che assume un valore uguale o inferiore ad esso. Proprietà: 1) È funzione non decrescente. 2) Assume valori tra 0 e 1. Come si calcola?

64 1. Gli elementi del campione casuale vanno ordinati. 15,0; 23,7; 19,7; 15,4; 18,3; 23,0; 14,2; 20,8; 13,5; 20,7; 17,4; 18,6; 12,9; 20,3; 13,7; 21,4; 18,3; 29,8; 17,1; 18,9; 10,3; 26,1; 15,7; 14,0; 17,8; 33,8; 23,2; 12,9; 27,1; 16,6 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8 2. Agli elementi (senza ripetizioni) vanno associate le frequenze cumulate. Dati Ordinati Frequenze cumul. 10,3 =1/30 12,9 =3/30 13,5 =4/30 13,7 =5/30 18,3 =15/30

65 A cosa serve? Per rispondere al quesito iniziale: Nella scuola del Signor X quale percentuale di studenti intervistati trascorre meno di 15 ore a studiare? 0,26 Si traccia una linea verticale in corrispondenza di 15 ore fino ad incontrare il grafico (rosso) e poi si traccia una linea orizzontale fino ad incontrare l asse delle y.

66 A cosa serve? Ma si può rispondere anche al quesito inverso: Nella scuola del Signor X quante ore (al più) trascorre a studiare il 50% degli studenti meno volenterosi? Circa 18 ore. Possiamo essere più precisi? 0,50 Ispezionando il campione casuale e determinando quel valore che divide il campione casuale in due parti. (si veda capitolo successivo) Si traccia una linea orizzontale in corrispondenza di 0,5 fino ad incontrare il grafico (rosso) e poi si traccia una linea verticale in basso fino ad incontrare l asse delle x.