Regressione logistica

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1 SMID a.a. 2004/2005 Corso di Metodi Statistici in Biomedicina Regressione logistica 31/1/2005

2 Regressione categoriale Una delle applicazioni più utili della regressione multipla potrebbe essere quella di predire la mortalità o la morbilità incidenti cerebro-vascolari, infarto, cancro o altro La regressione multipla non può essere applicata a dati categorici come la morte o l'infarto miocardico queste variabili presentano due sole possibilità 0 o 1 (si o no, vivo o morto, infarto o non infarto) Per analizzarle con un approccio multivariato, esse devono essere trasformate e la trasformazione da utilizzare è quella in logit

3 Modelli logistici La costruzione dei modelli logistici, si base sul metodo della probabilità più verosimile o maximum likelihood Seguiamo un campione di 10 pazienti per un certo periodo di tempo siamo interessati a stabilire la mortalità, abbiamo solo due possibili esiti: vivo o morto Sappiamo che nel periodo di osservazione 3 pazienti sono deceduti (con probabilità p) e che 7 sono sopravvissuti (eventi mutualmente escludentisi) con naturalmente probabilità (1-p)

4 Probabilità totale La stima della probabilità della nostra osservazione è p TOT = (p) 3 (1-p) 7 Nel modello possiamo attribuire varie probabilità al rischio di morte (p) un rischio del 10% o 20% o 30% o altri valori La domanda che ci poniamo è: quanto è verosimile (likely) un certo rischio (per esempio: mortalità 10%, sopravvivenza 90%) tenuto conto che noi osserviamo una mortalità del 30% (e quindi una sopravvivenza del 70%)?

5 Verosimiglianza Calcoliamo la probabilità per varie ipotesi di rischio per esempio quella del 10%: (0.10) 3 (0.90) 7 = = ( ) quella del 20%: (0.20) 3 (0.80) 7 = = ( ) quella del 30%: (0.30) 3 (0.70) 7 = = ( ) Ripetendo il calcolo (calcolo iterativo) per ulteriori valori di rischio troviamo che la probabilità più alta è proprio quella che coincide con un rischio del 30%!

6 Maximum likelihood Avendo controllato (test) tutti i possibili valori di rischio che la probabilità p può assumere l ipotesi di rischio del 30% è quella che meglio è supportata dai nostri dati La conclusione è abbastanza logica una certa ipotesi di rischio è tanto più verosimile quanto più è simile al rischio effettivamente osservato Il rischio che ha la verosimiglianza più alta è definito il valore più verosimile (maximum likelihood) Questo valore coincide con la proporzione osservata dell esito dicotomico (morto/vivo) nel campione

7 Equazione logistica Abbiamo potuto prevedere l'esito (outcome) del rischio vivo/morto in base ai determinanti del rischio Se oltre a registrare l'esito misuriamo anche una o più variabili che riteniamo possano influenzarlo ad esempio: l'ipertrofia ventricolare sinistra, la pressione arteriosa media possiamo costruire un modello più complesso che cerca di predire l'esito a partire da più variabili mortalità = β 0 + β 1 massa ventricolare + β 2 PAM y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 trovare i vari β i in modo da massimizzare la probabilità di y

8 Relazione funzionale Il metodo deve massimizzare la probabilità di ottenere i valori osservati della variabile dipendente (vivo/morto) in base a un'equazione costruita con i dati relativi alla pressione arteriosa media e alla massa ventricolare sinistra La likelihood sarà massima quando i coefficienti dell'equazione saranno tali da predire il più accuratamente possibile l'esito caso per caso se vogliamo stimare la probabilità di morte a partire da una (o più) variabili indipendenti, dobbiamo generare un modello a partire dai nostri dati

9 Modello E' ovvio che il modello sarà efficace riuscirà cioè a predire la mortalità realmente osservata solo se le variabili considerate influenzano la mortalità In questo caso noi attribuiamo alla mortalità la probabilità prevista dal modello e concludiamo che le variabili indipendenti determinano la mortalità Se invece i dati di mortalità (0/1) previsti dal modello non coincidono con i dati di mortalità osservati, il modello è inefficace e concludiamo che le variabili indipendenti che abbiamo scelto non influenzano la mortalità

10 Correlazioni Possiamo paragonare il metodo della maximum likelihood alla correlazione lineare La retta di regressione è costruita in maniera tale da minimizzare la distanza di ciascun dato dalla retta, allo stesso modo la maximum likelihood è calcolata per minimizzare la differenza tra i dati di mortalità osservati e quelli previsti dal modello Così come la retta predice perfettamente i dati se essi giacciono tutti sulla retta, allo stesso modo il modello basato sulla maximum likelihood predice perfettamente la mortalità quando dati previsti e dati osservati coincidono

