Successioni e serie di funzioni

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1 Successioi e serie di fuzioi Itroduzioe Le serie e pricipalmete le serie di fuzioi assusero grade importaza a partire dal XVIII secolo i quato utili per rappresetare fuzioi, per risolvere equazioi differeziali, per approssimazioi umeriche. Prediamo le mosse da alcui esempi cocreti. Sia f ua fuzioe defiita i u itervallo I di R e suppoiamo che essa sia dotata di derivate di qualsiasi ordie. Si fissio u puto x 0 di I e u itero ; allora, se x I, per la formula di Taylor, si ha f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k + ε (x) () k! k=0 dove f (0) = f e f (k) deota la derivata k ma di f. Il termie ε (x), oto come resto mo, è u ifiitesimo per x che tede a x 0 di ordie superiore rispetto a (x x 0 ) ; risulta cioè x x 0 ε (x) =0. () (x x 0 ) I defiitiva f puó essere ragioevolmete approssimata, almeo per x abbastaza prossimo ad x 0, co il poliomio di Taylor di puto iiziale x 0 e grado T (x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k ; k! l errore che si commette, i base a (), è trascurabile se lo si cofrota co il termie del poliimio T di grado massimo. Ovviamete tale iterpretazioe ha solo carattere qualitativo i quato maca ogi valutazioe umerica dell errore. A tale icoveiete poe rimedio ua formula che dà coto della cosisteza del termie ε. I base a tale formula, attribuita a Lagrage, il resto assume la seguete espressioe ε (x) = f (+) (ξ) ( + )! (x x 0) + (3) co ξ che si colloca (di meglio o si puó dire!) tra il puto iiziale x 0 e x. Utilizziamo tale formula i relazioe alla fuzioe espoeziale; da () e (3) si ha, se per esempio x è positivo, e x x k = k! + x + eξ ( + )! k=0 co ξ ]0,x[. Quidi il resto si maggiora co e x x+ ( + )! ;

2 essedo tale quatitá ifiitesima al divergere di, possiamo cocludere che risulta e x x k = k!. (4) k=0 Abbiamo i defiitiva ua espressioe che esibisce i valori di ua classica fuzioe elemetare come somma di ua serie i cui termii soo poteze di grado crescete della variabile x; siamo i preseza di ua sorta di poliomio di grado ifiito che prede il ome di serie di poteze. Esistoo altre fuzioi che hao ua tale caratteristica? Ragioado come el caso della fuzioe espoeziale si puó verificare che per le due fuzioi trigoometriche seo e coseo valgoo i segueti sviluppi si x = x x3 x+ + +( ) + (5) 3! ( + )! cos x = x x + +( ) +. (6)! ()! Le formule sopra proposte esprimoo alcue fuzioi come somme di ifiite fuzioi semplici quali le poteze ad espoeti iteri; accato a queste e esistoo altte, come le serie di Fourier, che fao iterveire ulteriori semplici fuzioi elemetari. Riportiamo qui a titolo di esempio il seguete sviluppo si x si x + si 3x = 3 x se x ] π, π[ 0 se x = π. Se si estede per periodicità tale rappresetazioe a tutto R si ottee a secodo membro ua fuzioe discotiua i tutti i puti della forma (k +)π co k itero. No è quidi ovvio che ua somma ifiita di fuzioi cotiue dia come risultato ua fuzioe cotiua, o sempre cioè risultati scotati per somme fiite possoo essere estesi a serie di fuzioi. Co quest ultimo termie si itede, come ovvio, quella operazioe che cosete, partedo da ua successioe di fuzioe {f k }, tutte defiite ello stesso itervallo I, di iterpretare il simbolo (7) f k (x) =f(x) (8) k= come ite della successioe di somme parziali k= f k(x). Covergeza uiforme e cotiuità Poiché lo studio di ua serie va ricodotto a quello della successioe delle sue somme parziali comiciamo itroducedo alcue defiizioi che si riferiscoo per l apputo a successioi di fuzioi. Sia {f } ua successioe di fuzioi defiite i u itervallo I di R. U modo del tutto aturale di itrodurre la ozioe di covergeza cosiste ell imporre che, per ogi x I, la successioe umerica {f (x)} coverga. Se deotiamo co f(x) il suo ite, si ha allora ε >0 ν : >ν f (x) f(x) <ε (9) dove l idice ν dipede, oltre che da ε, ache da x. Si dice che i tal caso la successioe di fuzioi {f } coverge putualmete a f i I. Come acceato alla fie del precedete paragrafo, se ci si ferma a tale ozioe elemetare di covergeza, possoo presetarsi alcui feomei idesiderati.

