CORRELAZIONI PARTONICHE DOPPIE IN UN SEMPLICE MODELLO A QUARK

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1 Università degli Studi di Perugia Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea Triennale in Fisica CORRELAZIONI PARTONICHE DOPPIE IN UN SEMPLICE MODELLO A QUARK Candidato: Gloria Rampi Relatore: Prof. Sergio Scopetta

2 Indice Introduzione I 1 Evidenza sperimentale dei quark 1 2 Distribuzioni partoniche e modello a quark 5 3 Distribuzioni partoniche doppie in un semplice modello a quark 7 4 Risultati 10 5 Conclusioni 13 Bibliografia 13

3 Introduzione È da molto tempo evidente che, nelle collisioni adrone-adrone ad alte energie, la probabilità di interazione di due partoni di un adrone con due dell altro adrone non è trascurabile. Questo è vero in particolare ad LHC, dove queste collisioni partoniche multiple potrebbero costituire un fondo importante di cui tener conto in certi canali per poter estrarre informazioni corrette dai dati. Nell espressione comunemente usata per le sezioni d urto di scattering doppio, la distribuzione partonica doppia del singolo adrone viene in genere fattorizzata nel prodotto di due distribuzioni partoniche singole, ovvero i due partoni nel protone si considerano non correlati. Questa assunzione non trova riscontro nei comuni modelli a quark, nei quali i partoni sono fortemente interagenti e fortemente correlati. La correttezza di questa assunzione è stata dunque studiata in modelli a quark costituenti in un recente lavoro di Rinaldi, Scopetta e Vento, che è andato oltre un primo calcolo eseguito da altri autori sulla base del modello a bag (che, in prima approssimazione, non è correlato). In questa tesi ho ripetuto la parte più semplice dei calcoli presentati nel lavoro di Rinaldi, Scopetta, Vento. Il lavoro è così strutturato. Nel primo capitolo presento il concetto di partone nella diffusione profondamente anelastica. Nel secondo introduco le distribuzioni partoniche e le relaziono alle distribuzioni di momento dei quark. Nel terzo descrivo il calcolo della distribuzione partonica doppia, i cui risultati sono presentati nel quarto capitolo. Infine sono tratte le conclusioni del lavoro. Il problema trattato ha molti aspetti che richiedono nozioni di meccanica quantistica relativistica, fisica subnucleare e teoria dei campi che io non ho ancora acquisito. Dunque il mio lavoro si è limitato a riprodurre quanto fosse calcolabile e comprensibile con le nozioni della laurea triennale. I

4 Capitolo 1 Evidenza sperimentale dei quark La prima evidenza sperimentale della struttura complessa dei nucleoni si ebbe grazie ad un esperimento di diffusione di elettroni su nucleoni condotto verso la fine degli anni 60 presso il laboratorio SLAC in California. L esperimento consisteva nell invio di un fascio di elettroni ad energia 5 Gev, quindi ultrarelativistici, con un angolo di diffusione di 10 contro un bersaglio di Idrogeno. Figura 1.1: Scattering elettrone-protone: la sezione d urto normalizzata alla sezione d urto di Mott come funzione di Q 2 a diversi valori della massa invariante W. Tratto da [1] Dal grafico sopra riportato, che mostra il rapporto tra sezione d urto doppiamente differenziale e la corrispoondente quantità per un bersaglio puntiforme in funzione del 1

5 quadrato del quadrimomento trasferito Q 2 per diversi valori della massa invariante, W, possiamo vedere come questo rapporto dipenda debolmente da Q 2 per W > 2 GeV/c 2, in chiaro contrasto con l andamento fortemente decrescente che si ha nel caso di scattering elastico. L espressione di W si può ottenere nel sistema di riferimento del laboratorio considerando il quadrimomento del fotone scambiato q = (ν, q) e quello del protone P = (M, 0): W 2 = P 2 = (P + q) 2 = M 2 + 2P q + q 2 = M 2 + 2Mν Q 2 (1.1) dove M è la massa del protone, = c = 1, ν = E E rappresenta l energia trasferita nel sistema di riferimento del laboratorio. La diffusione elastica si ha per W = M, cioè per ν = Q2 2M. Aumentando i valori della massa invariante W vediamo che il rapporto in Fig. 1.1 diventa sempre più debolmente decrescente per poi stabilizzarsi a partire da circa 3 GeV dove diventa costante, dando luogo al cosiddetto scaling. Figura 1.2: Spettro di elettroni diffusi in seguito all interazione elettrone-protone con energia di incidenza di 5 Gev e angolo di diffusione di 10. Tratto da [1] Analizzando invece lo spettro di eccitazione, Fig.1.2, possiamo notare che oltre al primo picco, relativo allo scattering elastico (diminuito di un fattore 15 per chiarezza), si possono notare dei picchi ad energie di diffusione più basse (ovvero ad 2

