L infinito in Matematica, Scienza e Filosofia

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1 L infinito in Matematica, Scienza e Filosofia Francesco de Giovanni Università di Napoli Federico II Congresso Nazionale Mathesis Roma, 1 2 dicembre 2017

2 Georg Cantor San Pietroburgo, 3 marzo1845 Halle, 6 gennaio 1918

3 Abbiamo già visto che, nella realtà, l infinito è qualcosa di irreperibile, quali che siano le esperienze, le osservazioni e il sapere cui si fa ricorso. Ma può il pensiero sulle cose essere tanto differente dalle cose stesse? E i processi del pensiero possono essere tanto diversi dagli effettivi processi delle cose? In breve: può il pensiero essere tanto lontano dalla realtà? David Hilbert 1925

4 Non si può dire che sia sicuro che esista in realtà un qualsiasi insieme infinito nel mondo. L ipotesi che esista è quello che noi chiamiamo l assioma dell infinito Bertrand Russell, 1919

5 L infinito come totalità compiuta, l infinito in atto, non esiste Aristotele, IV sec. a.c.

6 Pitagora di Samo VI sec. a.c. La scoperta dell esistenza di entità irrazionalità (come la misura della diagonale del quadrato di lato unitario), che implicitamente comportava l affermazione di un infinito attuale, fu un evento sconvolgente per la comunità dei pitagorici, tanto da indurre Pitagora ad imporre agli iniziati il silenzio assoluto su questo argomento

7 La leggenda racconta però che Ippaso, uno dei principali esponenti della scuola pitagorica, tradì il vincolo del segreto, e fu per questo assassinato, da Pitagora in persona o da un suo sicario Ippaso di Metaponto

8 Galileo Galilei ( ) Galilei esplorò per primo la possibilità del passaggio dall infinito potenziale all infinito attuale, osservando (1638) che ci sono tanti quadrati quanti sono i numeri, cioè provando che l insieme dei numeri naturali può essere posto in corrispondenza biunivoca col suo sottoinsieme costituito da tutti i quadrati

9 Bernard Bolzano ( ) Il paradosso galileiano di un insieme in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio fu in seguito trasportato dal discreto al continuo ad opera di Bernard Bolzano il quale provò che l intervallo dei numeri reali compresi tra 0 e 1 può essere posto in corrispondenza biunivoca con l intervallo dei numeri reali compresi tra 0 e 2

10 Il problema cruciale di tutta la Matematica è definire grandezze e riuscire a confrontarle, esigenza già avvertita ed esplicitata da Euclide nel libro V dei suoi Elementi

11 Il problema cruciale di tutta la Matematica è definire grandezze e riuscire a confrontarle, esigenza già avvertita ed esplicitata da Euclide nel libro V dei suoi Elementi Per Cantor un insieme (Menge) è un qualunque molti che possa essere pensato come uno

12 Il problema cruciale di tutta la Matematica è definire grandezze e riuscire a confrontarle, esigenza già avvertita ed esplicitata da Euclide nel libro V dei suoi Elementi Per Cantor un insieme (Menge) è un qualunque molti che possa essere pensato come uno Ma come confrontare gli insiemi?

13 La prima idea, quasi istintiva, quella di usare come metodo di confronto tra insiemi l inclusione, si rivela subito inefficace perché la maggior parte degli insiemi sarebbero non confrontabili

14 La prima idea, quasi istintiva, quella di usare come metodo di confronto tra insiemi l inclusione, si rivela subito inefficace perché la maggior parte degli insiemi sarebbero non confrontabili Mentre invece l utilizzo di un metodo quantitativo permette di superare questo ostacolo

15 La prima idea, quasi istintiva, quella di usare come metodo di confronto tra insiemi l inclusione, si rivela subito inefficace perché la maggior parte degli insiemi sarebbero non confrontabili Mentre invece l utilizzo di un metodo quantitativo permette di superare questo ostacolo Occorre allora identificare, in questo confronto, insiemi che possano essere posti in corrispondenza biunivoca

16 Un insieme S si dice meno potente di un insieme T se esiste una funzione iniettiva di S in T, cioè se è possibile far corrispondere univocamente ad ogni elemento di S un elemento di T, in modo tale che ad elementi distinti di S corrispondano elementi distinti di T