3 Esempio. - Posto f (x) =x, risulta f (x) = { 0 se x =0, se x ]0, ]. Quidi il ite putuale di ua successioe di fuzioi cotiue potrebbe o essere ua fuzioe cotiua. Si ha ioltre ( ) ( ) = f x 0 (x) f (x) =0; x 0 ció mette i luce il fatto che o sempre è possibile commutare due successive operazioi di ite. Ua tale patologia puó essere evitata se si fa riferimeto a u tipo di covergeza piú forte della covergeza putuale. Defiizioe. - Si dice che la successioe {f } coverge uiformemete a f i I se ε >0 ν : >ν x I f (x) f(x) <ε. (0) Se si cofrota la defiizioe (0) di covergeza uiforme co la defiizioe (9) di covergeza putuale si può otare che, el caso della covergeza uiforme, la scelta dell idice ν puó essere presa a prescidere dal puto x I. Comiciamo osservado che, diversamete dalla covergeza putuale, la covergeza uiforme coserva la cotiuità. Teorema. - Sia {f } ua successioe di fuzioi cotiue i I; se tale successioe coverge uiformemete i I ad ua fuzioe f allora f è cotiua i I. Si determii l idice ν i corrispodeza di ε > 0 secodo quato idicato ella (0). Fissato > ν si ha allora f (x) f(x) <ε x I. () Se x 0 I, per la cotiuità di f, è possibile determiare u δ positivo tale che risulti f (x) f (x 0 ) <ε x ]x 0 δ, x 0 + δ[ I. Da tale relazioe e dalla (), se x x 0 <δe x I, si ottiee f(x) f(x 0 ) f(x) f (x) + f (x) f (x 0 ) + f (x 0 ) f(x 0 ) 3ε ; dall arbitrarietà di ε discede l asserto. Da tale teorema si deduce tra l altro che la successioe dell esempio. o coverge uiformemete i [0, ] i quato il suo ite è discotiuo ell origie. Osservazioe. - È possibile scrivere i forma piú compatta la defiizioe di covergeza uiforme; se per semplicità suppoiamo che l itervallo I è chiuso e itato si verifica facilmete che la defiizioe (0) equivale ad affermare che ( max x I f (x) f(x) ovvero, co riferimeto alla metrica aturale i C 0 (I), f f C 0 =0. ) =0, 3

4 Esempio. -Seα>0, sia f (x) = α x( x ), x [0, ]. È evidete che la successioe {f } coverge putualmete alla fuzioe ideticamete ulla. Essedo f C 0 = max f α ( ) (x) =, x [0,] + + si ha f C 0 =0 α<. Quidi per quato detto ell osservazioe. la successioe coverge uiformemete alla fuzioe ideticamete ulla solo se il valore del parametro α o supera /. I relazioe alla covergeza uiforme sussiste la seguete caratterizzazioe che va sotto il ome di criterio di covergeza di Cauchy. Teorema. - La successioe {f } coverge uiformemete i I se e solo se ε >0 ν :, m > ν x I f (x) f m (x) <ε. () La codizioe è ovviamete ecessaria. Per quato riguarda la sufficieza osserviamo iazitutto che, per ogi x I, la successioe umerica {f (x)} è covergete i base al criterio di covergeza di Cauchy per le successioi umeriche: poiamo f (x) =f(x). Si fissi l idice e si faccia tedere m ad ifiito ella (); si ottiee f (x) f(x) ε. La precedete diseguagliaza vale per ogi >νe per ogi x I; ciò comporta che la successioe coverge uiformemete a f. Per completezza riportiamo il seguete risultato che geeralizza il teorema. Teorema.3 - Sia x 0 u puto dell itervallo I e sia {f } ua successioe uiformemete covergete ad f i I {x 0 }; se ogi fuzioe f coverge i x 0 allora ache f coverge i x 0 esi ha ( ) ( ) f (x) = f(x) = f (x). x x 0 x x 0 x x 0 Poiamo l = f (x); x x 0 dalla ipotesi di covergeza uiforme, fissato ε>0 esiste u idice ν tale che per ogi, m > ν e per ogi x I {x 0 }, si ha f (x) f m (x) <ε. (3) Passado al ite per x che tede a x 0 si ha allora La successioe {l } é quidi covergete: sia l il suo ite. l l m ε,m>ν. (4) 4

5 Prolughiamo per cotiuitá le fuzioi f i x 0 ; sia f (x) se x x 0 ϕ (x) = l se x = x 0. Mostriamo che la successioe {ϕ } coverge uiformemete alla fuzioe f(x) se x x 0 ϕ(x) = l se x = x 0. Fissato ε>0 basta osservare che per, m abbastaza gradi si ha ϕ (x) ϕ m (x) <ε x I. (5) Ifatti la (5) coicide co la (3) se x x 0, co la (4) se x = x 0. Per il teorema. la fuzioe ϕ risulta cotiua i x 0, si ha cioé ( ) ( ) f (x) = l = l = ϕ(x) = f (x) x x 0 x x 0 x x 0 cioè l asserto. 3 Serie totalmete covergeti La defiizioe di covergeza uiforme puó essere adattata i modo aturale al caso delle serie di fuzioi. Si dice ifatti che la serie di fuzioi (8) coverge uiformemete i I ad ua fuzioe f se la successioe delle sue somme parziali coverge uiformemete i I a f. A tali serie si possoo adattare i due teoremi. e.3 che possoo essere sitetizzati el modo seguete. Teorema 3. - La serie (8) coverga uiformemete i I e le fuzioi f siao cotiue i I. Allora ache la somma f della serie è cotiua i I. Se, piú i geerale, le fuzioi f covergoo i x 0 e la serie è uiformemete covergete i I {x 0 } allora ache f è covergete i x 0 esi ha ( ) ( ) f(x) = f (x) = f (x). (6) x x 0 x x 0 x x 0 = Vale ovviamete per le serie di fuzioi il criterio di covergeza di Cauchy che solitamete si eucia el modo seguete. Teorema 3. - La serie di fuzioi (8) coverge uiformemete i I se e solo se ε >0 ν : >ν k >0 x I f + (x)+ + f +k (x) <ε. Per ricooscere se ua serie è uiformemete covergete è talvolta utile ricorrere ad ua codizioe piú forte che va sotto il ome di totale covergeza. Defiizioe 3. - Si dice che la serie (8) è totalmete covergete i I se esiste ua successioe a termii o egativi {M } tale che = f (x) M, x I, e M < +. (7) = 5

