Giochi ed equilibri di Nash. Marco Sciandrone Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università di Firenze

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1 Giochi ed equilibri di Nash Marco Sciandrone Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università di Firenze 1

2 1 Notazione e definizione di equilibrio di Nash Si supponga di avere N giocatori (decisori): ogni giocatore controlla le variabili x ν R ν. Indichiamo con x il vettore composto da tutte le variabili di decisione x 1 x 2 x =. x N Il vettore x ha dimensione n = N n ν. Indichiamo con x ν il vettore formato dalle variabili ν=1 di tutti i giocatori con esclusione delle variabili del giocatore ν. Le possibili strategie di ogni giocatore ν appartengono a un insieme non vuoto X ν, ossia il vettore delle variabili x ν deve appartenere all insieme ammissibile X ν. Ogni giocatore ν ha una funzione di costo θ ν (x ν,x ν ) che dipende dalle variabili x ν controllate dal giocatore stesso, e dalla variabili x ν controllate da tutti gli altri giocatori. Un gioco è costituito: - da un insieme di N giocatori, - da un insieme {X ν } N di strategie, - da un insieme {θ ν } N di funzioni, dove ogni funzione θ ν : X 1 X 2... X N R. Ci sono varie classificazioni di giochi. Noi ci limiteremo a considerare: - giochi non cooperativi, ossia giochi in cui non si stabiliscono accordi tra giocatori; - giochi a informazione completa, ossia giochi in cui ogni giocatore conosce le regioni ammissibili e le funzioni di costo degli altri giocatori. Se tutti gli insiemi ammissibili X ν sono costituiti da un numero finito di punti diremo che il gioco è un gioco finito. Il problema che ci poniamo è quello di determinare quale strategia sceglierà ogni giocatore ν, ossia che vettore x ν. Si osservi che la funzione di costo di ogni giocatore dipende anche dalle variabili degli altri giocatori, per cui non è immediato stabilire il concetto di soluzione ottima per ogni giocatore (intuitivamente ogni giocatore tenderà a minimizzare il proprio costo, che però dipende anche dalle decisioni degli altri giocatori). Diremo che un vettore x X = X 1 X 2... X N è un equilibrio di Nash se risulta per ν = 1,...,N θ ν ( x ν, x ν ) θ ν (x ν, x ν ) x ν X ν. (1) In un equilibrio di Nash nessun giocatore può diminuire il proprio costo modificando unilateralmente la propria strategia. 2

3 2 Esempio di equlibrio di Nash in un problema di telecomunicazioni Si consideri una rete di comunicazione costituita da un insieme Ω = {1,...,V} di nodi e da un insieme L = {1,...,L} di archi. Supponiamo che ci siano N utenti (giocatori): ogni utente ν è associato in modo univoco a una connessione tra un nodo sorgente s ν e un nodo destinazione d ν attraverso un cammino L ν predeterminato. Il flusso di informazione che transita attraverso il cammino L ν è indicato con x ν. Appare naturale imporre un vincolo su x µ del tipo 0 x ν x ν max, dove x ν max è un limite superiore imposto da vincoli fisici oppure da regolamentazione. Ad ogni utente ν è associata una funzione di costo del tipo θ ν (x) = l:l L ν P l (x) U ν (x ν ). Si osservi che la funzione obiettivo dell utente ν è data dalla differenza tra una funzione di costo (la somma dei costi relativi agli archi del cammino L ν ) e una funzione guadagno U ν associata al flusso x ν inviato dall utente. Quindi il problema diventa quello di determinare un vettore x equilibrio di Nash secondo la defizione data nel paragrafo precedente. In particolare, l insieme ammissibile di ogni giocatore ν è X ν = {x ν R : 0 x ν x ν max}. 3 Esistenza dell equilibrio di Nash Si consideri un gioco finito con due giocatori, ognuno dei quali ha a disposizione due possibili strategie. I costi dei due giocatori sono riportati nelle tabelle seguenti (la tabella di sinistra si riferisce al giocatore riga, quella di destra al giocatore colonna) Secondo la notazione adottata abbiamo quindi θ 1 (1,1) = 1 θ 1 (1,2) = 0 θ 1 (2,1) = 0 θ 1 (2,2) = 1 θ 2 (1,1) = 1 θ 2 (2,1) = 0 θ 2 (1,2) = 0 θ 1 (2,2) = 1. Si può verificare che non esiste un equilibrio di Nash. Infatti, per ogni coppia di strategie dei due giocatori, uno dei due otterrebbe un costo inferiore modificando la propria strategia. Ad esempio, se entrambi i giocatori giocano la strategia 1, il primo giocatore (giocatore riga) ha un costo pari a -1 e non ha interesse a cambiare strategia perché avrebbe un costo maggiore pari a 0. Viceversa, il giocatore 2 (giocatore colonna) ha un costo pari a 1 e ha interesse a passare alla strategia 2 con la quale avrebbe un costo inferiore pari a 0. In formule θ 1 (1,1) = 1 < θ 1 (2,1) = 0, θ 2 (1,1) = 1 > θ 2 (1,2) = 0. Stabiliremo ora delle condizioni sull esistenza di un equilibrio di Nash: 3