17 Un insieme S si dice meno potente di un insieme T se esiste una funzione iniettiva di S in T, cioè se è possibile far corrispondere univocamente ad ogni elemento di S un elemento di T, in modo tale che ad elementi distinti di S corrispondano elementi distinti di T Con questa definizione, si prova che l insieme dei numeri naturali è il meno potente tra tutti gli insiemi infiniti

18 Un insieme S si dice meno potente di un insieme T se esiste una funzione iniettiva di S in T, cioè se è possibile far corrispondere univocamente ad ogni elemento di S un elemento di T, in modo tale che ad elementi distinti di S corrispondano elementi distinti di T Con questa definizione, si prova che l insieme dei numeri naturali è il meno potente tra tutti gli insiemi infiniti Qui, seguendo Dedekind, un insieme si dice infinito se può essere posto in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio

19 Teorema di Cantor Bernstein (1897) Siano S e T insiemi non vuoti tali che esistano una funzione iniettiva di S in T ed una funzione iniettiva di T in S. Allora S e T sono equipotenti Felix Bernstein ( )

20 Teorema di Cantor Hartogs Qualunque siano gli insiemi non vuoti S e T, esiste una funzione iniettiva di S in T oppure esiste una funzione iniettiva di T in S Friedrich Hartogs ( )

21 Teorema di Cantor Hartogs Qualunque siano gli insiemi non vuoti S e T, esiste una funzione iniettiva di S in T oppure esiste una funzione iniettiva di T in S Friedrich Hartogs Hartogs era di origine ebraica e, dopo la notte dei cristalli ( ) (10 novembre 1938), fu internato per alcune settimane nel campo di concentramento di Dachau. Dopo il rilascio dal lager fu costretto a subire gravi umiliazioni, che lo spinsero infine al suicidio nell agosto 1943

22 L αντιστρέφον di Cantor

23 L αντιστρέφον di Cantor Cantor riuscì a provare che non esiste alcuna applicazione suriettiva di un insieme S sull insieme P(S) costituito dalle parti di S

24 L αντιστρέφον di Cantor Cantor riuscì a provare che non esiste alcuna applicazione suriettiva di un insieme S sull insieme P(S) costituito dalle parti di S In particolare, S e P(S) non sono equipotenti

25 L αντιστρέφον di Cantor Cantor riuscì a provare che non esiste alcuna applicazione suriettiva di un insieme S sull insieme P(S) costituito dalle parti di S In particolare, S e P(S) non sono equipotenti e quindi esiste una gerarchia illimitata di insiemi infiniti

26 L αντιστρέφον di Cantor Cantor riuscì a provare che non esiste alcuna applicazione suriettiva di un insieme S sull insieme P(S) costituito dalle parti di S In particolare, S e P(S) non sono equipotenti e quindi esiste una gerarchia illimitata di insiemi infiniti N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))),...

27 Se per assurdo esistesse una funzione suriettiva di S su P(S) ponendo X 0 = {x S x f (x)} dovrebbe esistere x 0 S tale che f (x 0 ) = X 0

28 Se per assurdo esistesse una funzione suriettiva di S su P(S) ponendo X 0 = {x S x f (x)} dovrebbe esistere x 0 S tale che f (x 0 ) = X 0 Allora da x 0 X 0 seguirebbe x 0 X 0, mentre x 0 X 0 implicherebbe x 0 X 0

29 Se per assurdo esistesse una funzione suriettiva di S su P(S) ponendo X 0 = {x S x f (x)} dovrebbe esistere x 0 S tale che f (x 0 ) = X 0 Allora da x 0 X 0 seguirebbe x 0 X 0, mentre x 0 X 0 implicherebbe x 0 X 0 un evidente contraddizione

30 L αντιστρέφον di Protagora

31 L αντιστρέφον di Protagora Protagora di Abdera ( a.c.) Già nel mondo greco questo tipo di argomento era ampiamente usato. Famoso è quello relativo a Protagora ed al suo allievo Euathlos riportato da Aulo Gellio nelle Noctes Atticæ

32 Dio ha creato i numero interi, e tutto il resto è opera dell uomo Cantor è un corruttore della gioventù e il suo contributo matematico è nullo Leopold Kronecker ( )

33 [La teoria di Cantor] è solo una malattia, un bizzarro stato di malessere da cui un giorno la matematica guarirà Henry Poincaré, 1908