6 Sussiste il seguete risultato. Teorema Ua serie di fuzioi totalmete covergete è ache assolutamete ed uiformemete covergete. La covergeza assoluta si ottiee i modo ovvio. Per quato cocere la covergeza uiforme, dalla (7) discede che, fissato ε>0, esiste u idice ν tale che, per ogi >νe per ogi k>0, risulta M M +k <ε. Si ha quidi f + (x)+ + f +k (x) f + (x) + + f +k (x) M M +k <ε, da cui, ricordado il teorema 3., si perviee al risultato. Esempio 3. - Si cosideri la serie = + x, x ]0, + [. Tale serie coverge totalmete e quidi uiformemete i ogi itervallo [a, + [ co a>0; i u tale itervallo ifatti la serie risulta maggiorata dalla serie umerica covergete = + a. La serie peraltro o coverge uiformemete i ]0, + [; altrimeti, i base al teorema 3., la sua somma sarebbe covergete i zero e dovrebbe valere la (6). Esempio 3. - Si cosideri la serie ( ) x +. = Tale serie o coverge totalmete i quato o è assolutamete covergete. Essa però coverge uiformemete i ogi itervallo itato. Ifatti a tale serie è applicabile il criterio di Leibitz per le serie a segi alteri; detta f(x) la sua somma è ioltre oto che f(x) ( ) k x + k k x +. k= Segue l uiforme covergeza se x varia i u sottoisieme itato di R. Tale esempio mette i evideza il fatto che può esserci covergeza uiforme ache i asseza di covergeza totale. 4 Itegrazioe e derivazioe termie a termie La covergeza uiforme si rivela la codizioe giusta ache quado si vuole ivertire l operazioe di ite o quella di serie co l operazioe di itegrazioe defiita e di derivazioe. 6

7 Teorema 4. - Sia {f } ua successioe di fuzioi cotiue covergete uiformemete i [a, b] ad ua fuzioe f; si ha allora b a f (x)dx = b a f(x)dx = b a ( ) f (x) dx. (8) Fissato ε>0 sia ν u idice tale che per >νvalga la (). Si ha allora b b b f (x) dx f(x) dx f (x) f(x) dx < ε(b a) ; a dall arbitrarietà di ε discede la (8). a Esempio 4. - Sia {f } la successioe dell esempio.. Si ha + se α> α f (x)dx = 0 ( +) = / se α = 0 se α<. Quidi la (8) sussiste per α<; ricordiamo che solo per α</ la covergeza è uiforme. Per quato riguarda l operazioe di derivazioe sussiste il seguete risultato. a Teorema 4. - Sia {f } ua successioe di fuzioi dotate di derivate cotiue i u itervallo I; se la successioe {f } coverge i u puto x 0 e la successioe {f } coverge uiformemete i I, allora la successioe {f } coverge uiformemete ad ua fuzioe f derivabile e si ha ( ) f (x) =f (x) = f (x). (9) Poiamo ϕ(x) = f (x) (0) c = f (x 0 ). () Si ha x f (x) =f (x 0 )+ f (t) dt ; x 0 facedo divergere, dalle () e (0), ricordado il teorema 4., si ha f (x) =c + x x 0 ϕ(t)dt. Posto x f(x) =c + ϕ(t)dt, x 0 per il teorema fodametale del calcolo itegrale, essedo ϕ cotiua, risulta f = ϕ. Resta i tal modo dimostrata la (9). Ioltre è facile verificare la covergeza uiforme della successioe {f } a f. 7

8 Esempio 4. - Sia x f (x) = +, x [, ]. x Si verifica facilmete che la successioe {f } coverge uiformemete alla fuzioe ideticamete ulla. Essedo f (x) = x ( + x ), risulta { se x =0 f (x) = 0 se x 0 ; quidi {f } o coverge uiformemete essedo il suo ite o cotiuo. La (9) o vale per x =0. Cocludiamo osservado che quato detto per le successioi può essere riformulato per le serie. I particolare per ua serie di fuzioi cotiue che coverge uiformemete i [a, b] si ha ( b ) b f (x) dx = f (x)dx. a = Ifie, se la serie (8) coverge i u puto e la serie = f coverge uiformemete, si ha ( f (x)) = f (x). 5 Serie di poteze Data ua successioe umerica la serie di fuzioi = = = a 0,a,a,,a, a 0 + a (x x 0 )+ + a (x x 0 ) + = a a (x x 0 ) () prede il ome di serie di poteze di puto iiziale x 0. Poiché, co ua traslazioe, ci si può sempre ricodurre ad ua serie di poteze di puto iiziale zero, cioè ad ua serie del tipo a 0 + a x + a x + + a x + = a x (3) per semplicità, el seguito, ci riferiremo sempre a tale tipo di serie di poteze. Per caratterizzare l isieme di covergeza di ua serie di poteze è utile il seguete risultato. Teorema 5. - Se la serie (3) coverge i u puto x essa coverge assolutamete i ogi puto x tale che x < x. Di piú la serie coverge totalmete e, quidi, uiformemete i ogi itervallo [ δ, δ] co δ< x. Poiché la serie è covergete i x la successioe {a x } è ifiitesima e, quidi, itata; sia M tale che a x M,. =0 =0 8