4 - in un caso particolare di giochi finiti (due giocatori antagonisti); - nel caso di giochi infiniti. Enunceremo una condizione necessaria e sufficiente di esistenza di un equilibrio di Nash nel caso particolare di giochi finiti con due giocatori antagonisti. Diremo che un gioco è a somma costante se per ogni x X risulta N θ ν (x) = costante. ν=1 Se la costante è pari a zero il gioco si dice a somma zero. In un gioco a somma zero con due giocatori, i due giocatori sono detti antagonisti. Si consideri un gioco finito a somma zero con due giocatori. Abbiamo θ(x,y) = θ 1 (x,y) = θ 2 (x,y). Si vede facilmente che un punto ( x,ȳ) è un equilibrio di Nash se e solo se θ( x,y) θ( x,ȳ) θ(x,ȳ) x X,y Y. (2) Osservazione. Se X è un insieme finito, comunque si scelga y Y, l operazione min x X θ(x,y) è ben definita. Il simbolo min va inteso come abbreviazione della parola minimizzare, ossia l intenzione di determinare un punto di minimo. Il simbolo min va inteso come il valore della funzione obiettivo all ottimo. Per ogni x X e y Y abbiamo Possiamo quindi scrivere F(x) = maxθ(x,y) θ(x,y), y Y G(y) = minθ(x,y) θ(x,y). x X maxg(y) min F(x), y Y x X da cui otteniamo, utilizzando le definizioni di F(x) e G(y), max min y Y x X θ(x,y) min max x X y Y θ(x,y). (3) Proposizione 1. Si consideri un gioco finito a somma zero con due giocatori. Allora esiste un equilibrio di Nash se e solo se max min y Y x X θ(x,y) = min max x X y Y θ(x,y). (4) 4

5 Proof. Sia ( x,ȳ) un equilibrio di Nash. Vale quindi la (2). Posto F(x) = max y Y θ(x,y) G(y) = min θ(x,y), x X possiamo scrivere minf(x) = min x x max x x y Y dove l ultima disuguaglianza segue dalla (2). Analogamente risulta max y Y G(y) = max min y Y x X θ(x,y) F( x) = maxθ( x,y) θ( x,ȳ), y Y θ(x,y) G(ȳ) = minθ(x,ȳ) θ( x,ȳ), x X dove l ultima disuguaglianza segue nuovamente dalla (2). Possiamo quindi scrivere min max x X y Y θ(x,y) max min x X y Y D altra parte, come precedentemente dimostrato (si veda la (3)), risulta max min y Y x X θ(x,y) min max x X y Y per cui, tenendo conto della (5), concludiamo che vale la (4). Siano x X e ȳ Y tali che θ(x,y). (5) θ(x,y), (6) min max x X y Y θ(x,y) = max y Y θ( x,y) maxmin y Y x X θ(x,y) = min x X θ(x,ȳ) Ovviamente risulta θ( x,ȳ) maxθ( x,y) = min maxθ(x,y) y Y x X y Y θ( x,ȳ) min x X θ(x,ȳ) = max y Y min x X θ(x,y). Utilizzando le due precedenti relazioni, tenendo conto della (4), possiamo scrivere da cui segue θ( x,ȳ) = maxθ( x,y) = min θ(x,ȳ), y Y x X θ( x,ȳ) = minθ(x,ȳ) θ(x,ȳ) x X, x X θ( x,ȳ) = maxθ( x,y) θ( x,y) y y Y Il punto ( x,ȳ) soddisfa la (2) ed è quindi un equilibrio di Nash. Y Nell esempio precedente avevamo, per il giocatore 1 (giocatore riga) max y=1,2 θ(1,y) = max{ 1,0} = 0 max y=1,2 θ(2,y) = max{0, 1} = 0, 5

