Esposizione sintetica delle fasi operative del percorso sulle aree, illustrato dalla esposizione in power point. 1) Consegnare ai ragazzi 2 modelli

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1 Esposizione sintetica delle fasi operative del percorso sulle aree, illustrato dalla esposizione in power point. 1) Consegnare ai ragazzi 2 modelli di quadrati di lato 9 cm e di 2 rettangoli di dimensioni :14cm e 4cm, facendo attaccare sul quaderno solo una coppia di figure diverse e domandare quale figura risulta più grande. 2) Consegnare 2 rettangoli di 7cm x8cm e due figure a contorno curvilineo, costruite in modo che la loro superficie sia maggiore, ma non troppo visibilmente, di quella dei rettangoli, facendo attaccare sul quaderno anche questa volta una coppia soltanto di figure diverse, Chiedere di nuovo :<qual è la figura più grande?>. 3) In base alle risposte, se alcune fanno emergere le difficoltà degli alunni nel far dipendere la grandezza di una figura esclusivamente dalla sua area, chiedere : <che cosa significa essere grande?> Qualche ragazzo parlerà di superficie o di spazio o di area. 4) Chiedere quindi come si determina l area di una figura Alcuni ragazzi parleranno di centimetri quadrati o di decimetri quadrati, ed a questo punto esamineremo varie unità di misura, chiedendo loro inizialmente, di disegnare 1 cm 2 e 1 dm 2 ed analizzando, con l aiuto di un modello di metro quadrato, le unità di misura di superficie per il calcolo dell area 5) Dopo questo lavoro chiedere espressamente di calcolare l area della figura a contorno curvilineo, anche se in modo approssimativo alcuni ragazzi possono aver già tentato di farlo precedentemente. 6) In questa fase possono riemergere varie difficoltà nel saper distinguere il concetto di area e di perimetro, confondendoli continuamente ed usandoli indistintamente per determinare l estensione di una figura. Nel corso di quest attività ci si accorge che alcuni alunni, anche nel gruppo di quelli che riteniamo più preparati, riproducono con un filo o con uno spago il contorno della figura a contorno curvilineo e con esso realizzano un rettangolo, che secondo loro ha la stessa area della figura, evidenziando che la confusione tra area e perimetro è diffusa tra i nostri alunni. 7) Ne consegue la proposta di esperienze operative sui rettangoli isoperimetrici ed equiestesi ( vedere libro di testo di E. Castelnuovo, quando si propone l esperienza dello spago tenuto tra le dita delle mani a simulare dei rettangoli isoperimetrici) e la realizzazione di grafici ( retta ed iperbole) ponendo i modelli dei rettangoli a libretto in un piano cartesiano. Si chiede quindi di disegnare figure con lo stesso perimetro e di determinarne l area e viceversa.

2 Si compila poi tutte le volte una tabella con i dati raccolti riportando sulle colonne in successione le misure di ; base, altezza, semiperimetro, perimetro, area. Si fanno riprodurre i rettangoli su cartoncino colorato, possibilmente con colori diversi, facendoli incollare a libretto su un piano cartesiano, come è esposto ed illustrato sul libro di testo La matematica di E. Castelnuovo. Nel corso del lavoro si fa un primo accenno al concetto di variabile e di costante, ponendo con questa esperienza operativa i presupposti del percorso sulle funzioni che riprenderemo in 3 media, sia nel corso delle attività di matematica che in quelle di informatica. 8)Un valido esercizio da proporre è il seguente : disegna una figura la cui area risulta di 3cm 2 ed una di 3 dm 2 ( sul pavimento anche una di 3 m 2 ) Gli alunni disporranno diversamente i centimetri quadrati, realizzando figure del tipo seguente: A questo punto chiedendo loro di determinare l area ed il perimetro emergono i seguenti errori : a) considerano parte del perimetro i segmenti interni b) molti alunni sono convinti che le figure risultano uguali. Questo lavoro permette di chiarire ulteriormente alcuni prerequisiti importanti per sviluppare poi la ricerca sull area dei vari poligoni e tra questi il concetto di equivalenza, che spesso confondono con quello di congruenza. 9) Si lavora di nuovo sull area di rettangoli e quadrati esplicitando le formule relative e visualizzando con diagrammi i procedimenti diretti ed inversi. 10) Si fanno esercizi su area e perimetro di rettangoli e quadrati. 11) Si consegnano 3 figure uguali di triangolo rettangolo una da attaccare, le altre due da utilizzare- chiedendo di trovare l area della figura e di giustificare ogni volta la risposta data. 12) Si ripete il discorso ogni volta con figure diverse: a) con triangoli isosceli e scaleni