9 Se x δ< x si ha ( ) x a x = a x Mh x dove h = δ x <. I defiitiva la serie dei valori assoluti di (3) risulta maggiorata da ua serie geometrica di ragioe h<; la serie (3) è allora totalmete covergete ell itervallo [ δ, δ]. Dal teorema 5. si deduce facilmete che la serie di poteze (3) coverge i u itervallo simmetrico rispetto all origie e o coverge all estero di tale itervallo. Sussiste cioè il seguete risultato. Teorema 5. - Si verifica ua delle segueti tre evetualità. a) Esiste u umero r>0, detto raggio di covergeza della serie (3), tale che la serie coverge assolutamete se x appartiee all itervallo ] r, r[, o coverge se x è estero a tale itervallo; l itervallo ] r, r[ è detto itervallo di covergeza. b) La serie (3) coverge ovuque; i tal caso si dice che il raggio di covergeza è ifiito e che l itervallo di covergeza è tutto l asse reale. c) La serie (3) coverge solo ell origie; i tal caso si dice che il raggio di covergeza è ullo. Ifie la covergeza è totale e, quidi, uiforme i ogi itervallo chiuso coteuto ell itervallo di covergeza. Per il calcolo esplicito del raggio di covergeza di ua serie di poteze è utile ricordare il seguete criterio. Teorema Sia a / = l ; allora il raggio di covergeza di (3) è /l, co ovvio sigificato del simbolo el caso i cui l =0 oppure l =+. Basta applicare il classico criterio della radice alla serie (3). Ifatti se x < /l si ha a / x < ; la serie di poteze (3) coverge assolutamete e quidi x appartiee all itervallo di covergeza. Se ivece x > /l si ha a / x > ; la serie di poteze (3) o coverge i quato il suo termie geerale o è ifiitesimo; quidi x o è ell itervallo di covergeza. Resta pertato dimostrato l asserto. Osservazioe 5. - Si puó dimostrare che, piú i geerale, il raggio di covergeza è il reciproco del seguete valore l = sup a. Ricordiamo ioltre il seguete risultato. Teorema Suppoiamo che esista il seguete ite a ; (4) a + allora la quatità (4) è il raggio di covergeza della serie (3). 9

10 Basta ricordare che e applicare il teorema 5.3. a + a = a / Esempio 5. - La serie!x =0 coverge solo ell origie. Ifatti il suo raggio di covergeza è 0 i quato la successioe {!} è divergete positivamete. Esempio 5. - La classica serie geometrica ha come raggio di covergeza. Si osservi che tale serie o coverge ei due estremi dell itervallo di covergeza. Esempio La serie = ha per raggio di covergeza. Tale serie coverge ell estremo siistro dell itervallo di covergeza per il criterio di Leibitz sulle serie alterati; essa o coverge ell altro estremo. Esempio La serie = ha per raggio di covergeza. Tale serie coverge i tutti e due gli estremi dell itervallo di covergeza. Gli ultimi tre esempi mettoo i evideza il fatto che il comportameto di ua serie di poteze agli estremi dell itervallo di covergeza o è a priori determiabile. A tale proposito è utile richiamare il seguete risultato oto come teorema di Abel. Teorema Suppoiamo che la serie di poteze (3) abbia raggio di covergeza r e che essa coverga i u estremo α dell itervallo di covergeza; allora la serie coverge uiformemete i ogi itervallo chiuso i cui estremi soo α e u puto itero all itervallo di covergeza. Se la serie coverge sia i r che i r allora la covergeza è uiforme i tutto l itervallo [ r, r]. Come cosegueza dei teoremi 5.5 e 3. si ha il seguete risultato. Teorema Sia α u estremo dell itervallo di covergeza i cui la serie di poteze (3) coverge; deotata co f la somma di (3) si ha f(x) = a α. (5) x α x x =0 6 Sviluppabilità i serie di Taylor Per quato riguarda la possibilità di derivare e itegrare termie a termie ua serie di poteze sussiste il seguete risultato. 0

11 Teorema 6. - Detta f la somma della serie di poteze (3) allora per ogi x apparteete all itervallo di covergeza si ha f (x) = a x (6) e x 0 f(t)dt = = =0 a + x+. (7) Ioltre le serie di poteze a secodo membro elle (6) e (7) hao lo stesso raggio di covergeza della serie di poteze (3). È evidete che basta verificare che la serie di poteze (3) e quelle a secodo membro elle (6) e (7) hao lo stesso raggio di covergeza. I tal caso ifatti i risultati otteuti ei precedeti paragrafi cosetoo di itegrare e derivare termie a termie e quidi di otteere le formule (6) e (7). Suppoiamo che r sia il raggio di covergeza della serie. I base ai teoremi 5. e 4., fissato x ] r, r[, è possibile itegrare la (3) termie a termie tra 0 ed x otteedo i tal modo la (7). Pertato, se r i deota il raggio di covergeza della serie a secodo membro i (7), deve essere r i r. Si cosideri ora la serie a secodo membro i (6). Sia x 0 u puto dell itervallo ] r, r[. Si ha a x = a x ( x ). Ricordato che =, se c ] x,r[, risulta defiitivamete x <ce quidi ache, sempre defiitivamete, La serie a x a x c. (8) a c =0 coverge, essedo c<r; per la (8) coverge ache la serie il cui termie geerale è a x e quidi la serie a secodo membro ella (6). Se si deota co r d il raggio di covergeza della serie (6), si ha allora r d r. Quato sopra detto ci cosete di affermare che le serie di poteze che si ottegoo derivado ed itegrado formalmete termie a termie ua serie di poteze hao raggi di covergeza o iferiori al raggio di covergeza della serie stessa. D altra parte la serie (3) si ottiee derivado termie a termie la serie (7), ovvero itegrado termie a termie tra 0 e x la serie (6) e aggiugedo il termie a 0 : si ha quidi r i = r = r d. La dimostrazioe è pertato completa. Se si applica ripetutamete la (6) si ottiee che la somma di ua serie di poteze ha derivate di ogi ordie e che tali derivate si ottegoo derivado piú volte termie a termie la serie di parteza. I particolare si ha da cui f () (x) =!a +( + )!a + x + + f () (0) =!a. ( + k)! a +k x k + k!