11 Uso calcolatore Il metodo si basa sul calcolo iterativo il computer "testa" vari coefficienti di regressione il calcolo si arresta quando i coefficienti di regressione (β i dell'equazione del nostro esempio) massimizzano la previsione della variabile dipendente L'equivalente del coefficiente di correlazione (r) nella regressione logistica è il likelihood ratio (LR) rapporto tra la likelihood di ottenere i valori della variabile dipendente quando è vera l'ipotesi nulla ossia il modello non consente di predire la variabile dipendente (outcome) diviso per la likelihood calcolata sulla base dei dati del nostro campione

12 Valore di LR Quando il modello non predice la variabile dipendente la likelihood del denominatore sarà uguale a quella del numeratore il rapporto LR = 1 e l'ipotesi nulla H 0 risulta vera Tanto più efficace è il modello tanto più basso sarà il likelihood ratio (LR) (che tenderà ad avvicinarsi sempre più allo 0) Per verificare la distanza di LR tra 1 a 0 vale la pena di convertire il likelihood ratio in valori di χ 2 χ 2 = 2 ln(lr)

13 Significatività Consultando la distribuzione χ 2 possiamo stabilire se il nostro modello ben predice la variabile dipendente Il likelihood ratio, il suo valore corrispondente di χ 2 e la probabilità relativa sono calcolati dal computer Nella regressione multipla era possibile stabilire se un certo coefficiente di regressione era significativo o meno paragonando il coefficiente di determinazione del modello con il coefficiente di determinazione di un modello ridotto che escludeva il coefficiente di regressione in questione la significatività dei coefficienti di una regressione logistica viene calcolata allo stesso modo

14 Significatività logistica Paragonando il LR del modello globale con quello di un modello ridotto nel quale viene esclusa la variabile corrispondente al coefficiente che si vuol testare Per la massa ventricolare andrà paragonato il full model con il reduced model che esclude la massa ventricolare Occorre operare la trasformazione dei dati in logit la variabile dipendente si trasforma in una funzione logistica utilizzando la formula p = ln p 1 p

15 Probabilità a favore Il rapporto tra p (la probabilità di morte) e (1-p) la probabilità complementare, cioè la sopravvivenza, sono chiamati odds o probabilità a favore Gli odds sono il tipico modo che gli scommettitori usano per quantificare la probabilità di vincere ci consentono di trasformare una variabile categorica (si/no) in una variabile che esprime la p dell'evento Quando la probabilità di morte è del 50% (o 0.5) gli odds sono uguali a / (1 0.5) = 1 la relativa funzione logistica è uguale a 0 ln 1 = 0

16 Probabilità Un vantaggio dei logit è che la probabilità ad essi corrispondente può variare da 0 a 1 cioè nell'ambito della stessa scala sulla quale è espressa abitualmente la probabilità di un evento ln p 1 p p p = ln p 1 p = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 +. p = 1/[1 + exp (β 0 + β 1 x 1 + β 2 x )]

17 Funzione logistica Probabilità di malattia 1,0 p(y x) = eα+βx 1-e α+βx 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 x

18 Esempio Se la funzione logistica dell'equazione che predice la sopravvivenza (SV) in base alla massa ventricolare (LVM) e alla pressione arteriosa media (PAM) è SV = LVM MAP la probabilità di morte per una massa ventricolare di 120 g/m 2 e una MAP di 110 mmhg è: p = 1 / [1 + exp ( )] = 1 / [1+ exp ( 0.95)] = 1 / [ ] = se LVM = 110 g/m 2 p = (16.4 %) se LVM = 130 g/m 2 p = (43.2 %)

19 Odds ratio Stima dell'influenza della massa ventricolare sulla sopravvivenza indipendentemente dalla PAM valutazione più immediata calcolando gli odds ratio Il calcolo degli odds ratio (OR) per aumento della massa ventricolare sinistra da 120 a 130 g/m 2 OR = exp ( ) = 1.54 la probabilità di morte è 1.54 volte più alta quando la massa ventricolare sinistra aumenta da 120 a 130 g/m 2 Aumento della pressione da 110 a 120 mmhg OR = exp ( ) = 1.91

20 Conclusioni Non si può concludere che ai fini della sopravvivenza è più importante un aumento della pressione di 10 mmhg che un aumento della massa ventricolare di 10 g/m 2 Non possiamo farlo perché sappiamo che le due scale non si equivalgono (10 mmhg è una misura ben diversa da 10 g/m 2 ) coeff. errore χ p χ IC (95 %) β LVM MAP

21 Esercizio 1 Età (Age) e sintomi di malattia coronarica (CHD) Età CHD Età CHD Età CHD Come analizzereste i dati?