CAP. III CONDIZIONI QUASI STAZIONARIE - RETI ELETTRICHE IN REGIME SINUSOIDALE

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1 P. ONDON QUS STON - T TTH N GM SNUSOD. Bpol fonmnl n onzon qus szonr S onsrno grnzz rbl nl mpo, m bbsnz lnmn por rgonolmn onsrr l nson npnn l prorso r u mors -B l nnsà orrn npnn ll szon l ro onuor. n l so s prlrà bpol n rgm rbl qus szonro. S fnrà rssor l n l onzon l bpolo fg... pr u lg on l onnzon ll ulzzor - l rlzon = qulunqu sno lor nson orrn qulunqu s l sn mpo onsro. n quso onso, ogn bpolo pr u lg un rlzon lgbr r nson orrn n lssfo om nmo; un bpolo h prsn un rrs ffrnzl n lssfo nmo. l rssor l è un bpolo nmo. bpol nm fonmnl sono l onnsor l l nuor l. Q B Q Φ B B B fg... ssor, onnsor nuor l n onzon qus szonr S fnrà onnsor l, n onzon qus szonr fg... l bpolo pr u lg, on l onnzon ll ulzzor, l rlzon =q/=/ o l nnsà orrn è orrl ll rzon mporl ll r q sull rmur B l onnsor. l offn può ssr n prm pprossmzon onsro pr l rpporo r l r Q =-QB sull rmur l nson B n onzon szonr pà l onnsor. nnsà ll orrn lr n un bpolo onnsor l è qun n rlzon ffrnzl on l nson. Tl rlzon è lnr, m non è suffn fornr l nformzon pr rslr l lor ll nson; nf, smpr onsrno l onnzon ll ulzzor, s h n un gnro sn Pr rhm pprofonmn sull onsrzon qus-szonrà s l ppn 4. Pr un omponn rl, qus onzon può ssr rgonolmn ssun s mors B sono suffnmn lonn m non roppo ll zon oup ll rmur l onnsor. -

2 o.. o o è un qulss sn rfrmno. S qun h può ssr r l nson n un ro sn solo s s onos l lor ll sss n un sn prn l funzon nnsà ll orrn nll nrllo r gl sn o. Pur ssno l ngrl un opror lnr, l nson non è qun funzon lnr ll nnsà orrn, slo h non s null l nson nll sn rfrmno onnsor rposo. S fnrà nuor l n onzon qus szonr l bpolo pr u lg, on l onnzon ll ulzzor, l rlzon = Φ/= / fg.... Un nuor rl n rlzzo rrso un olgmno osuo un lo numro spr mllh solno sol r loro; l nson è orrl ll rzon mporl l flusso Φ l mpo mgno onno on l ln qus-hus osu ll olgmno ssso. l offn può ssr n prm pprossmzon onsro pr l rpporo r flusso onno nnsà orrn n onzon szonr offn uonuzon o nunz. nson p un nuor è n rlzon ffrnzl on l nnsà ll orrn. Tl rlzon è lnr, m non è suffn fornr l nformzon pr rslr l lor ll nnsà orrn; nf, onsrno l onnzon ll ulzzor, s h n un gnro sn o.. o o è un qulss sn rfrmno. S qun h s può onosr l nnsà ll orrn n un ro sn solo s s onos l lor ll sss n un sn prn l funzon nson nll nrllo r gl sn o. Qun l grnzz nnsà orrn non è funzon lnr ll nson, slo h non s null l nnsà orrn nll sn rfrmno nuor rposo. Dll rrsh ngrl s u h s l nson ppl gl nuor l nnsà orrn n onnsor sono lm om n s rl, l nson su onnsor l orrn ngl nuor sono grnzz onnu. nf s s onsr l onzon o, s rà h gl ngrl nll rrsh, ss nrll nfnsm, sono nfnsm. n lr rmn, lm lm lm lm o o o o o.. nson sul onnsor è n ogn sn lg ll nrg lros Pr un nuor rl osuo un olgmno lnro N spr r S lzz h qus onzon può ssr rgonolmn rggun s mors B sono snz molo mnor h sono ollg un ruo onfgurno un spr srn r molo mnor NS. s ppn 4 l no l.4. -

3 mmgzzn l onnsor l nnsà orrn nll nuor è lg ll nrg mgn mmgzzn ll nuor ws wm l..4 Tl grnzz sono lg qun llo so nrgo l bpolo nh pr l moo ngono spsso n om grnzz so. ss possono ssr nh onsr funzon-mmor. Tl grnzz so sono onnu: s non lo fossro, rmmo sonnuà ll nrg, o mglo un rzon fn ll nrg n un nrllo nfnsmo; ò mplhrbb l pà l bpolo ssorbr o rogr ponz llm; ò non è onpbl n s pr. Gnror ponz llm 4 possono ssr u nroo formlmn pr l nls pù mp rnsor nm nll r on moll lnr. 5. on bpol opp bpol nm S fns orn un r l orn l ssm lgbro-ffrnzl omplo ssoo ll r n sm. orn un r è qun pr l numro quzon ffrnzl npnn l prmo orn l ssm fonmnl. Un r osu sol bpol o N-pol nm è orn zro. S l r è osu sol bpol nm norml ss srà lssf om r lnr ss pornno ssr ppl l onsrzon gà f nl so szonro. S un r h un solo onnsor o un solo nuor, omprrà un sol rlzon ffrnzl qun s rà un r l prmo orn. S un r h pù onnsor /o nuor /o prmr muu p /o nu oorrrà un nls pù n ll r pr nur l numro ll quzon npnn. smpo, oorrrà nzr l nul prsnz onnsor o 4 pr gnror l gà nroo 5 r.5.6 sgun, o sono nroo gnror mpuls l. smp gnror rl lssf om mpuls sono ffmn n gro rogr nson nnsà orrn molo l pr nrll mpo brssm. smpo l gnror nson mpulso ll Sl l Tnson l DT UNN pp.4 è n gro rogr nson.4 M nnsà orrn pr qulh mrosono, on ponz snn ll orn ggw; l nrg rogbl u non può suprr qulh n looul s pns h un suf W n un or onsum Wh, orrsponn.6 MJ!. n l s l mollo qus-szonro prso on mol ul; nf l funzonmno l spos può ssr sso un onssn mpo prurbo lromgno [om nl so fulmn, pr u s prl MP lghnng lromgn puls]; nl so mp on orn grnzz ll n nnoson s prl sp fron o fron rpo [ smpo nl so prolr rnsor on ollsso brown sull r rsmsson ll nrg lr] oppur NMP nulr lromgn puls nll sgur pos sploson nulr. -

4 nuor n sr o n prlllo. mmor è lg smpo ll sol nson su un onnsor, nh s quso può ssr su ol so om l quln numros onnsor n sr o n prlllo. n un r nm orn N, ogn grnzz y nson o nnsà orrn può ssr rpprsn un quzon ffrnzl orn N; fn ll unà ll soluzon sss prr un sn mpo nzl, l orm uhy rh l onosnz N onzon nzl, oè l lor nzl ll y ll su r fno ll orn N-. rr ll onzon nzl può ssr ono prr nzl, oros lor ll N grnzz so orrsponn gl N bpol mmor npnn. S onsr or un oppo bpolo on onnzon ll ulzzor ll u por, rrzzo om sgu: M M.. Tl rlzon è p l muuo nuor l; n l omponn possono ssr onsr fluss mpo mgno onn on u ru: l flusso onno on un ruo rà un onrbuo ollgo ll nnsà ll orrn l prmo ruo flusso uonuzon un onrbuo lgo ll nnsà orrn ll lro ruo flusso muu nuzon. M M.. S può mosrr h u offn muu sono ugul h M oppmno mgno r u ru offn uonuzon, muu nuzon M è luo l offn oppmno =M/. Tl offn è n lor ssoluo non supror ll unà, ono ssr non ng l nrg mgn, funzon qur ll orrn, on prmr,,m w m, M.. Nl so s M l oppmno s prfo =± l nrg mgn n un quro prfo un bnomo è fl r h ss è null pr nfn opp lor non null ll nnsà ll orrn. / = /; n l so l mpo mgno gnro l muuo nuor è nullo n uo lo spzo. S rà pù n.4 h l oppo bpolo muuo nuor è un oppo bpolo nmo, quln un rsformor l on un nuor [] n prlllo sull prm [son] por. Tl oppo bpolo è quln qun n gnr un rsformor nson; pr quno rgur l nnsà ll orrn, rspo un -4

5 rsformor l, s rà h lnuor [] è nrsso ll lnnsà ll orrn uoo ll prm [son] por. S porà onsrr lnnsà orrn uoo nh quno l son [prm] por non è "pr"; n prolr, lnnsà orrn uoo è null s ll son [prm] por è ollgo un bpolo ororuo: n l so l oppo bpolo s ompor om un rsformor orrn, m mbu l nson sono null. S l oppmno non è prfo s porà po onsrr l somposzon lor non ng = + = + l h r s l onzon oppmno prfo. Un ll u nunz può ssr sl rbro smpo null. Qun l somposzon h un gro lbrà. Un oppo bpolo ruo oppo è n gnr l sono orn; nl so oppmno prfo è l prmo orn. l rsformor l è orn zro. Nl so r orn zro, non s h omn nssà lur lun onzon nzl l r è rspos mm. Nl so r orn N lnr, oè osu bpol norml, onnsor nuor l, l soluzon è l po 6 N y y p..4 o l sommor rpprsn l ngrl gnrl ll omogn sso, λ l r smpl 7 ll quzon lgbr sso; lor ll N osn rbrr s rmnno rrso l onzon nzl; l ngrl prolr yp s r n gnr ll onosnz l rmn noo forzmno ll quzon ffrnzl. nls Mm forns numros srumn pr l nfzon ll ngrl prolr; s ossr u h, n s nrss ll nggnr, pr l prsnz nbl prmr ssp, l r λ sono ng 8 o omplss onug pr rl ng, pr u l ngrl prolr n nfrs on l soluzon mp lungh oss on l soluzon rgm ; qus è mm nfzon n s rorrn rgm szonro om s rà n sguo snusol. 6 È rnr prlmnrmn h offn, oss prmr, sno osn nl mpo. n prsnz omponn rl prmr rbl nl mpo s. pr n momno l soluzon l ssm fonmnl srà n gnr ru. 7 S un r h λ molplà m, ss n sso l ombnzon ngrl npnn m 8 n so onrro, nh n ssnz gnror, rmmo un rs ll nrg l ssm. -5

