Didattica e metodologie innovative nell insegnamento della matematica

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1 Didattica e metodologie innovative nell insegnamento della matematica ISOPERIMETRIA ED EQUIESTENSIONE ISTITUTO COMPRENSIVO DI GUSSAGO giugno 2017 Prof.ssa Silvana Spinoni

2 PERCHÉ I CONCETTI DI PERIMETRO E AREA? Questioni elementari Questioni fondanti non banali PERCHÉ LE LORO RELAZIONI? Se il perimetro aumenta anche l area aumenta Grandezze distinte entro certi limiti non ci sono vincoli

3 Insieme di segmenti del piano relazione di equivalenza: congruenza Ripartizione in classi di congruenza associazione ad ogni classe di una proprietà astratta Definizione di lunghezza Con il termine perimetro si intende la lunghezza di una linea semplice chiusa. Due segmenti o sono uguali o sono diversi rispetto alla lunghezza

4 Insieme di poligoni del piano del piano relazione di equivalenza: equiestensione Ripartizione in classi di equivalenza Definizione di area Due poligoni o sono uguali o sono diversi rispetto all area

5 POLIGONI/ NON POLIGONI FIGURE PIANE PERIMETRO AREA confronto tra superfici piane mediante manipolazione confronto di perimetri confronto di aree livello qualitativo CONCETTO ordinamento di perimetri costruzione di figure isoperimentriche livello qualitativo CONCETTO ordinamento EQUIESTENSIONE livello quantitativo MISURA uso di unità di misura arbitrarie restringimento del campo ai poligoni individuazione di figure equiestese EQUISCOMPONIBILITÁ per somma per differenza ISOPERIMETRIA livello quantitativo MISURA mediante ricoprimento (campioni) unità di misura arbitrarie mediante conteggio uso/abuso del quadretto studio di figure isoperimetriche per diversi attributi costruzione di figure isoperimetriche Ipotesi relazione tra misura lunghezza lati e misura area FIGURE ISOPERIMETRICHE E NON EQUIESTESE RELAZIONE TRA PERIMETRO E AREA PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE FIGURE EQUIESTESE E NON ISOPERIMETRICHE

6 Nel TANGRAM seguente colorare i tan. Tan congruenti devono avere lo stesso colore e tan non congruenti colore diverso Strategia: confronto diretto mediante sovrapposizione rigida di due tan a e Tan congruenti hanno: b c d - uguale numero di lati (angoli, vertici) - lati congruenti - angoli congruenti f g

7 Nel TANGRAM seguente colora tutti i tan. Tan che hanno la stessa estensione devono avere lo stesso colore e tan che non hanno la stessa estensione colore diverso Strategia: confronto diretto mediante sovrapposizione rigida di due tan a e b d c f g

8 Il tan a e il tan b hanno la stessa estensione? a b Tan congruenti sono necessariamente equiestesi, si può procedere a verifica mediante confronto diretto CONCLUSIONE: i due tan hanno la stessa estensione

9 Ulteriore verifica con la bilancia a due bracci

10 a e b c d f g

11 Si può precedere analogamente con il tan d e il tan e d e Possiamo concludere che tan congruenti oltre ad avere: - uguale numero di lati (angoli, vertici) - lati congruenti - angoli congruenti hanno uguale estensione Anche in questo caso si procede ad ulteriore verifica con la bilancia a due bracci

12 a e b c d f g

13 E tan non congruenti? Consideriamo il tan e e il tan d. e d d e Previsione a occhio che può essere verificata mediante confronto diretto (uno solo) CONCLUSIONE: i due tan non hanno la stessa estensione Si verifica con la bilancia a due bracci

14 a e b c d f g

15 Mettiamoci all opera! Il tan f e il tan d hanno la stessa estensione? f d d f Il confronto è più complicato, una delle due non è completamente contenuta nell altra CONCLUSIONE:? Nasce un PROBLEMA. Si accolgono le proposte Ad esempio si può ricorrere alla bilancia a due bracci

16 CONCLUSIONE: i due tan hanno la stessa estensione

17 a e b c d f f g

18 Il tan g e il tan d hanno la stessa estensione? g d d g Si può far strada l ipotesi che d si possa trasformare in g tagliando i due piccoli triangolini che sporgono. Si procede a verifica con la bilancia I due tan risultano essere equiestesi

