Georg Cantor e gli infiniti infiniti

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1 Georg Cantor e gli infiniti infiniti Federica Porta Università di Modena e Reggio Emilia Carpi, 6 Novembre 08

2 Georg Cantor (8-98) Nasce a San Pietroburgo, ma nel 86 si trasferisce in Germania insieme alla famiglia. Inizia i suoi studi universitari al Politecnico di Zurigo nel 86. Dopo un anno si iscrive alla più prestigiosa Università di Berlino, frequentando corsi di matematica e di filosofia. Consegue il dottorato nel 867. Nel 869 viene assunto come docente all Università di Halle.

3 Georg Cantor

4 La teoria degli insiemi Il lavoro svolto da Cantor tra il 87 e il 88 costituisce l origine della teoria degli insiemi. Un insieme è una qualunque collezione di oggetti definiti e separati della nostra intuizione o del nostro pensiero. Prima di allora, il concetto di insieme era stato usato implicitamente e in modo elementare. Inoltre, venivano considerati principalmente insiemi finiti. L infinito era trattato a parte, come argomento filosofico più che matematico.

5 Infinito potenziale e infinito attuale Il numero è infinito in potenza, ma non in atto [...] Questo nostro discorso non intende sopprimere per nulla le ricerche dei matematici, per il fatto che esso esclude che l infinito per accrescimento sia tale da poter essere percorso in atto. In realtà essi stessi allo stato presente non sentono il bisogno di infinito, ma di una quantità più grande quanto essi vogliono, ma pur sempre finita. Aristotele, Fisica, III 7, 07b 0-0.

6 Infinito potenziale e infinito attuale Gottfried Wilhelm von Leibniz (Lipsia, 66 - Hannover, 76) La nozione di numero di tutti i numeri interi è in sè contraddittoria e dovrebbe essere rifiutata. Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, Gottinga, 8) Protesto contro l uso di una grandezza infinita come attuale, che non è mai lecito in matematica. Karl Weierstrass (Ostenfelde, 8 - Berlino, 897) Si può parlare di infinitamente grande solo come incompletezza del processo considerato.

7 Infinito potenziale e infinito attuale Si presenta spesso il caso che vengano confusi tra di loro i concetti di infinito potenziale e di infinito attuale, malgrado la loro differenza essenziale. [...] Il primo denota una grandezza variabile finita, che cresce al di là di ogni limite finito; il secondo ha come suo significato un quanto costante, fisso in sé, tuttavia posto al di là di ogni grandezza finita. Cantor, Crelles Journal für Mathematik (87) Cantor accetta l infinito attuale e vede un insieme infinito come un oggetto matematico che può essere pensato come una totalità e che può essere studiato.

8 Insieme infinito Nel lavoro Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen del 87, Cantor definisce la proprietà universale degli insiemi infiniti. Un insieme S si dice infinito quando è simile ad una propria parte. In caso contrario si dice finito.

9 Insieme infinito Nel lavoro Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen del 87, Cantor definisce la proprietà universale degli insiemi infiniti. Un insieme S si dice infinito quando è simile ad una propria parte. In caso contrario si dice finito. Utilizzando una terminologia più moderna possiamo dire che un insieme S di elementi si dice infinito se gli elementi di un sottoinsieme proprio T possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli elementi di S.

10 Sottoinsieme proprio Richiami Definizione. Un insieme B si dice sottoinsieme proprio di A se ogni elemento di B è anche elemento di A ed esiste almeno un elemento di A che non è elemento di B. Esempio. A = {,, 6, 7, 9}, B = {, 6, 9} A B..9

11 Corrispondenza biunivoca Richiami Per affermare che due insiemi finiti hanno lo stesso numero di e- lementi basta contare i loro elementi. Tuttavia anche se non si è capaci di contare lo si può stabilire. L insieme delle pecore e quello dei sassi hanno lo stesso numero di elementi se per ogni sasso c è una pecora e per ogni pecora c è un sasso. In matematica, quando si può fare un accoppiamento del genere si dice che è stata stabilita una corrispondenza biunivoca.

12 Corrispondenza biunivoca Richiami Definizione. Una corrispondenza biunivoca tra due insiemi X e Y è una relazione tra X e Y, tale che ad ogni elemento di X corrisponde uno ed un solo elemento di Y, e, viceversa, ad ogni elemento di Y corrisponde uno ed un solo elemento di X. X x x x x y y y y Y

13 Corrispondenza biunivoca Richiami Definizione. Se X e Y possono essere posti in corrispondenza biunivoca si dice che X e Y hanno la stessa cardinalità. Osservazione. Se X e Y sono finiti, avere la stessa cardinalità significa avere lo stesso numero di elementi. Osservazione. Un insieme finito non può essere posto in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. E se X e Y sono infiniti, che cosa si può dire? Un insieme si dice infinito se i suoi elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli elementi di un suo sottoinsieme proprio.

