I sistemi lineari x& & = a(t) x& + b(t) x

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Marina Ferrero
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1 I ss lnar && a( ) & b( )

3.a I ss lnar Prr-Sn Laplac ranca 749 87 Ryōg Kub Gappn, 90 995 Laplac u un dgl

S ccupò d l prbl aac, ra cu l sud dll quazn drnzal.

2 3.a I ss lnar Prr-Sn Laplac ranca Ryōg Kub Gappn, Laplac u un dgl scnza pù nlun dl p. I su cnrbu all sud dlla Mccanca cls urn dcsv. S ccupò d l prbl aac, ra cu l sud dll quazn drnzal. Kub è sa un sc aac ch ha cncnra l sud sulla Mccanca Sasca dl nnn-qulbr, svluppand n parclar la Tra Quansca dlla rspsa lnar.

3 3.a I ss lnar I ss dnac lnar Un ssa dnac lnar è un ssa dnac la cu vluzn è gvrnaa dal prncp d svrappszn dgl : S la sllcazn srna raddppa, raddppa anch la rspsa. La sca Classca la Mccanca Quansca rn sp d ss dnac lnar n u gl ab ac dlla Mccanca, dll Elragns, cc. L pù cun quazn drnzal ch dscrvn qusa class d ss sc sn dl p: d & ; & d d d L ns dll sluzn () dll quazn s chaa Ingral Gnral I.G. && a & b ( ) II rdn: cpar al pù la drvaa scnda a b prbbr dpndr da, a c sra sull quazn a ccn csan

4 3.a I ss lnar I ss dnac lnar Esp d ssa dnac lnar: l scllar arnc cs ( ) v & τ cs ( ) a. Oscllar rza b. Oscllar rza - srza a. Sull scllar agsc la rza srna scllan: && ( ) b. Sull scllar agsc anch una rza dvua alla rssnza dl zz (pr sp, l ara: && & ( ) τ

5 3.a I ss lnar I ss dnac lnar nnlga L apzza dlla rspsa è prprznal all apzza dlla sllcazn. Il sgnal d rspsa () può avr un rard d as rsp alla sllcazn (). a. Oscllar rza. La rspsa () è n as cn la sllcazn (). b. Oscllar rza - srza. La rspsa () pra un rard d as rsp alla sllcazn ().

6 3.a I ss lnar In assnza d sllcazn srna, ss lnar sn dscr da quazn drnzal lnar gn. L pù cun quazn drnzal ch dscrvn qusa class d ss sc sn dl p: && a & b Esp d ssa dnac lnar lbr: l scllar arnc a. Oscllar lbr b. Oscllar srza a. Sull scllar lbr agsc sl la rza lasca: && b. Sull scllar srza agsc anch la rza dvua alla rssnza dl zz: && & τ

7 3.a I ss lnar L quazn drnzal lnar gn && a & b Prncp d svrappszn L ngral gnral d un quanzn gna I.G.O. è da dall cbnazn lnar d du sluzn: ( ) c ( ) c ( ) I.G.O. () () c () c () ( ) ( ) Ogn sluzn dll quazn && a & b è daa dalla cbnazn lnar d du drna sluzn.

8 3.a I ss lnar L quazn drnzal lnar gn && a & b In bas al Prncp d svrappszn, l I.G. d un quazn gna è un spaz vral. I vr sn l sluzn dll quazn. L prprà ral d un spaz vral La cbnazn lnar d du vr è un vr L prazn d sa ra vr d lplcazn pr un nur (scalar) sddsan l sgun prprà:

9 3.a I ss lnar L quazn drnzal lnar gn a ccn csan && a & b Sluzn dll quazn drnzal cl d dll unzn spnnzal S pssn spr crcar sluzn dl p ( ) & && cn nur cplss. Ssund qusa unzn d prva nll quazn, s n l quazn algbrca cararsca: a b a b L quazn cararsca è un quazn d II grad. Salv l cas dgnr n cu abba du sluzn ugual (su cu nn c sra) du valr d drnan l du sluzn ndpndn da cu gnrar u l alr pr cbnazn lnar: Prncp d svrappszn L I.G.O è da dall cbnazn lnar d du sluzn: ( ) c c