19 Usando i tan e e c e accostandoli in modo opportuno possiamo ottenere il tan g? g e c Possiamo ottenere il tan d? d e c

20 d Tan (poligoni) a e equicomposti hanno la stessa estensione ( sono b d equiestesi) e viceversa, tan (poligoni) che hanno f c la stessa estensione f f g ( equiestesi) sono equicomposti g

21 b a c d e - Tan (poligoni) congruenti sono equiestesi - Tan (poligoni) equiestesi possono non essere congruenti Quale ulteriore strategia? f g 2 16

22 Mettiamoci all opera! Confrontiamo i tan rispetto al perimetro Tan congruenti hanno lo stesso perimetro? Tan equiestesi hanno lo stesso perimetro?

23 Con un filo di ragnatela " I tangram si sono un po rovinati. Mastro Picchio e Mastro Castoro chiedono aiuto a Tess " - LUNGHEZZA DEL CONTORNO - ISOPERIMETRIA livello qualitativo

24 b b a a c d e I tan a, b sono congruenti ed isoperimetrici I tan e, c sono congruenti ed isoperimetrici I tan e, c sono congruenti ed isoperimetrici Il tan d è equiesteso ai tan g, f non è ad essi isoperimetrico f g Rappresenta nel seguente diagramma la relazione. ha perimetro maggiore di.. a b c d e f g a b c d e f g X X X X X X X X X X X X X X X X X X

25 Contenuto geometrico trattato figure geometriche IL PERIMETRO DA UN PUNTO DI VISTA QUALITATIVO CONFRONTO ORDINAMENTO

26 Equiestensione per somma Mettiamoci all opera! Prendete in esame gli esercizi dati, analizzateli e formulate una possibile consegna dell esercizio, commentate l esercizio indicate il grado di difficoltà da 1 a 5 ( 1 il più facile 5 il più difficile) rinumerate gli esercizi secondo la sequenza con cui li proporreste alla classe indicate possibili approfondimenti o elementi di facilitazione che introdurreste

27 Equiestensione per somma Dichiarazione dei pezzi utilizzati Raggruppamento dei pezzi utilizzati c a b f d e ( da C.Colombo Bozzolo- A. Costa- C. Alberti Nel mondo della geometria Vol.5 La misura pag. 199 Ed. Erickson )

28 c a b f d e Mettere in ordine i poligoni dal più esteso al meno esteso b, e sono più estesi di a, c che sono più estesi di d,f

29 APPROFONDIMENTO c a b f d e 1. Confrontare i poligoni rispetto al perimetro a, d hanno lo stesso perimetro Il perimetro di f è minore del perimetro di a di d Il perimetro di a ( d ) è minore del perimetro di b Il perimetro di b è minore del perimetro di e Il perimetro di e è minore del perimetro di c 2. Costruire due figure isoperimetriche ed equiestese

30 I pezzi utilizzati sono dichiarati ma non raggruppati

31 Equiestensione per somma Sfondo quadrettato A B Il primo poligono è già suddiviso. Sfondo quadrettato Nessuno dei due poligoni è suddiviso.

32 TANGRAM CURVILINEI

33 Isoperimetria equicomponibilità Mettiamoci all opera! In un quadrato considera la corda avente per estremi un vertice del quadrato e il punto medio di un lato opposto al vertice (si veda il disegno). Riproduci il disegno su un foglio di carta (scegliendo a piacere la lunghezza del lato), ritaglia il quadrato e dividilo lungo la corda. Si ottengono due poligoni. Accosta i due poligoni lungo due lati congruenti. Incolla su un foglio i poligoni nella posizione individuata. Quante sono le soluzioni possibili? Per ogni soluzione da trovare utilizza un nuovo quadrato. I poligoni ottenuti hanno la stessa estensione? Confronta i diversi poligoni e stabilisci quali hanno uguale perimetro (per esempio contrassegnali nello stesso modo). Quali hanno perimetro massimo? Hai bisogno di misurare per rispondere alla domanda precedente? Giustifica le risposte date. da C. Colombo Bozzolo

34 I poligoni ottenuti sono equicomposti e quindi equiestesi Poligoni isoperimetrici 1 e 2 3, 4, 6, 7 5, 8 Hanno uguale perimetro i poligoni costruiti accostando le due figure di partenza lungo lo stesso lato o lungo lati congruenti. I poligoni 1 e 2 hanno perimetro massimo in quanto sono ottenuti accostando i due poligoni di partenza lungo il lato più corto.