6 per il giocatore 2 (giocatore colonna) min x=1,2 θ(x,1) = min{ 1,0} = 1 min x=1,2 θ(x,2) = min{0, 1} = 1., Quindi abbiamo min max θ(x,y) = 0 max min θ(x,y) = 1, x=1,2y=1,2 y=1,2x=1,2 per cui (come già verificato) in base alla Proposizione 1 non può esistere un equilibrio di Nash. Enunciamo ora delle condizioni sufficienti per l esistenza di un equilibrio di Nash nel caso di giochi infiniti. Proposizione 2. Supponiamo che gli insiemi ammissibili X ν per ν = 1,...,N siano insiemi convessi e compatti. Supponiamo inoltre che almeno una delle due seguenti condizioni sia soddisfatta: (i) per ν = 1,...,N le funzioni θ ν sono continue in x e per ogni fissato x ν X ν la funzione θ ν (x ν,x ν ) è quasi-convessa in x ν. (i) per ν = 1,...,N le funzioni θ ν sono continue in x e per ogni fissato x ν X ν il problema ha un unica soluzione (globale) min θ(x ν,x ν ) x ν X ν Ricordiamo che una funzione f : S R, dove S R n è un insieme convesso, è una funzione quasi-convessa se, comunque si fissino x,y S, si ha f((1 λ)x+λy) max{f(x),f(y)}. Un esempio di funzione quasi-convessa è riportato nella figura. 4 Calcolo di soluzioni di equilibrio di Nash Equivalenza con disequazioni variazionali Sotto opportune ipotesi il problema di determinare un equilibrio di Nash può essere ricondotto a quello di determinare una soluzione di una disequazione variazionale (si veda l appendice per alcuni richiami sulle disequazioni varizaionali). Ricordiamo che dati una funzione continua F : R n R n e un insieme non vuoto, chiuso e convesso X R n, determinare una soluzione della disequazione variazionale VI(X,F) significa determinare un vettore x X tale che F(x ) T (x x ) 0 x X. Si osservi che una condizione sufficiente di esistenza di una soluzione di una VI(F,X) è che X sia un insieme convesso e compatto e F sia una funzione continua. Abbiamo il seguente risultato di equivalenza tra equilibrio di Nash e soluzione di una disequazione variazionale. 6

7 Figure 1: Funzione quasi-convessa. Proposizione 3. Si supponga che per ogni giocatore ν e per ogni x ν, la funzione θ(.,x ν ) sia convessa e l insieme X ν sia chiuso e convesso. Si assuma inoltre che le funzioni θ ν siano continuamente differenziabili. Allora un punto x è un equilibrio di Nash se e solo se è soluzione di VI(X,F), dove N X = X ν F(x) = ( x νθ ν (x)) N ν=1. ν=1 Dim. Sia x X un equilibrio di Nash: per ν = 1,...,N risulta Dalle condizioni di ottimalità segue da cui si ottiene F( x) T (x x) = θ ν ( x ν, x ν ) θ ν (x ν, x ν ) x ν X ν. (7) x νθ ν ( x) T (x ν x ν ) 0 x ν X ν, N x νθ ν ( x) T (x ν x ν ) 0 x X, ν=1 ossia che x è soluzione di VI(X,F). Viceversa, supponiamo che x sia soluzione della disequazione variazionale V I(X, F). Ragioniamo per assurdo e assumiamo che x non sia un equilibrio di Nash. Allora esistono un indice ν e un punto ˆx ν X ν tali che θ ν (ˆx ν, x ν ) < θ ν ( x ν, x ν ). Dalle ipotesi di convessità di X ν e della funzione θ ν (x ν, x ν ) segue θ ν (ˆx ν, x ν ) θ ν ( x ν, x ν )+ x νθ ν ( x) T (ˆx ν x ν ), 7