6 .. smp r l prmo orn Ogn r l prmo orn onn n gnr un solo bpolo mmor npnn nuor o onnsor oppur onfgurzon ronubl un solo bpolo quln s. sr o prlllo sol onnsor o sol nuor. l rso ll r è orn zro qun ronubl un gnror rl quln nson o orrn. Pr rsolr qun qulss r bsrà fr rfrmno un ll possbl r lmnr 9 : gnror nson rl [gnror orrn rl] lmnn un onnsor l ruo sr [ruo prlllo]; b gnror nson rl [gnror orrn rl] lmnn un nuor l ruo sr [ruo prlllo]. S onsr om smpo l ruo sr fg...: + g S lolno n sgun s: fg.... ruo sr = pr <, == pr >; = mf; = ; =-=- pr <, == pr >; = mf; =-- ; =-=- pr <, = sn ω = ; ω=4 r/s pr >; = mf; =-- ; 4 = sn ω = ; ω=4 r/s pr <, == =os ω pr >; = mf; =--. l ssm fonmnl è l sgun: 9 Ngl smp h sguono srnno prs n splo sm solo l grnzz rl ll uno bpolo nmo; quso l rso ll r om un bpolo nmo qun ronubl orm Théénn Noron un gnror quln nson o orrn; s l grnzz su u ngr è un lr, smpo l nson su un rssor qulss, non s può n gnr pplr l orm l gnror quln, prhé l r s l rssor non è lgbr ; n quso so s lurà rgm l ngrl prolr, mnr l onzon nzl s lurà rsolno on mo lgbr l r foogrf ll sn +, n u è prsn pr onnuà l lor ll grnzz so lu ll sn -. -6

7 g g... quzon ffrnzl nll nogn fg.... sono g... om s può ossrr, qulunqu s l grnzz nogn n sm, pr l lnrà l ssm, l quzon lgbr sso ll omogn è s ; ms nl so... soluzon è l po p p...4 S ossr h, pr <, nl prmo so l nson sul onnsor è smpr null, nl sono rzo so è pr -, nl quro so è snusol l sn rg...5 sn rg ngrl prolr nl prmo nl sono so l p==, nl rzo so l p sn rg...6 ss può ssr r on l prnpo nà polnom rgonomr o pù rpmn ol moo smbolo u n prgrf suss. -7

8 nson sul onnsor [] orrn nl onnsor [] nl quro so p os rg...7 n u s l osn l...8 Pr quno rgur l nnsà orrn, s ossr nor h, pr <, ss è smpr null n prm r s, nl quro so è snusol l p sn rg...9 ngrl prolr ll nnsà orrn nl prmo nl sono so è nullo, nl rzo so l p sn rg... nl quro so p os rg... n u s l osn l p p... Nll fgg sono rpor grf rl ll nson sul onnsor sul onnsor ll nnsà orrn rspmn nl so, nl so, nl so nl so mpo [s] fg.... so mpo [s] -8

9 nson sul onnsor [] orrn nl onnsor [] nson sul onnsor [] orrn nl onnsor [] nson sul onnsor [] orrn nl onnsor [] mpo [s] x -5 mpo [s] x -5 fg...4 so mpo [s] fg....5 so mpo [s] mpo [s] fg....6 so mpo [s] -9

10 b S onsr om ulror smpo l ruo prlllo fg....7: g fg....7 ruo prlllo l ssm fonmnl è l sgun: g g... quzon ffrnzl nll nogn sono...4 quzon lgbr sso ll omogn è...5 soluzon è l po p p / osn rbrr s uono ll onnuà ll nnsà orrn nll nuor l ssm fonmnl, foogrfo llo +. p p s prlllo b sr s suono on l sss molà... smp r l sono orn n un r l sono orn sono prsn lmno u lmn mmor npnn: u nuor non ronubl un nuor quln, u onnsor non ronubl un onnsor quln, un nuor un onnsor. n l so, l quzon lgbr rrs è sono gro; s può mosrr ll proprà polnom h l frqunz nurl sono rl sn nl -

11 so u nuor o u onnsor; nl so un nuor un onnsor, l frqunz nurl porbbro ssr rl sn, rl onn oppur omplss onug. S onsr om prmo smpo l ruo sr fg....8: + g Fg....8 ruo sr o l rggo n un nul bpolo o nmo quln. l ssm fonmnl è l sgun: g g...8 quzon ffrnzl nll nogn sono g...9 om s può ossrr, qulunqu s l grnzz nogn, pr l lnrà l ssm, l quzon lgbr sso ll omogn è n quso so oorrrà onsrr un ppropro ngrl gnrl pr l omogn sso, om gà o. -

12 -... ulmo so nll... orrspon ll onzon r... soluzon gnr y è l po sn s y y s y y y y s y y p p p p p... Pr lor non nfror l lor ro l soluzon è pro oppo sponnzl, uno lo sguo uno pù lno ; l mnur fno l lor ro l loà l prmo sponnzl umn l lr mnus. Pr lor nfror l lor ro l soluzon s prsn osllor smorz funzon psuopro pulszon ω. Pr nn zro ruo non sspo l osllzon n ssr prmnn, on psuopulszon mssm... S lolno n sgun s: gnror grno : =- pr < =,,,,4,5,6,7,8,9,, == pr >; = mf; = mh; ommuzon ll nson l gnror osn snusol =- pr < =-,-9,..,,,,9,, = sn ω = ; ω=4 r/s pr >; = mf; l lor ro ll rssnz l Oorr nor h, nl so r omplss onug, nh + - ono ssr omplss onug, rsulno osì rl l grnzz y.

13 - so n fg....9 sono rpor, pr rs s l lor ll nson sul onnsor =, grf ll nson sul onnsor ll nnsà ll orrn nll nuor nl so = Ω. n fg.... sono rpor l orrsponn rrsh nson orrn l onnsor ror. n l so nf l soluzon è pro l p p...4 ngrl prolr ll nson sul onnsor è osn pr l nuor s ompor om un ororuo, qullo ll nnsà orrn è nullo l onnsor s ompor om un pro. osn ngrzon s rno ll onzon nzl g...5 fg....9 ruo lmno on nson grno - Tnson sul onnsor nnsà orrn, so rnsoro proo S no pr srpolzon h u l ror nono l puno,.

14 -4 fg.... ruo so proo rrs nson- orrn l onnsor ror n fg.... è rporo l grfo ll nson sul onnsor l rr l % l % l lor ro on onzon nzl rposo. n l so s mono n nz nh l soluzon psuoproh: p p p s s s sn...6 osn rbrr s rmnno on l onzon nzl s s s s s s, os sn...7 Pr l nnsà orrn s rà nl so proo, g on fl snson gl lr s.

15 fg.... ruo lmno nson osn- Tnson nnsà orrn nl onnsor l rr l lor. onzon nzl rposo. Nll onzon psuopro, l nson sul onnsor può ssr supror fno l oppo ll nson l gnror. n quso so è n h non è rf l proprà non-mplfzon 4. so n fg... sono rpor, pr rs s l lor ll nson sul onnsor =, grf ll nson sul onnsor ll nnsà ll orrn nll nuor nl so = Ω. n l so nf l soluzon è pro l Gl ngrl prolr sono snusol lgono p p 8 4 proprà non mplfzon è lg ll proprà ll ponz ssorb, h n rgm rs rs szonro on on l fnzon pssà. n onzon nmh l fnzon pssà pù orrmn lg ll nrg puoso h ll ponz om s rà, smpo, n rgm snusol, l ponz ssorb un onnsor l è snusol, qun s pos h ng -5

16 -6 rg sn rg sn rg sn p p p /...9 rg sn rg sn rg sn p p p... fg.... ruo on ommuzon ll nson osn snusol - Tnson sul onnsor nnsà orrn, so rnsoro proo osn ngrzon s rno ll onzon nzl

17 p p g p p... nh nl so s porà onsr h l nson sul onnsor può ssr mggor ll nson prs rgm, s nl so proo h n qullo psuoproo; pohé n qus ulmo so è prsn un omponn oslln, è opporuno prr pr l mnsonmno omponn rl un lor mssmo ll nson pr l rplo non pù l oppo ll nson prs rgm.. Ossrzon gnrl sull nm ll r lnr prnno quno gà o n prnz, l ssm fonmnl pr un r l l ons l quzon opologh smpr lgbrh l quzon rrsh u n=n+n quzon ffrnzl rl n n nuor onnsor npnn, nonhé nulmn ono pr bpol nm lro po s. opp bpol orrsponn muuo oppmno nuo o po. Nl so ssm lnr offn osn, l soluzon è no mno n osn rbrr, h nrnno lu n bs ll onzon uhy orm unà, oè n bs ll rmnzon l lor nzl ll funzon ll su n- r. Pr rr lor nzl ll funzon n gnr non s r un funzon mmor s onsr l srur foo l ssm ll sn =+. n l sn sono nogn lor ll grnzz, rnn qull ll n funzon so, no llo -. nolr sono nogn lor llo + ll n r h ompono nll rrsh nmh. n fn s hnno n quzon n u l nogn sono osu lor lgbr ll l-n grnzz ll n r llo +. l ssm foogrf numr llo + è rmno qun s è n gro onosr llo +: - lor ll n grnzz so; - lor ll l-n grnzz non so - lor ll n r prm ll grnzz so. S oorr onosr l r prm ll grnzz non so o l r son ll grnzz so, bs onsrr l ssm l quzon onuo rno un un l quzon l ssm fonmnl. n quso ssm ro, lo llo +, s onosono l r ll grnzz so l rgonmno prn qun s può onosr llo +: - lor ll r ll l-n grnzz non so - lor ll n r son ll grnzz so. -7

18 Tl rgonmno può ssr rpuo fno onosr l lor nzl ll r orn n-. su formulzon può ssr sprss rmn n form rul. o shm lro orrspon nf l ssm fonmnl può ssr lo n ogn sn, n prolr llo +. foo l ssm llo + qun lor ll funzon no n gnr gnror lu llo + lor ll grnzz so no n quno onnu llo -. Pr l prnpo sosuzon, s possono qun nsrr l poso onnsor gnror nson -, l poso gl nuor, gnror orrn -. r n l moo ppr nm rss ss possono ssr ppl u l proprà ll r lnr. Possono ssr qun r u l grnzz ll r llo +. sno lrsì rmn lor nzl ll r prm ll grnzz so. l ssm fonmnl ro orrspon lo shm ro on gl sss bpol gnror rssor, on nson orrn r ; lor ll r pr gnror sono no l prmo ssm. Possono qun ssr r l lr grnzz r. S pro n l moo qulunqu s l orn l ssm..4 Grnzz proh Grnzz snusol funzon proh l mpo sono rrzz un proo T l h, pr ogn, s =f+t on nro qulss. nrso l proo f=/t n o frqunz; f s msur n hrz [Hz s - ]. qunà ω=πf=π/t n hm pulszon. funzon proh sono rrzz un lor mssmo o po poso, o lor rs un lor mnmo 5, un lor mo nl proo un lor mo quro rms: roo mn squr o lor ff nl proo mo T T rms ff T T.4. funzon proh lor mo nullo s ono lrn. Un funzon lrn rngolr h l lor ff onn on l lor mssmo. Un funzon snusol l po M sn M sn f M sn.4. T è pro proo T, frqunz f pulszon, fs nzl, è lrn l suo lor ff è pr 5 Omn un funzon osn è un so bnl funzon pro. -8