14 I numeri naturali N = {0,,,,,,...} P = {0,,, 6, 8, 0,...} è un sottoinsieme proprio di N. Cantor dimostra che N è in corrispondenza biunivoca con P N P P N n n n n

15 Insiemi numerabili Si dice che ogni insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con N ha la cardinalità del numerabile. Altri esempi di insiemi numerabili D = {,,, 7, 9,...} N D D N n n + n n

16 Insiemi numerabili Si dice che ogni insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con N ha la cardinalità del numerabile. Altri esempi di insiemi numerabili Z = {0, ±, ±, ±, ±,...} N Z n pari + n n dispari n + D N n + n n n

17 Insiemi numerabili Insiemi numerabili: i loro elementi si possono elencare. N: 0,,,,,,... P: 0,,, 6, 8, 0,... D:,,, 7, 9,,... Z: 0,, +,, +,, +,... Consideriamo ora l insieme dei numeri razionali Q. { m } Q = n : m, n Z, n 0 = {numeri decimali limitati o illimitati periodici} Q è un insieme numerabile?

18 Insiemi numerabili Consideriamo la seguente tabella, limitandoci ai numeri razionali positivi.

19 Insiemi numerabili Per costruire una corrispondenza biunivoca con i numeri naturali si può procedere per diagonali ottenendo quindi il seguente elenco,,,,,,,,,,,,,,,

20 Insiemi numerabili Se dall elenco cancelliamo le frazioni che non sono ridotte ai minimi termini rimane la seguente successione,,,,,,,,,,,,,,, che contiene esattamente tutti i numeri razionali positivi Tutti gli insiemi infiniti hanno la cardinalità del numerabile?

21 I numeri reali R = {numeri decimali limitati, illimitati periodici e non periodici} Osservazione.,, π appartengono a R ma non a Q. Teorema. I numeri reali non hanno la cardinalità del numerabile. Dimostrazione. Dimostriamo che l intervallo dei numeri reali compresi tra 0 e non è numerabile. La dimostrazione prosegue per assurdo. Supponiamo cioè che [0, ] sia numerabile; ciòè che è possibile elencare i suoi elementi: r, r, r, r, r, r 6,...

22 I numeri reali Supponiamo i numeri di questo elenco disposti come nella tabella seguente r = 0, a a a a a a 6 r = 0, a a a a a a 6 r = 0, a a a a a a 6 r = 0, a a a a a a 6 r = 0, a a a a a a 6 r 6 = 0, a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 66 r n = 0, a n a n a n a n a n a n6 a nn Consideriamo ora il numero decimale r = 0, 890 r = 0, 779 r = 0, 089 r = 0, 68 r = 0, 77 r 6 = 0, 90 r n = 0, 788 β = 0, a a a a a a 66 a nn

23 I numeri reali Supponiamo i numeri di questo elenco disposti come nella tabella seguente r = 0, a a a a a a 6 r = 0, a a a a a a 6 r = 0, a a a a a a 6 r = 0, a a a a a a 6 r = 0, a a a a a a 6 r 6 = 0, a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 66 r n = 0, a n a n a n a n a n a n6 a nn Consideriamo ora il numero decimale r = 0, 890 r = 0, 779 r = 0, 089 r = 0, 68 r = 0, 77 r 6 = 0, 90 r n = 0, 788 β = 0, a a a a a a 66 a nn

24 I numeri reali Supponiamo i numeri di questo elenco disposti come nella tabella seguente r = 0, a a a a a a 6 r = 0, a a a a a a 6 r = 0, a a a a a a 6 r = 0, a a a a a a 6 r = 0, a a a a a a 6 r 6 = 0, a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 66 r n = 0, a n a n a n a n a n a n6 a nn Sia α il numero decimale r = 0, 890 r = 0, 779 r = 0, 089 r = 0, 68 r = 0, 77 r 6 = 0, 90 r n = 0, 788 α = 0, a a a a a a 66 a nn α = 0,

25 I numeri reali Sia α il numero decimale α = 0, a a a a a a 66 a nn α = 0, Sia invece β il numero decimale β = 0, b b b b b b 6 b n β = 0, 70 6 dove b i a ii. Il numero β allora differisce da tutti i numeri reali che compaiono nell elenco iniziale. Questa è una contraddizione poichè si era supposto che l elenco iniziale esaurisse tutti i numeri dell intervallo [0, ]. L intervallo [0, ] non ha la cardinalità del numerabile.

