CLASSI SECONDE Anno scolastico 2007/08. SCUOLA MEDIA DI BARBERINO DI MUGELLO Insegnante : Sandra Gera

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1 CLASSI SECONDE Anno scolastico 2007/08 SCUOLA MEDIA DI BARBERINO DI MUGELLO Insegnante : Sandra Gera

2 Vengono consegnate ai ragazzi due figure: un rettangolo avente per dimensioni 4cm e 14 cm ed un quadrato con lato di 9cm e si chiede qual è la figura più grande : la maggior parte dei ragazzi conclude che il rettangolo risulta più grande per sovrapposizione.

3 alcuni ragazzi ragionano in un altro modo, calcolando l area delle 2 figure e confrontandone il valore.

4 Ma qualche ragazzo dice che avendo uguale il perimetro le due figure risultano uguali:

5 Il secondo lavoro farà emergere il concetto di area e di unità di misura. 2 esperienza Agli alunni vengono consegnati un rettangolo ed una figura a contorno curvilineo e viene chiesto: quale figura risulta più grande?

6 Ecco varie risposte: La misura approssimativa dell area della figura B è di 61 cm², mentre quella della figura B è di 56 cm². Quindi il rettangolo è meno esteso della figura strana. La figura più grande è la figura B perché sovrapponendo la figura A sulla B vedo che la figura A non la copre del tutto.

7 I. Nel primo caso ritagliano i pezzi in cui hanno suddiviso il rettangolo e li sovrappongono sulla figura delimitata dalla linea curva. II. III. Nel secondo scompongono le due figure in centimetri quadrati. Nel terzo riportano le figure sul foglio a quadretti e calcolano la media aritmetica del numero di quadretti delle due superfici che approssimano la figura a contorno curvilineo per difetto e per eccesso e confrontano il valore trovato con il numero di quadretti contenuti nel rettangolo olo. Area rettangolo =7*8=56 quadretti Area figura delimitata da una linea curva : Area fig. interna 9*6= 54 quadr. Area rettangolo esterno : 7*11= =131 quadr. 131:2 =65.5 quadr

8 Nel corso del lavoro molti alunni per confrontare le figure utilizzando un filo, hanno preso, in considerazione il perimetro anziché l area delle figure. L errore di far dipendere la grandezza indifferentemente da area e perimetro fa porre le domande : 1) se una figura ha il perimetro maggiore di un altra questo ci autorizza ad affermare che è più grande di un altra.? 2) da che cosa dipende la grandezza di una figura? Una bambina di 2 C 2 C motiva il proprio no con la seguente dimostrazione evidenziata dalla prof. Barbara Giovannini. A B Il perimetro di B è maggiore di quello di A, ma è più grande A.

9 Un ragazzo disegna un quadrato lungo 2cm ed un rettangolo lungo 3,5 cm ed alto 1cm e capisce che Il quadrato ha perimetro minore del rettangolo, ma è più grande lato= 2 cm p= 8 cm A= 4 cm 2 b= 3,5 cm h= 1cm p= 9 cm A= 3,5 cm² Anche con altri esempi gli alunni si convincono che area e perimetro sono due concetti diversi e che la grandezza di una figura non dipende dal perimetro, ma dall area.

10 Il lavoro precedente porta i ragazzi a maturare la convinzione che la grandezza di una figura dipende dall area e non dal perimetro ed a questo punto si chiede di definire che cos è l area di una figura ottenendo risposte del tipo: sono i cm² è la superficie, è il dentro delimitato dal contorno, è lo spazio dentro i lati; l area è una misura che si fa in base ad una unità che in alcuni casi è il metro quadrato, in altri il centimetro quadrato ecc.. È la superficie ed in alcuni casi si trova facendo bxh

11 A questo punto la prof. chiede ai ragazzi di disegnare 1 cm² e 1 dm², traendo spunto da questi disegni per un esposizione sul metro quadrato, di cui viene mostrato un modello in cartoncino suddiviso nei sottomultipli. Per verificare se i ragazzi hanno capito propone alcune esperienze pratiche invitando alcuni alunni a rappresentare una figura di 3 cm²,, una di 3 dm² e una di 3m² tracciandole rispettivamente sul quaderno e anche sul pavimento. In questa attività gli alunni visualizzano le diverse unità di misura ed imparano ad esaminare figure equivalenti e a cimentarsi con la misura diretta di aree e perimetri, abilità che non dobbiamo dare mai per scontata nei nostri ragazzi.