8 per cui neecssariamente abbiamo x νθ ν ( x) T (ˆx ν x ν ) < 0. Si costruisca un punto y le cui componenti sono definite come segue { y h x h se h ν = ˆx h se h = ν Allora otteniamo F( x) T (y x) = x νθ ν ( x) T (ˆx ν x ν ) < 0, il che implica che x non è soluzione di VI(X,F). Nelle ipotesi della proposizione precedente, per calcolare un equilibrio di Nash si risolve la corrispondente disequazione variazionale mediante, ad esempio, metodi di proiezione. Algoritmi di decomposizione di tipo best-response Il comportamento naturale dei giocatori è descritto dal seguente algoritmo di tipo Gauss-Seidel. In questo schema, come naturale, ogni giocatore determina la propria strategia, fissate le strategie degli altri giocatori, risolvendo il corrispondente problema di ottimizzazione (best-response). Tuttavia, la convergenza di un algoritmo di questo tipo non può essere garantita in generale (anzi, è possibile mostrare esempi in cui l algoritmo non converge). Algorithm 1: Gauss-Seidel best-response algorithm (S.0) : Choose a feasible starting point x 0 = ( x 1 ) 0,...,xN 0, and set k := 0 (S.1) : If x k satisfies a suitable termination criterion: STOP. (S.2) : for ν = 1,...,N, compute a solution x ν k+1 of min x ν ( θ ν x 1 k+1,...,x ν 1 k+1,xν,x ν+1 k,...,x N ) k s.t. x ν X ν. (8) end (S.3) : Set x k+1 := ( x 1 k+1,...,xn k+1),k k +1, and go to (S.1). Nel paragrafo successivo analizzeremo una classe più generale di problemi di equilibrio di Nash e riporteremo alcuni risultati di convergenza per algoritmi di tipo Gauss-Seidel (best response). 5 Problemi di equilibrio di Nash generalizzato Nei problemi di equilibrio di Nash generalizzato l insieme ammissibile di ogni giocatore ν dipende dalle variabili x ν degli altri giocatori. Diremo che un vettore x è un equilibrio di Nash generalizzato se risulta per ν = 1,...,N x ν X ν ( x ν ) θ ν ( x ν, x ν ) θ ν (x ν, x ν ) x ν X ν ( x ν ). (9) 8

9 Si consideri nuovamente l esempio del paragrafo 2. Avevamo un grafo con L archi, N utenti, e per ogni utente ν un cammino L ν ad esso associato. Si assuma ora che ad ogni arco l sia associata una capacità massima c l, Sia A la matrice L N in cui A l,ν = 1 se l L ν e 0 altrimenti. I vincoli di capacità possono essere quindi espressi nella forma Ax c, dove c = (c 1,...,c l,...,c L ) T. Si osservi che i vari utenti interferiscono ora, non solo a livello di funzione obiettivo, ma anche di insieme ammissibile. In particolare, per ogni giocatore µ abbiamo un insieme ammissibile del tipo X ν (x ν ) = {x ν R : 0 x ν x ν max, A(x ν,x ν ) c}. In questo caso, ossia quando l insieme ammissibile di un giocatore dipende dalle variabili degli altri giocatori, si parla di equilibrio di Nash generalizzato. Esempio. Analizziamo un problema di equilibrio di Nash gerneralizzato che ammette infinite soluzioni. Si consideri il seguente gioco, con due giocatori i quali controllano rispettivamente la variabile x e la variabile y: min x (x 1) 2 x+y 1 min y (y 1/2) 2 x+y 1 Gli insiemi delle soluzioni ottime dei due problemi sono 1, se y 0 1/2, se x 1/2 S 1 (y) = S 2 (x) = 1 y se y 0 1 x se x 1/2 Analizziamo gli equilibri di Nash. Si può verificare che le soluzioni di questo problema sono del tipo [α,1 α] con α [1/2,1]. A questo fine osserviamo preliminarmente che un punto ( x,ȳ) è un equilibrio di Nash se e solo se (10) x S 1 (ȳ), ȳ S 2 ( x). Preso x = α [1/2,1], abbiamo 0 1 x = y = S 2 (x), da cui segue, essendo y 0, S 1 (y) = 1 y = x. Viceversa, preso un x < 1/2, abbiamo 1/2 = S 2 (x), da cui segue, prendendo y = 1/2, S 1 (y) = 1 1/2 > x, e quindi non è un equilibrio di Nash. Analogamente, se x > 1, abbiamo S 2 (x) = 1 x, 9