10 3.a I ss lnar L quazn drnzal dl p && a & b ( ) && a & b ( ) && a & b Equazn Ogna sscaa O.. I.G. I.G.O.. Sl. Par. I.G.O.. () () I.G. () () () () Ogn sluzn dll quazn && a & b è daa dalla sa d una drnaa sluzn dll quazn a cascuna sluzn dll quazn O.. ( ) Pr rslvr un quazn drnzal a ccn csan nn gna, basa rvarn una sluzn qualunqu (). L I.G. è dl p: ( ) ( ) c c

11 3.b I ss lnar. Esrcz cpln L scllar arnc lbr: l d dl csn II Lgg d wn: r r a a k && O k Orgn dll ass nl pun d rps dlla lla Sluzn dll quazn drnzal cl d dlla unzn d prva (d dl csn) & && cs ( ϕ) ( ϕ) cs ( ϕ) sn unzn d prva k cs k ( ϕ) cs ( ϕ) Equazn algbrca cararsca

12 3.b I ss lnar. Esrcz cpln L scllar arnc lbr: l d dl csn Du d d rapprsnar la lgg rara dll scllar arnc cs cs ( ϕ) ( ϕ) cs ( ϕ) cs ( ) sn ( ϕ) sn ( ) [ cs ( ϕ) ] cs ( ) [ sn ( ϕ) ] sn ( ) a cs ( ) b sn ( ) cs ( ϕ) a cs ( ) b sn ( )

13 3.b I ss lnar. Esrcz cpln La lgg rara dll scllar arnc nl rals d nur cplss C.C. * C.C. cplss cnuga ϕ ( ϕ ) ( ϕ ) cs ( ϕ) ( ϕ ) ( ϕ ) cs ( ϕ) C.C. cs( ϕ) Sgnca sc dl nur cplss Il dul d rapprsna l apzza dll scllazn L argn d rapprsna la as nzal

14 3.b I ss lnar. Esrcz cpln L scllar arnc lbr: l d dll unzn spnnzal a d d ; & ; && unzn d prva Ssuzn dlla unzn d prva nll quazn ± Equazn algbrca cararsca * I ccn dvn ssr C.C. anché sa ral. S dvd pr pr cnvnnza: n qus d, ann l sgnca d apzza dll scllazn. 3

15 3.b I ss lnar. Esrcz cpln L scllar arnc lbr: l d dll unzn spnnzal d d * R ( ) Scrcaa: dncha d prndr la par Ral: * S può ulzzar la unzn cplssa n u calcl ch plcan sclusvan cbnazn lnar dlla unzn (). ll cbnazn lnar, na, l par ral s san all par ral l par agnar all par agnar. S prndrà p la par ral dl rsula. nzn: Quand s sgun prazn nn-lnar (calcl d (), cc.) la scrcaa nn unzna! 3

16 ( ) ( ) U K E 4 U 4 K * * * * * * * * & & & L nrga dll scllar arnc nl rals cplss 3.b I ss lnar. Esrcz cpln In qus calcl ccrr drnar quadra dlla unzn () dlla sua drvaa. n s può usar la unzn cplssa: s n dv pra prndr la par ral p prcdr. Qus rsula ha una splc nrprazn sca. L nrga ccanca è csan. Qund, n parclar, è par all nrga pnzal n pun d nvrsn ±, n qual K 0. U E - K k

17 3.b I ss lnar. Esrcz cpln L nrga dll scllar arnc nl rals cplss Pr calclar K U n unzn dl p, nn s può usar la unzn cplssa: s n dv pra prndr la par ral p prcdr. Ma s c nrssa sl l nrga ccanca E, pssa ancra usar una scrcaa: Scrcaa: dncha l C.C. E L ulà d qusa scrcaa sa n qus: s prà usar l sss rucc pr calclar l nrga ccanca d un nda lasca, l nrga d un nda lragnca, cc. Inlr, n MQ s usa un algr sl pr drnar la dsrbuzn d prbablà a parr dalla unzn d nda: unzn d nda ψ( ) ψ( ) Dsrbuzn d prbablà Gl sp rpra nn hann n cun sl l asp aac, a prsnan prnd analg sul pan dlla sca.