6 energie trasferite più alte) detti risonanze nucleoniche corrispondenti agli stati eccitati del protone che ci danno informazioni sulla sua struttura e fanno escludere quindi l ipotesi che esso sia puntiforme. D altra parte, il rapporto in Fig. 1.1 può essere messo in relazione con il fattore di fora del bersaglio; pertanto, il risultato che i fattori di forma sono indipendenti da Q 2 per valori fissati della massa invariante e il loro andamento costante stanno a significare che gli elettroni sono diffusi da un bersaglio puntiforme. Si suppose quindi che il protone, non puntiforme, avesse componenti puntiformi liberi in movimento, i partoni, e che l interazione dell elettrone con il protone non fosse nient altro che scattering elastico elettrone-partone in approssimazione impulsiva; quest approssimazione è valida per tempi di interazione così brevi da considerare trascurabile l interazione tra i partoni stessi. Per discutere meglio i risultati introduciamo una nuova variabile invariante di Lorentz: x = Q2 2Mν (1.2) chiamata variabile di scala di Bjorken, che è una quantità adimensionale indice dell inelasticità del processo. Per processi elastici, per un dato valore di E del fascio incidente, c è un solo grado di libertà. Se, per esempio, l angolo di diffusione θ è fissato, la cinematca richiede che il quadrato del quadrimomento Q 2, l energia trasferita ν e l energia degli elettroni diffusi E siano fissate. Dato che W = M allora vale la relazione 2Mν Q 2 = 0 e quindi x = 1. Per urti anelastici invece l energia di eccitazione del protone aggiunge un altro grado di libertà e i fattori di forma dipendono da due variabili indipendenti (Q 2, ν) e, dato che W > M, otteniamo 2Mν Q 2 > 0 e quindi 0 < x < 1. Pertanto vediamo che, se variamo Q 2 lasciando costante x = Fig.1.1 è costante ed x è un invariante di scala. Q2, il rapporto in 2Mν Se z è la frazione del quadrimomento del protone portata dal partone, p = zp, la condizione di scattering elastico su partone: W 2 = p 2 = m 2 = (p + q) 2 = m 2 Q 2 + 2pq (1.3) diventa: Q 2 = 2pq = 2zP = 2zMν (1.4) 3

7 Si ottiene dunque z = Q2, ovvero z = x variabile di scala; la variabile di Bjorken 2Mν rappresenta dunque la frazione di momento del protone portata dal partone. Definendo per un 4-vettore generico, a = (a 0, a), la grandezza a = a 0 a z, momento longitudinale, dove P = (M, 0) q = (ν, q) definiamo:, P = M (1.5) p = p 0 p z (1.6) per le componenti longitudinali rispettivamente del quadrimomento del protone e del momento trasferito. È semplice far vedere che, nel limite di Bjorken (Q 2, ν 2, x finito), si ha x = p P (1.7) frazione del momento longitudinale del protone portata dal partone. Ulteriori esperimenti illustrati in [1] dimostrarono che è possibile identificare questi partoni con i quark dei modelli precedentemente proposti. 4

8 Capitolo 2 Distribuzioni partoniche e modello a quark Dal precedente capitolo si può pensare che, se è possibile in certe circostanze descrivere il protone come un sistema non relativistico a tre corpi, dato il significato di x, la distribuzione partonica (numero di quark con un certo sapore con frazione x del momento) si può scrivere: q(x) = ) d k n q ( k) δ (x k P (2.1) con n q ( k) distribuzione di momento a un corpo dei quark di sapore q, cioè n q ( k) = 3 d k 1 d k 2 d ( k 3 ψ k1, k 2, ) ( ) ( k 3 ˆPq1 δ k k1 ψ k1, k 2, ) k 3 (2.2) con la condizione di normalizzazione n k ( k)d k = 3, con ψ( k 1, k 2, k 3 ) funzione d onda nello spazio dei momenti, dipendente anche da spin e sapore, ˆP q1 proiettore di sapore per il quark 1, dove si è fatto uso della simmetria della parte di spin, sapore e spaziale della funzione d onda. Le distribuzioni partoniche si possono studiare in modelli a particelle indipendenti (non correlate), come ad esempio è stato fatto in [2] per le distribuzioni doppie. Nel modello dinamico da noi trattato, i quark sono legati da una forza di richiamo elastica (potenziale di oscillatore armonico). In questo modello nel sistema intrinseco nel quale il centro di massa è fermo, ( k 1 + k 2 + k 3 = 0 ), le coordinate intrinseche coniugate utilizzate sono 5