19 M ff... M,77.4. l puno nullo pù prossmo llo zro è l sn *=-/. Prno s = l funzon è po sno, s =/ l funzon è l po osno. Un funzon b=bm sn+ è sfs ll ngolo - rspo ; s l ngolo è poso 6, b è sfs n npo rspo, s è ngo è sfs n rro rspo ; s l suo ngolo sfsmno è nullo, l u grnzz s ono n fs, s l ngolo sfsmno è l u grnzz s ono n opposzon fs, s l ngolo è / l u grnzz s ono n qurur n npo o rro. S ossr h l prooo un grnzz snusol pr un osn pos [ng] è un grnzz snusol ll sss pulszon n fs [opposzon fs] g P sn sn P ; M b l somm o l ffrnz u funzon snusol ll sss pulszon è un grnzz snusol ll sss pulszon M M M M M M sn os os sn M M sn M b sn B sn M M os B sn B B M M os sn ; g M M os sn M M M M sn B os B sn os M M sn os M M os sn B M sn os B M os sn.4.4 l r un funzon snusol è un funzon snusol ll sss pulszon, n qurur n npo DM sn M os M sn DM M ; l moo smbolo Opror omplss Pohé l ssm fonmnl un r lnr pr rlzon l po,b sopr o, s n u h un soluzon snusol pulszon è ompbl on un ssm n u gnror rmn no sno snusol ll sss pulszon; pplno l prnpo nà polnom rgonomr, s può nh onlur h l soluzon è un; u l grnzz nogn hnno pulszon. grnzz s rsfno qun solo pr l mpzz l fs nzl; s può qun sblr un orrsponnz buno r l funzon snusol l opp orn numr rl numr omplss oss pun l pno rsno: M sn M, x M os, y M sn M x y opror ulro- D Mor, formlmn fno om 6 S onsr n gnr l rmnzon prnpl llo sfsmno, oss. -9

20 =os+ sn, è rpprsno l puno sull ronfrnz rggo unro nr nll orgn fg..5.. sso è un opror rozon: pplnolo un or Ā fsor o puno l pno ll rpprsnzon orrsponn ll grnzz snusol - s on un or Ā ruoo α 7. S n prolr α=/, s h =; un lr rozon / por l or opposo Ā: nf = =- 8 ; un ulror rozon / por un rozon omplss = =- orrsponn un rozon ng -/: - / =-=/; un ulror rozon / rpor sul or orgnro: = 4 =. n prolr, qun, l opror omunmn o mmgnro n un rozon / nl pno rsno. Pr nzr quso ono n moo nor pù lmnr, s può ossrr h l puno P,b +b l pno può ssr mmgno rgguno prr ll orgn prorrno un ro lungo l ss x ss rl qun un ro b lungo un rzon orogonl ss y mmgnro. uso or l pno numr omplss, orrsponn ll grnzz snusol nl mpo, prn l nom moo smbolo. S può flmn onrollr h ll oprzon zon, sorzon molplzon pr osn nl omno nl mpo orrsponono zon, sorzon molplzon pr osn nl omno ll rpprsnzon smbol. Tl oprzon sono orrsponn ll ornr oprzon r or molplzon un or pr un osn, omposzon or on l rgol l prlllogrmm. g G b x B ; x x y y B y B M.5. Un mporn ulror oprzon orl lmnr è qull rozon, formlmn sgubl on l opror ulro. S può flmn onrollr h ll oprzon rzon orrspon un molplzon pr ω oro un rozon / un mof ll mpzz. N.B. Nll orrsponnz l opp orn numr rl può ssr sosu un lor unomn lgo ll mpzz smpo l lor ff un rfrmno ngolr qulss. Omn l for sl l rfrmno ngolr ono ssr gl sss pr u l grnzz. n gnrl l oprzon r fsor orrsponono un rozon mof mpzz. opror h l sr rà l form M M M x M y M os on M moulo ll opror, rgomno ll opror. Msn 7 n un ssm oorn rsno x,y su un pno, l snso rozon poso è qullo h por l smss poso ll x sul smss poso ll y on un rozon π/; n un ssm logro, l snso rozon è qun norro. 8 Quso rsulo on on l fnzon sols prmorl unà mmgnr -

21 y Ā = Ā α - α os α sn α x α Ā fg..5. Opror α su pplzon un or l pno..6 Opror mmnz mpnz Nl so rssor l su u s è f l onnzon ll ulzzor, s l nnsà orrn è snusol no pulszon ω fs nzl α, nh l nson è snusol ll sss pulszon ω fs nzl β=α; s s foss o l onnzon l gnror, nson nnsà orrn srbbro n opposzon fs. S l nson su un onnsor è snusol no pulszon fs nzl β, l nnsà orrn ssorb h l sss pulszon, m h un fs nzl α =β+/, qun n npo rspo ll nson. S l nnsà orrn n un nuor snusol no pulszon fs nzl α, l nson h l sss pulszon, m h un fs nzl nrmn β =α+/, qun n npo rspo ll nnsà orrn. rlzon orrsponn l loro prsnzon grf sono pprsso rpor fg..6.. M M M M M M.6. -

22 Ī Ī = Ī fg..6. rrsh smbolh pr bpol fonmnl S s onsr un ruo smpl osuo un gnror l nson =M snω+, un rssor rssnz un onnsor pà. fg..., s r pr l orrn rog l gnror l sprsson X M X rg M X M sn rg X X.6. o X=/ω è l rnz p. Nl moo smbolo, l lgm r nson orrn pr un bpolo s sprm nll form lgg Ohm ll grnzz smbolh, onnzon ll ulzzor: M M M M oppur.6. opror mpnz mmnz M X M G B X X X.6.4 rgomno, pr mo u n sguo, prn l nom ngolo ponz. pr rl ll opror mpnz è l opror rssnz, l offn ll pr -

23 mmgnr X è l opror rnz. mpnz h l sss mnson ll rssnz, oè ohm [Ω]. pr rl G ll opror mmnz è l opror onunz; l offn ll mmgnro è l opror susnz. mmnz s lu n Smns [S]. D nor h G non è l nrso, slo l so prolr u pprsso; B non è m l nrso X. Nl so l rssor l s h Ż=+, G, on =/G pr l lor rssnz. nson è n fs on l nnsà orrn. Nl so ll nuor l s h Ż=+X, B, o X= è l rnz nu mnr B=/ è l susnz nu. nson è n qurur n npo rspo ll nnsà orrn. Nl so l onnsor l s h Ż=+-X, B, o X=/ è l rnz p mnr B= è l susnz p. nson è n qurur n rro rspo ll nnsà orrn. Qus onsrzon nuono nrprr l opror mpnz om un sr form un rssor l un ror l X =X-X, oro, on un gro lbrà, om un ruo sr; l opror mmnz può ssr su ol nrpro om un prlllo formo un rssor l onunz G un ror l susnz B =B-B, oro, on un gro lbrà, om un ruo prlllo. D l rlzon r u opror, s u h ogn ruo sr orrspon un ruo prlllo 9. s X= B= orrsponono ru rsonn sr prlllo quln rssor l prossmo prgrfo. S =X= s è n prsnz un bpolo oro-ruo l. S G=B= s è n prsnz un bpolo pro l..6.4 può ssr sr pr qulss bpolo formlmn rpprsnbl, non solo l po. Può ssr sr nh pr un gnror rl o l: n l so l bpolo non può ssr ronoo un ruo quln. 9 Omn on rs lor,, > on un gro lbrà sull sl. Può u ssr pr l so spfo sosuo un ruo s rsul, G. -

24 . 7 sonnz sr prlllo Un ruo n rgm snusol, omunqu omplsso, nl qul sno prsn rssnz, nunz pà un solo lmno o s n rsonnz quno rspo l gnror h lo lmn s ompor om un ruo purmn ohmo. S onsr pr smplà l ruo sr llusro n Fg g. Fg..7. ruo sr S onsr l funzonmno n rgm snusol l ruo. l fsor rpprsno ll orrn è o o M rpprsn l fsor rlo ll nson l gnror m sn q è l mpnz quln ll sr l rssor, ll nuor l onnsor. l moulo l fsor orrn è: q M M.7. S onsr, or, l nmno l moulo ll orrn M l rr ll pulszon ω. È mmo rfr h l lor l moulo M n zro pr ω pr ω, mnr ssum l suo lor mssmo n orrsponnz ll pulszon rsonnz fl rfr h pr l lor ll pulszon l pr mmgnr ll mpnz è ugul zro, prhé l rnz p è ugul qull p, qun l moulo q ssum l lor mnmo. l lor ll nnsà q orrn ll pulszon rsonnz è qun ugul M, oè, ll nnsà orrn h s rbb s nl ruo foss solo l rssor. nolr, ll rsonnz è mmo rfr h l nson l onnsor è l opposo qull ll nuor, qun l nson sul rssor è ugul qull l gnror. -4

25 n fn, ll pulszon rsonnz l ruo, rspo ll nson h lo lmn, s ompor om s foss purmn ohmo l sr - è quln un ororuo. S ossr h lgono nlogh onsrzon pr l ruo prlllo. n quso so u l poso ll nnsà ll orrn onsr l nson su r bpol n prlllo ll rsonnz l prlllo s ompor om un ruo pro. ru rsonn, lmno un puno s prnpo, sono qull h s ulzzno nll lomunzon quno s ogl slzonr un sgnl un frqunz prsn n uo lo spro h l ssm rn rogl. slzon n fno rr l frqunz rsonnz l ssm rn h s or on l frqunz r grz l fo h qull frqunz s h un po ll nnsà ll orrn. Oorr u rorr, sopruo nl so mpn ponz, l nson sul onnsor sull nuor sr- [l nnsà orrn nl so l ruo prlllo] porbb ssumr lor l qun prolos. nf l lor ff ll nson sul onnsor [ll nnsà orrn nll nuor nl so prlllo] è, ll pulszon rsonnz, pr l lor ff ll nson l gnror molplo pr l for mro o Qs [ Qp o ] o h può ssumr lor molo l pr nn zro [pr nn nfno]. Un ruo può qun ssumr l ruolo mplfor psso, non lno pù n gnrl l pos non mplfzon l l rgm szonro. sm ru rsonn sr o prlllo può ssr ronoo grf normlzz sponbl n mnul n n u s f rfrmno prmr mnsonl qul l for mro lo sosmno rlo ll pulszon rsonnz Dll.7. s r, pr pol sosmn ll pulszon rsonnz, l ur unrsl rsonnz fg..7. o S può mosrr h l mssmo ll nson sul onnsor non s h ll pulszon rsonnz, m un pulszon no pù n ss quno pù lo è l for mro. S può mosrr h l proprà non mplfzon onnu lr nh n rgm snusol pr l r rss pr l r o, oppur solo o solo. onzon ξ= orrspon ll rsonnz, on lor mssmo ll nnsà orrn; l onzon ξ=±,5 orrspon ll nuzon r l % rspo l mssmo ll frqunz glo, h pn qun l for mro; quno pù è lo l for mro, no mno ffrs l frqunz glo ll frqunz rsonnz oros no pù l ruo è slo ; n lron us l nuzon s msur n bl B onsrno l logrmo n bs l rpporo fr l grnzz n sm, pr u ll frqunz glo orrspon l nuzon snr B pr l luzon ll bn pssn n frqunz l sposo -5