18 3.b I ss lnar. Esrcz cpln Esrcz Drnar una sluzn parclar dll scllar arnc rza a cs ( ) d d d d Sluzn parclar: è la pulsazn dlla rza srna, un parar da drnar ( ) S la pulsazn dlla rza srna s avvcna a, l apzza dll scllazn auna. Qus è l nn dlla rsnanza. ο

19 ( ) ( ) ( ) ( ) R C R R C C R C d ; R d C R C Q 0 0 ' ' ' ' 3.b I ss lnar. Esrcz cpln Esrcz Drnar l ransn dl crcu RC all scaln d nsn L quazn dl crcu RC è n ralà un quazn ngral. S può uava ugualn crcar una sluzn cl d dlla unzn d prva:

20 ( ) ( ) ( ) ( ) Z ; Z Z Z R C R C d d ; Par Sl ransn G O I d d R C 0 O d d R C R d C R C Q cs 0 rg rg rg rg ' ' θ θ 3.b I ss lnar. Esrcz cpln Esrcz Drnar l rg saznar dl crcu RC alna da un gnrar d nsn alrnaa In qus cas, s dv crcar la sluzn parclar d un quazn nn gna. Il rucc cnss nl ssur all sprssn Ral dlla nsn la rapprsnazn cplssa: S dv nn prndr la par ral dlla sluzn: ( ) ( ) θ cs Z Z θ

21 3.b I ss lnar. Esrcz cpln Esrcz Inrdurr rslvr l quazn drnzal ch dscrv l dcadn d un ns d nucl radav. Il dcadn è un prcss scasc. In da, s può arar ch la dnuzn - dl nur d nucl ngr dbba ssr prprznal al p d ssrvazn al nur sss d nucl ngr: Pr v dnsnal, la csan d prprznalà è l nvrs d un p cararsc τ d p d va da. Dvdnd pr passand al l, s n csì: d d τ τ S crca la sluzn cl d dlla unzn spnnzal d prva: ; τ d d τ

22 3.b I ss lnar. Esrcz cpln Esrcz parcll d un asc nran n una rgn d spaz n cu sn prsn n brsagl pr unà d vlu, cascun d szn rasvrsal σ. S una parclla clpsc l brsagl, scpar dal asc. Inrdurr rslvr l quazn drnzal ch dscrv l nur d prl n unzn dlla prndà d pnrazn. Cnsdra un sra dl aral, d spssr ara rasvrsal S. In qus sra s rvan n S brsagl. L ara al cpra da brsagl è qund: S σ n S σ La prbablà ch un prl clpsca un brsagl è par al rappr ra l ara ul l ara al: S p σ n S S lla prndà c sn () prl suprs. Dp l ra, l nur dnusc ulrrn, d una quanà par al nur d parcll pr la prbablà ch una parclla clpsca l brsagl. La varazn è ngava, scché s ha: σ n

23 3.b I ss lnar. Esrcz cpln Esrcz parcll d un asc nran n una rgn d spaz n cu sn prsn n brsagl pr unà d vlu, cascun d szn rasvrsal σ. S una parclla clpsc l brsagl, scpar dal asc. Inrdurr rslvr l quazn drnzal ch dscrv l nur d prl n unzn dlla prndà d pnrazn. Passand al l pr 0 : σ n ; d d σ n Equazn drnzal dl ssa dnac ; d d unzn d prva drvaa σ n σ n Equazn algbrca cararsca Inn: σ n σ prnd l n d szn d ur. prcss ch cnvlgn parcll lnar, è un valr nn saan rcnducbl all ara d una szn, quan pus a un parar d cararsc dl prcss.

24 3.b I ss lnar. Esrcz cpln La dpndnza dal p dlla unzn d nda d una parclla d nrga ccanca E E ψ h d ψ d Par pral dll Equazn d Schrödngr ψ ψ ; d ψ d ψ unzn d prva drvaa E E ψ h h ψ Equazn algbrca cararsca E h E h I ( z) ψ ψ ψ ψ E h Sluzn R ( z) La unzn d nda è un vr ch rua n vrs rar nl Pan d Gauss.

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