26 I numeri reali L insieme dei numeri reali non ha la cardinalità del numerabile.

27 I numeri transfiniti La descrizione delle mie ricerche sulla teoria degli insiemi ha raggiunto uno stadio in cui la loro continuazione è diventata dipendente da una generalizzazione dei numeri reali oltre i presenti limiti; generalizzazione che prende una direzione verso la quale, per quanto ne so, nessuno ha mai guardato. Dipendo a tal punto da questa generalizzazione del concetto di numero che senza di essa non potrei compiere liberamente neppure il più piccolo passo verso la teoria degli insiemi. Spero che questa situazione giustifichi o, se necessario, scusi l introduzione nei miei ragionamenti di idee apparentemente strane. Cantor, Matematische Annalen (88)

28 I numeri transfiniti Lo studio degli insiemi infiniti porta Cantor a definire un nuova tipologia di numeri: i numeri cardinali transfiniti. Il primo numero transfinito è ℵ 0 ed indica la cardinalità del numerabile, cioè la cardinalità di N e di tutti gli insiemi che si possono mettere in corrispondenza biunivoca con esso. Poichè i numeri reali non possono essere posti in corrispondenza biunivoca con N, all insieme dei numeri reali deve corrispondere un altro numero transfinito che viene denotato con C. C > ℵ 0

29 L origine del termine transfinito Affermare l esistenza di diversi infiniti poteva contrapporsi all idea dell unicità di Dio? Cantor decise allora di contattare il Santo Uffizio che all epoca aveva a capo il cardinale tedesco Franzelin per risolvere tale dubbio. I segretari del Santo Uffizio non trovarono nulla di ambiguo nei suoi scritti, tuttavia il cardinale suggerì di utilizzare il termine transfinito. Avviene una frequente conclusione con lo scambio fra le due forme di infinito attuale, e precisamente quando si mettono insieme il Transfinito e l Assoluto, mentre questi due concetti sono rigorosamente separati, in quanto il primo è relativo ad un infinito attuale, sì, ma ancora accrescibile, il secondo ad un infinito non accrescibile e pertanto non determinabile matematicamente. Cantor, Crelles Journal für Mathematik (87)

30 Insieme delle parti di un insieme Definizione. Sia A un insieme. L insieme delle parti di A denotato con P(A) è l insieme di tutti i sottoinsiemi di A. Esempio. Sia A = {a, b, c}. P(A) = {, A, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}} P(A) ha elementi. Osservazione. Se A ha n elementi, P(A) ha n elementi. Teorema. Nessun insieme, finito o infinito, può essere posto in corrispondenza biunivoca con il suo insieme delle parti.

31 Infiniti infiniti L insieme R ha una cardinalità minore di P(R). L insieme P(R) ha una cardinalità minore di P(P(R)). L insieme P(P(R)) ha una cardinalità minore di P(P(P(R))). E così via. Cantor dimostra che la cardinalità di R è uguale alla cardinalità dell insieme delle parti di N. C = ℵ 0

32 Intorno a Cantor Al tempo in cui gettava i fondamenti della teoria degli insiemi, Cantor dovette fare grandi sforzi per convincere i suoi contemporanei della validità dei suoi risultati: i matematici dell epoca infatti nutrivano ancora un considerevole horror infiniti ed erano riluttanti ad ammettere l infinito attuale. Il mio scopo è quello di generalizzare o estendere oltre l infinito la serie dei numeri reali. Per quanto audace possa apparire, esprimo non soltanto la speranza, ma la ferma convizione che a tempo debito questa generalizzazione sarà riconosciuta come un passo assolutamente semplice, appropriato e naturale. Sono tuttavia ben conscio che adottando tale procedimento mi pongo in contrapposizione con opinioni diffuse circa l inifnito in matematica e con punti di vista correnti sulla natura del numero Cantor, Matematische Annalen (88)

33 Intorno a Cantor La tragedia personale di Cantor trova conforto nelle lodi di uno dei maggiori matematici dell inizio del XX secolo, David Hilbert (86-9), che esaltava la nuova aritmetica transfinita come il prodotto più stupefacente del pensiero matematico, una delle più belle creazioni dell attività umana nel campo del puro intelligibile. Di fronte all esitazione di anime timide, Hilbert esclamava: nessuno ci scaccerà mai dal paradiso che Cantor ha creato per noi.