9 R = 1 3 ( r 1 + r 2 + r 3 ) K = 1 3 ( k 1 + k 2 + k 3 ), ρ = 1 2 ( r 1 r 2 ) k ρ = 1 2 ( k 1 k 2 ), λ = 1 6 ( r 1 + r 2 2 r 3 ) k λ = 1 6 ( k 1 + k 2 2 k 3 ). (2.3) e, assumendo una simmetria SU(6) di spin-sapore,(il colore fornisce l antisimmetria complessiva della ψ ) lo stato del protone in onda S (ground state), è [3]: 3/2 S 1/2 S = ψ( k 1, 3 ( k 2 k 2 ) = π 3/2 α 3 e 1 + k k 1 k 2 ) α 2 SU(6) (2.4) dove è stata utilizzata la notazione spettroscopica 2S+1 X J t, con t = A, M, S che rappresenta il tipo di simmetria. SU(6) è la componente di spin-sapore della funzione d onda del protone SU(6) = 1 2 (χ MS Φ MS + χ MA Φ MA ), (2.5) mentre il parametro α 2 = mω dell oscillatore armonico corrispondente a 1.35 fm 2 è stato fissato per riprodurre il fattore di forma del protone quando il momento trasferito è nullo. Se sostituiamo l espressione della funzione d onda trovata (2.4) in (2.2) otteniamo: n q ( k) = 3 d k 1 d k 2 d ( k 3 ψ k1, ) ( ) ( k 2 ˆPq (1) δ k k1 ψ k1, ) k 2 (2.6) dove ˆP u(d) (i) = 1 ± τ 3(i) 2 (2.7) rappresenta il proiettore di sapore che agisce sulla terza particella dando 1(-1) se essa è u(d). La sostituzione della distribuzione dei momenti ottenuta (2.6) in (2.1) fornisce: u(d)(x) = 2(1) 33/2 π 3 α 6 ( d k 1 d k 2 e 2(k2 1 +k2 2 + k 1 k 2 )/α 2 δ x k ) 1 P (2.8) Da questo semplice modello è possibile notare come le correlazioni dinamiche tra i tre quark, descritte dai termini k 1 k 2 presenti nella funzione d onda, impediscono che essa sia la fattorizzazione di due funzioni d onda dell oscillatore armonico nel ground state. 6

10 Capitolo 3 Distribuzioni partoniche doppie in un semplice modello a quark In questo capitolo le correlazioni partoniche doppie, aventi effetto nei processi di diffusione partonica doppia (DPS) che si verificano nelle collisioni adrone-adrone ad alte energie, per esempio ad LHC, sono studiate nella regione di valenza dei quark nel modello a quark costituenti di oscillatore armonico. La sezione d urto del DPS è scritta in termini di funzioni di distribuzioni partoniche doppie F ij (x 1, x 2, z ), che descrivono la probabilità congiunta di avere due partoni con sapori i, j = q, q, g, frazioni di momento longitudinali x 1, x 2 e distanza trasversale z all interno dell adrone [4]: dσ = 1 S i,j,k,l d 2 z F ij (x 1, x 2, z, µ)f kl (x 3, x 4, z, µ) ˆσ ik (x 1 x 3 s, µ)ˆσjl (x 2 x 4 s, µ). (3.1) La sezione d urto partonica ˆσ rappresenta processi forti a brevi distanze, mentre S è un fattore di simmetria che si presenta se sono presenti nello stato finale particelle identiche. Nell Eq. (3.1) i contributi alle correlazioni di sapore, spin e colore dei partoni sono state trascurate oltre che ai contributi dovuti allo scambio di partoni. Solitamente nello studio delle DPS vengono fatte le seguenti assunzioni: (i) la dipendenza dalla distanza trasversale e dalla frazione di momento non sono correlate F ij (x 1, x 2, z ) = F ij (x 1, x 2 )T ( z ) ; (3.2) 7