12 Tale formula cosete di riscrivere la serie di poteze (3) el modo seguete =0 f () (0)! x. (9) Piú i geerale, se il puto iiziale o è lo zero, la serie di poteze () si scrive ella forma =0 f () (x 0 ) (x x 0 ). (30)! Le (9) e (30) predoo rispettivamete il ome di serie di McLauri di f e di serie di Taylor di f di puto iiziale x 0. È lecito chiedersi se ua fuzioe per la quale sussista lo sviluppo (30) i u itoro I di x 0 sia sviluppabile i serie di Taylor il cui puto iiziale è u qualsiasi puto di I. La risposta a u tale quesito è coteuta el seguete risultato ci itiamo ad euciare. Teorema 6. - Sussista la (30) per ogi x ]x 0 r, x 0 + r[; allora per ogi a tale che a x 0 <r la fuzioe f è sviluppabile i serie di Taylor di puto iiziale a. Il raggio di covergeza di tale serie è almeo pari al valore miimo tra (x 0 r a) e (x 0 + r a). Ua fuzioe f, defiita i u itervallo I, che sia sviluppabile i serie di Taylor di puto iiziale x 0 I, qualuque sia x 0, dicesi aalitica i I. Esempio 6. - Sia e /x se x 0 f(x) = 0 se x =0. Si verifica facilmete che f (k) (0) = 0 per ogi k N; quidi la serie di Mac Lauri di f è la serie ideticamete ulla. Essedo f(x) 0per x 0la fuzioe f o è però sviluppabile i serie di Mac Lauri. Come fare per stabilire se ua assegata fuzioe f è sviluppabile i serie di Taylor? Ovviamete ua tale fuzioe deve essere almeo dotata di derivate di ogi ordie affiché sia possibile scrivere la relativa serie di Taylor; ciò però o basta come osservato ell esempio 8.4. La strada da percorrere è quella idicata all iizio del primo paragrafo per otteere gli sviluppi (4), (5) e (6). Teorema Suppoiamo che i u itoro I di x 0 risulti f (k) (x) Mh k k N (3) co M,h costati positive. Allora f è sviluppabile i serie di Taylor di puto iiziale x 0. I particolare tale coclusioe sussiste se la fuzioe f ha derivate equiitate i I se cioè si ha f (k) (x) M, k N. Applichiamo ad f la formula di Taylor () di ordie, puto iiziale x 0 e co resto di Lagrage f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k + f (+) (ξ) k! ( + )! (x x 0) +, k=0 dove ξ è u valore compreso tra x e x 0. Dalla (3) si ha f(x) f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k M [h x x 0 ] +. k! ( + )! k=0

13 La successioe a secodo membro è ifiitesima al divergere di ; si ottiee pertato il risultato. Tale teorema cosete ovviamete di riotteere gli sviluppi (4), (5), (6). Altri sviluppi otevoli possoo essere otteuti usado il teorema 6.. Ifatti, essedo +x = x + x + +( ) x +, x ], [, (3) dalla (7) si ottiee log( + x) =x x + x3 x + +( ) +, x ], [. (33) 3 La serie a secodo membro coverge ell estremo destro dell itervallo di covergeza per il classico criterio di Leibitz. Per il teorema 5.6 la serie di poteze (33) coverge uiformemete i ogi itervallo [a, ] co a ], [; la (5) cosete di otteere la classica idetità log = ( ) +... Poedo x al posto di x ella (3) si ottiee il seguete ulteriore sviluppo +x = x + x 4 + +( ) x +, x ], [ ; utilizzado (7), si ottiee arcta x = x x3 3 + x5 5 + x + +( ) +, x ], [. + Poiché la serie a secodo membro coverge agli estremi dell itervallo di covergeza, per il teorema 5.6, la covergeza della serie è uiforme i [, ]; ioltre si ha π 4 = arcta = ( ) Cosideriamo ora la fuzioe ( + x) α co α umero reale. Si ha d k dx k ( + x)α = α(α )...(α k + )( + x) α k. Posto ( ) α α(α )...(α k +) =, (34) k k! la serie di Mac Lauri di ( + x) α si scrive ella forma seguete +αx + ( ) α x ( ) α x +... (35) La serie (35) prede il ome di serie biomiale. Si osservi che se α è u itero positivo le quatità (34) soo i classici coefficieti biomiali; i tal caso la serie (35) si riduce a u poliomio. Poiché ( ) α ( ) + α = α =, + la serie (35) ha raggio di covergeza per il teorema