3 b) con parallelogrammi, c) con rombi, d) con trapezi di vario tipo, e) con poligoni regolari f) se possibile anche con poligoni irregolari Fasi del percorso alla scoperta del Teorema di Pitagora 1) Si pone la richiesta del famoso problema : <dato un quadrato disegnane un altro che sia il doppio di esso>. 2) Si esaminano le risposte tra cui frequente è quella di raddoppiare il lato. 3. Si parte da questa soluzione facendo notare che il quadrato ottenuto congiungendo i punti medi del quadrato che ha per lato il doppio di quello di partenza è proprio quello che cercavamo frequentemente 1 o 2 alunni ci arrivano da soli, spontaneamente-, 3) Si realizza una base quadrata in cartoncino e si collocano al suo interno 4 triangoli rettangoli, riprodotti sempre su un cartoncino di colore diverso, realizzando la soluzione del problema ( un quadrato che ha i vertici nei punti medi della base quadrata). 4) si guida l alunno a porre l attenzione su un triangolo qualsiasi, tra quelli rettangoli isosceli, evidenziati ai margini della base, che hanno quel quadrato al centro costruito sull ipotenusa. 5)Si guidano a spostare due triangoli per volta sui cateti realizzando facilmente 2 quadrati. Dal confronto tra il quadrato interno alla figura formato da 4 triangoli rettangoli ed i due quadrati sui cateti emerge che la somma dei quadrati sui cateti di un triangolo rettangolo isoscele equivale al quadrato sull ipotenusa. 6) Si chiede ai ragazzi se la proprietà vale anche per gli altri triangoli isosceli 7) Gli alunni disegnano triangoli isosceli acutangoli o ottusangoli e disegnano i quadrati costruiti sui lati uguali e quello sul lato di lunghezza diversa verificando con il calcolo che : a) nei triangoli acutangoli isosceli la somma dell area dei quadrati sui lati uguali è maggiore dell area del quadrato sul 3 lato

4 b) nel caso del triangolo ottusangolo è minore 8) A questo punto si chiede se la proprietà vale per i triangoli rettangoli scaleni e si ripete il lavoro precedente calcolando l area dei quadrati sui cateti e quella sull ipotenusa. In alcuni casi accadrà che l uguaglianza tra la somma dell area dei quadrati sui cateti e quella del quadrato sull ipotenusa, risulterà esatta, in altri casi l uguaglianza si verificherà approssimando i valori finali. 9) Emergerà che anche il triangolo rettangolo scaleno è un buon candidato per la validità della proprietà : somma dei quadrati sui cateti equivalente a quadrato costruito sull ipotenusa e forse per altra via potremmo dimostrare che la proprietà vale sempre in questo caso. 10) Si consegnano ai ragazzi due basi quadrate con 8 triangoli rettangoli isosceli, cercando di guidare gli alunni a realizzare le note configurazioni della dimostrazione fatta da Pitagora. 11) Si consegnano quindi 8 triangoli rettangoli scaleni e si chiede di realizzare un analoga dimostrazione collocando i primi 4 in modo che si formi all interno il quadrato costruito sull ipotenusa Con gli altri 4 triangoli si chiede di collocarli in modo che si evidenzino i due quadrati sui cateti Attraverso il lavoro di gruppo si otterrà anche in questo caso la nota configurazione, analoga a quella relativa al triangolo rettangolo isoscele. In questa fase gli alunni fanno molti errori, ma la guida costante del docente li dovrebbe indirizzare verso il raggiungimento dell obiettivo che ci siamo posti : arrivare dimostrare che il teorema di Pitagora vale solo e soltanto per i triangoli rettangoli. Configurazioni sbagliate configurazioni corrette 12) Si esaminano schede sulla vita di Pitagora e sulle scoperte della sua scuola 12) Si esaminano con i ragazzi altre dimostrazioni documentate su internet. 13) In attività di laboratorio si realizzano dimostrazioni, ponendo sui lati

5 di un triangolo rettangolo o rettangoli con la stessa altezza o triangoli equilateri o semicerchi, consentendo così ai ragazzi di scoprire che la proprietà è sempre valida 14) Si realizzano disegni su cartoncino reiterando il teorema a partire da un triangolo rettangolo isoscele. 15) Sui quaderni si propongono problemi che hanno come obiettivo quello di riuscire a determinare l area ed il perimetro di tutti i poligoni elementari ed anche di poligoni irregolari riprodotti su un piano cartesiano o su un quadrettato. Da questa attività, fondata su problemi, si scoprono le varie applicazioni del Teorema di Pitagora.