11 (ii) un espressione fattorizzata è scelta anche per la dipendenza da x 1, x 2 F ij (x 1, x 2 ) = q i (x 1 )q j (x 2 ) θ(1 x 1 x 2 )(1 x 1 x 2 ) n, (3.3) dove q è funzione di distribuzione partonica (PDF), θ(1 x 1 x 2 )(1 x 1 x 2 ) n introduce la costante cinematica x 1 + x 2 1, n > 0 è un parametro fissato fenomenologicamente e µ è la scala di momento trasferito. Vediamo se quanto detto è valido nel modello dell oscillatore armonico. Spostandoci nello spazio dei momenti: F ij (x 1, x 2, k ) = d z e i z k Fij (x 1, x 2, z ). (3.4) possiamo dimostrare che in un modello non relativistico,[5], [6], [7], le funzioni di distribuzioni partoniche doppie (dpdfs)che chiameremo per semplicità q 1 q 2 assumono la seguente forma: q 1 q 2 (x 1, x 2, k ) = 3 ψ = 3 ψ d k 1 d k 2 d k 3 ψ ( k1 + k 2, k 2 k 2, k 3 ) ( k1 k 2, k 2 + k 2, k 3 ) ( ˆP q1 (1) ˆP q2 (2) ( δ k1 + k 2 + ) ( k 3 δ x 1 k 1 ( d k 1 d k 2 ψ k1 + k 2, k 2 ) k ˆP q1 (1) 2 ˆP q2 (2) ) ( ) ( ) δ x 1 k 1 δ x P 2 k 2 P k1 k 2, k 2 + k 2 P ) ( ) δ x 2 k 2 P, (3.5) dove la funzione d onda intrinseca ψ(k 1, k 2 ) è stata definita nel precedente capitolo, Eq. (2.4) e k = k. D ora in poi seguiamo il procedimento di [7] e, per fissare le idee, considereremo q 1 = u 1, q 2 = u 2. Inserendo la funzione d onda Eq. (2.4) in Eq. (3.5) otteniamo, nel modello dell oscillatore armonico, uu HO (x 1, x 2, k ) = Ce k 2 2α 2 ( ) ( ) d k 1 d k 2 e f( k 1, k 2,α) δ x 1 k 1 δ x P 2 k 2 P dove C = 2( 3/(πα 2 )) 3 e f( k 1, k 2, α) = 2(k k k 1 k 2 )/α 2., (3.6) La funzione delta viene trattata considerando il nucleone con massa M a riposo e il quark con massa m M/3, ed energia k 0 = m 2 + k 2. 8

12 In questo modo si ha, per i = 1, 2: da cui ricaviamo x i = k i P = m2 + k 2 i k iz M, (3.7) k 1z = k 1z = m2 + k 2 M 2 x 2 1 2Mx 1, (3.8) dove k 2 = k2 1x+k 2 1y, quindi possiamo possiamo integrare in k 1z usando δ(k 1z k 1z ). In questo caso l Eq. (2.8) diventa così: u(x) = 2 33/2 M π 3 α 6 = 2 33/2 M π 3 α 6 dk 1x dk 1ydk2 E(k 1 ) k1 e 2 k1 2/α2 e 2( k2 2+k 1xk 2x +k 1y k 2y +k 1z k 2z )/α 2 = E(k 1 ) [ dk 1x dk 1y k1 e 2 k1 2/α2 dk 2x e 2( k2x 2 +k 1xk 2x )/α 2] [Y ][Z], (3.9) con E(k 1 ) = m 2 k 2. Mentre, per le funzioni di distribuzione partoniche doppie d interesse in questo lavoro, l Eq. (3.6) diventa: uu(x 1, x 2 ) = 2 33/2 k 2 π 3 α 6 e = 2 33/2 M 2 π 3 α 6 2α 2 e k 2 2α 2 dk 1dk2 e 2(k2 1 +k2 2 + k 1 k 2 )/α 2 ( ) δ x 1 k 1 M E(k 1 ) E(k 2 ) dk 1x dk 1y dk 2x dk 2y k1 k2 ( ) δ x 2 k 2 = M e 2(k2 1 +k2 2 + k 1 k 2 )/α 2 (3.10) con normalizzazione dx 1 dx 2 uu(x 1, x 2, k = 0) = 2, corrispondenti al numero di quark di sapore u presenti nel nostro sistema, come previsto. 9