14 Sia f la somma della serie (35) i ], [; per la (6) si ha ( ) ( ) α α f (x) =α + x x +... Essedo ( ) ( ) α α = α, risulta ( ) ( ) ( ) α α α α f (x) =+ x + x x +... Moltiplichiamo primo e secodo membro per ( + x) si ottiee [ ( )] [( ) ( )] α α α α f (x)( + x) =+ + x x +... ca cui, facedo uso dell idetità ( ) ( ) ( ) α α α + =, si ha + ( ) α α f (x)( + x) = x = f(x), =0 da cui d f(x) dx ( + x) =0. α Risulta quidi ovvero f(x) =(+x) α =+αx + Per α = / la (36) diveta f(x) ( + x) α = f(0) = ( ) α x ( ) α x +..., x ], [. (36) = +x x x +...+( ) x +... = + ( )!! ( ) x, x ], [ ()!! = dove co il simbolo k!! si itede il prodotto di tutti i aturali o superiori a k che abbiao la stessa parità di k. Poedo x al posto di x si ha =+ x = ( )!! x, x ], [. ()!! Itegrado tra 0 e x abbiamo il seguete ulterioe sviluppo otevole ( )!! x + arcsi x = x +, x ], [. (37) ()!! + = 4

15 Per la formula di Wallis si ha che la serie umerica ( )!! + (38) ()!! + = è covergete. Dalla (5) si deduce che la serie umerica (38) ha per somma arcsi = π/. Ioltre per il teorema di Abel la serie (37) coverge uiformemete i tutto l itervallo chiuso [, ]. 7 Serie di Fourier Fissato u itero cosideriamo il seguete poliomio trigoometrico P (x) =a cos(x)+b si(x), x [, π]. Tale fuzioe é periodica di periodo T = π ; il suo grafico ha adameto siusoidale co frequeza T. Posto H = a + b, (39) sia α = a, β = b ; (40) H H esiste allora u uico valore ϕ ] π, π] tale che α = si ϕ, β = cos ϕ. (4) Si ha pertato P (x) =H si(x + ϕ ). Il grafico di P é quidi u oda siusoidale co frequeza (π), ampiezza H e fase ϕ dove per fase si itede il puto iiziale del ciclo della siusoide. I defiitiva assegare le due costati a,b sigifica di fatto idividuare due gradezze quali l ampiezza e la fase dell oda. Ció premesso, data ua fuzioe f periodica di periodo π, ci chiediamo quado ua tale fuzioe si possa esprimere come somma, evetualmete ifiita, di poliomi trigoometrici, cioé quado risulti f(x) = a 0 + [a cos(x)+b si(x)]. (4) = La (4) dice che u oda, il cui profilo è rappresetato dal grafico di f, si ottiee dalla sovrapposizioe di ifiite ode siusoidali ogua delle quali ha frequeza (π), oché ampiezza e fase iiziali legati ai valori a,b mediate le formule (39), (40) e (4). L espressioe a secodo membro di (4) prede il ome di serie trigoometrica. Moltiplichiamo etrambi i membri della (4) per cos(mx), m 0, e itegriamo sull itervallo [, π]. Suppoiamo che sia possibile itegrare termie a termie; si ha allora f(x) cos(mx) dx = a 0 + cos(mx) dx (a cos(x) cos(mx) dx + b = ) si(x) cos(mx) dx. I modo aalogo, moltiplicado etrambi i membri di (4) per si(mx), m, e procededo come sopra si ottiee f(x) si(mx) dx = a 0 + si(mx) dx (a cos(x) si(mx) dx + b = 5 ) si(x) si(mx) dx.

16 Osservato che e teuto coto che cos(mx) dx = cos(x) cos(mx) dx = si(x) si(mx) dx = si(mx) dx =0, m N, 0 se m π se = m 0 0 se m π se = m 0 (43) (44) cos(x) si(mx) dx = 0, (45) si ha a = f(x) cos(x) dx, 0, b = f(x) si(x) dx,. (46) π π Se sussistoo le (46) i coefficieti a,b predoo il ome di coefficieti di Fourier di f e la serie a secodo membro i (4) viee chiamata serie di Fourier di f. Se ifie vale la (4) si dice che f é sviluppabile i serie di Fourier. Osservazioe 7. - I alcue situazioi puó rivelarsi piú comodo utilizzare ua scrittura diversa della serie trigoometrica che faccia riferimeto alla fuzioe espoeziale el campo complesso. Ricorredo ifatti alle classiche formule di Eulero la serie trigoometrica a secodo membro di (4) si puó scrivere el seguete modo dove La (4) diveta allora + = c e ix (47) c 0 = a 0, c = a ib, c = a + ib. (48) f(x) = + = c e ix. (49) Ifie i coefficieti di Fourier di f si scrivoo el modo seguete c = f(x)e ix dx, Z. (50) π Poiamo S (x) = a 0 + [a k cos(kx)+b k si(kx)] ; (5) k= dalle (43), (44), (45) si ha [ π S(x) a ] 0 dx = π + (a k + b k). Ioltre, se per i coefficieti a,b valgoo le (46), abbiamo [ ] π a 0 f(x)s (x) dx = π + (a k + b k). k= k= 6

