&, risulta A 1 = A 3 + A 4! 2A 5, A 2 = 2A 3! A 4 + A 5 e

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1 Elementi di Analisi Matematica e Ricerca Operativa prova del febbraio 6 ) Discutere il seguente problema di Programmazione Lineare: Trovare il massimo di p(,,, 4 ) = 4! con i vincoli k! ( " k " 4) e # = = &!!! + 4 "! (può essere utile notare che, posto A = " # &, risulta A = A + A 4! A, A = A! A 4 + A e B = A + A 4 + A ). Siccome la terza relazione è in forma di disuguaglianza, introduciamo la variabile di scarto! e riscriviamo il sistema nella forma " = # =!!! = cioè & j A j = B j= dove gli A j sono le colonne della matrice dei coefficienti e B la colonna dei termini noti. Seguendo l indicazione fornita scegliamo come base di A * =!, l insieme B = { A, A 4, A }. Si costruisce allora la prima tabella del simplesso come segue: A A A A 4 A B v = c v = c = v = 4 c v = c 4 = 8! v = c v = c =!! 9 z! c ( z! c ) ( z 4! c 4 ) ( z! c ) ( z) z! c Siccome z! c < e almeno uno degli!!, è positivo, bisogna operare la trasformazione pivotale facendo entrare nella base il vettore A al posto di uno di quelli presenti. Il criterio di uscita impone di calcolare! ", = e! ", =. Siccome il minore dei due è! ", =, esce il vettore A v = A. La trasformazione pivotale avviene operando sulle righe della matrice della tabella in modo che le colonne della base canonica figurino, nell ordine, in corrispondenza di A, A 4, A. Con semplici calcoli si ottiene la nuova tabella del simplesso relativa alla base { } : B = A, A 4, A A A A A 4 A B v = c v = c =! v = 4 c v = c 4 = 8! v = c v = c =!!! 4 z! c ( z! c ) ( z 4! c 4 ) ( z! c ) z z! c

2 Siccome z! c < e almeno uno degli!!, è positivo, bisogna operare la trasformazione pivotale facendo entrare nella base il vettore A al posto di uno di quelli presenti. Siccome il solo!!, con valore positivo è!, =, esce il vettore A v = A. La trasformazione pivotale avviene operando sulle righe della matrice della tabella in modo che le colonne della base canonica figurino, nell ordine, in corrispondenza di A, A 4, A. Con { } : semplici calcoli si ottiene la nuova tabella del simplesso relativa alla base B = A, A 4, A A A A A 4 A B v = c v = c = 4! v = 4 c v = c 4 = 8 6 v = c v = c =! 7 ( z! c ) ( z! c ) ( z! c ) ( z 4! c 4 ) ( z! c ) ( z) Siccome adesso tutti gli z j! c j sono!, l algoritmo è terminato; la funzione obiettivo ha massimo nella regione ammissibile, il massimo vale z = ed è assunto per (,,, 4, ) = (, 7,, 6, ). ) Sia f ( ) = 4! +. a) Dimostrare che f è adatta per definire una distribuzione T = T f di tipo funzione. b) Descrivere la distribuzione T ( 4), derivata quarta di T in D!(!). a) La funzione è continua in! ; quindi è localmente sommabile. Questo è sufficiente per assicurare che f è adatta per definire una distribuzione. b) f è C! in!! {} ; si può scrivere f ( ) = 4! (! sgn ) quindi le derivate sono, per!, f ( ) = 4! (! sgn ) f " ( ) = 4!! sgn f "" ( ) =! 6(! sgn ) f """ ( ) = 4! 6(! sgn ) f ( 4) ( ) = 4 Le derivate prima e seconda di f esistono anche in (con valore ); non la derivata terza, essendo lim f """! + = ; lim f """! # Dunque f!!! Perciò T f = T f ( 4) +!, cioè per ogni funzione test! "D R 4 = #. è continua in!! {}, e ha una singolarità di prima specie in con salto di ampiezza. ( T f ) 4,,! = 4 "!( ) d +!! ) Enrico commissiona lavori di ristrutturazione di casa sua a un artigiano. Sull fattura dei lavori lo Stato riconosce un rimborso del in rate annuali di uguale importo, cioè per ogni fatturati Enrico riceverà all anno, a partire da tra un anno e per anni. L artigiano (scorrettamente) propone a Enrico.