34 Il tentativo di superare il campo delle matematiche così determinato in rapporto alla possibilità effettiva della costruzione mentale ha condotto Giorgio Cantor a porre come dati alcuni concetti che gli spiriti critici non possono ritenere in alcun modo definiti; tale per esempio il numero alef-uno che corrisponde al concetto della totalità delle serie numerabili. La debolezza della posizione di quei pochi matematici [...] che considerano effettivamente dati siffatti concetti, si rivela nei cosiddetti paradossi della teoria degli insiemi Federigo Enriques, 1926

35 La teoria dei numeri transfiniti di Cantor costituisce il frutto più squisito dello spirito matematico, nonchè una delle somme conquiste dell attività puramente intellettuale dell uomo Grazie alla titanica collaborazione tra Frege, Dedekind e Cantor, l infinito fu glorificato e visse un epoca di grande trionfo. Spiccando un volo audace, l infinito aveva raggiunto l apice vertiginoso del successo David Hilbert, 1925

36 Karl Weierstrass, Gustaf Mittag-Leffler,

37 Oltre ad elaborare strumenti avanzati ed adeguati di calcolo, il ruolo della Matematica, oggi come nel passato, deve essere quello di fornire supporto metodologico e filosofico alle altre discipline

38 Oltre ad elaborare strumenti avanzati ed adeguati di calcolo, il ruolo della Matematica, oggi come nel passato, deve essere quello di fornire supporto metodologico e filosofico alle altre discipline Ad esempio, nell affermarsi dello strutturalismo, la corrente filosofica che nella seconda metà del XX secolo, fu elemento portante di svariate discipline, dalla linguistica all antropologia, dalla psicoanalisi all economia, furono cruciali le innovative idee matematiche elaborate dal gruppo Bourbaki, ed in particolare l incontro tra Claude Lévi Strauss e André Weil

39 Nel mondo contemporaneo la scienza deve affrontare lo studio di grandezze incredibilmente grandi e di grandezze incredibilmente piccole

40 Nel mondo contemporaneo la scienza deve affrontare lo studio di grandezze incredibilmente grandi e di grandezze incredibilmente piccole Da una parte assistiamo all ingresso dirompente delle nanotecnologie nelle ricerche fisiche, chimiche e biologiche (evento che era stata profeticamente annunciato da Richard Feynman già nel 1959)

41 Dall altra entità incredibilmente grandi si affacciano alla nostra conoscenza

42 Dall altra entità incredibilmente grandi si affacciano alla nostra conoscenza Si pensi ad esempio all ammasso di galassie Abell 2019, distante dalla terra oltre miliardi di miliardi di chilometri

43 Dall altra entità incredibilmente grandi si affacciano alla nostra conoscenza Si pensi ad esempio all ammasso di galassie Abell 2019, distante dalla terra oltre miliardi di miliardi di chilometri Come si possono trattare in modo univoco questi due aspetti apparentemente così inconciliabili?

44 Il mio gruppo di ricerca sta cercando da alcuni anni di dimostrare che in una struttura matematica grande il comportamento delle sottostrutture piccole influenza in modo determinante l intero ambiente, rendendo in qualche senso trascurabile lo studio del comportamento delle sottostrutture grandi

45 Siamo risuciti a provare che, sotto opportune definizioni per la nozione di grande e di piccolo, questo avviene per i gruppi, cioè per le più importanti strutture algebriche fondamentali. Questo approccio nell ambito della teoria dei gruppi era stato iniziato dal matematico tedesco Reinhold Baer nel 1934

46 Siamo risuciti a provare che, sotto opportune definizioni per la nozione di grande e di piccolo, questo avviene per i gruppi, cioè per le più importanti strutture algebriche fondamentali. Questo approccio nell ambito della teoria dei gruppi era stato iniziato dal matematico tedesco Reinhold Baer nel 1934 È possibile trasportare questi metodi ad altre strutture matematiche rilevanti?

47 Siamo risuciti a provare che, sotto opportune definizioni per la nozione di grande e di piccolo, questo avviene per i gruppi, cioè per le più importanti strutture algebriche fondamentali. Questo approccio nell ambito della teoria dei gruppi era stato iniziato dal matematico tedesco Reinhold Baer nel 1934 È possibile trasportare questi metodi ad altre strutture matematiche rilevanti? Ed è possibile adottare questa impostazione nel rapporto tra grande e piccolo come fondamento metodologico in altre discipline?