13 Capitolo 4 Risultati A causa della complessità dell Eq.(3.10) essa è stata calcolata mediante l integrazione numerica di Gauss-Legendre utilizzando il linguaggio Fortran. I risultati dei calcoli sono raccolti nelle figure In fig è mostrata la funzione di distribuzione partonica doppia uu(x 1, x 2, k ), valutata nel modello dell oscillatore armonico Eq. (3.10) con x 2 fissato a x 2 = 0.4 e per quattro differenti valori di k. Vediamo come la dipendenza da k sia Gaussiana in conseguenza della funzione d onda dell oscillatore armonico usata e come l ipotesi (i) Eq. (3.2), sia verificata; infatti la dipendenza da k è presente solamente nell esponente della Gaussiana fuori dall integrale nell Eq. (3.6). uu(x1, 0.4, k ) k = 0.0 GeV k = 0.2 GeV k = 0.4 GeV k = 0.5 GeV x 1 Figura 4.1: La dpdf uu(x 1, x 2, k ) nel modello dell oscillatore armonico, Eq. (3.6), per x 2 = 0.4 a quattro valori di k. 10

14 La misura in cui l altra approssimazione, Eq. (3.3), è violata, è mostrato nelle fig In particolare, il rapporto r 2 (x 1, x 2 ) = uu(x 1, x 2, k = 0) u(x 2 ), (4.1) mostrato in fig. (4.2), dove u(x 2 ) è la funzione di distribuzione partonica, non dipenderebbe dalla scelta di x 2, se l approssimazione Eq. (3.3) fosse valida. uu(x1, x2, k = 0)/u(x2) x 2 = 0.2 x 2 = 0.4 x 2 = x 1 Figura 4.2: Il rapporto Eq. (4.2) nel modello dell oscillatore armonico per tre diversi valori di x 2. La fig. 4.3 è stata tracciata considerando il modello dell oscillatore armonico fortemente correlato. Nella definizione di funzioni di distribuzione partoniche doppie (dpdfs) uu e funzioni di distribuzioni partoniche (PDFs) u viene introdotto un parametro β che descrive quanto il sistema è correlato, come segue: (4 β)3/2 uu β (x 1, x 2, k = 0) = 2 π 3 α 6. (4 β)3/2 u β (x i ) = 2 π 3 α 6 ( ) ( d k 1 d k 2 e 2(k2 1 +k2 2 +β k 1 k 2 )/α 2 δ x 1 k 1 δ x P 2 k 2 (4.2) ( ) d k 1 d k 2 e 2(k2 1 +k2 2 +β k 1 k 2 )/α 2 δ x i k i P, (4.3) Dal confronto con Eq. (3.10) è facile vedere che il modello dell oscillatore armonico, quello fortemente correlato grazie al potenziale, è verificato per β = 1. β = 0 rappresenta invece un modello non correlato, come per esempio il Bag Model nell approssimazione di cavità. P ), 11

15 Valori intermedi di β rappresentano situazioni di correlazione meno forte, potrebbero descrivere quanto avviene in natura, come mostrato nella Fig. 4.3, che rappresenta il rapporto:. r β (x 1, x 2 ) = 2uu β(x 1, x 2, k = 0) u β (x 1 )u β (x 2 ) Vediamo che a numeratore c è un fattore 2 per questioni di normalizzazione. (4.4) Il rapporto che otteniamo è piuttosto piatto e approssimativamente zero per x 1 x 2 1 infatti in questa regione non fisica, come previsto. Nella stessa regione, a causa della possibile non conservazione del momento nel Bag Model, sono osservate alcune strutture. Figura 4.3: Il rapporto Eq. (4.5) per (a) β = 0 in uno scenario scorrelato; (b) β = 0.25 ; (c) β = 0.5 ; (d) β = 1 nel contesto correlato dell oscillatore armonico. Nella figura, per convenienza di rappresentazione, le variabili x 1 e x 2 sono comprese tra 0.2 e 1. 12