26 -6 s s s s M M M M Q Q Q Q ; Fg..7. ur unrsl rsonnz ngolo ponz rgomno ll mpnz Som,967 Pr l onsrzon su spos, qulss r pss, lmn un gnror nson o orrn, srà rpprsnbl on un opror mpnz o mmnz qun prsnrà un o pù pulszon rsonnz sr o prlllo orrsponn ll soluzon ll quzon Xω= oro Bω=. S nh l...8 pplzon l moo smbolo ll r lnr pplzon l moo smbolo l ssm fonmnl un r lnr l l lmn gnror sofrqunzl onsn rsformr un ssm ffrnzl rgonomro l quzon n un ssm lgbro orl. S può oprr qun nffrnmn s n form gomr rpprsnzon orl s n form srmn lgbr numr omplss. n pprnz, l puno s ompuzonl nh l puno s ll mpgno llo spzo mmor un lolor, prà prson, ò smbr un ggro, n quno s ropp l numro quzon slr quln. n rlà, s omprn subo h nh

27 pplr l prnpo nà polnom rgonomr s rr l roppo l numro rlzon. spo pù sgnfo è h l rlzon smbolh sono rgol rrso opror lgbr omplss mmnz, mpnz o mmnz 4, nlogmn quno n nl so szonro n u gl opror lgbr rno rl. Qun s possono rsfrr l proprà r sull bs ll lnrà: sorpposzon gl ff 5, sprsson l pror nson orrn, mpnz mmnz quln, bpolo quln Théénn Noron, moo ponzl nol ll orrn mgl, mr sr n-pol opp bpol,. Non porà ssr pplo l moo smbolo l so bpol on non-lnrà non lmnbl. l moo smbolo non porà ssr n ln prnpo mpgo pr l luzon proprà ll r non snn ll lnrà s. l ponz, slo sluppr lun onsrzon forml spfh.9. 4 l rmn mmnz n n gnrl l lgm smbolo opror r u qulss grnzz n un r. 5 ossro h s gnror snusol non sono sofrqunzl, s può pplr l moo smbolo pù ol onsrno ol n ol gnror ugul frqunz qun sorpponno rsul nl omno l mpo. -7

28 .8. smp numr sul moo smbolo D l r fg..., n rgm snusol, rmnr nll nrllo -,+. [ = os ω; =5; =, H; = F; = ;ω=5 r/s] fg..8. Oorr smpr onsrr sullo sfono, l ssm fonmnl, lo pr ogn : g ; g ; ; S luno l rnz 6 X 5; X 4 5 S ppl qun l pror orrn X X X X X X X X X X X X os rg X X X X X X os rg 7 8 X X os rg X X X X X X os rg 7 8 X X X os rg X X os rg

29 .9 Ponz n rgm snusol S onsr un bpolo mors r-s funzonn n rgm snusol. S onsr l ponz snn ssorb l bpolo: p rs sn sn Mrs Mrs os rs rs os rs rs.9. rs rs rs rs rs os rs rs os rs rs os os P p rs rs Mrs rs rs rs Mrs mrs frs rs ponz snn qun n gnr non è un grnzz snusol, m è rrzzbl un lor mo Pm o ponz m, o rl un ponz fluun pf snusol pulszon opp. l l prnpo onsrzon pr l ponz snn, l ponz m l ponz fluun. nrg ssorb un bpolo n un nrllo pr un mulplo nro pro rsul pr Pm, n quno l onrbuo ll ponz fluun è nullo. S l nrllo non foss smn pr un mulplo nro pro, l onrbuo ll nrg ssorb forno ll ponz fluun srbb no pù rsurbl quno pù è grn rspo l proo. ponz m ssorb h qun un sgnfo nrgo on ss s possono rrzzr bpol lr r sgnf nformzon sul onsumo. ss n n qun n w. smpo un suf 5 W, nu n funzon pr un or, onsum.8 MJ. unà pr us pr l nzon onsum lr è l Wh lowor; Wh orrspon l onsumo un pprhur W nu n funzon pr un or, qun.6 MJ. ponz m s sprm om P m M M os os.9. o l rmn os prn l nom for ponz pr qus rgon ϕ è o ngolo ponz; sono lor ff ll nson ll nnsà orrn. ponz fluun non h pso l puno s nrgo, m è purroppo sgnf lr pun s. Bs pnsr h ss h un lor mssmo ugul o supror ll ponz m h, onsrno un bpolo rl, l nul sollzon mnh sono lg ll ponz snn. smpo ll lbro un moor porbb ssr ppl un opp snn bn supror ll opp m; ò porrbb un sollzon orson nollrbl oro un sollzon f h lmrbb noolmn l prszon mnh lungo rmn, oro -9

30 l ll mhn. ò s ggungno l brzon rsmss l rumor uso ronzo po Hz. S s rsfrs l problm moor nusrl ponz m - W grn gnror ll r lrh nronnss sul rroro uropo ponz m MW n su, s omprn om l sollzon sono l uo nbl: un r pr l rsporo nrg lr orà r gnror pù rol. rfs. Nl so bpol rss, l ponz m è pr, o è l lor ff om s onsrssmo un so szonro, mnr nl so bpol nuor =π/ onnsor =-π/ l ponz m è null. Pr un ruo l ngolo ponz è omprso r π/ π/ l for ponz os r. S rsul os< s è surmn n prsnz un gnror o un bpolo o un bpolo s rà qun psso s n ogn onzon funzonmno l ponz m ssorb rsulrà non ng 6. S fns ponz r ssorb un bpolo l qunà M M Q sn sn.9. o è, l solo, l ffrnz r l fs nzl ll nson lor ff ll nnsà orrn lor ff. ponz r Q ssorb un bpolo psso à nzon s l bpolo è prlnmn po ohmo-nuo Q> o po ohmo-po Q<. ponz r non h un sgnfo nrgo, m può rmnr un funzonmno non oml gl lmn un mpno lro oppur osrng umnr os rlzzzon. nf l mnsonmno un bpolo è lgo ll ponz pprn o ponz nomnl ompr sull rg spos P Q.9.4 ponz pprn è pr l prooo l lor ff ll nson pr l lor ff ll orrn; ss è un qunà ssolu pos. l suo lor è rmn lgo l olum oupo l sposo l snz r mors umn on l nson mnr l szon onuor umn on l nnsà ll orrn qun l suo oso. Pr rurr os fss oorrrà qun mnur n lor ssoluo prà ponz m l ponz r ssorb l bpolo. 6 n onzon gnrl un bpolo s rà psso s l nrg ssorb nll su sor non rsul m ng, oè s n rf l onzon n rlà un po rm, m n mol s flmn * rfbl rs rs qulunqu s l sn *. -

31 .9. Ponz omplss onsrzon Pr ogn bpolo s può nrourr un grnzz omplss forml, ponz omplss, h bb om moulo l ponz pprn om rgomno l ngolo ponz. onsrno smpo l prooo l fsor ll nson pr l onugo l fsor ll nnsà orrn s h rs rs rs rs rs rs rs rs rsos rs sn rs Prs Qrs.9.5 P Pohé l ponz omplss è un ponz rul 7, pr l orm Tllgn ss s onsr. N onsgu l onsrzon nh ll ponz r n un r. 8. Possono ssr qun slupp, s pr ru lmnr h pr r omplss, qul qull ll srbuzon ll nrg lr, onsrzon ro spssor h nono lmr l ponz r n sngol rm rfsmno lol o n pun prolrmn sgnf qul smpo l bn rsformzon rfsmno globl. n l moo possono ssr lm lor ll nnsà orrn n r r ollgmno n prms l lungh ln lmnzon, po gl sss gnror rsformor, lmno l sspzon rmh nsr gl ss sosmn ll nson nomnl u nson..... on l opporun sl sul rfsmno s possono qun rggungr lrnmn o ongunmn qus rsul: umno ll prszon lrh omponn rl prà sollzon rm; b onnmno os nsllzon ln omponn bs qul gnror rsformor. ruzon onsum prss su ln gnror h hrmn non possono ssr ro gl un n fn s può ffronr n mnr s l m ll omzzzon nl progo ll grn r Nl. ngono ppl l onsrzon spfmn l ollgmno smpl gnror unz. 7 Bs onsrr l r n sm, nrss ll nson rs, un lr, on lo ssso grfo, n u s ssgn ogn lo l nnsà orrn. Pohé l onugo h l sss pr rl l numro rs omplsso orgnro l opposo l offn ll pr mmgnr, pr l nnsà orrn onug l l prnpo Krhhoff no. ò bs pr ffrmr h rs rs 8 S ssmo onsro l prooo forml r l numro omplsso rpprsno ll nson qullo rpprsno ll nnsà orrn rmmo uo un lr ponz omplss on lo ssso moulo m on rgomno pr α+φ, ssolumn non sgnfo. -

32 nssro l mmonmno r ogn onfuson osmno r ponz r ponz fluun. prò nrssn nor h l ponz snn l p P p os f os os os os os os sn sn P os Q sn l rmn os P orrspon ll ponz snn ssorb l rssor nllo shm sr -X; l rmn non è u pr ll somm ll ponz snn ssorb rssor n un r pss s u mors u l bpolo -X rpprsn l quln. smpo nl prlllo fg..9., s =X=X, sono n fs qun p P os os, sono n qurur r loro pr moulo; l somm ll ponz snn ssorb u rssor è osn ssno p f os sn " p p f f X X " ; p " os " sn f α =π/4 α =-π/4 Fg..9. S onlu om l rso gà ossro h non è possbl prlr qulnz rfrnos ll ponz. -

33 .9. smp numr sull ponz smpo n. + o Fg..9. r fg..9. è n rgm snusol; s = Ω, = Ω, ω=5 r/s, =/6 mf; = M sn ω [M= ], o= M os ω [M=5 ]. Drmnr l nnsà orrn, b l ponz omplss rog l gnror l orrn. pplno l moo smbolo s h X 6 ; 5; X ; 5 X 5 6 pplno l orm Noron mors l onnsor, s h q p 6 ; 5 5 5; 6 q q X 6 5 X 6 6 sn os ponz omplss rog l gnror l orrn P 5r -

34 smpo n. + B Fg..9. S onsr l r fg..9., n rgm snusol, lmn l gnror nson = M sn.m=4 ; = r/s ;==4; =; =,H ; =5 F S lu l ponz omplss ssorb l bpolo sr mors -B. X P P, ; X X X ˆ B X 4 ; sn rg B B X X X X X X W; Q sn rg 7sn rg 4 ; 7 4 X ,5 7 7 ; 4 r sn rg ; 4 ; W 7 4 8,5r; Q 4 ; X 7 7r -4

35 -5 smpo n. fg..9.4 S onsr l r fg..9.4, n rgm snusol, lmn gnror nson = sn, = os. = ; = r/s ; =; = mh ; = mf S lu l ponz omplss rog suno gnror. ponz rog u gnror l ; P P nnsà orrn possono ssr lu pplno l orm somposzon; nrouno l mpnz s u gnror gn sngolrmn, s on: / 4 ; P X X P X X X X X X X X X X + +