10 da cui segue, prendendo y = 1 x ed essendo y 0, S 1 (y) = 1 < x. Questo problema ha quindi infinite soluzioni a cui corrispondono valori differenti delle funzioni obiettivo di entrambi i giocatori. Il problema di tipo jointly convex. Un caso particolare di problema di equilibrio di Nash generalizzato è quello denominato jointly convex. In un problema di questo tipo: - per ogni giocatore ν e per ogni x ν, la funzione θ(.,x ν ) è convessa; - nel caso di insiemi ammissibili definiti mediante un sistema di disequazioni, si ha X = {x R n : g(x) 0}, (11) in cui g : R n R m, e le funzioni g i sono convesse rispetto a tutte le variabili x. Proposizione 4. Si consideri un problema di equilibrio di Nash generalizzato di tipo jointly convex. Si assuma che le funzioni θ ν siano continuamente differenziabili. Allora ogni soluzione di VI(X,F), dove F(x) = ( x νθ ν (x)) N ν=1, e X è definito nella (11), è soluzione di equilibrio di Nash generalizzato. Si osservi che la proposizione non stabilisce una corrispondenza biunivoca tra soluzioni di equilibrio e soluzioni della disequazione variazionale. Nel passaggio dal problema di equilibrio alla disequazione variazionale molte soluzioni vengono perse. Per comprendere questo fenomeno consideriamo l esempio (10) visto in precedenza che, come evidenziato, ha infinite soluzioni di equilibrio. Il problema è chiaramente di tipo jointly convex. La corrispondente disequazione variazionale è definita come segue 2x 2 F = X = {(x,y) R 2 : x+y 1}. 2y 1 Si verifica facilmente che il punto ( x ȳ) T = (3/4 1/4) è soluzione della disequazione variazionale. La F è strettamente monotona (essendo la matrice Jacobiana definita positiva), per cui la soluzione della disequazione variazionale è unica. 6 Giochi potenziali generalizzati Come visto in precedenza, in un problema di equilibrio di Nash generalizzato (GNEP) l obiettivo è quello di determinare, per ogni giocatore ν, con ν = 1,...,N, un vettore x ν tale che x ν X ν (x ν ) θ ν ( x ν, x ν ) θ ν (x ν, x ν ) x ν X ν (x ν ). (12) 10

