VII GARA DI MATEMATICA CON LE TECNOLOGIE FINALE GELA 7 APRILE B B C B A

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1 VII GARA DI MATEMATICA CON LE TECNOLOGIE FINALE GELA 7 APRILE B B C B A QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA Una sola risposta è esatta fra le 4 proposte per ciascun quesito. Ogni risposta esatta vale 3 punti, ogni risposta non data 0 punti, ogni risposta errata comporta una penalità di 1 punto. 1. Nel 2011 si celebra il cento cinquantenario dell Unità d Italia, avvenuta nel Sia 1861 che 2011 sono numeri primi e la somma delle loro cifre è un quadrato perfetto, quanti dei numeri interi positivi minori di diecimila verificano questa proprietà? A. Meno di 100 B. Fra 100 e 200 C. Fra 200 e 300 D. Più di Una coppia di numeri come 220 e 284 si chiamano amici, perché la somma dei divisori di 220, escluso 220, è 284 e la somma dei divisori di 284, escluso 284, è 220. Quanto fa la somma di tutte le coppie di numeri amici minori di 6000? A B C D

2 3. Consideriamo il numero formato da 2011 cifre tutte uguali a 1 e lo innalziamo al cubo. Quanto vale la sua cifra di posto 2011 a partire da destra? A. 1 B. 4 C. 2 D. 7 Per un banale errore nel quesito assegnato la risposta esatta non era prevista fra quelle proposte, è stata comunque accettata la risposta 5, che però è la cifra di posto La cosiddetta inflazione media viene determinata dall ISTAT considerando, per il 2011, 1377 prodotti ciascuno dei quali ha un certo peso per un totale di Nella tabella seguente riportiamo il peso nel paniere di alcuni prodotti di largo consumo e le relative variazioni mensili. Pane Carne Uova Caffè Indumenti Calzature Frigoriferi Automobili Benzina Giornali bovina donna uomo benzina 12,577 18,147 1,045 1,880 32,677 4,720 1,348 15,688 17,397 2,442 +1,23% -0,12% +0,34% +3,17% -4,51% +2,17% -6,78% +2,11% +13,24% +0,21% Supponiamo che tutti gli altri prodotti mediamente hanno aumentato il prezzo dello 0,15%, Quale dovrebbe essere l inflazione mensile dichiarata?

3 A. 0,152% B. 0,162% C. 0,174% D. 0,42% Pane Carne bovina Uova Caffè Indumenti donna Calzature uomo Frigoriferi Automobili benzina Benzina Giornali Totale Peso Variazione % 12,577 18,147 1,045 1,88 32,677 4,72 1,348 15,688 17,397 2,442 1,23% -0,12% 0,34% 3,17% -4,51% 2,17% -6,78% 2,11% 13,24% 0,21% 107,921 Nuovo peso 12, , , , , , , , , , ,2939 Peso altri prodotti prima 9892,079 Peso altri prodotti dopo 9906,917 Nuovo paniere 10016,21 Variazione 0,162% 5. La bisettrice interna e quella esterna relativa ad uno stesso angolo di un triangolo, incontrano il lato opposto o il suo prolungamento in due punti. Il cerchio avente per diametro il segmento che ha per estremi tali punti si dice cerchio di Apollonio relativo al triangolo. I centri dei cerchi di Apollonio relativi ai vertici di un triangolo sono allineati. Qual è l equazione di questa retta per il triangolo di vertici (-3; 4), (-6; 1), (-2; 2)? (I valori delle risposte sono approssimati). A. y = -2,224x + 1,358 B. y = -2,312x + 1,412 C. y = -1,947x - 1,478 D. y = 2,015x + 1,874

4 QUESITI A RISPOSTA NUMERICA La risposta è formata da un numero intero o decimale. Ogni risposta esatta o parzialmente esatta è valutata da 0 a 3 punti, ogni risposta non data 0 punti, ogni risposta del tutto errata comporta una penalità di 1 punto. Inoltre vi sarà un bonus di 5 punti se il numero di candidati che hanno risolto correttamente il quesito è 1; di 4 punti se sono da 2 a 3; di 3 punti da 4 a 6; di 2 punti da 7 a 9 di 1 punto da 10 a 12; di 0 punti per più di 12 risposte esatte) 6. Consideriamo che ha 6644 cifre, quante di queste sono uguali a 0, 1 o 2? 7. Si possono costruire insiemi di numeri interi consecutivi privi di numeri primi a piacere, per esempio nessuno dei 2010 numeri dell insieme [2011!+2, 2011!+2011] è un numero primo. Qual è il massimo numero di interi consecutivi non primi dell insieme [1, p], in cui p è il 2011 numero primo? 8. In figura abbiamo, in rosso, la funzione sin( x) x, nell intervallo ]0, π]. Per calcolare la sua lunghezza abbiamo diviso l intervallo in 4 parti uguali, quindi abbiamo calcolato la somma dei segmenti blu, i cui estremi stanno sulla curva e hanno le ascisse della suddivisione (L non appartiene alla curva). In quante parti uguali dobbiamo dividere l intervallo perché la somma dei segmenti rappresenti la lunghezza della curva precisa fino al sesto decimale?

5 Questo quesito è stato contestato, giustamente, dallo studente Novello, il quale ha rilevato che il fatto che le cifre si assestino non è condizione sufficiente ad affermare che siano corrette, ciò può essere dovuto, ed in effetti è così, ad approssimazioni e troncamenti. Calcoliamo con più cifre decimali e facciamo calcolare l integrale numerico.

6 In effetti le cifre corrette sono , vediamo quando le otteniamo per la prima volta: Quindi la risposta corretta è Definiamo una successione nel seguente modo. I primi 3 elementi sono uguali a 1, a partire dal quarto ogni elemento è somma dei tre che lo precedono. Quante cifre ha l'elemento di posto 2011? 10. Consideriamo il numero ottenuto scrivendo uno appresso all altro i numeri interi da 2011 a 0, cioè Lo innalziamo al quadrato, quindi prendiamo le sue cifre che, a partire da sinistra, occupano le posizioni multiple di Che numero otteniamo?

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