36 Q X X X ; Q X 5.5 ; P 5 4.5W. l rfsmno rh r Pr omzzr l mnsonmno ssm lmnzon prà ponz m n goo qun nrg oorrrbb h foss ounqu Q=. Tu bpol orbbro ssr mof n mnr r nson orrn n fs. ò è n ln prnpo possbl s u gnror l sono n fs o n opposzon fs. n l so srbb possbl ggungr n sr o n prlllo un rnz l h l rnz o susnz quln s null, oss bpol sno rsonn rfsmno lol sr o prlllo. n gnr qus soluzon rsul molo gros. Dl puno s nusrl, un ompromsso s on onsrno l unz qus smpr po ohmo nuo on ngolo ponz >6 nl suo omplsso nsrno un bpolo onnsor n prlllo l ro n mnr h l n fornor un for ponz os>,9 <6 fg.... Dl blno ponz omplss o onsrzon sul grmm orl ll grnzz smbolh s on l lor ll pà nssr rfsr un ro soo nson B prà ponz m Pm P P Q B P P Q m Q m Q B m Pm g g P g B P g.. φ B φ P m φ B φ Fg... -6

37 .. smpo numro sul rfsmno - ommn Fg... + S onsr l r fg... n rgm snusol; s = =5 Ω, = mh, ω=5 r/s, =8μF; =M sn ω [M=4 ]. Drmnr l nson sull nuor pr -,+ b l ponz r Q rog l gnror prà ponz m rog l gnror, gl orgmn prhé rsul Q= pplno l moo smbolo s rà 4; 8 Q X M 5 sn rg 5; M 6 m sn m * X ; 5; P * m 6 m m 6 5 rg 6 8 ; , ; P P 9,6W * M m * 8 5 m * Pohé rsul Q<, s può nsrr un nuor rfsmno gnrl. S lo s nsrs n prlllo l gnror, l lor ll nunz orà ssr l h M M 6 Q Q, 5 H Q

38 ommn *: S porbb n lrn oprr sul prlllo rfsmno lol; s ror h l onzon Q= orrspon ll rsonnz ll pulszon ssgn. D ssr qun * * 6 4 [ s ] 5 6 * * 4 fsso 8F, srà 5mH * * 4 fsso mh, srà 4F onzon su porà ssr onu o sponno un lro nuor mh n prlllo oppur sponno un onnsor 8 μf n sr. nuor rfsmno è nunz molo nfror l so prn. N.B. sono nfn lr possblà nsrno onmpornmn un nuor n prlllo un onnsor n sr. nolr, on l soluzon lol rmmo un ponz m rog l gnror pr P M / 4 8W nfror l so prn. D qu l onnnz mggor rgon s l rssnz quln l gnror non è rsurbl rspo oprr un rfsmno lol. Quso smpo nl so unz, nll mbo uno ssso mpno, molo lonn l puno fornur. -8

39 ponz m rog ponz r rog pprofonmn sull srzo grf * ON D POTN TT MD l rr ll nunz nunz [H] Pr =, H su rro l lor, r; pr nn ororuo l ponz r n zro. ponz r s nnull nuomn n so rsonnz =,5 H. è un wors s sur nunz [H] ponz m h un mnmo n onzon rsonnz. Pr nn zro, l M ponz m è l mssm orrspon qull ssp n, oè Pmx 6W. Pr l lor, l ponz m orrspon l ruo ohmo-po -9

40 nunz rfs gnrl[h] ponz m rog ponz r rog P * * X * 8 M * X X * 4 * W X ON D POTN TT MD l rr ll pà * pà[f] 4 x -4-4 pà [F] 4 x -4 nh n quso so s rsonr l mnmo ll ponz m n onzon rsonnz; s no lrsì un srmo ngo ll ponz r sur. ON D PTÀ D FSMNTO GN ON O D NDUTTN nunz [H] -4

41 .. l rfsmno rh r pr lmr l u nson * onsro un ollgmno rl n rgm snusol r un gnror un ro U fg... rrso un ln, s uol lur l onnzonl u nson pr ll ffrnz r lor ff ll nson mors ll ln uoo uo= ll nson ro u: u u% %. S on flmn: u G + u U u φ u u φ u % % os X Fg.... sn % P X u u u u u u u u Pohé nll mggor pr s nusrl om n fgur è Qu>, rfsr l ro sgnf nh rurr l u nson. Q u % -4

42 . r rfs Pr ssm polfs n rgm snusol s nn un ollgmno n-pol rrso n ln o fs rrzz n nnsà orrn ln =,,,n fg... lmnzon può onssr n n gnror sll npnn, on sono morso nro sll n omun. nson r pol,,, n s ono onn. onsro un n-polo lnr n rgm snusol, or fsor rpprsn ll nson onn formno un fgur hus, prhé l somm nson è smpr null. o ssso s può r pr or rpprsn ll n n n fg... Ssm polfs n-polo l ssm rsmsson srbuzon ll nrg lr n l è un ssm rfs. ssono, pr rs pplzon, ssm on un numro fs supror, n gnr un mulplo r 6,,48,. Ssm puro spuro : s gl n-pol sono sll nro sll fg..., è possbl lolr l nson r nr sll ulzzno gl sss mo opr nl so szonro; nno on Ż l mpnz quln ll sngol ln, s rro fr. l formul Mllmnn n ; n..; s no h n gnrl l nson r nr sll non è null l nnsà ll orrn ln pn ll nson ll mpnz rl ll lr ln. possbl mporr l onzon nullo sull nson r nr sll ollgnol r loro on un n+- mo onuor nuro l. n quso so l ssm s spuro fg... s rà: ;.. -4

43 on nnsà ll orrn ll ln npnn gnror ll mpnz rl ll lr ln. n l, smpo, l ssm rfs nzonl bss nson o nh ssm ulzzzon è un ssm spuro: olr r onuor fs, normlmn n on l squnz -S-T, è sponbl un quro onuor nuro N olr un nul ulror onuor prozon P, normlmn non funzonl l ssm STN 9. l ssm srbuzon n m nson è n un ssm puro, on r sol ln n n Fg...- Ssm polfs puro n n n N Fg... - Ssm polfs spuro Ssm smmr qulbr: un ssm polfs s smmro ro o nrso s l nson lmnzon sono smmrh r o nrs, oss s moul sono ugul ogn nson è n rro n npo pr l smmr nrs π/n rspo ll nson h l pr nll squnz. S l nson sono smmrh, fsor sono 9 Nll rlà l onuor nuro porà ssr shmzzo on un mpnz nuro normlmn moulo molo polo rspo ll lr mpnz; l nson r nr sll n n n N rsul pol rspo ll nson sll l nnsà ll orrn ln molo poo pnn l lor ll mpnz nuro N -4

44 -44 rpprsnbl on l un polgono rgolr. S nh l orrn ln sono smmrh, oss l mpnz quln sono ugul r loro, l ssm s qulbro. n un ssm smmro qulbro l nnsà orrn nll nul onuor nuro è null. n n n n n n ;.. n fg...4 sono rpor, pr un ssm rfs puro smmro ro on mpnz ro sll, l rlzon r nson sll, nson onn orrn ln. l polgono ll nson è un rngolo qulro. Fno po orrsponr l nro sll un puno l pno ll rpprsnzon smbol rporno prr sso r or smmr rpprsn ll nson sll l gnror, s possono rpprsnr pun, qun osrur l nson onn h loro ol formno un rngolo qulro rsulno n smpl rlzon gomr rspo ll nson sll. nf poso 4 4 sn sn sn..4 s h sn sn sn..5 n un ssm rsporo ll nrg lr s. qullo N, ssm rfs smmro ro pr nson nomnl s nn l lor ff ll nson onn; smpo l nson nomnl l ssm lno rfs ulzzzon n bss nson è 4, mnr l unz omsh hnno sposzon un ln fs l nuro ngono lmn qun ll nson sll h è qus smpr pr. Qus onsrzon è r nh s l onuor nuro non è un ororuo l; nf n N n n N n U

45 l moulo ll nson onn s on qullo ll nson sll molplnolo pr. Tpmn, un nson onn 8-4 orrspon un nson sll -. on l.. è possbl rmnr l poszon sul pno l nro sll sposmno l nro sll, l nson sull mpnz l nnsà ll orrn ln fg...4: n ; n y x Fg...4 Ssm rfs smmro S s onsr un ro rngolo o un ro rngolo quln qullo ll fg...5, l orrn lo possono ssr r rmn ll nson onn; l rlzon r l mpnz sll qull rngolo possono ssr rono qull r rssnz nlogh. -45

46 + + + J J J y J J J J x J J Fg...5- Ssm rfs smmro; ro rngolo Nl so ro qulbro fg...6 lo sposmno l nro sll è nullo; l nnsà ll orrn ln lo sono smmrh s h ; J. S mnn nll rsformzon l ngolo ponz nllo shm sll, r nson sll nnsà orrn ln; nllo shm rngolo, r nson onn orrn fs. S no h l smmr suggrs onsrr uno shm bs, u rporr l lr grnzz smmrh. pr suggrs or lo shm quln sllo, pr l opporunà nr on nz nr sll, orrsponn pun fs. o shm monofs quln è un smplfzon llo shm sll, n u s nz un gnro gnror sllo rh sll o sll quln fg...7. Nll pplzon, pornno ssr ulmn onsr rh rngolo solo s s è n prsnz ro qulbro, smpo un moor rfs pr sollmno. prsnz u un nro sll ssbl prm s onsro opporuno por ollgr un onuor nuro pr sgun sop: -46

47 onsnr mnnr un nson su rh pr ll nson sll gnror nl so rh rs s. r fbbr nh s ssmn rpprsnbl on rh onfronbl. b onsnrbb snr un guso su un ln un pprhur h è rpprsnbl n ssnz guso om un ro qulbro y x J J J J J J J Fg...6 Ssm rfs smmro qulbro nls prnpl gus rfs è ffron n..5-47

48 + Fg Shm monofs quln... Ponz n ssm rfs n un ssm rfs smmro qulbro l ponz fluun rog gnror è null. nf, n quso so, on l sol nozon, p g os os os os os osuno r rmn fluun un rn smmr nrs qun somm snn null. ponz snn qun on on l ponz m: l sollzon mn sull lbro ll lrnor, lg ll opp snn non h qun un rmn f, rmnno osì prszon smn mglor sopruo n rmn ur. o ssso s pr l rpolo ulzzor s. un moor. D ò ns l sgnz pnfr l mglo l lmnzon unz monofs sull r ln. Un ssm rfs smmro qulbro qul fg...7 r ssm monofs ; qun onsnrbb, prà nrg rsmss l gnror l ro, un rsprmo l 5% su onuor rspo r ssm monofs. n un ssm spuro, l ro è norm qus qulbro, l onuor nuro n rlzzo ll sss szon onuor fs qun s h un rsprmo / rspo r ssm monofs. Torm ron: n un ssm rfs puro nh ssmmro squlbro, ssgn l nson sll r mors l nro sll O l gnror, l ponz omplss ssorb un ro osì om l ponz snn può ssr lol luno l unz monofs ngono srbu r l r ln su bs ss rh rgonolmn qulbr. -48

49 -49 nson rspo un rfrmno qulss O* orm ron o ll nrnz ll ponz rspo l nro sll. nf * * * * * * * * * * * * * P O O O O O O O O...; prnno om rfrmno O* l morso orrsponn un ln, ss può ssr qun sprss on somm solo u rmn ssno nullo * onsrno l prooo l fsor ll nson onn un ll u ln rspo ll rz ln on l onugo l fsor ll orrn ll ln. Pr l msur ll ponz m ll ponz r n un ssm puro bsno qun u srumn msur wmr /rmr; l lur nson, nnsà orrn, ponz r, for ponz lro ogg s rgsrno su pprhur gl... fsmno n ssm rfs N ssm rfs s può pror rfsr un ro qulbro, pmn ohmonuo, h ssorb un ponz P=os nsrno un rn onnsor sll o rngolo 4 ; nl prmo so l rn onnsor ssorbrà l ponz r Q X Q ; nl sono so Q X Q prà ponz r s h qun h l pà onnsor rngolo è un rzo ll pà onnsor sll. olno rfsr l lor ll ngolo ponz, l lor ll pà nll onnsson rngolo srà g g P Q y D l sprsson s n l opporunà lur l onnnz un rfsmno rngolo 5. 4 n rr s ro ohmo-po s nsrrnno opporun nuor. 5 Nl so nson-mo l, u, porbbro nrnr onsrzon rguro ll ffblà omponn l fr prfrr l onfgurzon sll, h ompor sollzon pr pù onnu ngl soln.