11 Il comportamento naturale dei giocatori è descritto dall algoritmo di tipo Gauss-Seidel (bestresponse) presentato nel paragrafo 4. In questo schema, come naturale, ogni giocatore determina la propria strategia, fissate le strategie degli altri giocatori, risolvendo il corrispondente problema di ottimizzazione. Tuttavia, la convergenza di un algoritmo di questo tipo non può essere garantita in generale (anzi, è possibile mostrare esempi in cui l algoritmo non converge). Analizzeremo una classe di problemi di equilibrio per i quali è possibile garantire la convergenza di algoritmi di decomposizione di tipo Gauss-Seidel. Per quanto riguarda gli insiemi ammissibili assumiamo X ν (x ν ) {x ν D ν : g(x ν,x ν ) 0}, (13) dove g : R n R m è una funzione continua. Diremo che un GNEP è un gioco potenziale generalizzato se esiste una funzione continua P(x) : R n R tale che per ogni ν, per ogni x ν (tale che X ν (x ν ) è non vuoto), e per ogni y ν,z ν X ν (x ν ) θ ν (y ν,x ν ) θ ν (z ν,x ν ) > 0 implica P(y ν,x ν ) P(z ν,x ν ) c(θ ν (y ν,x ν ) θ ν (z ν,x ν )), (14) dove c è una costante maggiore di zero. La precedente condizione stabilisce l esistenza di una singola funzione P in grado di riflettere le variazioni delle funzioni obiettivo di tutti i giocatori. Si può dimostrare che una soluzione globale del problema di minimizzazione minx P(x) t.c. x X, x ν D ν, ν = 1,...,N (15) fornisce un equilibrio di Nash. Quindi la classe dei giochi potenziali generalizzati stabilisce una connessione tra teoria dei giochi e ottimizzazione. Vediamo in quali casi si ottengono dei giochi potenziali generalizzati, ossia quei giochi per i quali è possibile definire una funzione potenziale P che goda della proprietà precedentemente enunciata. I casi di interesse sono i seguenti: (i) la funzione obiettivo di ogni giocatore non dipende dalle variabili degli altri giocatori, ossia θ ν (x) = θ ν (x ν ); in questo caso una funzione potenziale è la seguente P(x) = N θ ν (x ν ). (ii) le funzioni obiettivo dei vari giocatori hanno un termine comune, ossia ν=1 θ ν (x) = c(x)+d ν (x ν ); in questo caso una funzione potenziale è la seguente P(x) = c(x)+ N d ν (x ν ). Presenteremo ora due schemi di decomposizione relativi ai casi seguenti: ν=1 11

12 (I) N giocatori e ipotesi di convessità; (II) 2 giocatori senza ipotesi di convessità. Nel caso (I) assumiamo la seguente ipotesi. Le funzioni obiettivo θ ν (,x ν ) e gli insiemi ammissibili X ν (x ν ) sono convessi. Nel caso (I) lo schema di decomposizione è il seguente. Algorithm 2: Regularized Gauss-Seidel Convex Subproblems (S.0) : Choose any feasible starting point x 0 = ( x 1 ) 0,...,xN 0, a positive regularization parameter τ > 0 and set k := 0 (S.1) : If x k satisfies a suitable termination criterion: STOP. Otherwise set x k,1 = x k. (S.2) : for ν = 1,...,N, compute a solution x ν k+1 of min x ν s.t. ( θ ν x 1 k+1,...,x ν 1 k+1,xν,x ν+1 k,...,x N ) k +τ x ν x ν k 2 x ν ( X ν x 1 k+1,...,x ν 1 k+1,xν+1 k,...,x N ) (16) k. Set x k,ν+1 = (x 1 k+1,...,xν k+1,xν+1 k,...,x N k ) end (S.3) : Set x k+1 := ( x 1 k+1,...,xn k+1),k k +1, and go to (S.1). Nel caso (II), ossia quello di due giocatori, lo schema di decomposizione è quello classico di Gauss-Seidel senza termine di regolarizzazione. Algorithm 3: Gauss-Seidel Two Players (S.0) : Choose a feasible starting point x 0 R n 1,y 0 R n 2 and set k := 0 (S.1) : If (x k,y k ) satisfies a suitable termination criterion: STOP (S.2) : Let x k+1 be a (global) solution of minθ 1 (x,y k ) x X(y k ). (17) (S.3) : Let y k+1 be a (global) solution of minθ 2 (x k+1,y) y Y(x k+1 ). (18) (S.4) : Set k k +1, and go to (S.1). Per entrambi gli schemi si possono dimostrare proprietà di convergenza globale. 12