16 Capitolo 5 Conclusioni In questa tesi abbiamo analizzato le distribuzioni partoniche doppie in un modello a quark con potenziale di oscillatore armonico, ripetendo la parte più semplice di un recente lavoro di Rinaldi, Scopetta, Vento. Le distribuzioni partoniche doppie intervengono nella descrizione teorica di collisioni tra protoni ad alte energie, come quelle che hanno luogo ad LHC. Rappresentano pertanto un fondo cruciale di cui tener conto per misure di nuova Fisica e costituiscono inoltre un informazione importante per la comprensione della struttura del protone stesso. In genere, le distribuzioni partoniche doppie vengono modellate considerando i partoni nel protone non correlati: in questo lavoro si e visto invece che, anche in un semplice modello di potenziale, forti correlazioni sono presenti nelle frazioni di impulso longitudinale dei due partoni nel singolo protone coinvolti nell urto. Correlazioni tra queste grandezze e l impulso trasversale relativo tra i partoni nel protone non sono invece emerse da questa indagine. In modelli più sofisticati, sono invece state trovate nel lavoro recente sopra citato. In realtà il problema e molto più complicato di quanto sia descritto qui: bisognerebbe tenere conto ad esempio dei gradi di libertà del mare di coppie quark-antiquark, di effetti relativistici, di correzioni radiative di QCD. La comprensione di ognuno di questi problemi e pero ben oltre le nozioni di cui dispongo al momento. Sara interessante acquisirle nel corso di Laurea Magistrale. 13

17 Bibliografia [1] Pohv, Rith, Scholtz, Zetsche, Particles and Nuclei (1995); [2] H. -M. Chang, A. V. Manohar and W. J. Waalewijn, Phys. Rev. D 87, (2013); [3] L. Conci, M. Traini, Few-Body Systems 8, (1990); [4] N. Paver and D. Treleani, Nuovo Cimento Soc. Ital. Fis. 70A, 215 (1982); [5] M. Diehl, D. Ostermeier and A. Schafer, J. High Energy Phys 03, 089 (2012); [6] A.V. Manohar and W. J. Waalewijn, Physical Review D 85, (2012) [7] M. Rinaldi, S. Scopetta, V. Vento, Physical Review D 87, (2013). 14

18 Ringraziamenti Il primo, doveroso, ringraziamento va al Professor Sergio Scopetta che mi ha permesso di realizzare questo lavoro, per la comprensione, la serietà e l immensa disponibilità dimostrata. Lo ringrazio in particolar modo per aver fatto accrescere in me l interesse verso questa branca della fisica con il corso tenuto prima e con questo lavoro poi. Come non ringraziare poi Matteo, la cui assistenza è stata fondamentale durante la realizzazione di tutto il lavoro, per i consigli, la disponibilità assoluta e soprattutto per l infinita pazienza dimostrata nei miei confronti. GRAZIE! Però se sono arrivata fin qui devo ringraziare la mia famiglia, che ha sempre creduto in me, più di quanto ci credessi io stessa, per avermi permesso di intraprendere questo percorso ma soprattutto per avermi incoraggiato e spronato quando tutto sembrava dover finire. La conclusione di quest avventura farebbe pensare ad una fine, invece per me questo è solo l inizio di un cammino che mi ha portato a conoscere persone fantastiche che sono entrate a far parte della mia vita condividendo emozioni uniche che hanno reso questi anni non solo un esperienza formativa ma un esperienza di vita indescrivibile fatta di amicizie, quelle vere, che durano nonostante le distanze, fatta di paure, di sconfitte ma anche di gioie e di sorrisi! Prime fra tutte ci sono: Alessia, Annalisa, Lucia e Valeria, la vita e i suoi percorsi ci hanno portato ad essere tutte e quattro distanti ma l affetto che mi trasmettete cancella qualsiasi chilometro che ora ci separa, vi porterò sempre nel mio cuore amiche! Ringrazio poi tutto il PACCHETTO FISICI ON THE WORLD con il quale ho condiviso questi anni, che ricorderò come i più belli della mia vita e che non avrei mai immaginato potessero essere così incredibili e pieni di emozioni indescrivibili! Vi mando un abbraccio collettivo virtuale con tanto di salto!! Non posso poi dimenticare le due chiaviche che mi hanno supportato (e sopportato!) soprattutto in questo ultimo periodo di studio intenso, grazie per i gelati in vaschetta, le cene post-esame e tutte le emozioni che condividiamo giorno dopo giorno. Infine più che ringraziare, vorrei dedicare questo, seppur semplice, lavoro a Giosuè che tra pochi giorni (finalmente!) conoscerò sperando che un giorno possa essere orgoglioso della sua zietta! 15