35 LA SAGGIA E ARGUTA DIDONE Didone, figlia del re di Tiro, aveva sposato Sicheo, uno degli uomini più ricchi della Fenicia. Di questa ricchezza divenne molto geloso il fratello di Didone, Pigmalione, il quale, a tradimento, fece uccidere il marito di Didone. L assassino rimase nascosto fino a quando il fantasma di Sicheo non apparve a Didone esortandola a fuggire e svelandole il luogo segreto in cui teneva il suo tesoro. Didone radunò quanti compagni potè fra coloro che odiavano e temevano Pigmalione, caricò d oro e d argento tutte le navi che erano in porto pronte a salpare e arrivò in questo luogo dopo aver fatto tappa a Cipro e Malta. In questo Luogo Didone chiese a Iarba, re dei Getuli, un po di terra per costruire una città. Jarba, per spregio verso colei che credeva una debole donna, gliene concesse tanta quanta ne avrebbe potuto (contenere) CINGERE una pelle di bue

36 . tanta terra quanta ne poteva cingere una pelle di bue. Versione area nell interpretazione di Iarba Versione perimetro nell interpretazione di Didone Martha Isabel Fandino Pinilla e Bruno D Amore, Area e perimetro, Aspetti concettuali e metodologici, p. 58

37 I SITUAZIONE Costruire figure diverse con i tan a, b, e, c, d, Le figure sono equiestese? c a b e d da C.Colombo Bozzolo- A. Costa- C. Alberti Nel mondo della geometria Vol.5 La misura pag. 199 Ed. Erickson

38 II SITUAZIONE Si consegnano a tutti gli alunni i tan a, b, e, c, poi ad alcuni si consegna il tan f e ad altri il tan g Si chiede se le figure costruite dai vari alunni sono tutte equiestese Sì perché i tan f e g sono equiestesi c f a b e g Le figure sono equiestese a quelle costruite nell attività precedente? Sì perché i tan d, f, g sono equiestesi I tan sono presentati nella situazione in cui tan congruenti sono colorati nello stesso modo e tan non congruenti in modo diverso e non nella situazione in cui tan equiestesi sono colorati nello stesso modo e tan non equiestesi in modo diverso perchè la equiestensione deve essere riscoperta dai bambini. Se i ragazzi non dovessero cogliere che tutte le figure sono equiestese essendo i tan f, g, d equiestesi si può proporre l attività illustrata nella diapositiva successiva da C.Colombo Bozzolo- A. Costa- C. Alberti Nel mondo della geometria Vol.5 La misura pag. 199 Ed. Erickson

39 F E Per ogni parte che compone il poligono ABCDEFG cerca la parte ad essa A G D congruente nel poligono HLMNO. Colora le due parti nello stesso modo. Parti non congruenti non devono avere lo stesso colore. B C N O M H L ( da C.Colombo Bozzolo- A. Costa- C. Alberti Nel mondo della geometria Vol.5 La misura pag. 214 Ed. Erickson )

40 F E Due parti dello stesso colore sono equiestese? SI A G D Hai colorato tutte le parti che compongono i due poligoni? NO Se hai risposto di no le due parti non colorate hanno la stessa forma? NO O B N C M Secondo te le due parti non colorate sono equiestese? SI Com è l estensione della superficie del poligono ABCDEFG rispetto a quella della superficie del poligono HILNO? UGUALE Com è il perimetro del poligono ABCDEFG rispetto al perimetro del poligono HLMNO? MAGGIORE H L Come sono tra loro i due poligoni? CONGRUENTI ISOPERIMETRICI X EQUIESTESI ( da C.Colombo Bozzolo- A. Costa- C. Alberti Nel mondo della geometria Vol.5 La misura pag. 214 Ed. Erickson )