13 7 Appendice: richiami sulle disequazioni variazionali Siano dati un insieme X R n non vuoto, chiuso e convesso, e una funzione continua F : R n R n. Una disequazione variazionale, indicata con VI(X,F), è il problema di determinare un vettore x X tale che F(x ) T (x x ) 0 x X. Si consideri un problema di ottimizzazione del tipo minf(x) x S, (19) in cui f : R n R è una funzione continuamente differenziabile e S è un insieme convesso. Sappiamo che un punto x di minimo locale soddisfa le condizioni di ottimalità f(x ) T (x x ) 0 x S, ossia x è soluzione della disequazione variazionale VI(S, f). Quindi determinare un punto critico per il problema (19) equivale a risolvere una VI. Viceversa, data una disequazione variazionale V I(X, F), non è sempre possibile associare ad essa un problema di ottimizzazione equivalente. Questa associazione è possibile se e solo se F è il gradiente di qualche funzione. Da un risultato di analisi, sotto opportune ipotesi di differenziabilità su insiemi aperti e convessi, si ha che F è il gradiente di una funzione f se e solo se la matrice Jacobiana di F è simmetrica. In tal caso, la funzione f, a meno di una costante, assume la forma f(x) = 1 0 F(x 0 +t(x x 0 )) T (x x 0 )dt, dove x 0 è un punto arbitrario nell insieme considerato. Esistenza della soluzione di una disequazione variazionale. Una condizione sufficiente di esistenza di una VI(X,F) è quella che richiede che l insieme X sia compatto e convesso, e la funzione F sia continua. Per avere risultati di convergenza che prescindano dalla compattezza dell insieme X, occorre introdurre i concetti di monotonia, stretta monotonia, forte monotonia di una funzione vettoriale. Sia F : X R n R n. Diremo che la funzione F è monotona se comunque presi due vettori x 1,x 2 X risulta (F(x 1 ) F(x 2 )) T (x 1 x 2 ) 0. DiremochelafunzioneF èstrettamente monotonasecomunquepresiduevettoridistintix 1,x 2 X risulta (F(x 1 ) F(x 2 )) T (x 1 x 2 ) > 0. Diremo che F è strettamente monotona se esiste una costante α > 0 tale che (F(x 1 ) F(x 2 )) T (x 1 x 2 ) α x 1 x 2 2. Si osservi che la forte implica la stretta che implica la monotonia. La F è monotona se e solo se la matrice Jacobiana è semidefinita positiva in tutti i punti di X. 13

14 SelamatriceJacobianaèdefinitapositivaintuttiipuntidiX alloraf èstrettamentemonotona. Se la matrice Jacobiana è uniformemente definita positiva in tutti i punti di X allora F è fortemente monotona. Se F è strettamente monotona la VI(X,F) ha al più una soluzione. Se F è fortemente monotona la soluzione di VI(X,F) esiste ed è unica. Metodi di soluzione L algoritmo di base è quello di proiezione. Data una costante τ > 0, all iterazione k si pone x k+1 = P[x k τf(x k )], dove P è l operatore di proiezione su X. Se esistono costanti α e L maggiori di zero tali che e se la costante τ è tale che allora il metodo converge. (F(x) F(y)) T (x y) α x y 2, F(y) F(x) L, y x τ < 2α L 2, Esiste un altro metodo, detto metodo di proiezione sull iperpiano, che converge sotto ipotesi molto meno restrittive. La strategia del metodo è la seguente: - viene generato il punto y k = P[x k τf(x k )]; - viene determinato un punto z k con una ricerca di linea, a partire da x k lungo la direzione d k = y k x k ; - si calcola il punto w k compe proiezione del punto x k lungo l iperpiano passante per z k e ortogonale a F(z k ); - il punto x k+1 è ottenuto proiettando w k su X. Si osservi che il punto w k si ottiene risolvendo il problema seguente: Scrivendo la funzione Lagrangiana abbiamo min 1 2 xk w 2 F(z k ) T (w z k ) = 0. L(w,λ) = 1 2 xk w 2 +λf(z k ) T (w z k ). Dall annullamento del gradiente della Lagrangiana (condizioni KKT) segue w = x k λ F(z k ) da cui si ottiene λ = F(zk ) T (x k z k ) F(z k ) 2. Possiamo quindi concludere che risulta w k = w = x k F(zk ) T (x k z k ) F(z k ) 2 F(z k ). 14