12 Ecco il risultato di uno di questi lavori ottenuto dai quaderni : gli alunni hanno disposto i 3 centimetri quadrati formando 4 tipi i di figure. Alla richiesta di determinare il perimetro delle figure e l area l alcuni considerano i segmenti interni e non seguono il contorno della figura, altri valutano la diagonale dei quadrati di lunghezza uguale al lato e molti dopo aver verificato che le figure sono formate f dagli stessi pezzi o quadrati affermano che le figure sono uguali. Con la guida dell insegnante arrivano alle seguenti conclusioni:

13 Per chiarire la differenza tra area e perimetro si propone l esperienza con lo spago di E, Castelnuovo e dopo aver disegnato i rettangoli isoperimetrici e compilato una tabella li riproducono ono con cartoncini colorati e li pongono a ventaglio sul piano cartesiano. Lo stesso lavoro viene fatto lavorando su rettangoli equivalenti.

14 Ecco altre figure Rettangoli isoperimetrici con perimetro = 14cm Rettangoli equivalenti con area = 18 cm²

15 Per consolidare il concetto di unità di misura e per far scaturire da una situazione significativa per gli alunni, la necessità di ridurre un unit unità di misura ad un altra propone il seguente problema : LA LUNGHEZZA E LA LARGHEZZA DEL PAVIMENTO DELLA VOSTRA AULA, MISURANO 7m ed 8 m. Potreste determinare il numero delle mattonelle?

16 Ecco 2 tra le soluzioni proposte da alcuni alunni: I. Hanno contato le mattonelle lungo i due lati e hanno moltiplicato i numeri ottenuti 17,5*20=350 mattonelle II. 8m*7m=56m²; 40cm*40cm=1600cm²(area di una matt.) 56 m²=560000cmm =560000cm²; cm²:1600cm :1600cm²=350 mattonelle

17 Avendo già compreso che l area l di un rettangolo è data da b*h si dàd inizio ad un lavoro per determinare l area l di altri poligoni, iniziando dai vari tipi di triangolo. Ogni volta vengono consegnati ai ragazzi 3 modelli relativi ai poligoni posti alla loro attenzione chiedendo di trovarne l area e giustificando ogni volta la risposta data.

18 Riassumiamo le varie dimostrazioni con dei disegni : iniziando dai triangoli rettangoli

19 con 2 triangoli formo un parallelogramma e traslando il triangolo 1 anche questo si trasforma in un rettangolo

20 Per il rombo le soluzioni proposte sono:

21 Per il trapezio i ragazzi hanno trovato delle soluzioni analoghe a quelle esposte generalmente sui libri di testo. Ad es.: per il trapezio rettangolo:

22 Per i poligoni regolari sono emerse due soluzioni: 1) Area di un triangolo in cui è divisa la figura per il n dei lati

23 Hanno scomposto pentagono in triangoli formando con essi un trapezio. Quindi hanno sommato le due basi che sono formate complessivamente da 5 lati del pentagono ed hanno moltiplicato la somma (che è il perimetro del pentagono) per l altezza del trapezio, che è proprio l apotema del pentagono. Da qui la formula: A= P * a / 2

24 Con il cerchio i ragazzi hanno avuto molte difficoltà e le soluzioni scaturiscono o da reminescenze di cose fatte alle scuole elementari o dal lavoro sui poligoni regolari inscritti nel cerchio: via via che aumentavano il numero dei lati nelle figure queste si avvicinavano sempre di più al cerchio.