50 .. smpo numro S onsr l lmnzon osu un rn smmr r s =M os ω [M = ]; s P=5 W,Q=-5r un ro qulbro un bpolo r l ln Pb=5W, Qb=5r. _lur l nnsà orrn _ b P Q y P b Q b b b b x b b S può ssumr om rfrmno l nson l prmo gnror sllo. l ro è un ro ohmo-po l sgno ll ponz r, l ro b è un bpolo ohmo-nuo nsro r l ln l ln. Nl omplsso l ro non è qulbro: gnror rogno orrn non smmrh m smpr somm null. -5

51 -5,7 ;,8 os ;,8, sn 4 6 os ; 4 ;,7 5 4 sn 6 os 4 os 6 sn 4 sn 6 sn 4 os 6 os Q P P Q P P b b b b b b b nb b n b b b

52 ..4 Dssmmr nll r rfs * prsnz rh squlbr /o monofs, gus rnsor /o rorrn, l ompormno non l omponn ll ln rsmsson, srbuzon ulzzzon ll nrg lr, porno ll progrss ssmmr ll grnzz mn mno h s llonn l gnror. Pohé un rn orrn non smmr può ssr sompos n rn smmrh r, nrs omopolr, s nr ono, sono s, grnzz squnz nrs omopolr. uso ll omponn smmrh pr lo suo gnrl ll r rfs è rporo nl Dsorson nson orrn * l ompormno non lnr lun rh s. onror pr l lron ponz l prsnz n r omponn non lnr s. rsformor n frro, lmor nson, omporno nool nonnn pr moolog; smpo, non è pù orro l uso l moo smbolo. Tu porbb ssr smn l possblà ll somposzon n sr Fourr ll grnzz n sm; roro l rso ompormno bpol mmor l rr ll frqunz. Dssmmr sorson possono porr sr onsgunz sul funzonmno ll r; l loro lmzon è lo sforzo gl suos n l sor nl nom ll qulà ll nrg. -5

53 -5. Suo ssm rfs - omponn Smmrh 6 *.. nrouzon S onsr, nl pno rsno, l opror rozon moulo unro. S fnsono l sgun rn smmrh squnz unr: rn squnz uno o r,,,, S rn squnz u o nrs,,,, S rn squnz zro o omopolr,,,, S sul h l omponn squnz r o nrs sono l r ubh ll unà [++ =] nolr 6 6 ; ; ;.. Un rn or s pur s l somm è null r or formno un fgur hus oss un rngolo. n so onrro or osusono un rn spur. Proprà somposzon ll rn or: è smpr possbl somporr un rn or n un rn r, un nrs un omopolr. Poso nf.. s r.. n nh l osruzon grf prm or squnz. smpo numro: poso 4 5 s h 6 Formulzon nroo Forsu nl 98

54 -54,49 6,9 7,45,8 onsrzon: pr l rn pur l rn omopolr è osu or null. Qun un rn nson onn può ssr sr un rn r un nrs... Tnson n ssm rfs Fg... S onsr un ssm rfs. Pr quno o, s possono lolr l rn squnz r nrs r nson onn fg... prm or sono: 6..4 om l rso gà spmo ll lzon prn 6..5 nh quso rsulo r sono. nson sll r -- hnno qun u l sss rn r l sss rn nrs. nson sll non osusono n gnr un rn pur. S l somm ll nson sll è null, l nro sll s ro nl brnro l rngolo. Qun u l possbl nson sll un ssm rfs puro -- hnno l sss rn r nrs; l nson omopolr è pr ll snz l puno orrsponn l nro sll l brnro l rngolo --.

55 -55.. orrn n ssm rfs orrn ln n ssnz onuor nuro osusono un ssm puro qun l omponn omopolr è null. lzon nlogh ll lghrnno prm or squnz r o nrs ll orrn ln qull omologh ll orrn lo...4 Trn mpnz Formlmn s possono fnr l omponn squnz r, nrs omopolr prr r opror mpnz..6 nlogmn pr l mmnz. Nl so ro qulbro srà rs zro solo l omponn omopolr. onsrno l nson sll su un ro squlbro ; ; s possono lolr l omponn squnz ll nson sll...7 S può onsr h n gnr l omponn squnz ll nson sll sono lg u l omponn squnz ll orrn ln. Nl so lmnzon ssmmr su un sll mpnz ugul lor, s on: n lr prol, l ssm può ssr so om l sorpposzon r ssm smmr on mpnz Ż=Ż. S l ssm è puro =, nh l omponn omopolr ll nson sll è zro, qun n l so l nro sll l ro orrspon l brnro l rngolo slno ll nson lmnzon.

56 pplzon : qulbrur un ro monofs * soo lmnzon smmr r == *..8 Pr rqulbrr l ro bs nnullr l omponn nrs, oss ollgr un ro,, h, soo lmnzon r, ssorb solo un rn nrs orrn pr. S l lmnzon è smmr r, l r nson sll su l ro non qulbro pornno ssr sprss rrso lo sposmno l nro sll qun srnno ompos un rn r qull gnror un omopolr. S rsrno l..7 on quso obo:..9 Dono ssr =, rsul h l somm ll r mpnz, pr /, ssr null. Pohé somm ll pr rl è null, non s può pnsr bpol ohm, m bpol purmn r s p h nu. sl può ssr f n r mo. smpo, s s pon,=-x, ==X=-X/, s rà X l prmo or squnz r ll nson rsul n l so ugul llno ll omponn omopolr, pr u rsul gol l grmm orl. o -56

57 -57 N= = = o..5 Suo ssmo ll r rfs onsr un ssm spuro. n l so l ro rfs può ssr so om un rplobpolo on r mors n omun nuro, pr u s può onsrr smpo l mollo lmnzon on nson sll ll por.. Nl ollgmno omun srà S porà nh onsrr un mollo n u l nson sll ngono r ll orrn ln rrso un mr mpnz nrs ll mr mmnz. Nl so ssm puro o= l mr ll mmnz è fnbl m non nrbl, pr u l mr mpnz om sopr fn rs snz sgnfo. S no sprssmn h l mollo ll N-bpolo, lo pr l r bpol, n n lrur sso nh l so r quln ssm, ssbl pù mors fsmn nubl, onnn orgn n momno. Nl mollo lgbro.. ll mhn ron non rsul n gnr rf l rproà, oss l mr ll mmnz o ll mpnz non è smmr. Pr qus rgon n s può nh onsrr l pos h s sr rs. S s mpon l guglnz ll r uommnz ll mmnz muu -- --, s possono rr l orrn squnz ll 6..

58 S rno prno r r squnz npnn r monofs quln u s possono rosrur l orrn l nson ff. r mmnz prnono l nom rspmn - mmnz ll squnz zro mmnz omopolr - mmnz ll squnz r mmnz snron - mmnz ll squnz nrs mmnz snron Nl so r rzonl, lno l rproà, l mmnz snron qull snron sono ugul. Nl so ssm pur r nuro solo, ssno null l omponn omopolr ll orrn lor qulss qull ll nson sll, l mmnz omopolr è null; nl so r rzonl, l mmnz r qull nrs sono ugul ll mmnz quln llo shm monofs lmnr; u onrbu ll orrn s rrnno ll pplzon l shm un ol ll rn r un ol ll rn nrs. Un sgnf pplzon ll r squnz s h nllo suo r rfs n onzon guso...6 squnz - Drmnzon ll orrn ll nson guso fnzon ll mmnz ll mpnz ll squnz r, nrs omopolr ompor h n un r squnz orrn un un r squnz orrsponono nson ll sss squnz. Pr o snson, s può ffrmr h l lgg Krhhoff sono sosf, n un r smmr, sprmn pr l sngol squnz pr gl omologh or ll nrno ll sss squnz. S h oè n un noo: pr un mgl S pornno qun sur sprmn l r r monofs squnz r, nrs zro omopolr. orrn ll r rl s pornno urr sommno l omponn ll r squnz, rorno h no l prm omponn squnz, l lr u sono rbl on smpl oprzon. -58

59 uso ll r squnz rsul grn uo n numros s nool squlbr om nl so gus s. guso rrso om un ororuo fr fs rr o fr fs, guso longunl qul rour un onuor,. l squlbro orrspon, n gnrl, l prsnz r orrn non pù smmrh, o unqu omponn nrs omopolr S l r è ornrmn un r qulbr on lmnzon smmr, n so guso sso porà ssr so om ro non smmro, mnr l rsn r rs smmr. s l puno guso, l rsn r smmr porà ssr su ll Théénn o ll Noron n gnrl prr r r monofs quln smmrh r r quln uoo oè n ssnz guso rrso o n ororuo oè n ssnz guso longunl; l ollgmno fr l rs r squnz srà rmn l prolr guso. S l lmnzon è smmr r, solo nll r squnz r omprrnno r gnror; l r squnz nrs omopolr rmnno nson orrn squnz nrs omopolr. smmr smmr N Szon guso smmr quln uoo r l guso N N sq r sq nrs sq omopolr -59

60 -6 so guso rrso : guso frno fr fs nuro o rr n ssm TN. n l so s h o q g g S h qun h l r r squnz sono n sr ollg su un ororuo. Nl so lmnzon smmr r, l r squnz r onn l gnror l mpnz q, l r squnz nrs qull squnz zro solo l mpnz q. so b guso non frno su mpnz g fr fs nuro o guso frno fs-rr n sm TT; nl guso non frno fs-rr n ssm TT onsr nll mpnz guso nh l mpnz rr. n l so s h g o g q g g g g S h qun h l r r squnz sono n sr ollg su un mpnz pr r ol l mpnz guso. o = = o = g /

61 -6 Nl so lmnzon smmr r, l r squnz r onn l gnror l mpnz q, l r squnz nrs qull squnz zro solo l mpnz q. so guso frno fr u fs. n l so s h o q o o S h qun h u ll r r squnz sono ollg rmn, l r omopolr è sol spn. Nl so lmnzon smmr r, l r squnz r onn l gnror l mpnz q, l r squnz nrs solo l mpnz q. so guso non frno fr u fs on on l so ro monofs su mpnz g. =- = g o o = = o = g / g