17 Risulta quidi [f(x) S (x)] dx = da cui a 0 + (a k + b k) π k= Quidi, facedo divergere, si ottiee a 0 + (a k + b k ) π k= [ ] f(x) a 0 dx π + (a k + b k) f(x) dx. k= (5) f(x) dx. (53) La (53) è ota come disuguagliaza di Bessel; tale disuguagliaza assume la seguete forma c f(x) dx (54) π = se la serie trigoometrica viee scritta sotto forma espoeziale. Osservazioe 7. - La procedura che ci ha cosetito di perveire alla (5) puó essere ache utilizzata per dimostrare che, tra tutte le somme parziali (5), quella che approssima meglio ua fuzioe f ella metrica idicata co L si ottiee quado a k e b k soo i coefficieti di Fourier di f. Ció ovviamete comporta che la migliore strategia per approssimare ua fuzioe co somme di poliomi trigoometrici si realizza prededo i cosiderazioe per l apputo le serie di Fourier. I realtà si puó dimostrare che i (53) e (54) vale il sego di uguagliaza se f è per esempio itata e itegrabile secodo Riema. Sussiste ifatti la seguete idetità di Parceval π f(x) dx = c = a 0 + ( a + b ). (55) π 4 = Dalle (53), (54) si ottiee il seguete oto teorema di Riema-Lebesgue. Teorema 7. - Sia f ua fuzioe itata e itegrabile secodo Riema. Siao {a }, {b } e {c } le successioi dei suoi coefficieti di Fourier. Allora = oché a = b =0 ± c =0. 8 Covergeza putuale delle serie di Fourier Occupiamoci ora delle codizioi che assicurio la covergeza putuale o, meglio, uiforme della serie di Fourier di ua fuzioe f. A tal fie premettiamo alcue defiizioi. Defiizioe 8. - Si dice che ua fuzioe f, defiita i ] π, π], è cotiua a tratti se (i) f è covergete i e π; (ii) f è cotiua i ] π, π[ trae che i u umero fiito di puti x,,x m ; (iii) i ogi puto x k la fuzioe f ha ite destro e ite siistro fiiti e x x i f(x) =f(x i ) x x + i f(x) =f(x + i ). 7

18 Osservazioe 8. - Ua fuzioe cotiua a tratti è quidi ua fuzioe il cui grafico preseta u umero fiito di salti. È utile sottolieare il ruolo che hao i tale defiizioe i iti di f agli estremi dell itervallo cioè f( + ),f(π ). Ifatti quado si proluga per periodicità ua fuzioe defiita i ] π, π] a tutto R, perché la fuzioe risultate sia cotiua o basta che la fuzioe da cui siamo partiti o preseti discotiuità all itero dell itervallo ] π, π[; bisoga ache assicurarsi che sia soddisfatta la ulteriore codizioe di raccordo f() =f( + )=f(π )=f(π). (56) Defiizioe 8. - Ua fuzioe f cotiua a tratti dicesi regolare a tratti se essa è derivabile trae che i u umero fiito di puti e se f è cotiua a tratti. Osservazioe 8. - I sostaza ua fuzioe f è regolare a tratti se il suo grafico preseta al piú u umero fiito di salti e u umero fiito di spigoli. Va sottolieato che se si restrige la fuzioe f ad uo degli itervalli i cui f è cotiua allora le ipotesi fatte comportao che, prolugata per cotiuità f agli estemi di tale itervallo la fuzioe risultate è dotata di derivata i tali estremi. Siamo ora i grado di euciare il seguete risultato relativo alla covergeza putuale della serie di Fourier di ua fuzioe. Teorema 8. - Sia f ua fuzioe, defiita i ], π], regolare a tratti. Allora la serie di Fourier di f coverge a [ f(x + )+f(x ) ] ei puti apparteeti all itervallo aperto ] π, π[, coverge a [ f( + )+f(π ) ] egli estremi dell itervallo. I particolare la serie di Fourier coverge a f ei puti di cotiuità della fuzioe. Ricordado l espressioe (50) dei coefficieti di Fourier c di f lo studio della covergeza della serie (47) va ricodotto allo studio del comportameto della successioe S N (x) = π N = N f(t)e i(x t) dt = π N = N f(t)e i(t x) dt dove ell ultimo passaggio si è semplicemete mutato i. Co il cambio di variabili t x = τ, usado la periodicità delle fuzioi preseti egli itegrali, si ha dove S N (x) = π N = N +x +x f(x + τ)e iτ dτ = D N (τ) = π tali fuzioi soo ote come uclei di Dirichlet. Co semplici calcoli si ha N = N f(x + τ)d N (τ)dτ (57) e iτ ; (58) D N (τ) = ( π e inτ +e iτ + + e inτ) = π e inτ ei(n+)τ e iτ 8

19 da cui Dalla (58) si ha da cui Dalle (57) e (60) si ottiee S N (x) [ f(x )+f(x + ) ] 0 D N (τ) = e i(n+)τ e inτ. (59) π e iτ D N (τ) = π + π D N (τ)dτ = 0 N cos τ D N (τ)dτ =. (60) = 0 [ f(x + τ) f(x ) ] [ D N (τ)dτ + f(x + τ) f(x + ) ] D N (τ)dτ. 0 Utilizzado l espressioe (59) del ucleo di Dirichlet si ha dove S N (x) [ f(x )+f(x + ) ] = π g(τ) = f(x + τ) f(x ) e iτ f(x + τ) f(x + ) e iτ [ ] g(τ) e i(n+)τ e inτ dτ (6) se <τ<0 se 0 <τ<π. La fuzioe g ha la stessa regolarità di f per τ 0; d altra parte per la regola di de l Hopital si ha f (x + τ) g(τ) = τ 0 + τ 0 + ie iτ = f (x + ) i e, aalogamete, g(τ) = f (x ). τ 0 i Quidi g è regolare a tratti e quidi itegrabile. Dal teorema di Riema-Lebesgue 7. i coefficieti di Fourier C = g(t)e it dt π tedoo a zero al tedere di a+ e. Poiché l espressioe a secodo membro i (6) o è altro che C (N+) C N si ottiee l asserto. Come prima applicazioe del teorema 8. si puó verificare che sussiste lo sviluppo (7). Si è parlato fi qui di sola covergeza putuale; per recuperare la covergeza uiforme è utile ricordare il seguete risultato. Teorema 8. - Suppoiamo f cotiua e regolare a tratti; allora la serie di Fourier di f coverge a f assolutamete ed uiformemete. Ifie per quato riguarda la possibilità di derivare termie a termie ua serie di Fourier riportiamo seza dimostrazioe il seguete risultato. 9