25 Alla scoperta del teorema di Pitagora Viene posto ai ragazzi il problema, che Platone riporta in un suo dialogo il Menone : <disegnare un quadrato che risulti il doppio di un quadrato dato> Le risposte risultano molto interessanti e simili a quelle che avrebbero dato secondo la leggenda riferita da Platone gli allievi di Pitagora Ne riportiamo alcune : la maggior parte dei ragazzi ha raddoppiato il lato altri hanno disegnato il lato che era 1,5 volte il lato del primo una ragazza si è basata su un calcolo facendo la radice quadrata di 2 Scomponendo la seconda figura in triangoli rettangoli, gli alunni hanno scoperto che il quadrato ottenuto congiungendo i punti medi era equivalente al doppio del quadrato di partenza e quindi era quello cercato.

26 Ecco le fasi della ricerca riassunte da un alunna di 2 D. 2

27 Partendo da questa figura ai ragazzi viene assegnata una base formata da un quadrato e da 4 triangoli rettangoli posti internamente in modo da formare il quadrato costruito sull ipotenusa di ciascun triangolino e dopo aver disegnato il contorno dei triangoli, si chiede di spostarli due per volta sui cateti e di spiegare come sono i quadrati ottenuti rispetto a quello interno. La risposta è che il quadrato interno risulta il doppio di quello su ciascun cateto

28 A questo punto si chiede se questa proprietà vale per tutti i triangoli isosceli e si aiutano gli studenti a verificare se la somma dei quadrati sui lati uguali equivale al quadrato sul terzo lato. Preso atto delle difficoltà nel provarlo per via geometrica si consente di calcolare ogni volta il valore dell area dei tre quadrati. Lo stesso lavoro viene ripetuto per altri tipi di triangolo Triangoli isosceli acutangoli ed ottusangoli

29 Così facendo gli alunni osservano che : La proprietà non vale per i triangoli ottusangoli ed acutangoli isosceli

30 Vale in modo esatto con alcuni triangoli rettangoli, con lievi differenze nei risultati per altri triangoli rettangoli.

31 Calcolando l area l dei quadrati costruiti sui cateti in alcuni triangoli rettangoli la somma è uguale all area area del quadrato sull ipotenusa,( ad esempio nel caso di 8cm, 6cm, 10cm o nel caso in cui lati sono di 9cm, 12cm e 15cm o di 3cm, 4cm, 5cm,come hanno trovato alcuni ragazzi ) mentre in altri casi la differenza è minima ( come nell esempio esempio riportato dove la somma è data da :(49+19,36) cm²= = 68,36 cm ² mentre l area l del quadrato sull ipotenusa è di 68,89 cm ².

32 Viene loro chiesto di compilare una tabella riportando i dati raccolti nel loro lavoro sul quaderno e ciò conferma la validità delle osservazioni emerse nella discussione

33 A questo punto vengono consegnati ai ragazzi 8 triangoli rettangoli isosceli e si chiede loro di disporli in modo da riformare il quadrato sull ipotenusa e quelli sui cateti internamente alla base quadrata assegnata loro. Guidati dall insegnante arrivano facilmente alle due configurazioni

34 Dimostrazione del teorema di Pitagora A questo punto vengono consegnati ai ragazzi 8 triangoli rettangoli scaleni chiedendo se è possibile disporli 4 per volta, in modo da ottenere due situazioni analoghe a quelle individuate con il triangolo rettangolo isoscele. Vengono fatti vari tentativi

35 Ed alcuni molto curiosi individuati sotto la guida di Laura Grifoni.

36 CONCLUSIONI Alla fine attraverso un lavoro di gruppo riescono ad individuare le note configurazioni:

37 Rappresentano su un cartellone il procedimento seguito

38 Nel corso delle varie esperienze sul teorema di Pitagora alcuni alunni hanno provato a ricoprire il quadrato con i triangoli rettangoli scaleni ottenendo questo risultato.

39 Vengono quindi presentate altre dimostrazioni del teorema di Pitagora procedimento di Ozanam 1778 procedimento di Perigal 1873

40 FINE