62 -6 n l so s h o g g g g q g S h qun h u ll r r squnz sono ollg rm l mpnz guso, l r omopolr è sol spn. Nl so lmnzon smmr r, l r squnz r onn l gnror l mpnz q, l r squnz nrs solo l mpnz q. so guso frno fr r fs. n l so s h S h qun h l r squnz r qull squnz nrs sono hus su un ororuo, l r squnz zro è pr: l guso qulbro non rmn ollgmno r l r squnz, oss s sono smpo solo gnror squnz r, s rnno solo orrn squnz r. o =- = g

63 o =- = g so f guso frno fr r fs nuro rr. n l so s h N S h qun h u l r squnz sono hus su un ororuo o -6

64 so g guso r u fs nuro n l so s h s h qun h u l r squnz sono n prlllo o so h guso longunl: prur un fs. Nl so guso prur s può pror n moo ul mmgnno h l r guso bb N por opp mors h, n onzon ornr, sono n ororuo. Pnsno l orm Noron, s può mmgnr h l r squnz rno ll onzon ornr ororuo ll onzon mpos ll r guso. Nl so prur un fs s rà: smmr N smmr Szon guso r r squnz ono prno ssr ollg r loro n un noo o -64

65 -65 so h guso prur u fs. n l so s h N S h un suzon nlog ll prn, m on un nolo sull fs prm or squnz r nrs. Omn s l nuro è solo, u l orrn sono null...7 Ponz omplss n ssm rfs S rsr l sprsson ll ponz omplss ssorb un ro rfs soo lmnzon ssmmr, nno ono omponn smmr: P P P P o r rmn ponz omplss orrsponono rmn squnz omopolr, nrs r Ponz fluun ponz fluun ssorb un bpolo è un grnzz snusol pulszon fs nzl pr ll somm ll fs nzl nson orrn. ss può ssr rpprsn un fsor P ˆ ponz fluun ssorb un ro rfs l: P ˆ 7 nor nf h l onugo un rn r è un rn nrs. S può nolr mosrr h l prooo un rn ssgn squnz pr un rn lr squnz è un rn or null.

66 Qus sprsson mosr h onzon nssr suffn prhé un ssm nuro solo lmno on nson smmrh luogo ponz snn osn ponz fluun null è h luogo solo orrn smmrh ll sss squnz ll nson lmnzon.. bpol r * S ossr h l opror rnz un nuor l qullo un onnsor l sono funzon monoon rsn ll pulszon. opror rnz un bpolo sr l X om s può onrollr, nh n quso so X è un funzon srmn rsn ll pulszon nll nrllo,+ : pr lor nn zro ll sr, X n - ; X n + pr lor ll pulszon nn ; X s nnull ll pulszon rsonnz sr pulszon rsonnz osus uno zro pr l funzon Xω. opror rnz un bpolo prlllo l X om s può onrollr, nh n quso so X è un funzon srmn rsn ll pulszon nll nrllo,+ : pr lor nn zro ll sr, X n pr lor pos; X n lor ng, pr lor ll pulszon nn ; X non è fn sonnuà son sp ll pulszon rsonnz prlll o nrsonnz ssumno lor pos nfnmn grn snsr ll pulszon nrsonnz ng n lor ssoluo nfnmn grn sr. pulszon nrsonnz osus un polo pr l funzon Xω. S può mosrr pr nuzon o rrso l orm Fosr 8 h s s h un qulss onnsson nuor onnsor bpol r fn po mors 8 Pr l mosrzon s può prnr rfrmno l orm ohn. pr l r n rgm szonro h sbls h l rssnz quln mors B un r rss non rs l rr n umno ll rssnz un rmo qulss; pohé l opror rnz un bpolo lmnr è funzon srmn rsn ll pulszon, bsrà pplr l rgol rzon -66

67 -B, l opror rnz quln mors -B è funzon srmn rsn ll pulszon ngl nrll pr r pol. è qun, prr pulszon molo bss fno pulszon nfnmn grn, un lrnnz r pol zr ru mgnmn opp n rgm snusol S è so nl. h l oppmno mgno r u ru offn uonuzon, muu nuzon M è luo rm l offn oppmno mgno =M/. Pr =±, l oppmno s prfo: l nrg mgn è null l mpo mgno è nullo n uo lo spzo nh s l orrn non sono null, m nl rpporo / = /. Du ru opp possono ssr su n rgm snusol on l mollo l oppo bpolo, mr M M M Nl so oppmno prfo, l oppo bpolo è quln un rsformor l on un nuor [] n prlllo sull prm [son] por. Tl oppo bpolo è quln qun n gnr un rsformor nson non è rsprn ll ponz r; pr quno rgur l orrn, rspo un rsformor l, è prsn l orrn uoo ll prm [son] por. Tl orrn uoo è null s ll son [prm] por è ollgo un bpolo ororuo: n l so l oppo bpolo s ompor om un rsformor orrn, m mbu l nson sono null. nnsà ll orrn uoo è no pù rsurbl rspo quno pù grn è l rnz ω rspo l moulo q= u S l oppmno non è prfo s può onsrr l somposzon lor non ng = + = + l h r s l onzon oppmno prfo. Un ll u nunz può ssr sl rbro smpo null. Qun l somposzon h un gro lbrà. Un oppo bpolo ruo oppo è n gnr l sono orn; nl so oppmno prfo è l prmo orn. l rsformor l è orn zro. r nh l.. M ll funzon ompos n rlà oorrrà nh onsrr h n un r r, lmn un solo gnror, l orrn sono n fs o n opposzon. -67

68 .5 Dnm nll r lnr : suo nl omno l mpo - -rsform *.5. Ssm fonmnl D nzl S è prnmn ossro h l ssm fonmnl pr un r lnr l l ons l quzon opologh smpr lgbrh l quzon rrsh u n=n+n+nm*+nm quzon ffrnzl rl n n nuor onnsor npnn, nonhé nm* opp bpol oppmno mgno prfo nm opp bpol oppmno mgno non prfo. Nl so ssm lnr offn osn, l soluzon è no mno n osn rbrr, h nrnno lu n bs l orm unà uhy, oè n bs ll rmnzon l lor ll funzon ll su n- r. onsro lo zro om sn rfrmno, onsro un nrllo nfnsmo - ε,+ε nll norno llo zro s nhrà on f- f+ l lm snsro sro, pr ε, ll funzon f nl puno zro..5. onzon nzl -Drmnzon ll osn rbrr Pr rr l onzon nzl ll funzon n gnr non s r un funzon mmor s onsr l srur foo l ssm ll sn +. n l sn sono nogn qus u lor rnn qull ll n funzon so, no llo -.nolr sono nogn lor llo + ll n r h ompono nll rrsh nmh. n fn s hnno n quzon lor lgbr ll l-n grnzz ll n r llo +. l ssm è rmno qun s è n gro onosr llo +: - lor ll n grnzz so; - lor ll l-n grnzz non so - lor ll n r prm ll grnzz so. S oorr onosr l r prm ll grnzz non so o l r son ll grnzz so, bs onsrr l ssm l quzon onuo rno un un l quzon l ssm fonmnl. n quso ssm ro, lo llo +, s onosono l r ll grnzz so l rgonmno prn qun s può onosr llo +: - lor ll r ll l-n grnzz non so - lor ll n r son ll grnzz so. Tl rgonmno può ssr rpuo fno onosr l lor nzl ll r orn n-. -68

69 su formulzon può ssr sprss rmn n form rul. o shm lro orrspon nf l ssm fonmnl può ssr lo n ogn sn, n prolr llo +. foo l ssm llo + qun lor ll funzon no n gnr gnror lu llo + lor ll grnzz so no n quno onnu llo -. Pr l prnpo sosuzon, s possono qun nsrr l poso onnsor gnror nson -, l poso gl nuor, gnror orrn. r n l moo n rss ss possono ssr ppl u l proprà ll r lnr. Possono ssr qun r u l grnzz ll r llo +. sno lrsì rmn lor nzl ll r prm ll grnzz so. l ssm fonmnl ro orrspon lo shm ro on gl sss bpol gnror rssor, on nson orrn r ; lor ll r pr gnror sono no l prmo ssm. Possono qun ssr r l lr grnzz r. S pro n l moo qulunqu s l orn l ssm..5. orn supror - Drmnzon ll frqunz nurl ll ngrl prolr l prnpo sosuzon prm rur l foo l ssm non solo llo + pr l rmnzon ll osn rbrr, m n qulss sn, sosuno onnsor un gnror nson gl nuor un gnror orrn. r n n quso moo rss possono ssr flmn lu, on gl ornr mo: l nnsà orrn n onnsor; b l nson sugl nuor. Qus grnzz rsulrnno qun n rlzon lgbr on l grnzz gnror, n prolr on l l ; l rlzon ffrnzl pornno ssr qun orgnzz om sgu: xg b b b xg o sono n l osn proporzonlà sngol onrbu ou gnror no [n gnrmn on xg] gnror fz orrsponn onnsor gl nuor. D nor h ll rlzon l po α s possono sprmr l orrn ngl nuor n funzon ll nson su onnsor ll loro r prm: -69

70 -7 x g sosuzon, nll quzon l po β un rlzon quso po ll su r x g por quzon ffrnzl nll sol ;n un ruo on un sol un sol, un quzon l sono orn n x x b b b b b x b x b b x g g g g g ngrl prolr, nll, può ssr luo prr l sono mmbro qus ulm quzon, on gl ornr mo ll nls mm; s ror h, nl so rgm szonro o snusol, l ngrl può ssr luo pr pù br s. on l moo smbolo. Pr quno rgur l frqunz nurl, ss possono ssr r ll quzon lgbr sso ll omogn ll α-β, oss b b b b b b b b b b b, N.B. Oorr rorr h, n ru ssp, l r ono rsulr ng o pr rl ng. offn ll mr possono ssr r pr rul. nf nll r foogrf ll sn gnro s può sosur l onnsor un gnror nson ll nuor un gnror orrn; un ol spn gnror r quzon omogn, s h

71 ; b ; b offn su possono ssr onsr prmr br, flmn lolbl sull r rss sso : è l onunz uoo nuor sosuo un pro s mors l onnsor b è l rssnz ororuo onnsor sosuo un oro ruo s mors ll nuor; è un for przon ororuo ll nnsà orrn nl onnsor rspo ll nnsà orrn nll nuor; b è un for przon nson uoo ll nson onnsor rspo ll nson sull nuor. n gnrl, n prsnz n onnsor npnn n nuor npnn, l α -β l mr pornno ssr osì rsr n n b,, n n b,,...n...n " "... b... b, n,, n,,... b... b, n,, n,, n b b,n,n...,n... n,n n,n... b... b,, n, n,, b... b n,n,n n,n,n n,n. l numro rgh olonn qus mr è pr l numro gl nuor onnsor npnn. offn orrsponono prmr br qul qull prm ln. frqunz nurl sono gl uolor qus mr. -7