20 Teorema Suppoiamo f cotiua e regolare a tratti; se ache f è regolare a tratti allora la serie di Fourier di f è [b cos(x) a si(x)]. = Tale serie ha per somma f (x) i tutti i puti i cui f è derivabile ovvero [ f (x + )+f (x ) ] ei puti i cui il grafico di f preseta uo spigolo. Cosideriamo ora alcui esempi. Premettiamo il seguete risultato di semplice verifica. Teorema 8.4 -Sef é pari la serie di Fourier di f si riduce ad ua serie di soli cosei, metre se f é dispari essa diveta ua serie di soli sei. Esempio 8. - Cosideriamo la cosiddetta oda quadra se x ] π, 0[ f(x) = se x [0,π[. Poiché f é dispari la sua serie di Fourier é ua serie di soli sei; si ha b = 0 se é pari si(x)dx = π 0 4 se é dispari. π La serie di Fourier di f ha allora la seguete espressioe 4 si( +)x. ( +)π =0 Tale serie, per il teorema 8., ha per somma i tutti i puti x ]0,π[. I particolare, poedo x = π/ si ha π 4 = ( ) +. =0 Se ioltre si applica alla fuzioe f l idetità di Parceval (55) si ha Esempio 8. - Cosideriamo la fuzioe π 8 = ( +). =0 f(x) =x, x [, π]. Essedo tale fuzioe pari la sua serie di Fourier é ua serie di soli cosei. Risulta e a = π a 0 = π x dx = π 3 x cos(x) dx =( ) 4, 0. 0

21 Poiché tale fuzioe è cotiua e agli estremi soddisfa la codizioe di raccordo (56) si ha, sempre per il teorema 8., x = π 3 +4 ( ) cos(x), x [, π]. I particolare, se x = π, si ha e, utilizzado (55), Esempio 8.3 -Se risulta Si ha allora 9 Esercizi f(x) = π 4 π = π 6 = = π 4 90 =. 4 = 0, se x ] π, 0[ f(x) = x, se x [0,π], a 0 = π 4, a = ( ), b = ( )+. π =0 cos( +)x ( +) ( ) si(x), x ] π, π[..- Si verifichi che la successioe riportata ell esempio. o coverge uiformemete i tutto l itervallo [0, ] facedo vedere che o è possibile determiare, i corrispodeza di u geerico ε>0, u idice ν che sia idipedete da x [0, ]. Dimostrare ivece che ció è possibile se ci si ita agli itervalli [0,a] co a<..- Si cosideri la serie di poteze dell esempio 5.3. Detta f la somma della serie, calcolare f e, quidi, ricavare ua espressioe per f. 3.- Se ua serie di poteze di puto iiziale coverge el puto 3 si puó affermare che essa coverge el puto /? cosa succede i? 4.- Determiare il raggio di covergeza e studiare il comportameto agli estremi dell itervallo di covergeza delle segueti serie + x a) b) = 5.- Dallo sviluppo + = log 3 x c) = + = + x = x, =0 dedurre, itegrado termie a termie, che + =0 x d) <x< = e x. x + =( x) log( x)+x. ( + )( +)

22 6.- Si cosideri la serie di fuzioi + = (x log x ). Verificare se tale serie é totalmete covergete. 7.- Si cosideri la successioe di fuzioi il cui termie geerale é f (x) = [(e x ) ] + Si calcoli la fuzioe ite f della successioe. Si verifichi che le fuzioi f hao tutte derivata ulla i zero. Le fuzioi f soo derivabili metre la fuzioe f o é derivabile ell origie. Quale ipotesi del teorema di derivazioe termie a termie o sussiste i tale circostaza? 8.- Sia ( x ) f (x) = si, x [0,π]. Dimostrare che la successioe {f } coverge uiformemete alla fuzioe ideticamete ulla. Dimostrare che é totalmete covergete la serie = f (x). Sia f la somma di tale serie; itegrarla termie a termie. 9.- Dimostrare la covergeza uiforme i [0, + [ della serie + =0 x e x. 0.- La serie di poteze + a (x +) =0 coverge i e o coverge i 0. Cosa si puó dire sul suo raggio di covergeza?.- Sia {f } ua successioe di fuzioi cotiue, o egative e cresceti i [0, ]. Dimostrare che se la serie = f coverge allora essa coverge totalmete..- Dimostrare che la serie di fuzioi + = +(x) coverge uiformemete ell itervallo [/3, + [. 3.- Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze + = a x, sapedo che a + = Scrivere la serie di Fourier della fuzioe 0 se x / f(x) = se / <x π/ 0 se π/ <x π. Idicare la somma della serie di Fourier di f ei tre puti 0, π/ eπ. 5.- Sia f ua fuzioe cotiua e periodica di periodo π la cui serie di Fourier é + k= (a k cos kx + b k si kx). Ricordado che ab a + b per ogi a, b R, dimostrare che é covergete la serie + k= a kb k.