41 SECONDO TE DUE POLIGONI PER ESSERE EQUIESTESI DEVONO ESSERE FORMATI DA TAN CONGRUENTI?

42 I DUE POLIGONI AFFIANCATI SONO EQUIESTESI? g f SI f INDI d g a c a e SI

43 SI NO SI

44 POLIGONI EQUIESTESI I poligoni a, b, c, d, e, f, g sono stati costruiti accostando in diverso modo le figure 1 e 2 Colora nello stesso modo le superfici dei poligoni che hanno uguale area. Poligoni di area diversa devono avere colori diversi Come hai proceduto per stabilire quali poligoni hanno uguale area? (rielaborazione da C.Colombo Bozzolo- A. Costa- C. Alberti Nel mondo della geometria Vol.5 La misura pag. 217 Ed. Erickson )

45 ha area maggiore di.. a b c d e f g a b X X X X X X X X c d e f g X X X X X X X X Criticità L estensione del pezzo 2 è il triplo di quella del pezzo 1 e quindi l area del poligono e è uguale a quella dei poligoni c, d. Cogliere questo aspetto non è banale e richiede di scomporre opportunamente i due pezzi dopo averli sovrapposti.

46 Equiestensione per somma DAL RETTANGOLO AL QUADRATO

47 Equiestensione per differenza LETTERE IN UN QUADRATO Claudia, Martina e Zemira con molta fantasia e pochi materiali inventano giochi divertenti. Oggi hanno preparato cartoncini di forma quadrata e tutti uguali fra loro e altri tre cartoncini, quadrati, più piccoli dei precedenti ma sempre uguali tra loro. Ecco la forma ottenuta dalle tre amiche per alcune lettere dell alfabeto Le tre figure hanno uguale area? Perché? ( da C.Colombo Bozzolo- A. Costa- C. Alberti Nel mondo della geometria Vol.5 La misura pag. 218 Ed. Erickson )

48 Zemira ha realizzato anche le seguenti lettere, Ritagliando da ognuno dei quadrati grandi due rettangoli uguali alla metà del quadrato piccolo. Le figure ottenute da Zemira hanno uguale area? Perché? Hanno area uguale alle figure precedenti? Perché?

49 Due figure percettivamente molto diverse.. Togliendo da entrambe diversi tan le figure sono uguali per AREA? Togliendo tan non congruenti ma equiestesi Togliendo tan congruenti Togliendo tan non congruenti e non equiestesi

50 FANTASIA ALL OPERA CON IL TANGRAM Con i tan a, b costruisci un quadrato (Q 1 ) Con i pezzi di tan rimanenti costruisci un altro quadrato Q 2 g b a f e c Da quanti pezzi del tangram è formato il quadrato Q 1? 2 Da quanti pezzi è formato il quadrato Q 2? 5 I due quadrati sono formati dallo stesso numero di pezzi? NO I due quadrati sono equiestesi? SI Giustifica la tua risposta Sono congruenti ( da C. Colombo Bozzolo - A. Costa - C. Alberti Nel mondo della geometria Vol.5 La misura pag. 210 Ed. Erickson )

51 Con i tan a, b costruisci un quadrato Q 1 Con i pezzi di tan rimanenti costruisci un poligono concavo b a I due poligoni sono congruenti? I due poligoni sono equiestesi? NO SI c Giustifica la tua risposta Ognuno dei due poligoni è 1 dell intero tangram 2

52 I due poligoni colorati sono fra loro congruenti? Sono equiestesi? SI NO Giustifica la tua risposta Sono equiestesi perchè sono la stessa frazione del quadrato di partenza Confronta il perimetro dei due poligoni Il perimetro del triangolo isoscele è maggiore di quello del rettangolo da M. Montessori Psicogeometria ( rielaborazione di L. Montagnoli )

53 APPROFONDIMENTO Con i tan a, b, g e con i tan f, d, e, c costruire due poligoni. Sono equiestesi? Giustifica la tua risposta Con i tan a, c, e, d e con i tan d, c, e costruire due poligoni. Sono equiestesi? Giustifica la tua risposta Con i tan a, c,d, f di un tangram costruire un quadrato e con i tan rimanenti un poligono Con i tan d, c, e, d di un tangram costruire un triangolo e con i tan rimanenti un poligono. Il quadrato e il triangolo sono equiestesi? E i due poligoni costruiti con i pezzi rimanenti?