3 di non rilasciargli fattura, praticandogli in tal caso uno sconto. Calcolare quale sconto percentuale rende preferibile (prescindendo da considerazioni etiche) il pagamento in nero, se il tasso di mercato è (bisogna confrontare lo sconto immediato con il valore attuale delle rate di rimborso statale). Ragioniamo su di spesa fatturata. Posto v = + i =, il valore attuale delle rate di rimborso fiscale è, V = "!v k =! k= v( # v) = 44,9. # v Il pagamento in nero conviene quindi se lo sconto offerto è superiore a 44,9 su ogni da fatturare, cioè se lo sconto è superiore a 44,9. (commento: i valori adottati sono abbastanza realistici. La fatturazione e il conseguente beneficio fiscale, oltre a rispettare la legge, convengono perché difficilmente chi paga in nero ottiene uno sconto tanto consistente) 4) Sia f " # = sen se! se =. Mostrare che f è lipschitziana in ogni intervallo limitato I, cioè esiste # f ( ) L # (applicare il Teorema del valor medio, L > tale che!, "I, f verificando che sono soddisfatte le condizioni che ne autorizzano l uso). Mostrare poi che la proprietà vale in effetti su tutto!. La funzione f è derivabile in! ; la derivabilità sussiste anche in essendo La derivata di f, negli!, è f! = lim " f! sen ( ) = sen In ogni intervallo limitato [!M, M] f! è limitata, essendo Allora, se, y!["m, M] si ha f! ( ) " sen f ( )! f ( y) = f " = lim sen ( " ) =. " cos( ) + cos( ) " M + ( z) #! y ( M +)#! y (z è un opportuno valore compreso tra e y, la cui esistenza è assicurata da Teorema del valor medio). In effetti la derivata di f è limitata in!, perché lim!+" sen < e quindi! allora sen f svolto sopra è quindi valido per, y qualunque. =, quindi esiste M > tale che, se > M < 4 ; quindi per ogni!! è f!( ) < ma{ 4, M +}, e il ragionamento { }. Poniamo, per!#", ) Sia, per!!,!" # = ma n! ; n & &, f grafico di f e descriverne le proprietà (continuità, derivabilità, monotonia) = t! t & "# dt. Disegnare il

4 Le figure mostrano i grafici di y =!" # e y =! "#, rispettivamente. La funzione integrale f definita come sopra è continua per note proprietà; per il Teorema fondamentale del Calcolo integrale f è derivabile in ogni punto in cui è continua la funzione integranda!! "# cioè, nell intervallo considerato " #!,, ovunque tranne in e, e nei punti in cui f è derivabile, f!( ) = " # &. Nei punti e il grafico di f ha due punti angolosi. Siccome g = f!( ) = " # & è sempre!, f e crescente in tutto il dominio, ed è costante (con valore ) tra e, perché g è nulla in questo intervallo. Infine f è convessa [rispettivamente: concava] tra e [tra e ] Naturalmente è facile ricavare le espressioni esplicite di f ( ) nei diversi tratti del dominio osservato; ma ciò non è necessario per tracciare il grafico di f. 6) Con probabilità uguale a il famoso cantante Tommy Brown sarà l ospite d onore all inaugurazione della discoteca Stellina (evento E ); in questo caso ci saranno moltissimi clienti; con probabilità 4 Brown farà solo una breve apparizione verso sera (E ), e l affluenza sarà minore; infine, con probabilità 4 Tommy Brown non si presenterà affatto (E ), e la notizia provocherà scarsa affluenza di clienti. Il

5 proprietario deve decidere se fare provvista di spuntini e bevande Scarsa, Media o Abbondante ; le previsioni di guadagno (in migliaia di Euro) nei diversi casi sono riassunte nella seguente tabella S M A E 6 E 4 4 E 4 a) Stabilire quale scelta conviene al proprietario, per rendere massimo il guadagno atteso. b) Il manager di Tommy, in cambio di una buona mancia, è disposto a informare il proprietario della discoteca sule intenzioni del cantante, prima che il gestore ordini le provviste. Calcolare qual è l importo massimo della mancia che il gestore deve essere disposto a pagare per acquisire l informazione, sempre secondo il criterio del massimo guadagno atteso. a) Le speranze matematiche di guadagno sono indicate nella seguente tabella, che completa quella fornita nel testo: S M A E 6 E 4 4 E 4 (medie) Perciò le decisioni M e A sono indifferenti, entrambe preferibili a S. b) Disponendo della informazione perfetta, il gestore realizzerà in corrispondenza di ciascun evento E i il guadagno massimo di quel caso, perché si approvvigionerà opportunamente. Il guadagno atteso in presenza di perfetta informazione è perciò uguale a!6 + 4! + 4! = ; perciò l incremento di guadagno atteso è! 7 4 = 4, vale a dire 7. È questo il valore della perfetta informazione, massimo importo che il gestore deve essere disposto a offrire al manager di Tommy in cambio dell informazione