72 .5.4 spos nonh ll r lnr * sm un grnzz rspos y nson o nnsà orrn n un rmo un grnzz ngrsso o forzmno x s. gnror nson o orrn può ssr ono su un r h bb l sgun proprà: s mpo-nrn, oss non s rfno rzon nll opolog ll r o nl lor prmr rrs [ s l r è mpo-rn, oorrrà rsrngr l sm ll nm n ogn nrllo n u l r s mponrn ]; b s lnr, oss osu bpol l u rrs rspon rqus lnrà; s un r è osu bpol fonmnl rssor, nuor nzlmn srh onnsor nzlmn srh, l r è lnr; s pss, oss s solo un gnror ngrsso; s sono pù gnror pù ngrss, l rspos porà lurs ll somm onrbu lg sngol ngrss, s l r è lnr. N s su l rspos prn l nom oluzon forz: ss pnrà ll opolog ll r l forzmno. S sono pù forzmn, l oluzon forz srà pr ll somm onrbu sngol forzmn. Nl so r non rposo nll sn nzl ossrzon ll nm soopos forzmno nullo, l rspos prn l nom oluzon lbr. S l r non è rposo, ss non è lnr; nf, nll rrs nson-orrn bpol mmor onnzon ll ulzzor o * o ** oorr prsr l lor nzl ll rbl so; l rlzon su sono lnr solo s l lor è nullo. S l r non è rposo l forzmno è nullo, s porà u onsrr, fn l lolo ll oluzon lbr pr >, l r rposo llo -, nsrno n prlllo onnsor [srh] un gnror mpulso orrn lor Qo= o pr ll r sull rmur l onnsor pr = n sr gl nuor [srh] un gnror mpulso nson lor pr l flusso nzl oss o. Tl gnror fzo, nullo pr < pr >, rosrurà llo + l onzon r l bpolo. possbl mosrr, ulzzno l quzon l ssm fonmnl luzon bs sul blnmno gl mpuls, h l gnror mpulso orrn [ nson] rhrà l solo onnsor npnn n prlllo [nuor npnn n sr] nssun lro bpolo mmor nll r. -7

73 n gnrl, qun, s l r non è rposo s porà onsrr, sol fn ll rspos pr >, l r rposo pr < ggungr forzmn ornr n gnror mpuls fz qun sono gl lmn mmor rh. onrbu gnror mpuls rosrurnno l oluzon lbr, mnr onrbu forzmn formrnno l oluzon forz. S rà qun n gnrl h l rspos è pr ll somm ll oluzon lbr ll oluzon forz. Nll rrzzzon nm ll r ssumono un ruolo fonmnl s l soluzon ll quzon lgbr sso ll omogn sprmbl om frqunz nurl o rrso l osn mpo =-/, rl o omplss onug s l ngrl prolr. Pohé l soluzon sono ng o pr rl ng n ru rl ssp, l ngrl prolr può ssr osuo, s nubl, ll soluzon solr mpo nfno oss ll soluzon rgm s. szonro, snusol, proo,. Nl so forzmno polnoml, sponnzl o sol oss osuo un ombnzon funzon sponnzl, rgonomrh prbolh, l soluzon solr srà l po polnoml, sponnzl o sol; l prnpo nà pplo l ssm ffrnzl prm lur omplmn l ngrl prolr qun l ngrl omplo. o l forzmno non foss l po suo o rur non sprmbl nlmn s pns smpo un nson no un fulmn o, pù smplmn, l sgnl rn un mrofono, l oluzon ll grnzz nll r porà ssr rono ll rspos nonh oss forzmn po snr. Forzmn-po fonmnl sono l sollzon grno l sollzon mpulso. prm smbr pù ssbl nh l puno s sprmnl, l son s prsn pù un formulzon nl omp. nrno nll sollzon-po gl mpuls ogn orn, rbl pr rzon suss ll funzon grno, nl snso ll srbuzon..5.5 funzon grno Pr un ul prsnzon ll funzon grno h prmrà nrprr mglo l funzon mpuls, s onsr un funzon onnu gnrlmn rbl l po U pr pr pr U S fns funzon grno lor unro pplo nl puno l funzon -7

74 pr U lm U pr funzon grno rsul sonnu nl puno pplzon funzon mpuls S onsr l funzon pr P pr pr P / Tl funzon può ssr onsr l r ll funzon U. Un proprà nool ll funzon su è l sgun P P l nr zro, l lor P n nfno, mnr l ngrl rs unro. funzon mpuls unr l orn mpulso Dr nll sn n fn nl moo sgun: pr b s, b s, b Nll mbo ll or ll srbuzon, l funzon mpuls può ssr onsr l r ll funzon grno. funzon P può ssr onsr om l ffrnz r u funzon grno, uno lor / pplo n - l lro lor -/ pplo n +. S può qun pnsr rrr l promno prn rrr ll fnzon mpulso l orn oppo, osuo u mpuls l prmo orn ongu sgno opposo, lor llmo ll fnzon gl mpuls orn supror..5.7 mponmno un funzon S onsr un funzon f gnrlmn onnu rbl. olno srr l funzon n un nrllo, s può mmgnr sur l nrllo n N soonrll mpzz = /N onsrr l funzon f* po sl lor osn n soonrll pr l lor ll funzon f nll srmo snsro. 9 S è sol ssgnr ll funzon grno nl puno sonnuà l lor,5, suno ll U Δ. -74

75 f f* + funzon f* s ompon on funzon fnsr l po P -, m mpzz pr l lor h l funzon f h nll srmo snsro l soonrllo: N f * f P Pr N, f*f. Prno s può onlur h l funzon f può ssr sr, nll nrllo suo, rrso nfn mpon f flr mpuls Dr 4 : f f.5.8 spos forz ngrl onoluzon onsr un r lnr pss, mpo-nrn, rposo llsn o, soll l forzmno f n nson o orrn, l rspos nson o orrn lo y f oluzon forz può qun ssr sprss, pr ogn sn > o, ll sorpposzon onmporn onrbu ou rmn omponn l f qun llngrl onoluzon y f f h o h- è l rspos un forzmno mpulso unro nro nllsn gnro o << 4. 4 n rlà n qus prsnzon non n onsro l mpon nllo zro [nll srmo sro ]. Pr nr ono l mpon, oorr onsrr nzlmn non l lor nll srmo snsro m l nro l soonrllo onsrno snr mpornmn l nrllo, / snsr llo zro sr. sprsson l mponmno n f f. 4 pohé l l prnpo uslà oss l rspos non può pnr l forzmno fuuro, h- è null pr > lngrl onoluzon può ssr rsro om f h y f -75

76 S l r non è rposo, ss può ssr rono un r rposo onsrno gl opporun forzmn mpuls pr l rosruzon ll rbl so. rspos qus forzmn fz forzmno f= rpprsn l oluzon lbr pr u, pr un r non rposo, l rspos y è l somm ll oluzon lbr ll oluzon forz: y y y. f lbr uso ll funzon mpuls prm qun: nrourr propumn gnror fz mpuls pr rosrur n un mo lo so non-rposo un r; s s h nrss onosr l oluzon ll grnzz pr >, bsrà nsrr n prlllo un onnsor nll rlà ro un nson o ll sn =, m h s suppon sro pr < un gnror orrn o 4 oro bsrà nsrr n sr un nuor nll rlà ro un nnsà orrn o ll sn =, m h s suppon sro pr < un gnror nson o 4 b rmnr l rspos mpuls h un gnro forzmno f pplo un r rposo, rm l ngrl onoluzon. S uol nl sguo rporr lun onsrzon gnrl sull h, h possono ssr uo nll pplzon pr l rmnzon ll sss. Sgurnno lun srz pr l luzon ll rspos mpuls bs ssnzlmn sull ossrzon h, nl ssm fonmnl, ono ssr bln gl mpuls nson orrn oss non è possbl h n un quzon omp un solo rmn mpulso; bsrnno smpl onsrzon pr sngur l grnzz mpuls qull non mpuls pr lur nul sonnuà ll grnzz so. 4 n l moo l onnsor n rsfr, nll nrllo -,+ un r Qo=o; l oprzon s rp,fz è npnn ll prsnz l rso ll r, om s porà nh rfr gl srz spos pprsso. S sooln omunqu h n qus smulzon s pr u l nformzon sull oluzon rl ll grnzz fno llo - s onsr l r prfmn rposo nh nll nrllo nfnsmo -,+, n u l grnzz so rggungono lor ff. 4 n l moo nll nuor n ro, nll nrllo -,+ un flusso onno Φ=o; l oprzon s rp,fz è npnn ll prsnz l rso ll r, om s porà nh rfr gl srz. -76

77 .5.9 rspos mpuls r orn zro S onsr un r osu sol rssor 44. ss è orn zro nl ssm fonmnl non sono rlzon ffrnzl. mmo ronosr h pr un forzmno mpulso f= unro, ogn rspos h è mpuls fg..5.9.; è soolnr h h= pr >, ssno l r snz mmor. f= y=h= h fg Qun l rspos forz gnr è l "op mof" rrso l for rporo h mnsonl o mnsonl son s fg f y= = f h fg f y f f h 44 lr bpol, n-pol o n-bpol orn zro qul l rsformor l. -77

78 .5. rspos mpuls r l prmo orn S onsrno u s rln: un solo bpolo onnsor pà fg..5..; b un solo bpolo nuor nunz fg..5..b 45 ; fg..5.. Nl so s può ffrmr, slo l zon u pprsso, h lmpulso n ngrsso r l onnsor. nf l r mon mors B è rss ss s può sosur l bpolo quln Noron fg..5..; lnnsà orrn l gnror quln Noron l nson h s rro mmmn p l onnsor lgono rspmn BN B B = BN o BN è l ouo for rporo sul lo B; qun, onsrno lnrllo mpo -,+ B B BN q BN B BN q BN BN BN BN q q 45 l so l muuo nuor oppmno prfo s ronu mmmn l so l sngolo nuor: -78

79 fg..5.. no omplo lsm ll grnzz nl rmo B, s onsr l gnr rspos h; ss onrrà n gnr un rmn mpulso un rmn smorzo fg..5..: BN h h h h B h l rmn mpulso onn l ouo for rporo h; sso srà nullo s l rspos è l nson sul onnsor oro qulss grnzz ll r h s può mmgnr "n prlllo" l onnsor om nson orrn ll rssnz quln l bpolo quln Noron; ngl lr s l for s rmn n un r orn zro, onu sosuno l onnsor un oro ruo 46. l for s on n onsrno l rporo ll nson sul onnsor ll grnzz us prsl nh n quso so l lolo l rporo n ffuo su un r orn zro, n u r l lro l forzmno, luo llo +, è nullo pr fnzon 47. l for BN pn n ll poszon l onnsor rspo l forzmno. δ h δ h B h h B fg..5.. b nson orrn ll porzon r N" nll fg rmn non onngono rmn mpuls, mnr l grnzz ll porzon N sono gnrmn nrss rmn mpuls. Un pù profon nls opolog è nssr pr mglo rmnr l ompormno ll porzon N. 46 sosuzon on un ororuo è lgm l fo h l nson sul onnsor è omunqu lm qun rsurbl rspo ll lr nson mpuls prsn nll r. 47 n lr rmn, l nson sul onnsor è l sol nson no, rprr. -79